201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

Transkript

1 Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a b. ( ) 4 c. ( + ) ( ) 4 d. e. g. i. k. + + ( + ) f. h j. l. + m. e + n. ( )e o. ln p. ln ( + + ) q. ln + a + + a + b r. sin s. sin sin + cos u. ln tan + π 4 t. esin v. w. tan. log e y. ln 0. (A) Beräkna höger- och vänsterderivatorna i = 0 till följande funktioner: a. f() = b. f() = sin 0. (A) Beräkna dy d av: uttryckt i och y då funktionen y = y() definieras a. y + y = b. + y y = c. y = + e y

2 04. (B) Låt y = ln ( + ) +. Ange på enklaste form ( + )yy. 05. (B) För vilka värden på konstanterna a och b är funktionen deriverbar i punkten =? f() = om a + b om > 06. (B) Genom y = y definieras en funktion y(). Beräkna dy d uttryckt i och y. 07. (B) Verifiera att a() b() c() d() = a () b () c() d() + a() b() c () d (). 08. (A) Bestäm andraderivatorna till a. b. (sin (ln ) + cos (ln )) 09. (A) Kontrollera att a. y y + y = 0 då y = e sin b. y = (y )y då y = + 4 c. y y = då y = 0. (A) Beräkna y e y och förenkla så långt som möjligt: y = ln (e + e ).. (A) Beräkna för y = + 4 ln + uttrycket y + y y och förenkla så långt som möjligt.. (B) Bestäm: a. y (4) då y = e cos b. y (0) då y = e. (B) Beräkna n:te derivatorna till funktionerna: a. f() = e b. f() = ln 4. (B) Låt f() = sin 4 sin. Beräkna f () f() så långt som möjligt. då f() 0 och förenkla

3 5. (B) Bestäm dy d och d y d uttryckta i t då = ln ( + t ) y = t arctan t. 6. (B) Beräkna d y dr d uttryckt i dv och d r dv, då = r(v) cos v y = r(v) sin v. 7. (A) Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan y = ( + ) i punkten: a) (,0), b) (,), c) (,0). 8. (A) För vilka är tangenterna till y = och y = parallella? 9. (A) En normal till y = ln är parallell med linjen y =. Bestäm normalens ekvation. 0. (B) En cissoid har ekvationen ( + y ) ay = 0, a > 0. Bestäm normalens ekvation i punkten (a,a).. (B) Tangenten i punkten P till kurvan y = 4 skär y aeln i punkten A. Visa att punkten A ligger lika långt från P som från origo!. (C) Tomten har parkerat sin kälke i punkten (,0) i y planet. Han befinner sig i origo och håller i ett längdenhet längt rep, vars andra ände är fastsatt i kälken. Den 4 december börjar tomten sin färd i positiva y aelns riktning och släpar kälken efter sig. Kälken kommer då att beskriva en viss kurva y = f(), 0 <. Bestäm f. (Vi förutsätter att repet mellan kälken K och jultomtens hand I hela tiden är spänt och tangerar kurvan i punkten K. Punkten I ligger på y aeln och ligger på avståndet från K.). (A) Beräkna gränsvärdena: a. lim 0 c. lim a tan sin ( a) a b. lim 0 cos 4. (B) Beräkna gränsvärdet lim 0 tan sin.

4 Ledningar till uppgifterna Deriveringsreglerna finns på sid 05, 0,, 4, 6, 9,. 0. Definitioner på sid 0. Jämför eempel 4 på sid Derivera implicit, jämför eempel på sid Räkningarna blir enkla om man deriverar y = ln ( + ) + implicit. Jämför eempel på sid Funktionen måste dels vara kontinuerlig i punkten, dvs lim f() = lim f() a + b = dels måste höger- och vänsterderivatorna vara lika, dvs f +() = f () a = Derivera implicit, jämför eempel på sid 5.. Jämför eempel 4 6, sid 47.. Jämför eempel 4 6, sid dy d = dy d = y ; d y d = d y d = d y d 6. Se föregående uppgift. 7. Se avsnitt Se avsnitt Se avsnitt Jämför eempel 4, sid 5.. Om P = ( 0, y 0 ) så är A:s y koordinat

5 . Härled först att f () =. För att integrera sätt = t.. a. tan = sin, använd sedan att lim cos t 0 sin t t =. b. Använd att cos = sin (/) och skriv om uttrycket till sin(/) (/) sin t, använd sedan att lim =. t 0 t c. Bråket kan skrivas, sätt a = t och använd att lim t 0 sin t t =. sin ( a) a + a 4. Använd att tan sin = sin sin ( cos ) = cos cos sin (/). Uttrycket i uppgiften kan med hjälp av detta skrivas: sin sin (/) / cos 5

6 Svar till uppgifterna a b. 4( ) ( ) c. (7 + )( + ) ( ) d. + ( + ) e. ( + ) f. g. h. i. ( + 4) j. k. + l. ( + ) / ( ) / m. ( + )e + n. ( + )e o. q. s. u. p. + + a + b r. sin (sin + cos ) t. cos e sin cos v. (ln + ) w. tan ln cos + tan y. 0. ln 0. a. f (0+) = ; f (0 ) = b. f (0+) = ; f (0 ) = 0. a. c. ( + y ) e y e y b. y y a = ; b = 06. y y ln y y ln 6

7 08. a. ( ) 5/ b. sin (ln ) ( + ). a. 4e cos b. 0 e ( ). a. f (n) () = e ( + n) b. f (n) () = + ln då n = ( ) n (n )! n då n dy d = t t ; d y d = (t + ) 4t 6. d y d = r + r rr ( r sin v + r cos v) 7. Tangent Normal a. y = 4 ( + ) y = b. y = = c. = y = 0 ( + ) 8. 0, 9. y = e 0. + y a = 0. f() = ln +. a. b. / 4. / c. /(a) 7