MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Tel.:

Transkript

1 MATEMATIK Datum: Ti: förmiag Chalmers Hjälpmeel: inga A.Heintz Telefonvakt: Tel.: Lösningar till tenta TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, el A.. Sats Ange "geometriska" beviset till gränsväret lim x0 sin(x)x:. Gränsväre och kontinuitet. ) Ange e nition för funktion kontinuerlig i en inre punkt på e nitionsintervall. ) Betrakta följane funktion: f(x) (cos(x)) x ; för x 6 0 och 0: x 0: ; för x 0 Bestäm om f är kontinuerlig i origo eller inte och ange ett fullstänigt bevis varför. Lösning. För att bestämma om funktionen är kontinuerlig i origo, måste man först beräkna gränsväret lim x0 f(x): lim (cos(x)) x lim exp ln(cos(x)) lhopitals_regel lim exp sin(x) x0 x0 x x0 cos(x) exp(0) : Detta meför att funktuionen är kontinuerlig i origo eftersom f(0) lim x0 f(x):. Derivering. Beräkna erivatan av funktionen f(x) arctan p + x Lösning. arctan p + x x x arcsin (x ) (arcsin x ) p x + (x + ) arcsin (x ) x arctan p x + arcsin x p x 4 4. Tillämpning av erivator. Betrakta funktionen :

2 x + sin (x) ; för 0 x g(x) sin (x) ; för x < 0 e niera på intervallet [ ; ]. Bestäm alla singulära punkter, lokala extrempunkter, absolut maximum och absolut minimum på et intervallet (om e existerar). Bestäm böjningspunkter (in ection points), och e intervall är funktionen är konkav uppåt och konkav neråt. Rita en skiss av grafen till funktionen. (p) Lösning. Funktionen är kontinuerlig i punkten x 0 eftersom vänster och höger gränsvären i en punkten båa är lika me. Vi vet ännu inte om et nns erivata i en punkten. Vi beräknar erivator av funktionen utanför x 0: g 0 (x + sin (x)) cos (x) + ; för 0 < x (x) x (sin (x) ) cos(x); för x < 0 x Vi ser att vänster erivatan i punkten x 0 är lika me cos(x)j x0 och höger erivata är lika me ( cos (x)+)j x0 : Det visar att erivatan nns inte i en punkten och att x 0 är en singulär punkt för g. Det är inte lokal extrempunkt eftersom erivatan är positiv på båa sior av en punkten, funktionen växer båe för x < 0 och x > 0 för x nära origo. Från våra beräkningar är et lätt att stationära punkter till g blir rötter till ekvationer: cos(x) för x < 0 och till ekvationen cos (x) + 0 eller cos (x) för 0 x. Det ger första stationära punkten x 4 i första fallet. I anra fallet x och anra stationära punkten blir x. Anra erivatan av funktionen är: g 00 (x) x (x + sin (x)) 4 sin x; för 0 < x x (sin (x) ) 4 sin x; för x < 0 Vi ser att g 00 (x ) g 00 ( 4) 4 p > 0; g 00 (x ) g 00 () 4 p < 0. Detta meför efter anra erivatans test att g har ett lokalt minimum i x 4; g( 4) p + och ett lokalt maximum i x ; g(x ) + sin + : Ranpunkterna är också lokala extrempunkter till funktionen: g har lokalt minumum i x och lokalt maximum i x : Vi jämför vären av g i essa

3 punkter me vären av funktionen i punkterna x och x så observerar att g har absolut minimum i x och absolut maximum i x : Vi ovserverar också att g 00 (x) > 0 för 0 < x <. Det betyer att funktionen g är konkav uppåt för är konkav neråt for 0 < x <. Grafen till g är: < x < 0, g 00 (x) < 0 för < x < 0 och g y x Taylors polynom. Ange Taylors polynom av gra runt punkten a me felterm på Lagranges form för funktionen: f(x) p x: Uppskatta feltermen i fall x :. Lösning. (p x) x p x ; ( p x) x x Allmän form på Taylors polynom är: 4x x 4 ; x ( p x) 8x f(x) f(a) + f 0 (a)(x ) + f 00 (a)(x a) + 6 f () (s)(x a) är E(x) f () (s)(x a) är felterm på Lagranges form och s ligger 6 mellan och x. För givna funktionen f(x) + (x ) + 4 (x ) + s (x ) 6 8

4 + (x ) 8 (x ) + Feltermen för s : är: E(:) (: ) 6 s 6 s 6 s (x ) 0:06 0 0:00006: Alltså E(:) 0:00006: (: ) s 6 (0:) 6. Gränsväre. Beräkna gränsväret: x tan(x) lim x0 cos(x) Du får använa l Hôpitals regel eller Taylors polynom. Lösning. Taylors polynom för tan och cos meför att tan(x) x + O(x ); x 0. cos(x) x + O(x ); x 0. lim x tan(x) x(x+o(x x0 lim )) (x cos(x) x0 lim +O(x )) ( (x) +O(x )) x0 x +O(x ) lim x0 (+O(x)) +O(x) 7. Geometri i rummet. Bestäm avstånet mellan punkten me koorinater (; ; ) och planet me ekvationen x y + 4z 6 0: Bestäm också om punkten me koorinater (0; ; ) ligger på samma sia planet som första punkten. Lösning. Avstånet mellan punkten me koorinater (P x ; P y ; P z ) och planet me ekvationen Ax + By + Cz D 0 beräknas enligt formeln: s AP x + BP y + CP z D p ( ) A + B + C p p 4 9 p 9 Om vi skriver om ekvationen för planet på formen Ax + By + Cz D A (x x 0 ) + B (y y 0 ) + C (z z 0 ) 0 och samma på vektor form N ( r r 0 ) 0 så är et lätt att observera att uttrycket N P r 0 är skalär proukten av normalen N till planet och vektorn mellan punkten r 0 på planet och punkten P: Den skalära proukten har olika tecken: plus eller minus, för punkter P som ligger "ovanför" och "uner" planet. Lägg märke till att uttrycket AP x + BP y + CP z D är 4

5 negativt för första punkten: AP x + BP y + CP z D ( ) > 0: Liknane uttryck för anra punkten är positivt: (0) () + 4 () > 0. Detta meför att punkterna ligger på samma sia planet x y + 4z Geometri i rummet. Ange en ekvation för planet som går genom tre punkter me givna koorinater: B(; 0; ), C(; ; 0), D(4; ; ): Svar: x + y + z 9 0: Lösning. Planet e nieras av en punkt och normalvektorn. Som punkt på planes kan vi ta en av givna punkter, till exempel C(; ; 0): Normalen till planet måste vara vinkelrät mot vektorer mellan punkterna till exempel: CB och DC eftersom e är parallella till planet. Normal till planet kan beräknas å som vektorproukt N BC CD: CB 4, DC 4 0, CB DC et 4 e x + e y + e z 4 ex ey ez 0 Ekvationen för planet blir: (x ) + (y ) + z 0 om vi väljer punkten C(; ; 0) för att skriva ner ekvationen. Vi får förenkla ekvationen som x + y + z 9 0: Tips: Börja lösa uppgifter från en som verkar vara lättats, ta sean en som känns vara näst lättast o.s.v. Maxpoäng: 4 ; : 7; 4: ; : 7