Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Transkript

1 Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen låda: a) Välj några olika värden på den rektangulära skivans längd och bredd, a och b. Bestäm sedan vilket värde på den bortklippta kvadratens sida, x som ger maximal volym. b) Ta fram en formel så att du direkt från de givna värdena på rektangelns sidor, a och b cm kan beräkna vilket värde på x som ger den största volymen. Kontrollera att detta stämmer med de exempel du valt. Frågeställning: Hitta en formel som gör att du från givna värden på a och b kan bestämma värdet på x som ger maximala volymen på lådan. Kortfattat svar Genom algebraisk lösning av frågeställningen har jag kommit fram till att, det exakta värdet på x som ger den maximala volymen av en låda enl. ovan utifrån bestämda värden på a och b är då x. Man kan även genom GeoGebra (metod 3) bestämma värdena på a och b och utifrån detta direkt hitta värdet på x som ger den maximala volymen, och vad denna är i detta fall.

2 Metod 1: Algebraisk lösning För denna metod har jag valt att lösa frågeställningen algebraiskt steg för steg, för att få ett exakt värde på x som ger den maximala volymen för lådan, då du har ett bestämt värde på sidorna a och b. V = x (a 2x) (b 2x) = abx 2ax 2 2bx 2 + 4x 3 V = ab 4ax 4bx + 12x 2 V = - 4a 4b + 24x Hitta volymens extrempunkter: V = ab 4ax 4bx + 12x 2 0 = ab 4ax 4bx + 12x 2 = = ( ) p = - ( ) q = Pq-formel ger: ( ) = = = Hitta det x som ger maximal volym: V (x) = - 4a 4b + 24x V (x 1 ) = - 4a 4b + 24 ( )= - 4a 4b + 4 ( )= - 4a 4b+ 4a +4b +4 = 4

3 V (x 2 ) = - 4a 4b + 24 ( )= - 4a 4b + 4 ( )= - 4a 4b+ 4a +4b - 4 = - 4 så V (x 1 ) = 4 då a 0 och b 0 vilket ger att ab vilket i sin tur ger att V (x 1 ) minimipunkt V (x 2 ) = - 4 då a 0 och b 0 vilket ger att ab vilket i sin tur ger att V (x 2 ) maximipunkt Detta betyder att volymen blir störst då x Kontrollexempel: Vi sätter att a=20 och b=15 X max = = 2,8333 ger V = abx 2ax 2 2bx 2 + 4x 3 = , , , , ,04 för att kolla att detta verkligen är en max.punkt sätter vi x=1 ger V= =234 x=4 ger V= =336 ger båda mindre värden än x max så x ger en maximipunkt för V. (detta kan också kontrolleras med någon av GeoGebra-metoderna) Metod 2: GeoGebra modell För denna metod har jag gjort en modell i GeoGebra för att visa att denna algebraiska lösning stämmer. Men också för att i 3d kunna se framför sig hur lådans form och volym ändras då du varierar värdena på a, b och x. Jag har då gjort en modell av en låda i 3D där man kan variera värdena på a, b och x och även få ut volymen av lådan. Detta gör att man kan bestämma värdena på a och b och sedan variera värdet på x

4 och samtidigt kolla volymen för att se när denna är som störst beroende på x (även a eller b om det önskas). Vilket då även gör att man kan kontrollera att den algebraiska lösningen stämmer, genom att från bestämda värden på a och b beräkna x utifrån den algebraiska lösningen. Sedan sätter man in detta värde på x som man får och kan då se om detta är den maximala volymen genom att utifrån x variera denna variabel till större och mindre värden, och då samtidigt kolla av volymen. Metod 3: GeoGebra graf För denna metod har jag ritat upp volymen, derivatan av volymen och andraderivatan av volymen som tre funktioner, grafer beroende av a och b. För att direkt från bestämda värden på a och b kunna avläsa det värde på x som ger den maximala volymen och vad denna är. Då ser vi att som i exemplet nedan där a=20 och b=15 ger två nollställen av V och då ser vi även att den maximala volymen ges av x 1 som är ca 2,8 detta värde får du genom att hitta skärningspunkten mellan x-axel och V och då ta fram x-koordinaten ur detta från GeoGebra. Sedan drog jag även en lodrät linje genom x=2,8 för att se allt tydligare. Vi ser även genom att titta på V funktionen då x=2,8 ger att V < 0 vilket betyder att V har en maximipunkt för x=2,8. Och om man ändrar på a och b gör man samma sak igen kan man direkt ur GeoGebra bestämma värdet på x för den maximala volymen.

5 V = (20-2x) (15-2x) x V = 12x 2-140x V = 24x 140 Metod 4: Verklig modell För denna metod har jag med hjälp av kartong byggt ihop 3 lådor enligt modell nedan, alla med samma värde på a och b men varierande värden på x. I låda nr. 2 har jag med hjälp av den algebraiska lösningen beräknat det värde på x som ger den största volymen för lådan. För låda nr. 1 och nr.3 har jag då tagit ett mindre och ett större värde än detta. Sedan tog jag ca 4 dl quinoa, en sorts sädesslag och hällde i en skål se bild nedan. Sedan hällde jag i denna quinoa i den första lådan och fyllde lådan upp till toppen, det resterande quinoan hällde jag upp i ett glas, se bild nedan. Efter detta hällde jag tillbaka all quinoa i skålen för att hela tiden använda samma mängd (4 dl) quinoa. Och detta för att kunna se vilken låda som fick plats med mest quinoa (minst kvar i glaset) och därmed hade störst volym. För att i verkligheten kunna visa och se att lösningen stämmer och hur allting hänger ihop. (cm)

6 4 dl quinoa a=20 a=20 a=20 b=15 b=15 b=15 x=2 x=2,8 x=4 Resultatet av detta ser vi här att låda nr.2 fick plats med mest quinoa eftersom det finns minst kvar i glaset. Både låda nr.1 och nr.3 har mer quinoa kvar i glaset, och har därmed fått plats med mindre quinoa i lådan. Detta betyder att låda nr.2 då x=2,8 cm har störst volym, precis som den algebraiska lösningen visade. Diskussion: För att jämföra dessa metoder, med lösningar; den algebraiska lösningen är den enda av dessa metoder som ger en lösning i exakt form, som man sedan självklart kan beräkna och därefter avrunda till ett ungefärligt/exakt resultat. Medan båda GeoGebra metoderna ger ungefärliga, avrundade värden på x och volymen beroende på värdet på a och b. Även den verkliga modellen ger ett ungefärligt resultat, men tillräckligt noggrant för att man ska se det jag ville visa, att låda nr. 2 hade störst volym. I denna uppgift ger som sagt den algebraiska lösningen en exakt lösning, medan GeoGebra direkt beräknar ut värdet på x och volymen, som då är avrundat beroende på x som heltal eller ej. Men i denna uppgift gör det inte någon större skillnad om x räknas ut exakt eller ungefärligt, eftersom volymen ändå kommer att bli ungefär densamma då det inte handlar om så stora marginaler i detta fall. Vilken metod som är bäst att använda beror helt på vad man vill få ut av uppgiften och lösningen. Den algebraiska metoden är bäst att använda/titta på om man vill steg för steg se hur man generellt beräknar en formel för att beräkna det värde på x som ger den största volymen för lådan med a och b som beroende variabler. Eller om du vill för hand, med räknare beräkna utifrån denna formel det värde som ger den största volymen på lådan, i exakt form, eller avrundad form.

7 GeoGebra modellen, metod 2 är bra om man vill kunna se lådan i 3D och samtidigt kunna variera värdena på både a, b och x och se hur dessa ändringar påverkar lådans form, men också hur ändringarna påverkar lådans volym. Tack vare detta kan man också bestämma värdena på a och b och sedan variera värdet på x och se hur detta påverkar volymen, och se vid vilket värde på x som volymen är störst. Man kan även använda denna modell som en kontroll av den algebraiska lösningen, att det värde man beräknat på x faktiskt ger den största volymen. Om man på direkten vill se och få ut värdet på både x, som ger den största volymen för lådan, och vad denna är, är metod 3 med GeoGebra graferna den bästa och enklaste metoden att använda. Då du endast behöver bestämma värdena på a och b som går att variera, och sedan ser du på direkten det ungefärliga nollställets x-koordinat för den maximala volymen och även vad denna är. Vill du ha ett mer noggrant värde går det även att få fram genom GeoGebra. Denna metod fungerar även utmärkt som kontroll av algebraisk lösning. Den verkliga modellen, metod 4 är den som är mest ungefärlig men tillräckligt noggrann för det den är till för. Vilket är att i verkligheten kunna se och förstå hur allt fungerar och hänger ihop. Från ritning av lådan till att bygga ihop den med olika mått, till att se framför sig att den algebraiska lösningen stämmer, och faktiskt ger den största volymen. Alla metoder var enligt mig lyckade till denna uppgift och frågeställning. Vare sig du på direkten vill bestämma värdet på x för den maximala volymen på lådan, och vad denna är med redan bestämda värden på a och b. Eller om du vill steg för steg se och förstå hur du beräknar en generell formel för värdet på x för maximal volym, med a och b som beroende variabler. Eller i verkligheten, se och förstå hur hela uppgiften hänger ihop och se att den algebraiska lösningen faktiskt stämmer. De är som sagt varierande och relevanta metoder som belyser flera olika sätt och tillvägagångsätt för att lösa och samtidigt förstå uppgiften.