Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets"

Transkript

1 Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa 6.) o Givet var superellipsens ekvation: (Källa 1.) 2. Vi förväntades ta reda på vilket värde superellipsens omkrets närmade sig när exponenten n ökade obegränsat. 3. Bestäm Sergelfontänens omkrets. Givet är:. 1. Punkt ett löste vi på tre olika sett. En lösning i ett visningsverktyg, Geogebra, för förståelse för de nästkommande två metoderna. Två program, ett med syftet mobilitet i en miniräknare (Texas TI 82 eller TI- 84). Det andra med syftet precision och det skrev vi i Python som används på dator. 2. När superellipsens exponent gäller följande formel: 3. Tillämpning av Python program med given fakta ger Omkretsen: 140,7m och Arean: 1445,13m 2 Lösningar 1. Omkrets a. Geogebra Med denna metod har vi löst uppgiften för er förståelse. Ni ska med denna metod få förståelse för de nästkommande två metoderna samt illustrativt visa funktionen hos båglängder. (Se bifogad fil: Superellips GGB). Till att börja med finns tre variabler (glidare) där du kan ställa in dina värden på just din superellips. En glidare för exponent, en för halva bredden (a) och en för halva höjden (b). En ellips definieras som att den kan ritas med ett snöre av längden 2a som i sin tur är fästa i brännpunkterna. (Källa 6.)

2 Båglängder fungerar på ett sådant vis att man delar in bågen i små delar. Vi valde första kvadranten för enkelhetens skull. Denna ellips råkar vara en cirkel för förståelsens skull, detta kan dock enkelt ändras i programmet. Man ser med enkelhet när man lägger en undersumma till ellipsen att det snarlikt bildas små trianglar. Dessa kan man antingen med Pythagoras sats räkna ut hypotenusorna med och sedan summera dem eller lägga till segment mellan skärningspunkterna och sedan summera de sträckorna. Denna princip är bra men det krävs ett program för en godkänd noggrannhet. b. Miniräknarprogram Denna metod är gjord för att man ska kunna göra uppskattningar i fältet med en mobil enhet, miniräknaren. Man ska kunna få en godkänd uppskattning av en superellips utan att behöva bära med sig sin dator för att få en approximation, miniräknaren klarar dock inte en noggrannhet högre än 1000 beräkningar per heltal i x-led. Beroende på tillfälle och användningsområde kan det fortfarande vara användbart. Miniräknarprogrammet använder sig av samma metod som Geogebra metoden men med högre noggrannhet. Miniräknaren använder sig först av ellipsens derivata och sedan Pythagoras sats med en integral för att beräkna 1000 båglängder per steg i högerled.

3 För detaljer om programmet, se appendix. c. Python program Vi gjorde denna metod med syftet precision. Vi har en förståelsemetod, en mobil metod men utan nytta om ni inte kan jämföra era resultat på hemmabas med väldig noggrannhet. Denna noggrannhet kan en dator åstadkomma och den kan utföra tiotusentals beräkningar per sekund, vilket gör den optimal för ett program. I Python är noggrannheten en miljon beräkningar per heltal i x-led vilket ger klart godkänd precision. Detta program använder sig av samma metod som miniräknarprogrammet förutom att algebraiska förenklingen är gjord manuellt för att öka hastigheten i programmet, istället för att göra en numerisk derivering som i miniräknaren. Programmet använder sig av en uppdelad trapetsmetod för att integrera och sedan summera omkretsen. (Källa 2, 4, 5.) För detaljer om programmet, se appendix och bifogad fil: Superellips PY. 2. När vi använde oss av Geogebra modellen vi tidigare skapat såg vi tydligt att när exponenten ökar och blir större kommer superellipsen närma sig formen av en rektangel. När exponenten är tillräckligt hög kan man antingen använda sig av program i metod 1 eller i princip räkna i huvudet med formeln (rektangelns omkrets): 4 * Sida : 4a + 4b.

4 3. Se lösning 1. c. : A= 23 B=20 N=2.5 Omkretsen = 140,7 m Area= 1445,13 m 2 Diskussion Våra olika metoder till frågeställning ett fyller sin funktion på olika sätt, visuellt förklarande, mobil beräkning och precisions beräkning av superellipsens omkrets är alla viktiga, beroende på vad ändamålet och användningsområdet. Personligen anser vi Python programmet är det bästa därför att man kan förlita sig på det, medans miniräknaren ger en god uppskattning och den visuella Geogebra modellen inte ska användas för beräkningar. För vidare undersökningar vore det användbart om en algebraisk formel som uppskattar omkretsen togs fram, den skulle kunna göras manuellt ur ellipsens ekvation sedan deriverad och till sist integrerad i Pythagoras sats med trapetsmetoden. Källförteckning 1. Jonas Hall Konsultbyråchef januari / / / / Brolin, Hans. Björk Lars-Eric. Matematik Natur och Kultur. 2000

5 Appendix Miniräknare program: ClrHome Disp INPUT VALUES: Input A:,A Input B:,B Input N:,N Disp CALCULATING, THIS MAY TAKE SEVERAL MINUTES ((1-X^N/A^N) * B^N)^1/N Y1 nderiv(y1,x,x) Y2 0 Xmin A Xmax -B Ymin B Ymax 1.0 * 10^-3 E fnint( (1+(Y2)^2),X,0,A-E,E) P P*4 U ClrHome Disp ELLIPS OMKRETS:,U Disp ELLIPS AREA:,Π*A*B Tar bort tidigare text Instruktion Här sätts villkoren för superellipsen. Derivatans definition omskriven inmatad i Y1. Derivering av definitionen med avseende på X. Fönstervillkor för inom vilka gränser integralen ska ske. Noggrannhetsvariabel bestäms. Pythagoras sats med integral och summan av dessa multiplicerat med 4 för alla kvadranter lagrat i U. Presentation av omkrets och area (lättare formel) Python program: # -*- coding: cp1252 -*- print "Ellips" import math a = input("a=") b = input("b=") n = input("n=") a = float(a) b = float(b) n = float(n) print "Just a second please..." e=1.0*10**-6 #Förkortningar summa=0.0 bn=b**n an=a**n Tillåter läsning av ö. Ber användaren ställa in superellipsens värden. Gör om dessa värden till decimaltal. Här bestäms noggrannhetsvariabeln. Summan börjar på 0,0.

6 ba= (b**n) / (a**n) n11 = (1/n - 1) t=e while t<a: x=t nba = ba*(x**n) xn1 = x**(n-1) xn=x**n xn1=x**(n-1) baxn = ba*xn tal1 = (bn - baxn)**n11 tal1 = tal1 * 1/n tal2 = ba * n * xn1 tal = tal1 *tal2 tal = tal**2 tal = 1+ tal tal = math.sqrt(tal) fb = tal Infogar förkortningar utan x- term för att lättare skriva och formatera programmet. Infogar förkortningar med x-term för att lättare skriva och formatera programmet. Framtaget med hjälp av (Källa 5.) x = t-e nba = ba*(x**n) xn1 = x**(n-1) xn=x**n xn1=x**(n-1) baxn = ba*xn tal1 = (bn - baxn)**n11 tal1 = tal1 * 1/n tal2 = ba * n * xn1 tal = tal1 *tal2 tal = tal**2 tal = 1+ tal tal = math.sqrt(tal) fa = tal summa+= (e) * ((fa + fb)/2) t+=e print "Ellipsomkrets:" print summa * 4 print "Ellipsarea:" area = math.pi * a * b print area Beräknar integralen med hjälp av trapetsmetod och uppdelning för att lättare kunna felsöka och ändra. (Källa 2.) Framtaget med hjälp av (Källa 5.) Summerar alla hypotenusor. Presenterar resultat.

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Kapitel Grafer för koniska sektioner

Kapitel Grafer för koniska sektioner Kapitel 14 Grafer för koniska sektioner Det går att rita en graf över följande koniska sektioner med hjälp av räknarens inbyggda funktioner. Parabelgraf Cirkelgraf Elliptisk graf Hyperbelgraf 14-1 Före

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov Del A ht 2012 Till eleven - Information inför det muntliga delprovet Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Kapitel. 9-1 Innan graflösning används 9-2 Analys av en funktionsgraf

Kapitel. 9-1 Innan graflösning används 9-2 Analys av en funktionsgraf Kapitel Graflösning Det går att använda följande metoder för att analysera funktionsgrafer och approximera resultat. Beräkning av roten Bestämning av lokalt maximivärde och lokalt minimivärde Bestämning

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Kapitel Rekursionstabell och graf

Kapitel Rekursionstabell och graf Kapitel 16 Rekursionstabell och graf Det går att mata in två formler för de tre typerna av rekursion nedan och sedan använda dem för att framställa en tabell och rita grafer. Generell term av sekvensen

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Kängurutävlingen Matematikens hopp Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred.

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred. Rekursion. Inledning En trädgårdsmästare skall lägga en gång med cementplattor. Gången skall vara en fot bred. Han har tre slags plattor. En är omönstrad och kvadratisk med sidan en fot, två är rektangulära

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Introduktion till programmering D0009E. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner

Introduktion till programmering D0009E. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 5: Fruktbara funktioner 1 Retur-värden Funktioner kan både orsaka en effekt och returnera ett resultat. Hittills har vi ej definierat några egna funktioner

Läs mer

Matematikpärmen 4-6. 105 fullmatade arbetsblad i matematik för åk 4-6. Massor med extrauppgifter.

Matematikpärmen 4-6. 105 fullmatade arbetsblad i matematik för åk 4-6. Massor med extrauppgifter. M A T E M A T I K P Ä R M E N - 6 Matematikpärmen -6 Arbetsblad med fri kopieringsrätt! 05 fullmatade arbetsblad i matematik för åk -6. Massor med extrauppgifter. Materialet är indelat i 7 områden per

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

fredag den 11 april 2014 POOL BYGGE

fredag den 11 april 2014 POOL BYGGE POOL BYGGE KLADD Såhär ser min kladd ut: På min kladd så bestämde jag mig för vilken form poolen skulle ha och ritade ut den. På min kladd har jag även skrivit ut måtten som min pool skulle vara i. Proportionerna

Läs mer

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Frågeställning: En jeep kan sammanlagt ha 200 liter bensin i tanken samt i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 liter bensin.

Läs mer

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012 Till eleven - Information inför den muntliga provdelen Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Lästal från förr i tiden

Lästal från förr i tiden Lästal från förr i tiden Nedan presenteras ett antal problem som normalt leder till ekvationer av första graden. Inled din lösning med ett antagande. Teckna sedan ekvationen. Då ekvationen är korrekt uppställt

Läs mer

Algebra - uttryck och ekvationer

Algebra - uttryck och ekvationer Förenkla: Tänk så här: Du går till affären och köper 3 äpplen och 2 bananer och lösgodis för 7 kr. Din kompis köper 1 äpple och 3 bananer och lösgodis för 10 kr. Hur många äpplen och hur många bananer

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 1 Är talet a) 5 ett heltal b) 9 ett naturligt tal c) π ett rationellt tal d) 5 ett reellt tal 6 2 Rita av figuren och placera in talen rätt talmängd. naturliga tal hela tal rationella

Läs mer

Grafräknare för alla

Grafräknare för alla Grafräknare för alla Ett antal exempel på hur du kan använda grafräknare i undervisningen Dagens grafiska miniräknare är avancerade små apparater. Det som för några år sedan bara kunde utföras av ganska

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 2005. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK KRAVNIVÅER Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK Reviderade april 2009 Förord Välkommen att ta del av Åtvidabergs kommuns kravnivåer och bedömningskriterier för grundskolan. Materialet har tagits fram

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Experiment 1: Krulligt hår

Experiment 1: Krulligt hår Experiment 1: Krulligt hår Hårstrån som är raka har oftast så gott som cirkulärt tvärsnitt. Däremot har krulliga hårstrån ett mer elliptiskt tvärsnitt. Det blir din uppgift att bestämma ellipticiteten

Läs mer

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK 5 F-KLASS TALUPPFATTNING ALGEBRA Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Matematiska likheter och likhetstecknets

Läs mer

Innehåll. Texas Instruments Sverige 2005 Printed in Sweden by Ljungbergs Tryckeri AB

Innehåll. Texas Instruments Sverige 2005 Printed in Sweden by Ljungbergs Tryckeri AB Innehåll 1 Ställa in räknaren 4 2 Inmatning av uttryck 8 3 Upprepade beräkningar 14 4 Listor göra flera beräkningar på en gång 17 5 Koordinatsystem 26 6 Arbeta med formler 30 7 Funktioner och grafritning

Läs mer

Optimering av bränsledepåer för effektiv resa i öknen

Optimering av bränsledepåer för effektiv resa i öknen Optimering av bränsledepåer för effektiv resa i öknen Konsultarbete Matematik D Skriftlig rapport till kunden! Frågeställning: En jeep kan ta sammanlagt 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen

Läs mer

Matematik 1A 4 Potenser

Matematik 1A 4 Potenser Matematik 1A 4 Potenser förklara begrepp t ex. potens, bas, exponent och grundpotensform (Nivå E C) tolka, skriva och räkna med tal i grundpotensform (Nivå E A) helst kunna redogöra för räkneregler för

Läs mer

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500 Namn: Förstå och använda stora tal som miljoner och miljarder Skriv talen med siffror. sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen Läs talen först. Använd sedan > eller > < Vilket tal

Läs mer

Histogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel

Histogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel Histogram, pivottabeller och tabell med beskrivande statistik i Excel 1 Histogram är bra för att dem på ett visuellt sätt ger oss mycket information. Att göra ett histogram i Excel är dock rätt så bökigt.

Läs mer

Bedömningsexempel. Matematik kurs 1c

Bedömningsexempel. Matematik kurs 1c Bedömningsexempel Matematik kurs 1c Innehåll Inledning... 3 Bedömning... 3 Exempeluppgifter som är representativa för Del I... 5 Exempeluppgifter som är representativa för Del II och Del III... 9 Exempel

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik 2011-06-10 Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik Likheter och skillnader jämfört med den gamla kursplanen Ämnesplanen i gymnasieskola 2011 (Gy 2011) har en ny struktur jämfört

Läs mer

PROVUPPGIFTER. Steg 9 10 Bråk och procent. Godkänd 9 10 1 Skriv 0,03 i procentform. 2 Skriv i blandad form.

PROVUPPGIFTER. Steg 9 10 Bråk och procent. Godkänd 9 10 1 Skriv 0,03 i procentform. 2 Skriv i blandad form. Steg 9 10 Bråk och procent Godkänd 9 10 1 Skriv 0,03 i procentform. 16 2 Skriv i blandad form. 5 3 Vilket eller vilka av talen är lika med en åttondel? 0,8 2 8 2 16 0,12 1,8 4 Skriv 7 % i decimalform.

Läs mer

EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A

EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A Uppgifterna är ej sorterade efter svårighetsgrad 1. Gör ett program som kan beräkna arean och omkretsen av en cirkel om användaren (du) matar in cirkelns radie. Skapa

Läs mer

Förord. Innehåll. 1 Tal 4. 4 Algebra 42. 2 Bråk och procent 18. 5 Statistik och sannolikhet 54. 6 Tid, hastighet och skala 60.

Förord. Innehåll. 1 Tal 4. 4 Algebra 42. 2 Bråk och procent 18. 5 Statistik och sannolikhet 54. 6 Tid, hastighet och skala 60. Förord Det här häftet är tänkt som ett komplement till kapitel 5, Genrepet, i läroboken Matte Direkt år 9. Häftet vänder sig främst till de elever som har svårigheter att klara Genrepets nivå i boken och

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Språket Python - Del 1 Grundkurs i programmering med Python

Språket Python - Del 1 Grundkurs i programmering med Python Hösten 2009 Dagens lektion Ett programmeringsspråks byggstenar Några inbyggda datatyper Styra instruktionsflödet Modulen sys 2 Ett programmeringsspråks byggstenar 3 ETT PROGRAMMERINGSSPRÅKS BYGGSTENAR

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 2002. Del I

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 2002. Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av juni månad 2002. NATIONELLT

Läs mer

Mönsterlösningar på en klass-wiki

Mönsterlösningar på en klass-wiki Mönsterlösningar på en klass-wiki Vi ska under vårterminens MaB-kurs testa att arbeta med mönsterlösningar på nätet. Syftet är att ni ska: få ca 65 repetitionsuppgifter med tydliga mönsterlösningar att

Läs mer

Operatorer Tilldelning Kodblock { } if satsen Logiska uttryck Att programmera

Operatorer Tilldelning Kodblock { } if satsen Logiska uttryck Att programmera Föreläsning 2 Operatorer Tilldelning Kodblock if satsen Logiska uttryck Att programmera En operator tar ett eller två data och producerar ett svar. Typexemplet är +. Den tar t.ex två heltal och producerar

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Dagens föreläsning (F15)

Dagens föreläsning (F15) Dagens föreläsning (F15) Problemlösning med datorer Carl-Mikael Zetterling bellman@kth.se KP2+EKM http://www.ict.kth.se/courses/2b1116/ 1 Innehåll Programmering i Matlab kap 5 EKM Mer om labben bla Deluppgift

Läs mer

Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder

Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder Matematik Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Syftet med veckans övningar. Något om MATLAB. Vecka 1 matte D del C

Syftet med veckans övningar. Något om MATLAB. Vecka 1 matte D del C Vecka 1 matte D del C handlar om olika typer av integraler. Metoden går tillbaka till antiken; genom triangulering kan man beräkna arean av oregelbundna polygoner. Har men en figur med krokiga begränsningslinjer

Läs mer

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av år 5 enligt nationella kursplanen

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av år 5 enligt nationella kursplanen MATEMATIK Mål att sträva mot enligt nationella kursplanen Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9

Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9 Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9 Många skolor har lagt ner mycket tid på att omforma de mål som anges på nationell nivå till undervisningsmål på den egna skolan. Tanken är att vi nu ska kunna

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer

Kapitel. 12-1 Före användning av graf-till-tabell 12-2 Användning av graf-till-tabell

Kapitel. 12-1 Före användning av graf-till-tabell 12-2 Användning av graf-till-tabell Kapitel Graf-till-tabell Denna funktion gör att skärmen uppvisar både en graf och en tabell. Det går att flytta en pekare runt grafen och lagra dess nuvarande koordinater i tabellen närhelst du önskar.

Läs mer

Fira Pi-dagen med Liber!

Fira Pi-dagen med Liber! Fira Pi-dagen med Liber! Specialuppdrag från Uppdrag: Matte o Kul-diagram o Geometri med färg UPPDRAG: MATTE Mattedetektiverna Mattespanarna Hej! Den 14 mars är det Pi-dagen (3.14). Det är värt att uppmärksammas

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och... Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»

Läs mer

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013 MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA3 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 7 januari 03 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Katedralskolan 2004-11-05 Lena Claesson MICROSOFT EXCEL

Katedralskolan 2004-11-05 Lena Claesson MICROSOFT EXCEL Katedralskolan 2004-11-05 MICROSOFT EXCEL Lös varje uppgift på ett separat blad inom samma excelarbetsbok. Bladen döper du till uppg1, uppg2 osv och hela arbetsboken döper du till ditt eget namn. Spara

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

Provlektion till Uppdrag: Matte 9

Provlektion till Uppdrag: Matte 9 Provlektion till Uppdrag: Matte 9 Linjära funktioner En resa i biljettdjungeln I läromedlet Uppdrag: Matte arbetar eleverna med två spår, Uppdrag eller Räkna på. Här kommer ett prov på en lektion där uppdraget

Läs mer

PROGRAMMERING-JAVA TENTAMINA

PROGRAMMERING-JAVA TENTAMINA PROGRAMMERING-JAVA TENTAMINA Nicolina Månsson 2010-08-16 (Kontaktperson Nicolina Månsson, tel. 0768-530640) Tentamensinstruktioner Poängsättning Hela tentamen omfattar 42 poäng. Poäng för varje uppgift

Läs mer

Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik

Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik Skolverket Stockholm 2012 www.skolverket.se ISBN: 978-91-87115-68-4 Innehåll 1. Inledning... 4 Vad materialet är och inte är...4 Materialets disposition...5

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1999. Tidsbunden Del II

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1999. Tidsbunden Del II Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1999. NATIONELLT

Läs mer

INNEHÅLL EXCEL 2000 FORTSÄTTNING...

INNEHÅLL EXCEL 2000 FORTSÄTTNING... INNEHÅLL EXCEL 2000 FORTSÄTTNING... 2 LABORATIONSHÄFTETS MÅL...2 DIAGRAM... 2 Ändra färger, mönster, linjer och kantlinjer i diagram... 3 Formatera diagramelement... 3 Formatera delar och perspektiv i

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer