Optimering av synvinkeln i en biosalong

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Optimering av synvinkeln i en biosalong"

Transkript

1 Optimering av synvinkeln i en biosalong The Mad Mathematician s Mathematical Consultancy Bureau Johanna Kilander

2 Optimering av synvinkeln i en biosalong Frågeställning Mitt uppdrag är att ta reda på vart i biosalongen man ska sitta för att få så stor synvinkel som möjligt. Värdet x är det värde som ska undersökas och är den längd på rampen som lutar 25. x-värdet ska vara mellan 0 och 15. I min diskussion tar jag även upp om det är möjligt att ändra biosalongens mått så att den största vinkeln uppkommer då x 7,5. Givna mått från uppgiften (rödmarkerade): Bilden visar en biosalong där bioduken är 6 meter lång och sitter 2 meter ovanför marken. Stolsraderna börjar 2 meter från väggen och rampen bildar en vinkel till golvet som är 25. Man har också räknat med att ögonen på personen sitter en meter ovanför stolsraden och de parametrar som går från personen till bioduken är personens synvinkel. Svar Genom mätningar och uträkningar har jag kommit fram till att för att få den optimala synvinkeln ska man sitta ca 1.7 m upp i salongen vilket innebär rad 2 om man antar att det är 1 m mellan varje rad. Genom att ha använt programmen Geogebra och Wolfram Alpha har jag lyckats ta fram resultat med två olika metoder.

3 Lösning För att lösa detta problem så har jag använt mig av två olika metoder; geogebra och algebraiskt. Metodbeskrivning. Metod 1 Genom geogebra. Genom att använda geogebra har jag kunnat rita upp modellen och undersökt vart du ska sitta för att få den optimala synvinkeln. Alla angivna mått är givna i uppgiften. Resultat. Metod 1 Genom geogebra Med mått givna i uppgiften byggde jag upp en modell som jag sedan kunde använda för att få fram synvinkeln i de olika avstånden. Genom att använda funktionen spåra kunde jag lätt se i kalkylbladet vilket avstånd som gav den maximala synvinkeln. I det andra graffönstret syns även värdena som ett maximum av en kurva.

4 Resultatet blev att den optimala synvinkeln gavs vid 1.7 m upp i salongen. Metodbeskrivning. Metod 2 Algebraiskt Genom att ersätta de okända variablerna har det varit möjligt att få fram ett resultat. Resultat. Metod 2 Algebraiskt

5 Givna värden i figuren : b + c = 6 + = v = 25 Genom trigonomiska regler fås : d = x sin( ) e = x cos( ) a = e + 2 = x cos( ) + 2 c = d = x sin( ) -1 b = 6 - c = 7 - x sin( ) Detta ger, genom känd trigonometrisk identitet : tan(v) tan( ) tan( ) tan( ) b 1 tan( )tan( ) c c a 1 bc a 2 a(b c) a 2 bc 6(x cos( ) 2) x 2 cos 2 ( ) 4x cos( ) 4 7 x 2 sin 2 ( ) 8x sin( ) Genom trigonomiska ettan fås : 6(x cos( ) 2) tan(v) 11 x(4 cos( ) 8 sin( )) x 2 För att få fram ett uttryck för vinkeln v används trigonomiska regler för att hitta koordinaterna till de olika variablerna. Dessa kan sedan användas för att få ett uttryck där vi endast har en okänd variabel, x. För att hitta den optimala synvinken måste maxpunkten hittas genom derivata. Av derivatans divisionsregel fås : D(h) ( f g ) f ' g g' f g 2 f 6(x cos( ) 2) g 11 x(4 cos( ) 8 sin( )) x 2 f ' 6 cos( ) g' 4 cos( ) 8 sin( ) 2x Genom att förenkla uttrycket kan man derivera och sedan sätta uttrycket = 0 för att hitta derivatans nollpunkter och på så sätt få reda på den optimala synvinkeln. Detta ger : y (6 cos( ) (11 x(4 cos( ) 8 sin( )) x2 ) (4 cos( ) 8 sin( ) 2x) 6(x cos( ) 2)) 11 x(4 cos( ) 8 sin( )) x 2 h'= 0 ger nu täljaren = 0 dvs y = 0 Wolfram Alpha ger : x 1 = 16 cos(25 ) sin(25 ) 3 cos(25 )2 4 2 cos( x 2 16 cos(25 ) sin(25 ) 3 cos(25 )2 4 2 cos( Då synvinkeln inte kan vara negativ kan vi bortse från x 1

6 Diskussion Båda metoder har gett samma svar, dock är metod två (algebraiskt) mer precis och noggrannare. Dock kan man tänka att i det praktiska så spelar detta ingen roll, då man i en biosalong sitter på rader med ca 1meters mellanrum. Du kommer hamna på samma rad med både modellen från geogebra och med den algebraiska redogörelsen och det spelar ingen roll i praktiken om det är en millimeter mer noggrant med metod två. Geogebra metoden är enklare att använda och du behöver inte lika mycket matematiskkunskap som du behöver med den algebraiska metoden. En ytterligare fördel med geogebra är att det är visuellt, det syns direkt när man har gjort fel och det går att rätta till på en gång. Med den algebraiska metoden är det ofta svårt att upptäcka fel i tid vilket gör att man sitter i slutet med helt fel svar utan att veta varför. Ska man sedan simulera andra salonger så är det lättare och det går snabbare att byta värden i geogebra vilket gör att arbetet tar kortare tid vilket resulterar i att det kostar mindre för kunden. Enligt mina egna praktiska utvärderingar avviker upplevelsen med det teoretiska resultatet. Det är ofta så att man hellre sitter i mitten av biosalongen, inte på rad 2 utifrån uppfattningen att det är bättre att sitta lite högre upp. Nu vet vi hur långt upp man ska sitta, men spelar det någon roll om man sitter i mitten av raden eller på kanten? För att få den perfekta platsen måste man fortskrida undersökningen och även ta reda på vart du ska sitta på horisontellt läge. Men även om vi tar reda på det så ger det oss inte säkert den ultimata bioupplevelsen. Det är flera faktorer utöver synvinkeln som spelar in i den perfekta bioplatsen så som akustik, godis och långa personer. Om man vill ändra måtten på biosalongen för att få den största vinkeln då x=7. 5 går det lättast att flytta bioduken på höjden, då det inte finns någon lösning om man ska ändra vinkeln på rampen. För att göra detta använde jag geogebra, då det är smidigast. Svaret jag fick var att bioduken ska sitta ca 1.2 m över marken istället för 2 meter.

7 Källförteckning Wolfram Alpha, URL: Hämtad Fråga Lund om matematik, Kjell Elfström, Hämtad Jonas Hall

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Bästa skottläge på en fotbollsplan längs långsidan

Bästa skottläge på en fotbollsplan längs långsidan Bästa skottläge på en fotbollsplan längs långsidan Frågeställningen lyder: Vad är det bästa skottläget? för en spelare som befinner sig på en rak linje på en fotbollsplan. Det är alltså en vinkel som söks,

Läs mer

6/4/2012 The Mad Mathematician s Mathematic Consultancy Bureau Gustav Stenkvist

6/4/2012 The Mad Mathematician s Mathematic Consultancy Bureau Gustav Stenkvist Undersökning av hur kastlängden varierar i kulstötning Längden på en kulstöt beror på olika variabler. Höjden, hastigheten, kastvinkeln samt tyngdsaccelerationen spelar roll. Dessa varibler ska varieras

Läs mer

The Mad Mathematician s Mathematic Consultancy Bureau. Sebastian Genas

The Mad Mathematician s Mathematic Consultancy Bureau. Sebastian Genas 2012 The Mad Mathematician s Mathematic Consultancy Bureau Sebastian Genas Optimering av utklippt vinkel för maximal volym på glasstrut Vilken vinkel ska klippas ut ur en cirkulär skiva papper för att

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer

Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Frågeställning: En jeep kan sammanlagt ha 200 liter bensin i tanken samt i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 liter bensin.

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

Tänk nu att c är en flaggstång som man lutar och som dessutom råkar befinna sig i ett koordinatsystem.

Tänk nu att c är en flaggstång som man lutar och som dessutom råkar befinna sig i ett koordinatsystem. Detta tänker jag att man redan vet: sin α= b c och cosα=a c och alltså också att för vinkeln. b=c sin α och a=c cos α Hypotenusan gånger antingen sinus eller cosinus Del 1 Tänk nu att c är en flaggstång

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl december, 2013.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl december, 2013. FÖRSÄTTSBLAD I nstitutionen för Naturgeografi och Ekosystemvetenskaper I nstitutionen för Teknik och Samhälle Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 20 december, 2013. Denna tentamen

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

= 0 vara en given ekvation där F ( x,

= 0 vara en given ekvation där F ( x, DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

Statistiska samband: regression och korrelation

Statistiska samband: regression och korrelation Statistiska samband: regression och korrelation Vi ska nu gå igenom något som kallas regressionsanalys och som innebär att man identifierar sambandet mellan en beroende variabel (x) och en oberoende variabel

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av april 999. NATIONELLT KURSPROV

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

Repetition av cosinus och sinus

Repetition av cosinus och sinus Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos

Läs mer

Lösning av trigonometriska ekvationer

Lösning av trigonometriska ekvationer Lösning av trigonometriska ekvationer Uppsala universitet 06 Per Engström per.engtrom@math.uu.se Inledning För att lösa problem i som innehåller trigonometriska funktioner kan mab bahöva lösa trigonometriska

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Datorövning 2 med Maple

Datorövning 2 med Maple Datorövning 2 med Maple Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator, transformera med kedjeregeln, rita gradientfält och titta

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

Uppgifter till KRAFTER

Uppgifter till KRAFTER Uppgifter till KRAFTER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell 1 Innehåll 1 Introduktion till statiken... 3 A-uppgifter...3 2 Krafter... 5 A-uppgifter...5 B-uppgifter...5 3 Moment... 7 A-uppgifter...7 B-uppgifter...9

Läs mer

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E. NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER I detta experiment ska du mäta graden av dubbelbrytning hos glimmer (en kristall som ofta används i polariserande optiska komponenter). UTRUSTNING Förutom

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Lösning till fråga 5 kappa-06

Lösning till fråga 5 kappa-06 Lösning till fråga 5 kappa-06 Figurer till uppgift a) ligger samlade efter uppgiften. Inledning Betrakta först N punkter som tillhör den slutna enhetskvadraten inlagd i ett koordinatsystem enligt figur

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper. KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C110 Mekanik mk, kurs E1 och Open 1 006-03-15 Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar

15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar Nr 5, 9 april -5, Amelia 5 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volmberäkningar 5. Multipelintegraler et finns många tillämpningar där fler än tre variabler är aktuella. I statistik kan vi vilja undersöka

Läs mer

Prov Fysik 2 Mekanik

Prov Fysik 2 Mekanik Prov Fysik 2 Mekanik För samtliga uppgifter krävs om inte annat står antingen en tydlig och klar motivering eller fullständig lösning och att det går att följa lösningsgången. Skriv gärna på provpapperet

Läs mer