KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

Transkript

1 KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.

2 Innehåll. Reella och komplea tal 3.. Mängder av reella tal 3.4. Mer om ekvationer 3.6. Summor och produkter 4.7. Komplea tal 4 2. Funktioner Funktioner och grafer Arcusfunktioner Den komplea eponentialfunktionen 6 3. Gränsvärde och kontinuitet Gränsvärdesidén + Definition och räknelagar Kontinuerliga funktioner Standardgränsvärden 8 4. Derivator Definition av derivata Beräkning av derivator Användning av derivator Derivator av högre ordning 0 5. Primitiva funktioner Elementära primitiva funktioner Integrationsmetoder 5.3. Integration av rationella uttryck 5.4. Integration av trigonometriska uttryck Integration av rotuttryck 2 6. Bestämda integraler Definition av integraler Samband mellan integraler och derivator Generaliserade integraler 3 7. Tillämpningar av integraler Plan area Kurvlängd Volym Massa, tyngdpunkt och arbete 5 Bilaga A. Svar 6 2

3 . Reella och komplea tal.. Mängder av reella tal. () Är följande påståenden sanna eller falska? (a) 3 ligger i intervallet [ 3, 3]. (b) 0, 99 > 0, 9 (c) Mängden av alla tal sådana att < 0 är lika med intervallet [, 0[. (d) /3 > 0, 3 (e) Intervallet ]0, ] är slutet. (f) 2, < 2, (2) Är följande påståenden sanna eller falska? (a) = 3 = > 2 (b) Om < <, så gäller att > eller <. (c) > 2 > 2 (d) ] 5, [ = > 5 (e) Om < 2 så gäller att <. (f) > 0 om och endast om är positiv. (3) Skriv upp följande mängder som intervall: (a) alla som uppfyller 0 < 2 och 0 < 2, (b) alla som uppfyller 0 < 2 eller 0 < Mer om ekvationer. () Räkna ut avståndet mellan punkterna: (a) (3, 0) och (0, 3), (b) (3, ) och ( 3, ), (c) (, ) och (, ), (d) (, 4) och ( 3, 2). (2) Bestäm en ekvation för cirkeln med: (a) medelpunkt i (0, 0) och radie 2, (b) medelpunkt i (2, ) och radie, (c) medelpunkt i ( 3, 2) och radie 4, (d) medelpunkt i (5, ) och radie /2. (3) Är följande påståenden sanna eller falska? (a) (3, 2) ligger på cirkeln med ekvation ( ) 2 + y 2 = 4, (b) (2, 2) ligger på cirkeln med ekvation ( + 2) 2 + (y ) 2 = 25, (c) y 2 4y = 4 är ekvationen för en cirkel med radie 2, (d) y = är ekvationen för en cirkel med radie. 3

4 .6. Summor och produkter. () Beräkna följande summor. (a) (b) n k= 3 k k=3 (c) (d) 5 k=2 0 2 k k ( ) k k=0 (2) Skriv med summabeteckning: (a) (b) (c) (d) ln(7) + ln(9) + ln() + ln(3) (3) Beräkna följande summor. (a) 5 (3 + 4k) (c) 4 ( 5 + 3k) (b) k=2 5 k=0 2 k 4 (d) k= 4 6 k=2 2 k (4) Beräkna följande produkter. (a) (b) 24 k= 3 0 k=0 ( ) k (c) (d) 5 k= k 6 ( + k) ( ) ( ) 6 6 (5) Beräkna och. 4 2 (6) Utveckla följande uttryck med hjälp av binomialformeln. (a) (a 2 3b) 5 (b) k=0 ( 2 + ) 4 y.7. Komplea tal. () Låt z = 3 i och z 2 = + 2i. Beräkna följande: (a) z + z 2 (b) 2z iz 2 (c) iz + i (d) z z 2 (e) z z 2 4 z 2 (f) z (g) z

5 (h) z z 2 (i) z z 2 (j) z (k) z z 2 (l) z z 2 (m) z z (n) z z 2 (o) 3z 2 + iz z (2) Bestäm alla komplea lösningar till ekvationerna. (a) z = 0 (b) z 2 2z + 2 = 0 (c) z 2 + 4z + 5 = 0 (d) 4z 2 + 4z + 0 = 0 (3) Bestäm alla komplea lösningar till ekvationerna. (a) z 2 = 2i (b) z 2 = 8 6i (c) z 2 +( 3i)z (4+3i) = 0 (d) z 2 (3 2i)z (+3i) = 0 (4) Ett av nollställena till polynomet z 3 2z + 4 är + i. Vilka är de andra? (5) Ett av nollställena till polynomet z 4 + 6z 3 + 3z 2 + 4z 24 är 2 2i. Vilka är de andra? 2. Funktioner 2.2. Funktioner och grafer. () Bestäm (f f)(), (f g)(), (g f)(), och (g g)() om f() = 2 och g() =. Ange även definitionsmängderna för de olika sammansättningarna. (2) Bestäm (f f)(), (f g)(), (g f)(), och (g g)() om f() = 2 och g() =. Ange även definitionsmängderna för 2 de olika sammansättningarna. (3) Går följande funktioner att invertera? (a) f() = / 2 (b) f() = ( ) 3 (c) f() = + e (d) f() = 3 + (4) Invertera följande funktioner, om möjligt. (a) f() = ( ) 3 (b) f() = arctan( 5 ) (c) f() = ln( 2 + e ) (d) f() = e + (5) Vilka egenskaper har funktionerna nedan: är de (strängt) väande, (strängt) avtagande, jämna, udda? (a) f() = tan() (b) f() = e sin() (c) f() = ln(/) (d) f() = /3 5

6 2.5. Arcusfunktioner. () Lös följande ekvationer. (a) sin(arcsin()) = /2 (b) arcsin(sin()) = π/3 (c) arctan(tan()) = π/5 (d) tan(arctan()) = (2) Räkna ut följande. (a) arcsin(sin(5π/3)) (b) cos(arcsin(0)) (c) sin(arccos(/2)+arcsin(/2)) (d) arccos(sin(π/6)) 2.6. Den komplea eponentialfunktionen. () Räkna ut e z om: (a) z = 3 i, (b) z = i. (2) Räkna ut argumentet för z om: (a) z = 4i, (b) z = 3 + i. (3) Bestäm alla lösningar till följande komplea ekvationer. Ge svaret på både polär form och på formen z = + iy. (a) z 3 = i (b) z 2 = 2 2 3i (4) Låt och y vara reella tal och z ett komplet tal. Är följande påståenden sanna eller falska? (a) e i är aldrig ett reellt tal. (b) Om z = e +iy, så är z =. (c) Ekvationen z n = + iy, där z är den okända variabeln och + iy är känd, har alltid n olika komplea rötter. (d) Ekvationen z n = + iy, där z är den okända variabeln och + iy är känd, har alltid åtminstone en reell rot. 3. Gränsvärde och kontinuitet 3.2. Gränsvärdesidén + Definition och räknelagar. () Finn gränsvärdet, om det eisterar. + 3 (a) lim (b) lim (c) lim 9 9 ( π) 2 (d) lim π π 2 (e) lim (f) lim 3 6

7 (2) Finn det ensidiga gränsvärdet, om det eisterar. (a) lim 2 2 (b) lim 3 0 (c) lim (d) lim 3 (e) lim 2 + (f) lim 0 3 (2 ) 3 (3) Finn gränsvärdet, om det eisterar. (a) lim (b) lim (c) lim (4) Finn gränsvärdet (d) lim e (e) lim + 3e + sin() (f) lim cos() (a) lim 2 + (b) lim (c) lim + 2 (d) lim Kontinuerliga funktioner. () Låt e om 0, 2 2 f() = om 0 < 2, om > 2. 2 Är f() kontinuerlig? (2) Låt f() = när 3. Kan vi definiera f(3) så att 3 funktionen blir kontinuerlig i = 3? I så fall, hur? (3) Låt f() = + 2 när 6. Kan vi definiera f( 6) så att + 6 funktionen blir kontinuerlig i = 6? I så fall, hur? 7

8 (4) I figuren nedan ser vi grafen av en funktion på intervallet [0, 8]. f() Avgör med hjälp av figuren var på intervallet [0, 8] som funktionen är (a) högerkontinuerlig men inte vänsterkontinuerlig, (b) vänsterkontinuerlig men inte högerkontinuerlig, (c) varken vänsterkontinuerlig eller högerkontinuerlig, (d) kontinuerlig, (e) inte kontinuerlig Standardgränsvärden. () Finn gränsvärdet, om det eisterar. (a) lim 0 sin(5) (b) lim 0 sin(2) sin() (c) lim sin(π) ln( + ) (d) lim 0 sin() e 2 (e) lim 0 (f) lim( + 2) / 0 4. Derivator (g) lim ln( 2 ) 0 2 (h) lim 2 (ln()) 2 (i) lim 4.2. Definition av derivata. () Beräkna följande funktioners derivator med hjälp av derivatans definition. (a) f() = 3 2 (b) f() = (3 + ) 2 (c) f() = 2 (d) f() = 42 (2) Låt f() =. Bestäm ekvationen till funktionskurvans tangent i (, ) med hjälp av derivatans definition. + 2 (3) Låt f() = Bestäm ekvationen till funktionskurvans tangent i (, 2) med hjälp av derivatans definition. 8

9 (4) Använd derivatans definition för att avgöra om följande funktioner är deriverbara i = 0. (a) f() = (b) f() = (c) f() = + (d) f() = Beräkning av derivator. () Beräkna derivatan till följande funktioner. (a) f() = (b) f() = 2 2 (c) f() = e sin() (d) f() = arctan() e (e) f() = 3 (f) g() = arcsin (2) Beräkna derivatan till följande funktioner med hjälp av kedjeregeln. (a) f() = cos(5) (b) f() = (3 + 5 ) 7 (c) f() = ln(2 + cos) (d) f() = arccos( 2 ) (3) Låt f() = och g() = 5 2 3, och låt h() = f(g()). Beräkna h (). (4) Låt f() = e + 3. Bestäm derivatan av den inversa funktionen f () när =, det vill säga, du ska bestämma (f ) (). (5) Låt y vara en funktion av. Vi vet att y() = 2, och vi vet också att 3 + y + y 2 = 5. Bestäm y (). (6) Beräkna derivatorna av följande funktioner (a) f() = tan(3) (b) f() = sin 2 ( 2 ) (c) f() = ln( 2 ) (d) f() = e 3sin() 4.5. Användning av derivator. () Undersök om följande funktioner har några lokala minimi- och maimivärden. Har de några globala minimi- och maimivärden? (a) f() = arctan() (b) f() = (c) f() = e 2 (d) f() = (2) Bestäm alla vågräta, lodräta och sneda asymptoter till följande funktioner. (a) f() = 2 (b) f() = tan() (c) f() = arctan() + 9 (d) f() = 2

10 (3) Ett portvalv har en höjd som beskrivs av funktionen h() = 3( 2 ) för, där och h mäts i meter. Vi vill sätta in en rektangulär dörr i valvet. Hur hög och bred ska dörren vara för att ha så stor area som möjligt? (4) Vi vill bygga en låda med kvadratisk botten och har 0 m 2 material till vårt förfogande. Hur stor volym kan lådan ha som mest? (5) Visa att sin() < när 0 < < π/2. (6) Visa att cos() > 2 /2 när 0 < < π/ Derivator av högre ordning. () Beräkna derivatorna f (), f () och f () till följande funktioner. (a) f() = 2 e 3 (b) f() = tan() (2) Beräkna derivatorna f (), f () och f () till följande funktioner. (a) f() = arcsin() (b) f() = e sin() (3) Låt f() = +. Beräkna den n:te derivatan f n (). (4) Låt f() = Hitta funktionens infleionspunkter, och avgör var den är strängt konve eller konkav. (5) Låt f() = sin(2 + π/2). Hitta funktionens infleionspunkter, och avgör var den är strängt konve eller konkav. 5. Primitiva funktioner 5.. Elementära primitiva funktioner. () Bestäm följande obestämda integraler. (a) d (c) 2 + sin(/2)d(e) (b) 3 + 5cos()d (d) tan() cos()d(f) 5e 3 d + 5 d 3/2 (2) Bestäm alla primitiva funktioner till följande funktioner. (a) ( 2 + ) 2 (b) 3 + sin3 () sin 2 () (c) (d) 2 (2) (e) + 3 (f) ln 0

11 5.2. Integrationsmetoder. () Använd partiell integration för att bestämma följande obestämda integraler. (a) 2e 2 d (c) 2 sin()d (b) ln()d (d) (3 + 2) cos( )d (2) Använd variabelsubstitution för att bestämma följande obestämda integraler. (a) e 32 + d (c) e sin(e )d 3 cos (b) + 4d (d) d (3) Bestäm alla primitiva funktioner till följande funktioner. 3 (a) 4 (b) e 2 sin() (c) (ln())2 (d) 4(ln()) 2 (e) 2 arctan() (f) ln(ln()) 5.3. Integration av rationella uttryck. () Partialbråksuppdela följande rationella funktioner. + (a) (b) (c) (d) (e) 2 (f) 2 + ( 2 + 2) 2 (2) Bestäm följande obestämda integraler. (a) 3 2 d (c) (b) ( 2 + 3) d 2 (d) d d

12 5.4. Integration av trigonometriska uttryck. () Bestäm alla primitiva funktioner till följande funktioner. (a) cos()( + sin()) 2 (b) 8 sin 2 (2)) (c) tan() cos 3 () (d) tan 2 () sin() (e) 2 sin 2 () (f) sin 2 () cos 2 () 5.5. Integration av rotuttryck. () Bestäm alla primitiva funktioner till följande funktioner. (a) 5 + (b) (c) (d) ( 2 ) 3/2 (e) ( 2 + ) (f) 6.. Definition av integraler. 6. Bestämda integraler () Beräkna integralen av trappfunktionen nedan över intervallet [0, 6]. f() (2) Ange en undertrappa Φ() och en övertrappa Ψ() till funktionen f() = 2 på intervallet [ 2, 2]. Dela in intervallet i fyra lika delar och låt trappfunktionerna vara konstanta på varje delintervall. 2

13 (3) Låt f() = ln() på intervallet [, 5]. Dela upp [, 5] i fyra lika långa delintervall, och ta fram en övertrappa och en undertrappa till f() som är konstanta på delintervallen. Räkna ut trappfunktionernas integraler. Vad får du då för begränsningar på 5 ln()d? 6.4. Samband mellan integraler och derivator. () Beräkna integralerna. (a) (b) (3 + 2)d d (c) (d) d 5 sin(3)d (2) Beräkna integralerna med hjälp av variabelsubstitution. (a) 2 3 e 4 d (b) π/2 0 sin() cos() d (3) Beräkna integralerna med hjälp av partiell integration. (a) π 0 sin(2 + π)d (b) 0 arctan()d (4) Låt F () = 2 (t 2 + 2t)dt. (a) Vad är F (2)? Du behöver inte göra några beräkningar. (b) Uttryck funktionen F () utan att använda något integraltecken. (5) Derivera följande funktioner med avseende på. (a) F () = (b) F () = 4 7 t + 3 t 2 2t + 5 dt e t dt (c) F () = 0 2 cos(t)dt (d) F () = ln()dt Generaliserade integraler. () Är följande generaliserade integraler konvergenta eller divergenta? Beräkna värdet på de som är konvergenta. (a) (b) d /3 0 d /3 (c) (d) 0 0 d /3 sin(2)d 3

14 (e) (f) 0 2 e 2 d ( + )( 3) d (g) (h) d arctan()d 7. Tillämpningar av integraler 7.. Plan area. () Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna y = 2 och y = + 5. (2) Beräkna arean av området som ligger mellan kurvorna y = sin() och y = cos() när π/4 2π. (3) Beräkna arean av det ändliga område som ligger mellan kurvan y = / och linjen 2 + 2y = 5. (4) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas uppåt av linjerna y = och y = 2 och nedåt av kurvan y 2 = Kurvlängd. () Beräkna längden av kurvan y = 3 + när 2 4. (2) Beräkna längden av kurvan y = 2 3 3/2 när 0 8. (3) Ange längden av kurvstycket y = sin(), 0 π med en integral (du behöver inte räkna ut integralen). (4) Beräkna längden av den parametriska kurvan { = cos 3 (t) y = sin 3 (t) när 0 t π/2. (5) Beräkna längden av den parametriska kurvan { = 3t 2 y = 2t 3 när 0 t 3. (6) Beräkna längden av den polära kurva som ges av r = + cos(θ) när 0 θ π Volym. () Området som begränsas av -aeln och kurvan y = 4 2 får rotera kring -aeln. Använd skivmetoden för att beräkna volymen av rotationskroppen som uppstår. (2) Området som ligger ovanför kurvan y = 2 och under linjen y = får rotera kring y-aeln. Använd rörmetoden för att beräkna volymen av rotationskroppen som uppstår. (3) Området som begränsas av kurvorna y = 2 och y = får rotera kring -aeln. Beräkna volymen av rotationskroppen som uppstår. 4

15 (4) Området i första kvadranten som begränsas av kurvan y = och -aeln får rotera kring y-aeln. Beräkna volymen av rotationskroppen som uppstår. (5) Om vi borrar ett hål av radie genom mitten av ett klot av radie 2, hur stor procent av klotets volym försvinner då? 7.5. Massa, tyngdpunkt och arbete. () En kabel är utlagd längs med -aeln från origo till = 0. Kabelns densitet δ beror av enligt δ() = 8e g/cm. Vad är kabelns massa? (2) En platt skiva formad som det begränsade området mellan kurvan y = 2 och linjen y = 4 är gjord av ett material med densitet 5 g/cm 2. Vad är skivans massa? (3) En cirkulär kon har en basradie på 20 cm och en höjd på m. Den är gjord av ett material som blir tyngre mot toppen, så att densiteten δ vid höjden är δ() = 0, 0 g/cm 3. Vad är konens massa? (4) Räkna ut tyngdpunkten hos kroppen (a) i första uppgiften ovan, (b) i andra uppgiften ovan, (c) i tredje uppgiften ovan. (5) Det krävs ett arbete på J för att förlänga en viss fjäder 5 cm. Hur mycket krävs det för att förlänga den 6 cm? 5

16 Bilaga A. Svar Svar till avsnitt. a sant b falskt c falskt d sant e falskt f falskt 2a sant 2b sant 2c falskt 2d sant 2e falskt 2f sant 3a [0, 2] 3b ]0, 2[ Svar till avsnitt.4 a 3 2 längdenheter b 6 längdenheter c 2 2 längdenheter d 2 5 längdenheter 2a 2 + y 2 = 4. 2b ( 2) 2 + (y ) 2 =. 2c ( + 3) 2 + (y 2) 2 = 6. 2d ( 5) 2 + (y + ) 2 = /4. 3a falskt 3b sant 3c Nej, det är en cirkel med radie 3. 3d Nej, det är inte en cirkel alls. Svar till avsnitt.6 a n b 3 c d 2a 3 5k 2b 5 (2 + 0k k= 2 k=0 6

17 5 2c ( ) k k 2 k= 2d 3 ln(7 + 2k) k=0 3a 58 3b 27/4 3c 45 3d 3/64 4a 4b 4c /5! = /20 4d 7! = ( 6 4) = ( 6 2) = 5 6a a 0 5a 8 b+90a 6 b 2 270a 4 b a 2 b 4 243b 5 6b y y y 3 y 4 Svar till avsnitt.7 a 4 + i b 8 3i c + 4i d 5 + 5i e 5 7i 5 f 0 + 7i 0 g 0 h 3 i 5 2 j 3 + i k 2 + 3i l 5 5i m 0 n 7i o i 0 2a z = ± 5i 2b z = ± i 2c z = 2 ± i 2d z = 2 ± 3i 2 3a z = ±( + i) 3b z = ±( 3 + i) 3c z = 2 + i, z 2 = + 2i 3d z = 4 + i, z 2 = 3i 7

18 4 i och i, 3, och Svar till avsnitt 2.2 (f f)() = 4, (f g)() =, (g f)() =, och (g g)() = /4, där (f g)() och (g g)() är definierad för 0 och de andra två är definierade för alla. 2 (f f)() = 4 2 2, (f g)() =, (g f)() = , och (g g)() = (2 ) 2, där (f f)() är definierad för 2 2 (2 2 ) alla, (f g)() är definierad för alla ±, (g f)() är definierad för 0 och 2 och (g g)() är definierad för alla ±, ± 2, och 0. 3a nej 3b ja 3c ja 3d nej 4a f () = /3 + 4b f () = (tan( + )) /5 4c ej inverterbar 4d f () = (ln() ) 2 5a udda 5b inga av egenskaperna 5c strängt avtagande 5d strängt väande, udda Svar till avsnitt 2.5 a = /2 b = ±π/3 + 2πn c = π/5 + πn d = 2a π/3 2b 2c 2d π/3 Svar till avsnitt 2.6 8

19 a e 3 b 2a π + 2πn 2b 2π/3 + 2πn 3a z = e iπ/6 = ( 3 + i)/2, z 2 = e 5iπ/6 = ( 3 + i)/2, z = e 3iπ/2 = i 3b z = e ln(2)+2iπ/3 = + 3i, z 2 = e ln(2)+5iπ/3 = 3i2 4a falskt 4b falskt 4c sant 4d falskt Svar till avsnitt 3.2 a 2/3 b 0 c /6 d 0 e Gränsvärdet eisterar inte. f 0 2a 0 2b Gränsvärdet eisterar inte. 2c 0 2d 2e 2f 3a /2 3b 3c 0 3d 3 3e 0 3f 4a 4b 0 4c 4d 2 Svar till avsnitt 3.3 Nej. f() 3 när 2, men f() när 2 + (däremot är f kontinuerlig i = 0). 9

20 2 Ja. Värdet är f(3) = 0. 3 Nej. f() när 6, och f() när a = 2. 4b ingenstans 4c = 5. 4d Överallt i [0, 8] utom i = 2 och = 5. 4e = 2 och = 5. Svar till avsnitt 3.4 a 5 b 2 c 0 d e 0 f e 2 g 0 h i 0 Svar till avsnitt 4.2 a f () = 2 b f () = 6( + 3) c f () = 2 3 d f () = 0 2 y =. 3 y = 2. 4a Nej, funktionen är inte definierad i en omgivning av = 0. 4b Nej, funktionen är inte definierad i = 0. Svar till avsnitt 4.3 4c Ja, f (0) = 4d Nej, höger- och vänsterderivatorna blir olika. a f () = b f () = 2 ( 2 ) 2 c f () = e (sin() + cos()) d f () = e ( 2 + arctan()) e 2 e f () = ln(3) 3 f g () = sin 2 20

21 2a f () = 5 sin(5) 2b f () = 35 4 (3 + 5 ) 6 2c f () = sin 2 + cos 2d f () = h () = 30 4 (f ) () = 5 y () = 6a f () = 3(tan(3) 2 + ) 6b f () = 4 sin( 2 ) cos( 2 ) 6c f () = ln(2 ) 4 4/ ( + ln( 2 )) 2 6d f () = 3cos()e 3sin() Svar till avsnitt 4.5 a Lokala och globala minimum och maimum saknas. b Lokalt och globalt minimivärde: f(/2) = /8. Lokala och globala maimum saknas. c Lokalt och globalt maimum: f(0) =. Lokala och globala minimum saknas. d Lokalt minimum: f( 2) = 8. Lokalt maimum: f(2/3) = 40/27. Globala minimum och maimum saknas. 2a Asymptoter saknas. 2b Har lodräta asymptoter vid = π/2 + πn för alla heltal n: f() när (π/2 + πn) och f() när (π/2+πn) +. 2c Har två sneda asymptoter: y = + π/2 och y = π/2. 2d Har lodräta asymptoter vid = : f() när och f() när +. Har också en sned asymptot y = + när ±. 3 Bredd: 2/ 2, 2 m. Höjd: 2 m. 4 Största volymen är , 5 m3. 2

22 5 Sätt f() = sin(), visa att f () är positiv på intervallet, och använd att f(0) = 0. 6 Sätt f() = cos() + 2 /2, visa att f () är positiv på intervallet med hjälp av den föregående uppgiften, och använd att f(0) = 0. Svar till avsnitt 4.6 a f () = e 3 (2 3), f () = e 3 ( ), f () = 9e 3 ( ). b f () = cos 2 (), f () = 2 tan() cos(), f () = 2(2 cos2 () + sin 2 (). cos 4 () 2a f () = f () = 2, ( 2 ) 3/2, f () = 22 + ( 2 ) 5/2. 2b f () = cos()e sin(), f () = e sin() (cos 2 () sin()), f () = cos()e sin() ( 3 sin() + cos 2 () ). 3 f n n (2n 3) () = ( ) ( + ) 2n 2 n 2 4 Infleionspunkterna är vid = och = 2. Funktionen är strängt konve på (, ) och (2, ), och den är strängt konkav (, 2). 5 Funktionen har infleionspunkter när = π/4 + πn/2 där n löper över alla heltal. Funktionen är strängt konkav på ( π/4+πn, 3π/4+πn) och strängt konkav på (3π/4 + πn, 7π/4 + πn) där n löper över alla heltal. Svar till avsnitt 5. + C 5 b 3 + 5sin() + C c 2 2cos(/2) + C a 25/2 d cos() + C e 5 3 e3 + C f 2 /2 0 /2 + C 2a C 2b 3 cot() cos() + C 2c arcsin(2) + C 2d 3 arctan(/3) + C 2e 3 ln( + 3 ) + C 2f (ln ) 2 + C 22

23 Svar till avsnitt 5.2 a e 2 2 e2 + C b 2 2 ln() C c 2 cos() ( 2 2) sin() + C d 3 cos( ) + (3 + 2) sin( ) + C 2a 6 + e C 2b 2 9 (3 + 4)3/2 + C 2c cos(e ) + C 2d 2 sin( ) + C 3a C 3b 5 e2 (2 sin() cos()) + C 3d 2 (2(ln()) ln() + ) + C 3e ( 2 + )(arctan() ) + C 3f ln()(ln(ln()) ) + C 3c (ln())3 3 + C Svar till avsnitt 5.3 a 2 5( + 3) + 3 5( 2) b c d + ( ) 2 e + 2( ) + 2( + ) 2 f ( 2 + 2) a ln C 3 2b 2( 2 + 3) + C 2 2c ln + arctan( + 2) + C 3 2d +ln 2 ln + +C + Svar till avsnitt 5.4 a 3 ( + sin())3 + C b 4 sin(4) + C c 3 cos 3 () + C Svar till avsnitt 5.5 d tan() + C e arctan(cos()) + C f (4 sin(4)) + C 32 23

24 a 2 3 ( + )3/2 (3 2) + C b ln( ) + C c arcsin(2( + )) + C 2 d 2 + C e sin( + C f ( + )( )+2 arcsin( 2)+ C Svar till avsnitt 6. 0 areaenheter 2 Det finns oändligt många val av under- och övertrappor, men ett eempel är 0 om 2, 4 om 2, Φ() = om <, Ψ() = 0 om <, 0 om < 2, 4 om < 2. 3 Det finns oändligt många val av under- och övertrappor, men de som ger bäst begränsning är: 0 om 2, ln(2) om 2, ln(2) om 2 < 3, ln(3) om 2 < 3, Φ() = Φ() = ln(3) om 3 < 4, ln(4) om 3 < 4, ln(4) om 4 < 5, ln(5) om 4 < 5, Vi räknar ut integralerna: 5 Φ()d = ln(2) + ln(3) + ln(4) 3, 8 och 5 Ψ()d = ln(2) + ln(3) + ln(4) + ln(5) 4, 79. Då kan vi dra slutsatsen att 3, 8 5 ln()d 4, 79. Svar till avsnitt 6.4 a 95/2 b Inte definierat! / är inte kontinuerlig i = 0, så vi får inte använda insättningsformeln. c 5 ln(2) d 5 (cos(9) cos(2)) 3 2a 4 (e6 e) 2b 2 3a π/2 3b (π 2) 4 24

25 4a F (2) = 0 4b F () = 3 ( ) 5a F () = 5b F () = ( e t dt) = e 5c cos() sin() (använd produktregeln) 5d 2 ln() (använd kedjeregeln) Svar till avsnitt 6.7 a konvergent; värdet är 3/2 b divergent c divergent d divergent e konvergent; värdet är /2 f divergent g konvergent; värdet är π h divergent Svar till avsnitt 7. 25/6 areaenheter areaenheter 3 5/8 2 ln(2) areaenheter 4 3/3 areaenheter Svar till avsnitt längdenheter 2 52/3 längdenheter 3 π 0 + cos2 ()d längdenheter 25

26 4 3/2 längdenheter ) längdenheter 6 4 längdenheter (Tips: använd formeln 2 cos 2 () = + cos(2).) Svar till avsnitt π/5 volymsenheter 2 π/2 volymsenheter 3 3π/0 volymsenheter 4 63π/2 volymsenheter 5 Ungefär 35%. Volymen av klotet är 32π/3 volymsenheter, och volymen av det borttagna är ds 3 (32 2 3)π volymsenheter. Svar till avsnitt 7.5 8( e 0 ) 7, 9996 g 2 60/3 g g 4a Vid = e 0 e 0 0, b Vid (, y) = (0, 2/5). 4c Vid (, y, z) = (40, 0, 0). 5 36/25 J. 26