MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp"

Transkript

1 MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största och minsta värde, gtrafen till en funktion samt nollställen. Om du inte kan dessa begrepp lönar det sig att repetera dem från tidigare kurser. Ex. 203 (s. 19) Anta att funktionen g(x) = 9 (3x 2) 2. a) Bestäm funktionens definitionsmängd, värdemängd och nollställen. b) För vilka värden på variabeln x får funktionen negativa värden? c) Bestäm funktionens största och minsta värde. Räkna: (s ) 201, 202, (207), (215)

2 2.2 Växande och avtagande funktioner - För alla x 1, x 2 A där x 1 < x 2 är funktionen a) växande om f(x 1 ) f(x 2 ), dvs. ordningen bevaras. b) strängt växande om f(x 1 ) < f(x 2 ), dvs. ordningen bevaras. c) avtagande om f(x 1 ) f(x 2 ), dvs. ordningen byts. d) strängt avtagande om f(x 1 ) > f(x 2 ), dvs. ordningen byts. - Om man förenklar det hela kan man säga ett funktionen är växande då grafen går nerifrån upp när man rör sig från vänster till höger och att funktionen är avtagande om grafen går uppifrån ner när man rör sig från vänster till höger. - En funktion som är (strängt) växande eller (strängt) avtagande är (strängt) monoton. Ex. 2.1 Bestäm när funktionen är a) växande b) avtagande. Ex. 219 (s. 34) Undersök med hjälp av funktionens graf för vilka värden på variablen x som funktionen är avtagande. a) f(x) = 1 b) 2x 6 f(x) = 2x 2 8. Se graferna i boken. Ex. 232 (s. 35) Anta att f: R R. Lös olikheten f(x) > f(3), om funktionen f är a) strängt växande b) strängt avtagande. 7 Ex. 2.2 Lös olikheten 3x 5 > 2. Räkna: (s ) 220, 221, 224, (226), 227, 228, 229, 231, (233)

3 3. Rationell funktion 3.1 Grundbegrepp - Ett rationellt tal är av typen m n, m, n Z, n 0. - Ett rationellt uttryck är av formen P(x), där P(x) och Q(x) är polynom. Uttrycket är Q(x) definierat då Q(x) 0. - Ibland kan ett rationellt uttryck förkortas till ett polynom. Om uttrycket inte kan förkortas till ett polynom kallas det för ett bråkuttryck. - En rationell funktion är en funktion av typen f(x) = P(x), där P(x) och Q(x) är polynom och Q(x) 0. Ex. 302 a) (s. 43) För vilka värden på variabeln x är den rationella funktionen f(x) = x 5 x 2 25 definierad?. Ex. 304 b) (s. 43) Hyfsa uttrycket 9x2 y 2 3y. Ex. 308 a) (s. 43) Hyfsa uttrycket 3 k k 2 6k+9. Ex. 313 (s. 44) För vilka värden på parametern k går divisionen kx2 +x 1 jämnt ut, dvs. uttrycket kan hyfsas till ett polynom? Q(x) x+1 Räkna: (s ) 301, 302, 305, 306, 309, (317), (318)

4 3.2 Räkneoperationer - För rationella funktioner gäller samma räkneregler som för rationella tal. Ex. 322 (s. 48) Hyfsa uttrycken a) n 1 n + 1 n b) 1 x x Ex. 324 (s. 48) Hyfsa uttrycken a) n 1 n n 2 1 n b) x+2 2x+2y x+y x 2 1 Räkna: (s. 48) 319, 321, 326, 328, 332, (336) 3.3 Rationella ekvationer - Då man löser rationella ekvationer måste man komma ihåg att förbjuda nämnarens nollställen. Efter det kan man lösa ekvationen som vanligt och till slut kontrollera att svaret stämmer överens med kravet. Ex. 339 c) (s. 55) Lös ekvationen x x 1 = 2. Ex. 341 b) (s. 55) Lös ekvationen 2x2 +10x 5+x = 2x. - Om man skall bestämma nollstället för en rationell funktion skall man lösa ekvationen f(x) = 0. Då skall man igen börja med att ställa kravet. Efter det räcker det att räkna täljarens nollställe. Ex. 342 a) (s. 55) Bestäm nollställena för den rationella funktionen f(x) = x+2 x 2 4. Räkna: (s. 55) 339b, 340b, 342b, 343b, 346, (349)

5 3.4 Rationella olikheter - För att lösa rationella olikheter skall man följa några enkla steg: 1. Flytta alla termer till vänstra ledet (eller alla termer till högra ledet). 2. Förläng vid behov, så att hela vänstra ledet är skrivet på ett bråksträck. 3. Beräkna täljarens nollställen. 4. Beräkna nämnarens nollställen. 5. Rita teckenschema med hjälp av skisser eller testpunkter. Teckenschemat skall ha en rad för täljaren, en rad för nämnaren och en rad för kvoten. 6. Nämnarens nollställen skall markeras in på teckenschemat med sågtand medan täljarens nollställen kan markeras med vanligt rakt sträck. Ifall täljaren och nämnaren har ett gemensamt nollställe skrivs det in som sågtand, dvs. som ett nollställe för nämnaren. 7. Se på tecknen för att bestämma tecknet på kvoten. 8. Resultatet kan nu avläsas från teckenschemat. Ex. 351 (s. 58) Lös den rationella olikheten x 2 x 2 3x+2 0. Ex. 352 (s. 58) Lös den rationella olikheten 5x x+1 1. Räkna: (s. 58) 350, 353, (355), 358

6 4. Gränsvärde för en funktion 4.1 Ensidiga gränsvärden - Ensidiga gränsvärden delas i vänster- och högergränsvärden. Funktionens värde i punkten x = x 0 har ingen betydelse då man definierar ensidiga gränsvärden. Funktionen behöver inte ens vara definierad i punkten. - Vänstergränsvärde betecknas lim f(x) och högergränsvärde lim f(x). x x0 x x+ 0 - Det är också möjligt att ett numeriskt ensidigt gränsvärde saknas. Ex. 401 (s. 62) Bestäm med hjälp av grafen de ensidiga gränsvärdena för funktionen för a) x = 1 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 4. Se grafen i boken. Räkna: (s ) 402, 404, Gränsvärde - Definition: Funktionens gränsvärde lim x x0 f(x) är a om både vänster- och högergränsvärde är a, dvs. lim f(x) = a lim f(x) = a och lim f(x) = a x x 0 x x0 x x+ 0 OBS! Funktionsvärdet behöver inte vara samma som gränsvärdet. Se bilden i boken s. 64. Ex. 409 (s. 67) Bestäm med hjälp av funktionens graf gränsvärdet för funktionen för a) x = 0 b) x = 3 c) x = 2. Se grafen i boken. - Om man inte har tillgång till grafen kan gränsvärdet bestämmas numeriskt. Detta är inte den mest praktiska metod dock. Ex. 415 (s. 68) Undersök numeriskt om funktionen f(x) = x3 1 har ett gränsvärde för x = 1. x 2 1 Räkna: (s ) 412, 414, 416

7 5. Kontinuerlig funktion 5.1 Inledning - Se på exemplen i boken s Dessa exempel försöker förklara begreppet kontinuitet. 5.2 Kontinuitet - En funktion är kontinuerlig från vänster om vänstergränsvärde är lika med funktionsvärdet i punkten x = x 0, dvs. om lim f(x) = f(x x x0 0). kontinuerlig från höger om högergränsvärde är lika med funktionsvärdet i punkten x = x 0, dvs. om lim x x0 + f(x) = f(x 0). kontinuerlig om vänstergränsvärde är lika med högergränsvärde som är lika med funktionsvärdet i punkten x = x 0, dvs. om lim f(x) = lim f(x) = f(x x x 0 x x+ 0) 0 Med andra ord, funktionen är kontinuerlig i punkten x = x 0 om gränsvärdet är lika med funktionsvärdet lim f(x) = f(x 0 ) x x0 - Om funktionen inte är definierad i ett intervall kan man inte tala om kontinuitet eller dikontinuitet. - Funktionen är kontinuerlig i ett intervall om den är kontinuerlig i varje punkt i intervallet. - Om funktionerna f och g är kontinuerliga och c R så är följande funktioner kontinuerliga i sina definitionsmängder: c x cf(x) f(x) ± g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x)

8 - Några exempel på funktioner som är kontinuerliga i sina definitionsmängder: Konstanta funktioner: f(x) = c Potensfunktioner: f(x) = x n Polynomfunktioner: P(x) Rationella funktioner: P(x) Q(x) Ex. 503 (s. 84) Använd grafen för att avgöra om den givna funktionenä r kontinuerlig eller ensidigt kontinuerlig för a) x = 3 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 4. Räkna: (s ) 501, 502, 505, Bestämning av ett gränsvärde med hjälp av kontinuitet - Om funktionen är kontinuerlig kan gränsvärdet beräknas genom att låta x = x 0. - Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. - Har man en funktion som inte är ett polynom måste man först se för vilka värden funktionen är definierad. Sedan skall uttrycket hyfsas och först efter det kan man göra insättningen lim x x0 f(x) = f(x 0 ) om möjligt. Ex. 5.1 Beräkna gränsvärdet för funktionen f(x) = 3x 3 7x + 16 för x = 2. Ex. 5.2 Beräkna gränsvärdet för funktionen f(x) = x4 2x 2 +x x för x = 0. Ex. 519 a) (s. 97) Bestäm gränsvärdet lim x2 9. x 3 x 3 - Om uttrycket inte kan hyfsas så att man kan göra insättningen kan man försöka räkan vänster- och högergränsvärde skilt och se om de är lika. Ex. 527 a) (s. 98) Undersök om gränsvärdet existerar: lim x x2. x 0 x Räkna: (s ) 513b, 514b, 515b, 516b, 517b, 518b, 519b, 523, (524), 528, 530, 539, (540), (542), (546)

9 5.4 Existensen av ett gränsvärde - Sats: Om lim x x0 f(x) = a 0 och lim x x0 g(x) = 0 så existerar inte ett numeriskt gränsvärde lim x x0 f(x) g(x). Det vill säga om nämnarens gränsvärde blir noll måste täljarens gränsvärde också vara noll för att ett numeriskt gränsvärde för den rationella funktionen kan existera. OBS! Även om både täljarens och nämnarens gränsvärde blir noll behöver inte ett gränsvärde existera, men möjligheten finns. Ex. 552 c) (s. 106) Anta att funktionen f(x) = 4 x2 2x 3 4x 2. Bestäm lim f(x) då x 0 = 0. x x 0 Räkna: (s ) 549, (555) 5.5 Kontinuitetsundersökningar 2x + 1, x < 3 Ex. 563 (s. 114) Är funktionen f(x) = { 2 x 2 kontinuerlig för, x 3 a) x = 0 b) x = 3? Ex. 570 (s. 114) För vilka värden på konstanten a är funktionen f(x) = 2x 3, x < a { 1 kontinuerlig för x = a? x + 2, x a 3 Räkna: (s ) 564, 567, 568, 569, (576)

10 5.6 Satser om kontinuerliga funktioner - Bolzanos sats: Om f(a) och f(b) har olika tecken och f är kontinuerlig i det slutna intervallet [a, b], så har funktionen åtminstone ett nollställe i det öppna intervallet ]a, b[. - Om funktionen är strängt monoton (dvs. strängt växande eller strängt avtagande) så har funktionen exakt ett nollställe i ett givet intervall. Ex. 584 (s. 121) Visa att funktionen f(x) = x 3 4x 2 + x 5 har åtminstone ett nollställe. - Sats: Om funktionenä r kontinuerlig i det slutna intervallet [a, b] så antar funktionen i intervallet ett största och ett minsta värde samt alla värden mellan det största och det minsta värdet. - Denna sats möjliggör att man bestämmer en funktions värdemängd genom att bestämma endast det största och det minsta värdet. Ex. 5.3 Bestäm värdemängden för funktionen f: [1, 5] R, f(x) = x Räkna: (s ) 582, 583, (585), 590

11 6. Derivata 6.1 Inledning - Monotonitet är en kvalitativ, dvs. en beskrivande, egenskap hos funktionen. Till näst skall vi se på derivatan som är en kvantitativ, dvs. siffermässig, egenskap som motsvarar monotonitetetn. - Derivatan beskriver funktionens tillväxthastighet. 6.2 Derivatans definition - Derivatan anger momentan tillväxthastighet och är således lika med tangentens riktningskoefficient. - Derivatan för funktionen f(x) betecknas f (x). - Derivatan i punkten x 0 för funktionen f är: f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 eller f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Bevis för att båda definitionerna betyder samma sak: Vi betecknar: x = x 0 + h h = x x 0 x 0 = x h Nu får vi att f(x) f(x 0 ) f (x 0 ) = lim x x0 x x 0 = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) x (x h) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Alltså är f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0 ) = lim x x0 x x 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h 0 h.

12 Ex. 602 (s. 131) Bestäm a) differenskvoten från 1 till 3 b) differenskvoten från 1 till 1 + h (h 0) c) derivatan g (1) för funktionen g(x) = x x 3. Ex. 607 (s. 131) Bestäm f (x) med hjälp av derivatans definition om f(x) = x 2. Ex. 613 (s. 131) Bestäm gränsvärdet om f(0) = 3 och f (0) = 5. f(h)+3 f(2h)+3 a) lim b) lim h 0 h h 0 h Räkna: (s. 131) 601, 603, 605, 606, 608, 609, 610, (611), 612, (614) 6.3 Deriveringsregler - Derivatan för funktionen f betecknas f, Df eller df dx. - Andra derivatan, dvs. derivatan av derivatan, betecknas f. Högre derivator, t.ex. n:te derivatan betecknas f (n). - I praktiken bestäms derivatan mha. deriveringsregler. Ex. 6.1 Bestäm derivatan av funktionen a) f(x) = 3x b) g(x) = x 5 + x 3 c) h(x) = 2x 7 3x 4 d) k(x) = x 1 x 3 Ex. 6.2 Bestäm derivatan och andra derivatan till f(x) = (3x 2 4)(6x 5). Ex. 6.3 Bestäm derivatan till funktionen g(x) = (2x 3 5x) n, där du själv väljer ett värde för n. Ex. 6.4 Bestäm värdet för f (2) då f(x) = x 3. - Polynomfunktioner och rationella funktioner är deriverbara i sina definitionsmängder. - Deriverbara funktioner är alltid kontinuerliga. - Alla kontinuerliga funktioner är inte deriverbara (ex. f(x) = x ). - Diskontinuerliga funktioner är inte deriverbara. Räkna: (s ) 615, 617, 618, 619, 620, 627, 629, (634), (636), (638)

13 6.4 Tangenten och normalen till en kurva - Derivatan anger riktningskoefficineten för tangenten till kurvan i punkten (x 0, f(x 0 )). - k t = f (x 0 ) och k n = 1 k t - Har man riktningskoefficienten samt en punkt på tangenten kan man bilda tangentens ekvation. Ex. från boken (s. 141) Bestäm ekvationen för normalen till grafen för funktionen f(x) = x 3 + x då x = 1. Ex. 647 (s. 152) Bestäm den tangent till kurvan y = 7x x 3 som går genom punkten (0, 2). - Vinkeln mellan två kurvor är samma som vinkeln mellan kurvornas tangenter i skärningspunkten. - Om kurvorna tangerar varandra är vinkeln mellan dem 0. Detta innebär att kurvorna i tangeringspunkten har en gemensam tangent, dvs. tangenterna har samma riktningskoefficient och går genom samma punkt. Ex. 653 (s. 152) I vilken vinkel skär kurvorna y = med noggrannheten 0,1. x x+2 och y = x+1 x varandra? Ge svar Räkna: (s ) 643, 644, 645, 650, 652, 655, (664), (667), (670), En deriverbar funktions förlopp - Funktionens förlopp kan illustreras mha. ett teckenshema för derivatan. Om derivatan är positiv är funktionen växande. Om derivatan är negativ är funktionen avtagande. - Derivatans tecken måste motiveras: Skiss över grafen Testpunkter Ex. 680 (s. 163) Är funktionen f(x) = x 2 + 2x 3 växande? Ex. 691 (s. 164) I vilka intervall är funktionen f(x) = 3 4 x4 + 3x 2 7, x 1, strängt växande? Räkna: (s ) 677, 683, 685, 688, 692, (694), (698)

14 7. Undersökning av en funktions förlopp 7.1 Extremvärden för en funktion - De x-värden där funktionens graf byter riktning kallas extremställen. Det y-värde funktionen antar i detta ställe kallas för extremvärde och punkten med både x- och ykoordinat kallas för extrempunkt. - I en topp har vi: maximiställe maximivärde eller maximum maximipunkt - I en dal har vi: minimiställe minimivärde eller minimum minimipunkt - Funktionens största värde kan kallas för globalt maximum och funktionens minsta värde globalt minimum. - För att hitta funktionens största och minsta värde skall man: 1. Derivera funktionen 2. Beräkna derivatans nollställen 3. Rita teckenschema 4. Beräkna funktionsvärdena i topparna och dalarna. - När man söker efter funktionens största och minsta värde skall man egentligen se på 1. Derivatans nollställen 2. Intervallets ändpunkter 3. Punkter där derivatana saknas 4. Diskontinuitetspunkter Ex. 708 (s. 179) Bestäm extremvärdena för funktionen f(x) = x 2 x 4. Räkna: (s ) 702, 704, 706, 711, (714), (722), 726

15 7.2 Tillämpningar Ex. 738 (s. 190) En fabrik tillverkar konservburkar för inlagd gurka som har volymen 4,0 liter och som har formen av en rack cirkulär cylinder. Bestäm höjden och basytans radie i konservburken om man använder minsta möjliga mängd plåt för att tillverka burken. - Om man skall ta reda på antalet reella rötter för en ekvation så skall man följa stegen nedan: 1. Flytta allt till samma sida. Då ändras frågan till hur många nollställen har funktionen? 2. Derivera funktionen 3. Räkna derivatans nollställen eller be räknaren göra det 4. Rita teckenshema 5. Undersök hur många nollställen funktionen har. Använd Bolzanos sats vid behov. Ex. 732 (s. 190) Hur många reella rötter har ekvationen 4x 3 + 9x 2 54x + 11 = 0? Räkna: (s ) 731, 736, 737, (739), 749, (752) 7.3 Fermats sats - Fermats sats: Om funktionen f är kontinuerlig i det slutna intervallet [a, b] och deriverbar i det öppna intervallet ]a, b[ så får funktionen sitt största värde och sitt minsta värde i intervallets ändpunkter eller i derivatans nollställen. Ex. 753 (s. 204) Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x) = 2x 3 6x 2 i intervallet [1, 4]. Ex. 762 (s. 204) En handelsman har upptäckt att en höjning av kilopriset på tomat med 20 cent minskar försäljningen med 6,0 kg. Om kilopriset är 1,90 så säljer han 60 kg tomater per dag. Vilket kilopris maximerar hans vinst om han betalar 0,90 per kilogram tomater? Räkna: (s ) 755, (758), 759, (761), 763, (766), 773, (780), (781)

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................

Läs mer

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x). Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29

1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29 Detta avsnitt handlar om olikheter. < mindre än > större än mindre än eller lika med (< eller =) större än eller lika med (> eller =) Vilka tal finns mellan 2 och 5? Alla tal som är större än 2. Och samtidigt

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer