MAA151 Envariabelkalkyl läsåret 2016/17

Transkript

1 Lektionsuppgifter A Omgång 1 (5) Funktioner 1. Bestäm inversen till funktionen f efiniera enligt f() = 1/ 1. Specificera speciellt inversens efinitionsmäng och väremäng. Skissa även i ett och samma koorinatsystem graferna till f och f Låt f() = + 1, g() = e och h() = ln( + 3). Bestäm sammansättningen f g h, och specifiera ess efinitionsmäng och väremäng. 3. Låt f() =. Förklara och illustrera hur funktionskurvan y + 3 = f( 2) kan konstrueras utifrån funktionskurvan y = f(). 4. Avgör om funktionen f efiniera genom f() = /( + 1), > 1 är väane, strängt väane, avtagane, strängt avtagane eller ingetera av essa fyra alternativ. 5. Avgör för var och en av funktionerna f 1, f 2, f 3, f 4, efinierae genom f 1 () = e, f 2 () = ( + 1) 2 + 1, f 3() = 1/, f 4 () = sinh(), huruvia en är begränsa, uppåt begränsa, neåt begränsa eller (helt) obegränsa. 6. Låt f() = sin(). Förklara och illustrera hur funktionskurvan y = 2f(4/3) kan fås utifrån grafen till f.

2 Lektionsuppgifter A Omgång 2 (5) Gränsvären, kontinuitet, geometriska serier 1. Bestäm gränsvärena. a) lim b) lim sin(3) ( c) lim + 2 ) + e) lim f) lim + g) lim ln(1 7) ( ) 4 arcsin(/3) ( 2 + 4) 10 ) lim sin(1/) h) lim + ( ln() ) 5 + 2, 3 < < 2, 2. Är funktionen f, efiniera genom f() = 2, 2 < 0, + 2, 0 < 1, kontinuerlig eller ej? 3. Bestäm lim + sin ( arctan(ln()) ). 4. Förklara varför serierna i (a) (b) är geometriska (symbolen... betecknar här övriga termer i en geometrisk serie). Avgör sean vilka av em som är konvergenta. Bestäm även summorna av e serier som är konvergenta. a) 9 + 3π + π b) n=2 ( 1 2) n c) Bestäm en potensserie i, vs c n n, som representerar uttrycket /(1 3). n=0 Specificera särskilt konvergensintervallet till serien och seriens koefficienter.

3 Lektionsuppgifter A Omgång 3 (5) Derivator, använning av erivator 1. Bestäm uttrycken för erivatorna och skriv svaren på en så enkel form som möjligt. a) 3 ln() ) 3 3 cosh() g) 4 4 sin() b) e) (5 + 1)17 h) e32 7 c) arctan( 1) f) ln 1 + cos(2 ) i) arcsin(3) 2. Funktionen f är eriverbar, och et är bekant att f(0) = 2, f(1) = 2, f(2) = 5, f(3) = 4, f (0) = 1, f (1) = 3, f (2) = 7, f (3) = 2. Bestäm en ekvation för tangenten till funktionskurvan y = f( ) i en punkt P vars -koorinat är lika me Visa att funktionen f() = är inverterbar. Bestäm sean erivatan till en inversa funktionen f 1 i punkten Klassificera alla lokala etrempunkter och bestäm väremängen för funktionen f efiniera enligt f() = , D f = [ 2, 3]. Skissa sean i stora rag funktionskurvan y = f() och bestäm i vilka intervall som funktionen är konve respektive konkav. Ange även kurvans infleionspunkter. 5. Den viktae summan av två icke-negativa tal är 2. Vilka är talen om vikterna är 3 respektive 4, och summan av et första talet och kuben av et anra är minimal? Bevisa in slutsats! 6. Låt γ : { = t 3/2, y = 1/ t. Bestäm en ekvation för tangenten τ till kurvan γ i punkten P : (8, 1 2 ). 7. Vilken punkt på kurvan γ : y = ligger närmast punkten P : (1, 0)?

4 Lektionsuppgifter A Omgång 4 (5) Primitiva funktioner, ifferentialekvationer 1. Bestäm e generella primitiva funktionerna till... a) b) ( + 3)( 2) c) (2 3) cos() 2. Lös begynnelseväresproblemet y + 2y =, y(1) = Bestäm en allmänna lösningen till ifferentialekvationen 6y + 5y + y = Bestäm alla primitiva funktioner till... a) 1 + ( + 1) 2 b) 5. Lös begynnelseväresproblemet 1 ( + 1) 2 c) { y + 2y + y = 0, y(0) = 5, y (0) = Bestäm till ifferentialekvationen y + 4y = 0 en lösning som satisfierar begynnelsevillkoren y( π 2 ) = y ( π 2 ) = 2.

5 Lektionsuppgifter A Omgång 5 (5) Integraler 1. Bestäm arean av et områe som i en första kvaranten precis innesluts av kurvorna y = och y = 2/(1 + 2 ). 2. Använ Taylorutvecklingen av orning 2 för funktionen f 3 kring punkten 8 för att bestämma ett så bra närmeväre som möjligt till Beräkna integralen 3/2 1/2 ln(). 4. Avgör för var och en av funktionerna f 1, f 2, f 3, f 4, efinierae genom f 1 () = cosh(), f 2 () = + 5/, f 3 () = 2 sin() + / cos(), f 4 () =, huruvia en är jämn, ua, eller varken jämn eller ua. 5. Bevisa att integralen 3 5 sin() kan uttryckas som sin(). 6. Beräkna integralen e 2 sin 4 (). 7. Beräkna integralen 13/ 2 ( ) genom att tolka en som arean av ett visst områe. 0