TMV225 Kapitel 3. Övning 3.1

Transkript

1 TMV225 Kapitel 3 Övning 3. Bestäm gränsvärdet och bestäm δ som funktion av ε. a) lim 3 [ ] Vi har givet att 3, och då funktionen är kontinuerlig får vi gränsvärdet ȳ 5 genom att stoppa in. Per definition vill vi hitta δ(ε) så att < δ(ε) f() ȳ < ε. Det vill säga, vi börjar med antagandet att 3 < δ (med andra ord att (3 δ, 3 + δ)), samt att δ < (δ är litet). Då ser vi att f() ( 3) 3 < (δ + 3)δ 4δ ε. Här ser vi att δ ε/4 uppfyller olikheten. Alltså kan vi låta δ(ε) min(, ε/4). +3 b) lim 3 + Funktionen är kontinuerlig i punkten 3, och därmed är gränsvärdet ȳ 3/7 (ges av att stoppa in ). Låt + och se hur stor får vara: f( + ) ȳ (3 + ) + 3 (3 + ) (6 + ) 3(4 + ) 7(4 + ) (4 + ). Här gör vi antagandet att <, vilket då ger att 4 + > 3, och därmed f( + ) ȳ (4 + ) < Detta är i sin tur mindre än ε om < 9ε/4, vilket ger oss δ(ε) min(, 9ε/4).

2 c) lim Notera omskrivningen ( 2)( + 2). + 2 Gränsvärdet för den här funktionen är ȳ 4. För att bestämma δ(ε) låter vi +, och ser att (med antagandet < ) f() ȳ ( ) ( ) < ( 3 + 2) (2 4 + )( ) 4( 3 + 2)( ) 4 4 4( 3 + 2)( ) < 4( 3 + 2) 2 Detta är i sin tur mindre än ε när < 4( 3 + 2) 2 ε. Alltså δ(ε) min(, 4( 3 + 2) 2 ε). ( π) d) lim 3 π π Funktionen är kontinuerlig i π, så genom att stoppa in får vi gränsvärdet ȳ 0. Vi skriver + π + och ser att (med antagandet < ) f() ȳ ((π + ) π) 3 π(π + ) ( ) 3 π(π + ) < π(π ), vilket i sin tur är mindre än ε när < π(π )ε, och därmed har vi att Övning 3.2 δ(ε) min(, π(π )ε). Bestäm gränsvärdet och bestäm δ som funktion av ε. a) lim Notera omskrivningen ( + 2)( ) ( + 2) När vi nu låter 2 får vi gränsvärdet ȳ 2. Låt 2 + och vi ser att (med < ) f() ȳ ( 2) 2 2( 2) + 4 ( ) < 7, vilket är mindre än ε när < ε/7, och vi får därmed att δ(ε) min(, ε/7). b) lim Notera omskrivningen ( 4) 2 ( 4)( + 4) 4 + 4, 2

3 vilket ger oss gränsvärdet ȳ 0. Skriv nu 4 + och vi får att (med < ) f() ȳ (4 + ) 4 (4 + ) < 7, vilket i sin tur är mindre än ε när < 7ε, och därmed får vi att c) lim 3 [ ] δ(ε) min(, 7ε). Notera omskrivningen [ 3 6 ] [ ( 3)( + 3) 6 ] ( 3)( + 3) + 3, vilket ger att vi får gränsvärdet ȳ /6. Skriv nu 3 + och vi får att (med < ) f() ȳ (3 + ) (6 + ) 6( + 6) 6( + 6) < 30, vilket i sin tur är mindre än ε när < 30ε, och därmed får vi att d) lim Notera omskrivningen δ(ε) min(, 30ε). ( 3)( ) 3 ( + )( + )( ) ( + )( + ) vilket ger att vi får gränsvärdet ȳ /2. Vi ser sen att f() ȳ 3 ( + )( + ) ( + )( + ) 2( + )( + ) ( )( ) 2( + )( + ) ( )( ) 2( + )(. + ) 2 Låt nu + och antag < för att få ( )( ) 2( + )(. + ) 2 ( ) 2( + 2)( + + ) , 2 vilket i sin tur är mindre än ε då < 2ε 7+2, och därmed har vi att 2 δ(ε) min (, 2ε ). 3

4 Övning 3.3 Bestäm (om möjligt) gränsvärdet. a) lim k k 2 k 2 Eftersom närmar sig k från vänster, vet vi att < k och därmed att k 2 k 2 ( k) ( + k)( k) + k k 2k. b) lim k+ k 2 k 2 Eftersom närmar sig k från höger, vet vi att > k och därmed att c) lim 2 (+2) 2 ( 2) 2 Funktionen kan skrivas om så vi ser att k 2 k 2 ( k) ( + k)( k) + k k+ 2k. ( + 2) 2 ( 2) Alternativt noterar vi att funktionen är kontinuerlig i 2 och genom att stoppa in värdet får vi att ( + 2) 2 ( 2) d) lim När 0 ser vi att 4 2 < 0 och > 0, vilket ger oss Övning lim lim lim lim Bestäm (om möjligt) gränsvärdet. a) lim Multiplicera med nämnarens konjugat och vi får att 2 4 (2 4)( ) ( + 2)( 2)( ) ( + 2)( ), vilket går mot 24 när 2. b) lim 4 3 Uttnytja konjugatregel, samt att a 3 b 3 (a b)(a 2 + b 2 + ab) och se att 4 3 ( + )( )(2 + ) ( )( 2 ( + )(2 + ) ) ( ) 3. 4

5 c) lim Vi ser här att vänstergränsvärdet blir medan om vi tar högergränsvärdet får vi lim 3 lim , 9 2. För att gränsvärdet i en punkt ska eistera, så ska dess höger- och vänstergränsvärde vara densamma. Gränsvärdet eisterar alltså inte. d) lim Vi får att ( 3) Övning 3.5 Givet lim a f() 3 och lim a g() 5, bestäm gränsvärdet. a) lim a (f() + 4) b) lim a (f()(g()) 2 ) c) lim a 3g()+6 f() d) lim a (f() + g()) lim (f() + 4) lim f() + lim a a a lim a (f()(g())2 ) lim (f()) lim (g()) lim (g()) 3 ( 5) ( 5) 75. a a a 3g() + 6 lim 3 lim a g() a f() lim a f() + 6 lim a f() 3 ( 5) lim a (f() + g()) lim (f()) + lim (g()) a a Övning 3.6 Avgör huruvida funktionen är kontinuerlig eller diskontinuerlig på intervallet I. a) f() +2, I [ 5, 5] Eftersom höger- och vänstergränsvärde skiljer i punkten 2 I, så är ej funktionen kontinuerlig där, och därmed diskontinuerlig på intervallet. b) f() +2, I D(f) Definitionsmängden för funktionen är D(f) R\{ 2}, och eftersom 2 är enda punkten f är 5

6 diskontinuerlig i, så är den kontinuerlig över hela I eftersom 2 / I. c) f() 4 + π 3 (2 + 3) , I [ 0, 00] Vardera term i f() är kontinuerlig på intervallet, och eftersom en summa av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig så är hela f() det. d) f() sin(), I (0, π) Funktionen är diskontinuerlig i 0 och π, men då 0 / I och π / I så är funktionen kontinuerlig. Övning 3.7 Avgör huruvida funktionen är kontinuerlig eller diskontinuerlig (på sin definitionsmängd). a) +, < 0, f() 0, 0, +, > 0. Funktionen är kontinuerlig för < 0 och för > 0, så det återstår att se om funktionen är kontinuerlig på punkten 0. Dock ser vi att lim f() lim f(), 0 0+ men f(0)0, vilket visar att funktionen inte uppfyller definitionen för kontinuitet. Funktionen är alltså diskontinuerlig. b) { sin(), < π/4, f() π cos() 4, π/4. Funktionen är kontinuerlig för < π/4 och > π/4. Det gäller endast att kolla så att vänstergränsvärdet blir samma som högergränsvärdet, vilket vi ser genom lim sin() ( π cos(π/4) ). π 4 2 π/4 Funktionen är alltså kontinuerlig. c) f() { 4 2, <, ,. Funktionen är kontinuerlig på båda sidor av, så återstår att kolla vänstergränsvärdet av f() då. Vi får att lim 42 4 ( ). 6

7 Funktionen är alltså kontinuerlig. d) f() 3 ( 5) 2, 5. 5 Funktionen är odefinierad i punkten 5, och kontinuerlig överallt annars. Då vi har att 5, har vi därför att funktionen är kontinuerlig. Övning 3.8 Finn de punkter där funktionen är diskontinuerlig. a) tan(3) De punkter där vänster- och högergränsvärde skiljer sig för funktionen tan() är i π/2+πn för n Z eftersom lim tan(), lim tan(). π 2 π 2 + Vi får alltså att tan(3) är diskontinuerlig då b) (+0) 2 (+)( 5) 3 π/2 + πn (π/2 + πn), n Z. 3 Funktionens höger- och vänstergränsvärde skiljer sig i punkterna och 5 (där gränsvärdena blir antingen eller beroende på om man går från vänster eller höger). c) sin( 4 +3 ) Funktionen sin(/) är kontinuerlig på R\{0}. Alltså får vi d) tan() 2 Täljaren ger de diskontinuerliga punkterna π/2 + πn för n Z, men funktionen är även diskontinuerlig i nämnarens nollställen, dvs ±. Övning 3.9 Bestäm konstanten a så att funktionen blir diskontinuerlig i punkten. a) f() +3 a, 7 Låt a vara sådan att nämnaren går mot 0 då, dvs a 7. b) f() +a 3 2 4a+4a 2, 5 Vi skriver om enligt + a 3 2 4a + 4a 2 + a3 ( 2a) 2, och noterar att nämnaren går mot 0 (vilket kommer ge olika höger- och vänstergränsvärden) då 2a. Låt alltså a /2 5/2. 7

8 c) f() 3 sin() a cos(), (n + 2 )π Notera att är lösningen till ekvationen cos() 0. Vi kan därför låta a vara godtyckligt reellt tal, alltså är funktionen diskontinuerlig för alla a R. d) f() 3 sin((4 a)) cos(a), 4 (2n + )π Vi löser ekvationen vilket är uppfyllt för a 2. Övning 3.0 cos(a ) 0 a π ( ) 2 + πn a 4 (2n + )π π ( + 2n), 2 Bestäm på vilka intervall funktionen är kontinuerlig. a) 3 4 Funktionen är ej definierad för < 3 på grund av täljaren. Samtidigt blir höger- och vänstergränsvärdet olika på grund av nämnaren i 4. Funktionen är alltså kontinuerlig på intervallet ( 3) 2 [3, 4) (4, ). b) Vi har att ( 3) 2 3. Här är täljaren kontinuerlig för alla R, men nämnaren ger en diskontinuitet i punkten. Intervallen där funktionen är kontinuerlig är alltså c) Börjar med att lösa ekvationen (, ) (, ) Lösningarna ges av, 2, 3 3. Funktionen blir alltså diskontinuerlig i dessa punkter, och därmed ges intervallet funktionen är kontinuerlig på av d) ln(sin()) (, ) (, ) (, 3) (3, ). Notera att logaritmen inte får ta ett negativt argument, så vi får undersöka när sin() > 0, vilket är för (2πn, 2πn + π) (n Z), vilket även motsvarar det intervall funktionen är kontinuerlig på. Övning 3. Avgör huruvida funktionen är likformigt kontinuerlig. a) f() sin(/) I figuren nedan är funktionens beteende när närmar sig 0. En likformigt kontinuerlig funktion beter sig sådant att en ändring y i funktionsvärdet kan göras liten för en tillräckligt liten ändring i argumentet. Då 0 ser vi dock att funktionsvärdet börjar svänga oändligt snabbt, vilket gör att vi inte kan uppfylla detta krav nära 0. Funktionen är alltså inte likformigt kontinuerlig. 8

9 sin(/) b) f() 2 /2 I figuren nedan är funktionens beteende skissat. En likformigt kontinuerlig funktion beter sig sådant att en ändring y i funktionsvärdet kan göras liten för en tillräckligt liten ändring i argumentet. För den här funktionen sker inga drastiska ändringar, varken nära 0 eller när blir stor. Funktionen är alltså likformigt kontinuerlig. 2 /2 c) f() 2 I figuren nedan är funktionens beteende skissat när börjar närma sig 0. En likformigt kontinuerlig funktion beter sig sådant att en ändring y i funktionsvärdet kan göras liten för en tillräckligt liten ändring i argumentet. För den här funktionen ser vi att när går mot 0 så går funktionen kraftigt mot. Detta medför att funktionen inte är likformigt kontinuerligt, ty en liten ändring i -led kommer ge en drastisk ändring i y-led. 2 9

10 d) f() 2 I figuren nedan är funktionens beteende skissat när börjar närma sig 0. En likformigt kontinuerlig funktion beter sig sådant att en ändring y i funktionsvärdet kan göras liten för en tillräckligt liten ändring i argumentet. I det här fallet ser vi att funktionen ökar mer och mer ju större blir, och därav kommer vi för nog stort inte kunna uppfylla likformig kontinuitet. 2 Övning 3.2 Avgör huruvida funktionen är likformigt kontinuerlig. a) f() sin() I figuren nedan är funktionens beteende skissat över ett symmetriskt intervall. En likformigt kontinuerlig funktion beter sig sådant att en ändring y i funktionsvärdet kan göras liten för en tillräckligt liten ändring i argumentet. I det här fallet ser vi att funktionen beter sig väldigt snyggt över hela R med ingen punkt där funktionsvärdet sticker iväg. Funktionen är alltså likformigt kontinuerlig. sin()/ b) f() sin() I figuren nedan är funktionens beteende skissat över ett symmetriskt intervall. En likformigt kontinuerlig funktion beter sig sådant att en ändring y i funktionsvärdet kan göras liten för en tillräckligt liten ändring i argumentet. I det här fallet ser vi att funktionen har punkter där den sticker iväg snabbt mot (i lösningarna till sin() 0). Funktionen är alltså inte likformigt kontinuerlig. 0

11 / sin() c) e I figuren nedan är funktionens beteende skissad. En likformigt kontinuerlig funktion beter sig sådant att en ändring y i funktionsvärdet kan göras liten för en tillräckligt liten ändring i argumentet. I figuren ser vi att e tidigt går mot i eponentiell fart. Detta medför att när blir större kommer vi i en liten ändring få en drastisk ändring y i funktionsvärdet. e d) e ln(π) Börjar med att notera att e ln(π) π. I figuren nedan är funktionens beteende skissad. En likformigt kontinuerlig funktion beter sig sådant att en ändring y i funktionsvärdet kan göras liten för en tillräckligt liten ändring i argumentet. För den här funktionen sker en linjär ökning i funktionsvärdet för alla. Eftersom funktionen aldrig sticker iväg kan vi notera att den är likformigt kontinuerlig. π Övning 3.3 Avgör huruvida funktionen är likformigt kontinuerlig.

12 a) f() e 2 ln(π) Notera att f() (π) 2, och eftersom vi sett i Övning 3.d att 2 inte är likformigt kontinuerlig, kommer heller ej den här funktionen vara det av samma anledning. b) f() sin(/ ) Nedan ser vi funktionen skissad. Av samma anledning som att sin(/) ej är likformigt kontinuerlig på grund av dess beteende nära 0, gäller även att sin(/ ) ej är det. sin(/ ) c) f() / Funktionen är skissad i figuren nedan. Här ser vi att funktionens beteende nära 0 beter sig stillsamt, och när blir stort ser vi att funktionen får ett linjärt asymptotiskt beteende. Funktionen är alltså likformigt kontinuerlig. f() d) f() 3 e, > 0 Funktionen är skissad i figuren nedan. Här syns att på grund av eponentialfunktionen i nämnaren så kommer funktionen smidigt gå mot 0, och har ingen punkt där den sticker iväg. Funktionen är likformigt kontinuerlig. f() 2

13 Övning 3.4 Avgör huruvida funktionen är likformigt kontinuerlig. a) 3 2 4, > 3 Då > 3 kommer funktionen smidigt gå mot 0. Det som hade gjort funktionen icke likformigt kontinuerlig är vi studerat mindre värden på så att nämnaren gjort att funktionen stuckit iväg mot. Funktionen är alltså likformigt kontinuerlig. b) 2 4 3, > 3 När blir stor kommer funktionen väa snabbare och snabbare och därmed är funktionen är likformigt kontinuerlig (av samma anledning som att 2 ej är). c) ln() sin(), > Funktionen kommer sticka iväg i de punkter när nämnaren går mot 0, och alltså är funktionen inte likformigt kontinuerlig. d) Funktionen kan skrivas om enligt , som kommer bli konstant då. Nära 0 ser vi i figuren nedan att funktionen inte sticker iväg (den går mot 3 4 ), och därmed är den likformigt kontinuerlig. f() Övning 3.5 Avgör huruvida funktionen är likformigt kontinuerlig. a) , > 0 Vi kan förkorta bort ett från funktionen. Sedan kan vi notera att 2 är en rot till nämnaren och skriva funktionen som ( + 2)( 2 + ) + 2. Då vi endast kollar > 0 är funktionen likformigt kontinuerlig. b) , > 0 Förkorta bort ett, så ser vi att när 0 så går funktionens nämnare mot 2, och täljaren mot 3

14 0. Funktionen sticker alltså inte iväg nära 0, och då vi har högre grad på polynomet i nämnaren kommer funktionens värde gå mot 0 för större. Funktionen är alltså likformigt kontinuerlig. c) , > 0 Om vi förkortar bort ett ser vi att funktionen inte sticker iväg vid 0, och då kommer funktionen asymptotiskt väa linjärt, vilket betyder att funktionen är likformigt kontinuerlig. d) sin(ln(+)), 0 Vi ser att när 0 kommer ln( + ) 0, och totalt kommer nämnaren för funktionen gå mot 0. Funktionsvärdet kommer alltså sticka iväg mot då 0, och därmed är funktionen ej likformigt kontinuerlig. Övning 3.6 Bestäm om möjligt en Lipschitz-konstant på intervallet [ 0, 0] för funktionen genom att använda Lipschitz-konstantes definition. a) f() k + m Per definition är f Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-kostant L f om f() f(y) L f y,, y I. Vi noterar att f() f(y) k + m ky m k y L f y, och alltså L f k. b) f() 5 Vi får att f() f(y) y L f y, och därmed L f 0. c) f() / Funktionen är ej likformigt kontinuerlig, och kan därmed ej heller vara Lipschitz-kontinuerlig, ty en Lipschitz-kontinuerlig funktion är alltid likformigt kontinuerlig. d) f() Använd omvända triangelolikheten och få att och därmed är L f. f() f(y) y y L f y, Övning 3.7 Bestäm (om möjligt) en Lipschitz-konstant för funktionen f() på intervallet I genom att använda Lipschitz-konstantens definition. 4

15 Notera först att f() f(y) y y + y y y y och alltså ges Lipschitz-konstanten av 2 min,y I + + y + y L f 2 min,y I y. Det räcker alltså att notera vilket intervall I vi har och minimera nämnaren för att få ut konstanten. Detta ger för respektive fall att: a) I [, 2] L f 2/(2 2) / 2. b) I [0, ] L f 2/2. c) I [, 0] L f 2/2. d) I [, ] L f 2/2. Övning 3.8 Bestäm den bästa möjliga Lipschitz-konstanten på intervallet [ 0, 0] för funktionen genom att derivera. Notera att Lipschitz-konstantens storlek ges av derivatans största absolutbelopp. Vi ska alltså få en olikhet på formen f() f(y) där mavärdet på derivatan är Lipschitz-konstanten. a) f() k + m b) f() 5 c) f() / f () k L f f () 0 L f ma f (ξ) y, ξ [ 0,0] ma k k ξ [ 0,0] ma 0 0. ξ [ 0,0] Funktionen / är ej Lipschitz-kontinuerlig på givna intervallet (ty ej likformigt kontinuerlig). d) f() För > 0 har vi f () och för < 0 har vi f (), och därmed L f ma f (ξ). ξ [ 0,0] 5

16 Övning 3.9 Bestäm den bästa möjliga Lipschitz-konstanten för funktionen f() på intervallet I genom att derivera. Börjar med att notera att a) I [, 2] b) I [0, ] c) I [, 0] d) I [, ] Övning 3.20 { L f ma ma ξ [,0] f () { +, om > 0,, om < 0. L f ma. + ξ 2 ξ [,2] L f ma. + ξ L f ξ [0,] ma ξ [,0]. ξ }, ma ξ ma + ξ ξ [0,] {, }. Bestäm den bästa möjliga Lipschitz-konstanten på intervallet [2, 5] för funktionen genom att derivera. a) f() 2 b) f() 3 f () 2 L f ma 2 0. [2,5] f () 3 2 L f ma [2,5] c) f() n d) f() n f () n n f () n n L f ma [2,5] nn n 5 n. L f ma [2,5] n 2 2 n n+. 6

17 Övning 3.2 Bestäm gränsvärdet. a) lim ( ) 2 4 ( 2)2 ( 2) ( + 2)( 2) ( + 2) 0. 2 b) lim 0 4 Vi ska utnyttja standardgränsvärdet genom omskrivningen e lim, 0 c) lim ( 2 3) ( ) 2 4 e ln(4) {t ln(4)} et t ln(4) t 0 ln(4). ( 2 3) ( ) ( ) d) lim Nämnaren går mot och täljaren mot 0, så vi får att Övning 3.22 Bestäm gränsvärdet. a) lim b) lim Multiplicera med konjugatet och vi ser att c) lim ) 2 (

18 ( ) d) lim Vi har standardgränsvärdet Gör omskrivningen av uttrycket som Låt nu t 3 Övning 3.23 Bestäm gränsvärdet. ln( + ) lim. 0 ( + ) 4 e 4 ln(+/3). 3 (så att t 0 då ). Vi får då att e 4 ln(+/3) e 4 3t ln(+t) t 0 e 4/3. ( ) a) lim Skriv om uttrycket enligt 2 ( ) 2+ ln(+ 2 2 e ) 2 2 e ln(+ 2 + ) 2. Låt t 2 så att t 0 då, och vi får att e ln(+ 2 + ) 2 e 2 t ln(+t+4t2). När t är nära 0 beter sig argumentet i logaritmen som +t, och vi kan använda standardgränsvärdet för ln( + t)/t då t 0. Alltså e 2 t ln(+t+4t2) e 2. t 0 b) lim 7/2 4 7/4 2 /4 Notera att till eempel α väer betydligt snabbare än α, så faktumet att 2 är i nämnaren gör att funktionen går mot 0 när. c) lim ln(+3) 4 Av samma argument som i föregående deluppgift så går även den här funktionen mot 0, dock ännu snabbare då ln är långsammare än α. d) lim 0 cos() 3 2 cos() 3 2 Vi skriver om uttrycket och får sin 2 () sin 2 () 3 2 ( + + sin 2 ()) 3 där vi använt oss av standardgränsvärdet för sin()/ då 0. sin 2 () 2 }{{} + + sin 2 () } {{ } /

19 Övning 3.24 Bestäm gränsvärdet. a) lim 0 ln( 2 ) ln( ) sin(π) ln( 2 ) ln( ) sin(π) ln ( ) (+)( ) ln( + ) sin(π) sin(π) π ln( + ) sin(π) π 0 π, där vi använt standardgränsvärdena för sin()/ och ln( + )/ då 0. b) lim 0 e cos() 2 sin() e cos() 2 sin() 2 sin() e cos() ( e 2 sin() + cos() ) 0 2, där vi använt standardgränsvärdena sin()/ och (e )/ då 0, samt att cos() c) lim ( 2 + ) cos2 () ( + cos()) sin2 () 2 + cos() ( 2 + ) (2 + 2 ) ( ) ( ) +2 d) lim +3 Gör omskrivningen och låt sedan t /( + 3). Detta ger e ln( ( ) ln( e +3 ) e ln( +3 ), ) e ( t +3) ln(+t) e t }{{ ln(+t) } e 3 ln(+t) }{{} e t 0 e. 2. Övning 3.25 Bestäm gränsvärdet. a) lim ( ) För stora får vi att funktionen beter sig som ( 3 4 ), vilket ger att vi får b) lim 0 ( + 3) /(8) ( ) ( )

20 där vi gjort substitutionen t 3. ( + 3) /(8) e 8 ln(+3) e 3 8t ln(+t) t 0 e 3/8, c) lim 0 sin() tan() Vi gör först omskrivningen (med substitutionen 3y som ger y 0 då 0) sin() lim 0 tan() lim sin() tan() lim 3y sin(3y) (3y) 3 y 0 (3y) 3 lim y 0 3y tan(3y) L, L 2 där L är första faktorn och L 2 är delat med andra faktorn. För L kan vi använda identiteten och får då sin(3y) 3 sin() 4 sin 3 (), 3y sin(3y) 3 y sin(y) 4 sin 3 (y) L lim y 0 (3y) 3 lim y 0 27 y 3 + lim y 0 27 y 3 9 L , som därmed ger att vi kan lösa ut L 6. Vi använder liknande strategi för L 2, med identiteten Då får vi att L 2 lim y 0 3y tan(3y) 27y 3 tan(3) 3 tan() tan3 () 3 tan 2. () lim y 0 ( 3 tan 2 (y)) 3y( 3 tan2 (y)) 3 tan(y) + tan 3 (y) 27y 3 ( 3 lim y 0 ( 3 tan 2 (y)) y tan(y) 27 y 3 + tan 3 (y) 27 y 3 9 y tan 2 ) (y) 27 y L , så att vi sedan kan lösa ut L 2 /3. Totala gränsvärdet blir då d) lim 0 (sin( π )) 2 cos(2 π ) Låt t π, så att t 0 då 0. Då får vi sin() lim 0 tan() L /6 L 2 /3 2. (sin( π )) 2 cos(2 π ) sin2 (t) cos(2t) sin 2 (t) (cos 2 (t) sin 2 (t)) sin2 (t) 2 sin 2 (t) 2 t