MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.:

Transkript

1 MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.: Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats. Formulera och bevisa första l Hopitals regel. Kolla bevis i boken.. Kontinuitet. i) Formulera de nitionen på en funktion kontinuerlig i en punkt. ii) Två funktioner f och g;är båda ode nierade i punkten 0: f() sin (ep() ) och g() ep : Bestäm om någon av dessa funktioner kan utvidgas till punkten 0 (d.v.s. om f(0) eller g(0) kan de nieras i punkten 0) så att funktionen blir kontinuerlig i den punkten. I fall det är möjligt ange hur man kan göra det. Funktionen f är ode nierad i punkten 0: f() sin (ep() ) : i) Funktion f de nierad på ett öppet intervall kring punkten a är kontinuerlig om lim a f() f(a): ii) (ep() ) sin (ep() ) (ep() ) eftersom sin. lim 0 (ep() ) 0. Instängningssatsen medför att lim 0 sin (ep() ) 0: Funktionen f är kontinuerlig på reella linjen utan punkten 0. Den kan de nieras i punkten 0 som f(0) 0 och blir kontinuerlig på hela reella linjen. Funktionen g() ep saknar gränsvärde då 0. Det följer från att högergränsvärdet är lim 0+ ep ;och vänstergränsvärdet lim0 ep 0. Vänstergränsvärdet är självklar, betrakta högergränsvärdet: ep ep är ep ep obestämd form av typ ( ): Vi använder l Hôpitals regel lim lim ep lim : 0+ Funktionen g kan inte de nieras i punkten 0 så att den skulle bli kontinuerlig.. Tillämpning av derivator. Betrakta funktionen: + g() +, < 0 e, 0 Bestäm punkter där funktionen inte är kontinuerlig, singulära punkter, lokala etrempunkter, absolut maimum och absolut minimum om de nns.

2 Bestäm de intervall där funktionen är väande, avtagande, böjningspunkter (in ection points), och de intervall där funktionen är konkav uppåt och konkav neråt. Rita en skiss av grafen till funktionen. (p) Funktionen g är kontinuerlig på hela reela linjen eftersom i punkter utanför origo den är ett polynom eller summan av produkter av kontinuerliga funktioner. Den är också kontinuerlig i origo eftersom lim 0+ g(f) lim 0 g(f) 0: 6 + g 0 () +, < 0 e e, 0 g 0 () ( + ) ( + ), < 0 (e ) ( ), 0 Vänster derivata i origo är lika med, höger derivata i origo är. Funktionen saknar derivatan i origo och 0 är en singulär punkt. Kritiska punkter är:,,. f 0 () ändrar tecknet från minus till plus i maimum i. f 0 () ändrar tecknet från plus till minus i minimum i.. Detta medför att f har ett lokalt. Detta medför att f har ett lokalt f 0 () är positiv på båda sidor av singulära punkten i origo. Detta medför att f har inget lokat etremum i 0 f() % \ lok. ma.\ & \ böjning & [ lok.min.[ % [ sing. % \ lok. ma.\ f 0 () + & 0 & % 0 + % nns ej + & 0 f 00 () nns ej f är väande på interval ( ; ); ( ; ), och är avtagande på intervall (; ); ( ; ). Funktionen f(), då. Det nns inget absolut(globalt) minimum på grund av detta. f( ) + 7 ( ) > f() + + j + < 8. Detta medför att f har ett globalt maimum i : g 00 () + 6 ( + ), < 0 e e (e ) ( ) 0 punkterna och är böjningspunkter, eftersom g 00 () 0 där ( f 0 () och tangenten nns i dem och första derivata byter tecken där. Funktionen f har graf konkav uppåt på intervall ( ; 0) och (; ); och är konkav neråt på intervall ( ; ) och (0; ): Graf av funktionen:

3 7. y Linjär approimation. Betrakta funktionen f() arctan() och linjär approimation kring a för ; : Uppskatta feltermen för den approimationen och ange intervallet där värdet arctan() måste ligga enligt dessa uppskattningar. L() f(a) + f 0 (a)( a): f() L() + E() L() + f 00 (s)( a) E() f 00 (s)( a) : där s ligger mellan a och. I vårt fall a ; ; ( a) 0; ; ( a) 0; 0. f 0 (a) d (arctan()) d + ; f 00 (a) d d (arctan()) ( +) f 000 (a) d d (arctan()) ( + ) ( ) L().j ; ; Talet s i formeln för feltermen E() f 00 (s)( a) ligger mellan a och ;. Vi observerar först att f 00 (s) s < 0 och E() f 00 (s)( a) < 0. (s +) f 000 (s) (s + ) (s ) > 0 för s (; (; )) eftersom s > för dessa s: Dett medför att f 00 (s) är en väande funktion på det intervallet (och negativ). Det gör att minimala (och negativa) värdet för f 00 (s) på intervallet [; (; )] antas i punkten s ; d.v.s. f 00 () < f 00 (s) < 0. Absolut belopp av jf 00 (s)j antar då sitt maimum i punkten s ; d.v.s. jf 00 (s)j < jf 00 ()j. f 00 () 0:. vi ser att f 00 ()( a) < f 00 (s)( a) < 0 eller f 00 ()(0; ) < f 00 (s)(0; ) < 0 och till slut f 00 ()(0; ) < E() < 0. f 00 ()(0; ) 0; (0; ) 0; 00 och då 0; 00 < E() < 0: Detta medför att ; 097 < arctan(; ) < ; eftersom : 0:00 : 097 :

4 . Gränsvärden. Beräkna gränsvärdet: lim Låt + y : ( ln ln() +) ( )(ln ) (y y y +O(y )) y ln(y+) ( y +O(y )) y ln(y+) ln(y+) ((+y) ln(+y) y+) (y)(ln(+y)) ln() y + O (y ) (y+o(y )) + O (y) då y 0. Detta medför att (+O(y)) lim ( ln +) lim ((+y) ln(+y) y+) ( )(ln ) y0 lim (y)(ln(+y)) y0 ((y+) ln(y+) y) ((y+)(y y +O(y )) y) y ln(y+) y ln(y+) (+O(y)) y + O (y ) + O (y) : 6. Geometri i rummet. Beräkna avståndet mellan punkten A (; ; ) och linjen + y + z 8 (p) Avståndet d mellan linjen med ekvationen 0 V y y 0 V y z z 0 V z och P 0 ( 0 ; y 0 ; z 0 ) är en punkt på linjen och en annan punkt A (A ; A y ; A z ) är: A P 0 A A V P 0 V 0 P 0 V p + + p 7 d j( A P 0) V j j V j d 8 A 0 P 0 V V ; V det i j k 0 p p 8 7 p 7 7 där V är riktningsvektor 8i j +k 7. Geometri i rummet. Ange ekvationen för ett plan genom punkten P 0 (; ; ) som är parallelt med två linjer med ekvationer y + z 7 och + y z + : Ekvation för ett plan med normalvektorn N genom en punkt P 0 ( 0 ; y 0 ; z 0 ) är: N ( 0 ) + N y (y y 0 ) + N z (z z 0 ) 0: Vi behöver bestämma normalen till sökta planet. Den kan väljas som vektorprodukt av riktningsvektorer V, V av givna linjer eftersom båda linjerna parallella med sökta planet måste vara vinkelräta mot planets normal. 8

5 V ; V ; V V Ekvationen för sökta planet kan skrivas som 9( ) + (y ) + (z + ) 0, eller 9 + y + z N 8. Vektorer. Betrakta triangeln ABC med hörnpunkter A, B, C med vektorter AB; och AC givna: Ange en formel som ger vektorn AM där punkten M är mittenpunkt på sidan BC i triangeln. AM AB + 0: AC AB 0:( AC + AB) Tips: Börja lösa uppgifter från den som verkar vara lättats, ta sedan den som känns vara näst lättast o.s.v. Mapoäng: 0 ; : 0; : 0; : 0