SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1"

Transkript

1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: Författare: Viktor Cheng

2 INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3 Övrigt...4 DEL II: TENTAMEN...5 Funktionsundersökningar...6 Gränsvärden...7 Primitiva funktioner... 0 Generaliserade integraler... 3 Funktion = konstant... 6 Sida av 8 Senast reviderad:

3 DIVERSE KNEP Egenskaper hos integranden och intervallet Om integranden är jämn kring origo, dvs. om f(x) = f( x) och om integrationsintervallet [a, b] är symmetriskt kring origo så medför det att f(x) dx = f(x) = f(x). Exempel: (Tenta uppgift ) Beräkna x dx. Integranden är en jämn funktion och integrationsintervallet är symmetriskt kring origo =/ x = x för x 0/= x 0 x dx = x = dx = [ x 0 ] 0 b a = ( 0) = 4. 0 a 0 b Om integranden i stället är udda kring origo, dvs om f(x) = f( x) och om integrationsintervallet [a, b] är symmetriskt kring origo så medför det att f(x) dx = 0. Exempel: Beräkna sin x dx. Integranden är en udda funktion och integrationsintervallet är symmetriskt kring origo sin x dx = 0. Kontroll: sin x dx = [ cos x] = = cos() + cos( ) = cos() + cos() = 0. Uppdelning av bråk Gör om täljaren till nämnaren (nästan). Separera och förenkla. Exempel: Beräkna x+ x dx. Täljaren är nästan lika med nämnaren, så när som en konstant på +. Skriv om täljaren. x + x + x dx = dx = x x x + x dx = = + dx = x + ln(x ) + C. x b a Sida 3 av 8 Senast reviderad:

4 ÖVRIGT Olikheter som är användbara för uppskattning, t.ex. vid gränsvärdesberäkning eller beräkning av (generaliserade) integraler: Olikhet Villkor Triangelolikheten x + y x + y - Omvända triangelolikheten : x y x y - sin x < x < tan x 0 < x < π/ ln x x x > 0 Trigonometriska identiteter som är användbara vid beräkning av gränsvärden eller primitiva funktioner: sin x = sinxcosx cos x = cos x sin x Eulers formler sin x = cos x = cos x + cos x sin x = eix e ix i cos x = eix + e ix Sida 4 av 8 Senast reviderad:

5 DEL II: TENTAMEN Sida 5 av 8 Senast reviderad:

6 FUNKTIONSUNDERSÖKNINGAR Hans Lundmark (MAI) har skrivit en utförlig checklista för funktionsundersökningar. Länk: Eftersom checklistan är väldigt utförlig kommer denna del endast att behandla lite kompletterande material om extrempunkter. Lokala extrempunkter är antingen minimipunkter eller maximipunkter. Alla lokala extrempunkter är något av följande: ) Stationära punkter till funktionen, dvs. där f (x) = 0. ) Punkter där funktionens derivata är odefinierad Exempel: derivatan av f(x) = x existerar inte i punkten x = 0 (se höger- respektive vänsterderivata). Dock har f(x) ett lokalt (t.o.m. globalt) minimumvärde i x = 0. 3) Ändpunkter till definitionsmängden Exempel: f(x) =, definierad på [, [, är strängt avtagande på hela intervallet och x antar därför sitt största värde i den vänstra ändpunkten x =, som är en lokal och global maximumpunkt. f(x) kommer förvisso att gå mot 0 då x (högra ändpunkten) men värdet 0 antas aldrig och därmed finns ingen minimumpunkt. För att hitta lokala extrempunkter behöver man alltså enbart undersöka punkter av ovanstående typer. Globala extrempunkter kan delas in i två fall: ) inga globala extrempunkter finns ) åtminstone en global extrempunkt finns (i vilket fall den också är en lokal extrempunkt). För att avgöra extrempunktens egenskaper behöver man föra ett resonemang kring funktionens egenskaper och /eller undersöka gränsvärden när funktionen går mot oändligheten eller ändpunkterna i definitionsmängden. ) Visa att inga globala extrempunkter existerar Exempel: f(x) = x 3 ± då x ± så inga globala extrempunkter finns. Om varje värde från till + antas finns inget värde som är större /mindre än alla andra. ) Visa att en lokal extrempunkt också är en global extrempunkt Exempel: f(x) = x har en lokal maximumpunkt i x = 0 och eftersom funktionen är strängt avtagande för alla reella x följer att x = 0 även måste vara en global maximumpunkt. Sida 6 av 8 Senast reviderad:

7 GRÄNSVÄRDEN Direkt gränsövergång brukar ge upphov till gränsvärden som är odefinierade. Generellt försöker man undvika detta genom att göra om uttrycket till en produkt eller summa av standardgränsvärden och sedan använda vanliga räkneregler för gränsvärden. Oftast är det lättare att manipulera uttrycket rent algebraiskt först och därefter göra gränsövergång. Metoder: Omskrivning eller variabelbyte för att få rätt gräns. Faktorisering eller bryta ut den dominerande termen Förlängning med konjugat (oftast vid rotuttryck) eller bråk. Exempel: (Tenta uppgift 3) Undersök lim x 0 esin x ln( 3x). Dela upp faktorer. Förläng med bråk. Flytta om termer för tydlighetens skull. e sin x ln( 3x) = (esin x ) ln( 3x) = sin x = (e sin x ) sin x ln( 3x) 3x 3x. e sin x sin x 3x sin x ln( 3x) 3x. e sin x är en variant av et, då t 0. sin x t 3x ln( 3x), då t 0. ln(+t) är en inverterad variant av t e sin x sin x, då x 0. 3x ln( 3x) = ln( 3x) 3x = då x 0. Notera att då x 0. sin x 3x = 3 sin x x och sin x x sin x 3x 0. = 3 sin x x 3 = 3 då x Delresultaten ger tillsammans svaret: e sin x = då x 0. ln( 3x) 3 3 Sida 7 av 8 Senast reviderad:

8 (Tenta uppgift ) Undersök lim x π cos x 4x π. Notera att nämnaren är på formen (a b ), som ju är lika med (a b)(a + b). Bryt ut en faktor 4 från nämnaren. Då fås (x + π ) respektive (x π ), vilket påminner om cos (x + π ) respektive cos (x π ), dvs en fasförskjuten sinusfunktion. Detta används i omskrivningen nedan. x π är fel gräns. Standardgränsvärden berör oftast fallet x 0. cos x 4x π = cos x (x π)(x + π). cos x (x π)(x + π) = = 4 cos x (x π ) (x + π ). 4 cos x (x π ) (x + π ) = 4 cos x 4 (x π ) (x + π ) = π ) cos (t + (t)(t + π). Sätt därför t = x π x = t + π x + π = t + π. t 0 då x π, vilket är rätt gräns. Omskrivning m h a cos (t + π ) = sin t. 4 Uppdelning av faktorer och användning av standardgränsvärdet sin t t då t 0. π ) cos (t + t(t + π) = 4 sin t t(t + π). 4 sin t t(t + π) = 4 sin t t t + π 4 π = π, då t 0. 4 Svar ska alltid ges i den ursprungliga variabeln om inte annat anges. lim x π cos x 4x π = 4 π. Sida 8 av 8 Senast reviderad:

9 (Tenta uppgift ) Undersök lim x ln(x +x0) e +ln x. e a+b = e a e b x x > 0. e ln x = x, för x > 0. ln( x + x 0 ) = ln(x + x 0 ) e +ln x e eln x ln( x + x 0 ) = ln(x + x 0 ) e e ln x e x Bryt ut den dominerande termen x. ln( x + x 0 ln ( ) x ( + x0 )) x = e x e x ln(a b) = ln a + ln b Separera till två olika bråk. ln ( x ( + x0 )) x e x ln x + ln ( + x0 ) x ln x = e x e x = ln x + ln ( + x0 x ) e x ln ( + + e x x 0 x ) ln a b = b ln a ln x e x x ln = e x = ln e x a 0 då x, för a >. ax ln ( + x0 ) x = ln ( + x0 e x ) x e x ln( + 0) 0 0, då x. Delresultaten ger tillsammans svaret: ln( x + x 0 ) ln e +ln x e + 0 = ln, då x. e Sida 9 av 8 Senast reviderad:

10 PRIMITIVA FUNKTIONER I allmänhet försöker man skriva om den integrand man fått till en form som har en känd standardprimitiv. Oftast måste flera olika metoder kombineras, t.ex. omskrivning + variabelbyte eller kvadratkomplettering + variabelbyte + partiell integration. Trigonometriska uttryck Metoder: Omskrivning med hjälp av trigonometriska identiter Omskrivning med hjälp av Eulers formler Variabelbyte med hjälp av lämplig innerderivata Exempel: (Tenta uppgift ) Beräkna cos 3 x dx. Upprepad partiell integration blir jobbigt. Skriv därför om m h a trigonometriska ettan sin x + cos x =. cos 3 x dx = (cos x) (cos x) dx = = ( sin x) (cos x)dx Innerderivata hittad. (sin x) = (cos x). Förbered för variabelbyte. t = sin x dt = cos x dx Genomför variabelbyte. ( sin x) (cos x)dx = ( t ) dt Beräkna primitiv funktion i variabeln t. ( t ) dt = t t 3 Byt tillbaka till variabeln x. t t C 3 + C = sin x sin3 x 3 + C Svar: cos 3 x dx = sin x sin3 x 3 + C Sida 0 av 8 Senast reviderad:

11 Polynom polynom eller polynom elementär funktion Metoder: Variabelbyte med hjälp av lämplig innerderivata Faktorisering + partialbråksuppdelning Partiell integration (+ skjuta in en :a framför vid behov) Exempel: (Tenta uppgift ) Beräkna x 3 e x dx. x är nästan derivatan av x 3, vilket antyder att variabelbyte kan vara rätt väg. Skriv om integranden och förbered för variabelbyte. Genomför variabelbyte. Partiell integration i variabeln t. Byt tillbaka till variabeln x. Svar: Sätt t = x dt = x dx dt = x dx. OBS: t 0. x 3 e x dx = x e x x dx x e x x dx = tet dt tet dt = (tet e t dt) = = (tet e t ) = et (t ) + C et (t ) + C = e x (x ) + C x 3 e x dx = ex (x ) + C Sida av 8 Senast reviderad:

12 Funktioner eller uttryck med polynom inuti Metoder: Variabelbyte ( ersätt den jobbiga delen med en ny variabel ) Faktorisering + partialbråksuppdelning Förlängning med konjugat Kvadratkomplettering + variabelbyte Exempel: (Tenta uppgift 3) Beräkna arctan x dx. Eftersom x är det som orsakar mest besvär kan det vara en bra idé att byta ut det. Genomför variabelbyte. Partiell integration i variabeln t. Välj att hitta en primitiv till t eftersom det är enklare än att hitta en primitiv till arctan(t). Behandla den obestämda integralen separat. Använd uppdelning av bråk och beräkna en primitiv. Sätt ihop de två obestämda integralerna Byt tillbaka till variabeln x. Förenkla och svara: Sätt t = x t = x t dt = dx. OBS: x 0 t 0. arctan( x) dx = arctan(t) t dt. arctan(t) t dt = = t arctan(t) t + t dt t + t dt = + t dt = + t = dt = t arctan(t) + C + t t arctan(t) t + t dt = = t arctan(t) t + arctan(t) + C t arctan(t) t + arctan(t) + C = = x arctan( x) x + arctan( x) + C arctan x dx = = (x + ) arctan( x) x + C Sida av 8 Senast reviderad:

13 GENERALISERADE INTEGRALER En generell metod för att handskas med generaliserade integraler är att:. Undersöka de områden som ger upphov till problem i integralen. o Jobba runt dessa områden m h a uppdelning, omskrivning, faktorisering etc.. Hitta en primitiv funktion till integranden. 3. Omvandla den generaliserade integralen till ett gränsvärde. o Inför lämpliga ersättningsvariabler och räkna på som vanligt 4. Göra gränsövergång och utvärdera resultatet. 5. Det sista steget ger också svar på frågan om huruvida integralen kan beräknas ö h t (konvergens / divergens) och vad svaret i så fall blir. Exempel: (Tenta uppgift 5) Beräkna den generaliserade integralen ( 0 x π cos x sin x )dx. Vilka områden/gränser ger problem? Beräkna primitiv funktion först. Använd att f (x) dx = ln f(x) med f(x) = sin x. f(x) Integralen är generaliserad i ändpunkten x = 0 pga. att integranden är obegränsad där. ( x cos x ) dx = ln x ln(sin x) + C. sin x ln a ln b = ln a b. ln x ln(sin x) = ln x sin x. Inför nu de relevanta gränserna. Omvandla till gränsvärde. Inför även en ersättningsvariabel R för x 0 +. R sin R då R 0+ är en inverterad variant av sin t t, då t 0. π ( x 0 cos x sin x ) dx lim [ln x R 0 + sin x ] = R = lim R 0 + [ln π π sin π = ln π ln = ln π. π =... = lim [ln x R 0 + sin x ]. R ln R sin R ] Sida 3 av 8 Senast reviderad:

14 (Tenta uppgift 4) Beräkna 4 (x 3)(+ x 3) dx och 3 (x 3)(+ x 3) dx. Vilka områden/gränser ger problem? Eftersom (x 3) förekommer på två ställen är det en bra kandidat för variabelbyte. Genomför variabelbyte. Notera att t = ( t). Alltså är t en bra kandidat för variabelbyte. Genomför variabelbyte. Partialbråksuppdelning ger följande: Använd att ln a ln b = ln a b. Utför uppdelning av bråk. Återgå till variabeln x. Inför de relevanta gränserna. Inför även en ersättningsvariabel R för -gränsen. Insättning och vanliga gränsvärdesräkningar ger följande: Eftersom f(x) dx är generaliserad i båda 3 ändpunkter, dela upp integralen i två delar. Inför en ersättningsvariabel S för ändpunkten x = 3. När S 3 + går hela uttrycket mot oändligheten. Denna delintegral är alltså divergent. Det innebär att hela integralen är divergent. Integralerna är generaliserade i en respektive båda ändpunkter (obegränsat intervall då x och obegränsad integrand då x = 3). Sätt t = x 3 dt = dx. OBS: Man kan utan större problem anta att t > 0. Se det som att man låter t 0 +. dx = (x 3)(+ x 3) t(+ t) dt. Sätt s = t s = t s ds = dt. OBS: t > 0 s > 0. s dt = ds = t(+ t) s (+s) s(+s) ds. ds = ds = ds s(+s) s +s s +s = = (ln s ln( + s)) + C. (ln s ln( + s)) = ln = ln + s + s = ln ( ). + x 3 s + s = = ln ( + s ) = dx = = 4 (x 3)(+ x 3) = lim [ ln ( )] R. R + x 3 4 lim [ln ( ) ln ( ) = R + R 3 + = (ln ln ( )) = ln = ln dx = (x 3)(+ x 3) 4 (x 3)(+ x 3) dx. 3 4 (x 3)(+ x 3) dx = = 3 (x 3)(+ x 3) = lim [ ln ( )] 4 S 3 + = + x 3 S = ln 4 ln(0) ln (x 3)(+ x 3) dx är divergent. dx Sida 4 av 8 Senast reviderad:

15 (Tenta uppgift 4) Beräkna den generaliserade integralen dx x(x x). Vilka områden/gränser ger problem? Beräkna primitiv funktion först. Faktorisera integrandens nämnare. Förbered ett variabelbyte inför partialbråksuppdelning. Variabelbyte + uppdelning i faktorer. Partialbråksuppdelning ger följande: Integralen är generaliserad i ena ändpunkten pga. obegränsat intervall (x ). x(x x) dx = x x x dx. Sätt t = x t = x t dt = dx. OBS: x t. x x x dx = = t t t t dt = = t (t + )(t ) dt. t (t + )(t ) dt = = t + t t + dt = = ln(t ) ln(t + ) + t + C. Använd att ln a ln b = ln a b. ln(t ) ln(t + ) + t = = ln ( t t + ) + t. Återgå till variabeln x. ln ( t t + ) + t = ln ( x x + ) + x. Inför nu de relevanta gränserna. Inför även en ersättningsvariabel R för -gränsen. Förkorta bort R i täljare och nämnare och gör gränsövergång. Förläng med konjugatet vid beräkning av +. R R R dx = lim x(x x) = lim R [ln ( x lim [ln ( x R = lim R ) + ]. x+ x R ) + ] = x+ x R [ln ( + R ) + R = 0 +0 ln(3 ) = = ln(3 ). dx = x(x x) ln ( + ) ]= Sida 5 av 8 Senast reviderad:

16 FUNKTION = KONSTANT Frågor av typen Antal lösningar för varje värde på den reella konstanten a. Metod:. Samla alla variabler i t.ex. VL och alla konstanter i HL.. Bilda en funktion f(x) av VL 3. Utför en funktionsundersökning av f(x) o Görs i syfte att lista ut hur funktionens graf ser ut 4. Rita in den räta linjen y = HL och undersök antalet lösningar (skärningspunkter med grafen) 5. I vissa fall är frågan omvänd, dvs hur många lösningar fås för ett godtyckligt HL? Dock skiljer sig inte själva tillvägagångssättet. Tanken är att dela upp en ekvation i två delar: en funktion f(x) och en konstant c. Den räta linjen y = c motsvarar konstanten. (Antalet) skärningspunkter mellan y = f(x) och y = c motsvarar (antalet) lösningar till ekvationen f(x) = c. Ibland går det inte att se grafiskt exakt var de skär varandra men det går alltid att räkna ut exakta värden. Exempel på uppdelning av ekvation i funktion f(x) och konstant c. Exempel på antal skärningspunkter mellan y = f(x) och y = c för olika värden på konstanten c. Ekvivalent med antalet lösningar till ekvationen f(x) = c för olika värden på c. Sida 6 av 8 Senast reviderad:

17 Exempel: (Tenta uppgift 6) Bestäm alla tal c > 0 sådana att ekvationen ln(c (x 3)) exakt två olika lösningar. x = har Undersök ekvationen. Konstanten är inbakad med variabeln. Förbered för att separera dessa. ln(c(x 3)) x = har ett uppenbart problem vid x = 0, alltså x 0. ln(t) endast definierad för t > 0 och eftersom c > 0 så måste även (x 3) > 0 x > 3. Detta är striktare än kravet på x 0, som därmed blir överflödigt. Skriv om ekvationen. Lös ut konstanten och separera. ln(c(x 3)) x =... ln c = x ln(x 3) Bilda funktion av HL. f(x) = x ln(x 3). OBS: x > 3. Beräkna derivatan f (x) m h a kedjeregel och faktorisering. f (x) = x (x 3)(x + ) = x 3 x 3 Skapa teckentabell. Undersök gränsvärden. f(x) då x 3 + f(x) då x 3 f(x) ± då x ± ty: Misstänker att x ln x ± då x ± eftersom ln-termen växer långsammare än x. Detta visas genom faktorisering och standardgränsvärdet ln t t 0 då t. x ln(x 3) = x ln (x ( 3 x )) = = x ln x ln ( 3 x ). x ln x = x ( ln x ) ± då x ±. ln ( 3 x) ln = 0 då x ±. x Sida 7 av 8 Senast reviderad:

18 Rita grafen till funktionen m h a informationen från funktionsundersökningen. Det finns två skärningspunkter mellan linjen y = ln c och y = f(x), motsvarande två (olika) lösningar till f(x) = ln c, endast om ln c = f(3). Sätt in det kända x-värdet i ursprungliga ekvationen för att lösa ut motsvarande värde på c. Svar: ln c = x ln(x 3) och x = 3 ln c = 3 ln(6) c = e 3 ln (6) = e3 e ln (6) = e3 6. Ekvationen ln(c (x 3)) = har exakt två olika lösningar om c = e3 6. x Sida 8 av 8 Senast reviderad:

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

8.4. Integration av trigonometriska uttryck

8.4. Integration av trigonometriska uttryck 68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

1 Primitiva funktioner

1 Primitiva funktioner Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall?

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket. Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4

Läs mer

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel ,

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel , ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: Georgi.Tchilikov@ide.hh.se, tel.035-167124, http://www.hh.se/staff/getc Ett försök till "strukturering" av innehållet (skrivet i första hand med

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor 5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater ubbelintegraler. -koordinater UBBELINTEGRALER. Rektangulära ( koordinater efinition. Låt zf(, vara en reell funktion av två variabler och. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim. RIEMANNSUMMOR Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. Den bestämda integralen definieras med hjälp av ä ä, ; lim. Om funktionen har en elementär primitivfunktion då är insättningsformeln (Newton-

Läs mer

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje

Läs mer

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts. 5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer