Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Transkript

1 Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp. NI I σ MZ. S6 till eempel: a) ( )( + ) = 0 = 4 b) = = 4 S6 (den hade inget nummer...) a) = 4, b) lösning saknas S7 a) Alla utsagor stämmer naturligtvis. b) (ii) och (iv) är en kvadrat, (i) en romb och (iii) är en regelbundet n-hörning. Därför är båda (ii) och (iv) en "bra definition". S8 a) (i), (iv) och (v) är utsagor, de andra bara uttrck. b) Till eempel: En kvadrat har fra rätta vinklar (i) = 7 (iv) (iv) = 0 eller = ±7 S9 a) + = p + (p ) q + ( p (p ) q) = p b) = ( p + (p ) q )( p (p konjugatregel ) q ) = ( p ) ( (p ) ) q = q S0 En möjlighet att skriva satsen är: Om och är de två lösningarna till ekvationen + p + q = 0 så gäller S0 Det finns en annan rot, den är =. S Bara b) är ett bevis. + = p och + = q. S4 För alla där 4 > 0 och 4 0. Detta ger: + < 5 eller < < 0 eller > 5, men 4. S5 = e eller = e 5. S6 lösnign saknas. S7 Omvändningen till Pthagoras sats. S0 Man får ett cosinusvärde som ligger utanför intervallet [, ]. Alltså finns ingen vinkel som uppfller ekvationen. Detta beror på, det inte finns en triangel med sidolängder,, och 4, eftersom + < 4. S a) a 3 0 b) a 3 0 c) a = 0.

2 S a) en liggande parabel (öppet till höger), b) bara den övre delen c) bara den undre delen av parabeln i a). S3 3 S4 b), e) och f) är inga polnom S5 a = 0 och b =, alltså f() = Sätta = a och få så tredjegradspolnomet som har nollstället a =. Faktoriseringen (a ) (a ) leder till svaret f() = = ( ) ( + ) ( )( + ). Alternativt kan man dividera och då får man en kvot som fortfarande har nollställen = och =. S6 Alla summor utan 5 m= m m är geometriska. S7 a) Till eempel p() = ( ) 3, men även t.e. 5( + 9)( ) 3. b) Nej, ett tredjegradspolnom kan ju inte ha 4 olika nollställen! S8 a) Nej, den konstante termen 6 är ju inte jämt delbar med 4- Det löner sig bara för ±, ± ± 3 ± 6. b) eller 3 S9 den andra grafen tillhör g, den tredje grafen g, fjärde g 5, femte g 6, sjätte g 0 och den sjunde g 8. S30 eponentialfunktioner: f, f 5 och f 8. potensfunktioner: f (eponent α = ), f 3 (α = ), f 4 (α = ), f 6 (α = 3 ), och f 7() = (α = ) f 9 () = e ln är varken eller. S3 a) för 0 som grafen till h, och den delen speglas i -aeln. b) Speglar grafens delar som ligger under -aeln (dvs med negativa -värden) i -aeln. b) Använd a) och b).

3 S3 Om man sätter nollpunkten i den första halvcirkelns medelpunkt, så får man som gränsvärdet 8/7. Alternativ kan man sätta nollpunkten även där den hela spiralen börjar (till vänster i skissen). Då ligger ändpunkten av den n-te halvcirkeln på n = r rq + rq q r( q) n = r ( q)n, + q där q = 3. Då får vi 4 n r första halvcirkelns medelpunkt. +q = 8 7 S34 Funktionen måste vara injektiv. T.e. f() = 3. 89e) (f f)() = r då n, alltså igen /7 r höger om den S35 tan = 0 har lösningarna = k, k heltal sin 4 = 0 har lösningarna = l, l heltal 4 Däremot har ekvationen tan sin 4 = 0 bara lösningarna = n, n heltal (OBS: l för udda l ligger inte i definitionsmängden av tan!) 4 S36 a) f () = sin "vanlig sin" sträckt med faktorn i -led b) f () = sin( ) 4 sin flttad 4 steg åt höger c) f 3 () = sin som sin för > 0 och sedan fortsatt som jämn funktion, dvs speglad i -aeln.

4 d) f 4 () = sin "delarna" där sin är negativ är speglade uppåt e) f 5 () = sin cos = cos cos sträckt med faktorn i -led (pga ) och sträckt med faktorn framför cos) och sen uppochnervänd (pga "minustecknet" framme) i -led (pga faktorn f) f 6 () = sin cos = sin sin sträckt med faktorn i -led (pga ) och sträckt med faktorn framför sin) i -led (pga faktorn S37 En formel gäller för alla, medan för en ekvation söker man precis de, för vilka ekvationen gäller (som vanligtvis inte är alla...). En formel bevisas ("man kollar att den verkligen stämmer för alla ") och en ekvation löses ("man söker alla som uppfller ekvationen"). S39 sin 3 = sin( + ) =... = 3 cos sin sin 3. Om man vill kan man förenkla vidare till 3 sin 4 sin 3. cos = +cos i boken, sidan 04. Sen följer cos +cos = när 4k 4k + dvs alla så att cos 0 +cos när 4k + 4k + 3 dvs alla så att cos 0

5 S40 a) Vi vet för 0 < < att < tan. Eftersom > 0 och tan > 0 i intervallet med för olikheten: < eller ekvivalent cot <. tan b) OBS: Enligt a) ligger funktionsgrafen av cot alltid under funktionsgrafen av! = S4 Se eempel 55 på sidan 5. = cot S4 Se boken på sidan. S43 a) (cos) +(sin ) =, alltså uppfller punkten P med koordinaterna (cos, sin ) ekvationen + =, vilket betder att punkten ligger på kurvan, dvs på enhetscirkeln. ( b) (cosh ) (sinh ) = hperbeln = S44 Utförligt blir det antingen eller f() = + e e e ) ( e +e ) e e = = e + e e lim f() = lim + + e e =, då + = lim + e + e = =. S46 a) I Sats 4 har man förutsättningen att bara gränsvärdet av funktionerna f och g eisterar, det finns ingen förutsättning om gränsvärdet av h. OM olikheten är uppflld och f och g har samma gränsvärde, så kan man dra slutsatsen att även gränsvärdet av h eisterar (och i så fall är lika med de andra). Däremot förutsätter man i Sats 5 redan för alla förekommande funktioner att gränsvärdet eisterar. Slutsatsen handlar bara om en relation (olikhet) mellan dem. b) Nej, Sats 5 gäller inte med stränga olikhetstecken. T.e. 0 < men 0 = lim. S47 Man säger att en serie n= b n är konvergent om gränsvärdet lim N N b n eisterar (se också analsboken på sidan 7. OBS: Indeet n heter k där!). N Serien n är inte konvergent, eftersom följden n = N har inget (egentligt) gränsvärde. n= n= n=

6 Serien ( ) n är inte heller konvergent, eftersom n= S48 a) 4a 3 b) 77a 76 c) e a S49 Derivatan av funktionen a) f(a) = a 4 b) f(a) = a 77 c) f(a) = e a. N ( ) n = S5 Se den analoga härledningen för D arcsin på sidan 98 i analsboken. S5 a) Ett eempel är () = b) Nej, varje deriverbar funktion är kontinuerlig! S53 Funktionen är strängt väande i de intervall där f () > 0. n= { om N jämn 0 om N ojämn. a) f () = ( )(+), alltså är f strängt väande i intervallen ], ] och +4 [, [. I intervallet [, ] är den strängt avtagande. b) f ln () =, alltså är f strängt väande i intervallet [e, [. (ln ) I båda intervall ]0, [ och ], e[ är funktionen strängt avtagande (OBS: f är inte definerad i =!) c) f () = + som kan också skrivas som f 3 () = (+ ) 3/ (+ ) 3/ (+. Alltså är + ) f strängt väande i intervallet [ 3, 3] och strängt avtagande i de båda intervall ], 3] och [ 3, [. S54 Medelvärdessatsen ger arctan arctan = + ξ ( ) med något ξ i intervallet ], [. Eftersom +ξ gäller alltså för alla och. arctan arctan S55 a) Om f(), då a, så gäller lim a f() = 0 b) f(), då a lim a f() = 0 c) g() 0 +, då a lim a g() = d) g() 0, då a lim a g() = e) g() 0, då a lim a g() : måste man undersöka vidare S56 Enligt påstånde (5) på sidan 49 i analsboken gäller att varje funktion, som är kontinuerlig på ett begränsad och slutet intervall, har ett minsta och ett största värde på detta intervall. Endast definitionsmängderna till funktionerna f och m är begränsade och slutna intervall. Eftersom f och m är kontinuerliga på sina respektiva definitionsmängder, så har båda två säkert ett största och ett minsta värde. För de andra funktionerna kan man inte bestämma utan att titta närmare, men detta var inte uppgiften...

7 S57 Bestäm först derivatan f och dess nollställen. Jämföra sen funktionsvärdena på de "kritiska" punkterna, dvs beräkna f( k ) där k står för derivatans nollställen, 0 och 0 (definitionsmängdens randpunkter) och (punkt där f inte är deriverbar). Största/minsta värde bland de är också funktionens största/minsta värde. 4 a) k = 0 7 ln 0 7 = Nog b) Nog( ) = Nog Nog + 07 ln 0 7 c) Nog( a ) = anog + ( a)0 7 ln Ja 7 a) 0 (Observera att tan 45 o = och därmed en faktor i produkten like med noll.) b) 0 eftersom ln tan(90 o o ) = ln cot( o ) = ln tan( o ) = ln tan o ) 0 I u och v blir ekvationen u + v =, dvs. en ellips i de na koordinaterna, vilka beskriver faktiskt ett koordinatsstem vriden om 45o. Kolla t.e. vad är u = 0 och v = 0. (Denna uppgift var jättesvår!) Använd binomialsatsen. Då tar termerna som innehåller ( 3) k med jämna eponenter k ut varandra. De andra termer delas ju med 3 och så blir a n ett rationellt tal. 3 Vi sätter f() = C. Observera att C > 0 eftersom f() = ( f( )). Vidare får vi ( f( n ))n = f(), alltså f( n ) = C n för n N. Använd nu igen 4 ekvationen för att få f( m n ) = ( C n) m = C m n där även m N, och därmed har vi f() = C för alla rationella. lim n n k=0 ( cos( + k) )k = lim n ( cos)n+ lim n + cos = n k=0 ( ( ) k cos )k = lim n + cos = + tan n ( cos )k = k=0 5 Omkrets av den inskrivna n-hörningen Omkrets av den omskrivna n-hörningen I n = n r sin n = rsin n n O n = n r tan n lim I n = lim = r n n Observera: I n A r O n, där A r är cirkelns omkrets p() 6 lim q() = 0 gradp < gradq p n q n gradp = gradq = n + gradp > gradq och koefficienterna framför de högsta termerna har samma tecken gradp > gradq och koefficienterna framför de högsta termerna har olika tecken

8 7 a) konvergent (teleskopsumma som eempel i boken) b) divergent (uppskattning analogt som i boken) c) konvergent (t.e. uppskattning med hjälp av a) ) d) divergent (redan själva termer väer över alla gränser) e) divergent (OBS: Termerna är konstanta, eftersom n förekommer inte!) 8 f är deriverbar med kontinuerlig derivatan för alla 0. För = 0 gäller följande: f är kontinuerlig i = 0, eftersom lim 0 sin = 0 = f(0) f är även deriverbar i = 0, eftersom lim sin 0 0 är inte kontinuerlig, efter- { sin Men derivatan f () = cos 0 0 = 0 som lim f () inte finns! 0 = lim 0 sin finns (= 0). Lektionsblad 0- Lilla Lasse: ett enda moteempel räker, för att se att en sådan formel inte kan stämma. t.e a =, b = 0. (Obs: Eemplet behövs! Annars vet man ju inte om det verkligen finns ett...) Fördelaktigt att dela upp i faktorer är det till eempel i de följande situationerna: förkorta ett bråk hitta den minsta gemensamma nämnaren lösa ekvationer lösa olikheter Nej, största värde av andragradspolnom i Ö-3 finns inte. (Obs: är inte största värdet!) Lektionsblad 0- Bråkräkningsuppgifter blir 4 och 7. utan absolutbelopp: [] alla [] 0 [3] inga [4] = 0.