Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Transkript

1 Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Uppgifter märkta med redovisas 1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan Givet a = 1,23, E a = 0,005 c = 0,00438 ± 0, b = 23,71, E b = 0,003 d = 20,104 ± 0,2 Hur många korrekta decimaler och signifikanta siffror har närmevärdena? Hur många korrekta decimaler och signifikanta siffror har närmevärdena? 2. Antag att alla givna siffor är korrekta för nedanstående värden: a = 1, b = 23,6212 d = 13,1 Skriv a, b, c och d med fyra korrekta siffror. c = 4, Låt x = 1,2 ± 0,3 och y = 8,2 ± 0,1 Beräkna z med absoluta och relativa felgränser i följande fall: a) z = x + y b) z = 0,7x c) z = 3x + 7y 4. Låt x = 7,2 ± 0,3 och y = 4,7 ± 0,1 Beräkna z med absoluta och relativa felgränser i följande fall: a) z = 0,4xy b) z = y 2x c) z = x3 y (a) Låt x = 1,414 och y = 0,09125 vara värden givna med 4 korrekta siffror. Ange z 1 = x + y och z 2 = x y med rätt antal korrekta siffror. (b) Låt x = 31,415 och y = 0, vara värden givna med 5 korrekta siffror. Ange z 1 = x + y och z 2 = x y med rätt antal korrekta siffror. 6. a) Låt y = x + sin(x).bestäm ett närmevärde på y om x 2,222 (3 korrekta decimaler). Ge en bra felgräns för y och ange antalet korrekta decimaler och siffror i y. b) Låt y = cos(t). Bestäm ett närmevärde på y om t = 0,02 ± 0,01. Ge en bra felgräns för y. Tips: Använd 3 termer i Taylor-utvecklingen. 7. Låt y = 5e x sin(t). Bestäm ett närmevärde på y om x 0,34 (2 korrekta decimaler) och t 1,3 (1 korrekt decimal). Ge en bra felgräns för y och ange antalet korrekta decimaler och siffror i y. 8. Låt f(x) = x 3 15,1x Fyll i tredje kolumnen nedanstående tabell (det räcker med 4 korrekta siffror)

2 x x e f (x) = f( x) f(x) E f f ( x) E x 9,4 9 9, , ,6 11 Notera att x x < 0,5 = E x. Uppskatta med hjälp av fortplantningsformeln E f ovanstående tabell. Ser du några problem med denna uppskattning? Hur skulle du göra en bättre uppskattning? f ( x) E x och fyll i fjärde kolumnen i 9. Läs om kancellation och utskiftning sidan 1.5. a) Beräkna 800, på räknedosan. Beräkna också värdet av det ekvivalenta uttrycket 0, , Varför blir resultaten olika? Vilket resultat är mest noggrant? b) Låt x = 0,001 (exakt). Beräkna f(x) = 2 sin(x) sin(2x) på räknedosan. Beräkna också värdet av det ekvivalenta uttrycket f(x) = 4 sin(x) sin 2 (0,5x). Varför blir resultaten olika? Vilket resultat är mest noggrant? 10. Låt f(x) = π cos(x) x. Bestäm nollstället f(x) = 0 i intervallet [0, 3,2] med två signifikanta siffror med intervallhalveringsmetoden. 11. Antag att ekvationen 2 x e x = 0 har en lösning nära x = 0,45. Gör två iterationer med Newton-Raphsons metod för att hitta lösningen och ange en feluppskattning för svaret. 12. Antag att ekvationen x = 5(1 e x ) har en lösning nära x = 5. Gör två iterationer med sekantmetoden för att hitta lösningen och ange en feluppskattning för svaret. 13. Bestäm en lösning till ekvationen e x 2 = ex 2 + x med minst 3 korrekta decimaler med Newton- Raphsons metod. Tips: Nollstället ligger mellan 0 och Bestäm en lösning till ekvationen 7e y2 = 5 med minst 3 korrekta decimaler med sekantmetoden. Tips: Funktionen har två nollställen. Ett mellan 0 och 1 och ett mellan 0 och Beräkna hur många iterationer med intervallhalveringsformeln som skulle behövas för att hitta ett nollställe för funktionen f(x) = 3x 2 + sin(x 11) e cos(ln(x)) i intervallet [0,2] med 4 signifikanta decimaler. Tips: Om din miniräknare inte har log 2 så gäller log 2 (a) = log(a) log(2) där log är logaritmen avseende på valfri bas. 16. a) Gör minst tre iterationer för att beräkna roten till ekvationen x = 0,2 cos(x) med fixpunktsmetoden och gör feluppskattning (metodoberoende). b) Beräkna en rot till ekvationen x = 3 cos(x) med minst 2 korrekta decimaler med fixpunktsmetoden (ekvationen måste först skrivas om för att få konvergens). 17. Läs om Newton-Raphsons modifierade metod sidan 2.7. Lös x = 1 0,8 sin(x) med denna metod. Använd f (a) f (x 0 ).

3 Lösningar och svar 1. korrekta signifikanta decimaler siffror a 2 3 b 2 4 c 5 3 d Om vi skriver ut de olika värdena med 4 korrekta siffror får vi a = 1,435 b = 2, c = 4, det är inte möjligt att skriva d med fyra korrekta siffor då vi endast har tre korrekta siffror ifrån början. 3. Låt x = 1,2 ± 0,3 och y = 8,2 ± 0,1. a) Med z = x + y får vi approximationen z = x + ỹ = 1,2 + 8,2 = 9,4 och den absoluta felgränsen E z = E x + E y = 0,3 + 0,1 = 0,4. z = 0,4 9,4 = 0,043. b) Med z = 0,7x får vi approximationen z = 0,7 x = 0,7 1,2 = 0,84 och den absoluta felgränsen E z = 0,7E x = 0,7 0,3 = 0,21. z = 0,21 0,84 = 0,25. c) Med z = 3x + 7y får vi approximationen z = 3 x + 7ỹ = 3 1, ,2 = 61 och den absoluta felgränsen E z = 3E x + 7E y = 3 0, ,1 = 1,6. z = 1,6 61 = 0, Låt x = 7,2 ± 0,3 och y = 4,7 ± 0,1. a) Med z = 0,4xy får vi approximationen z = 0,4 xỹ = 0,4 7,2 4,7 = 13,536 och den relativa felgränsen R z = R x + R y = E x ỹ = 0,3 7,2 + 0,1 4,7 = 0,063. Den absoluta felgränsen blir E z = R z z = 0,063 13,536 = 0,86.

4 b) Med z = y ỹ får vi approximationen z = 2x 2 x = 4,7 2 7,2 = 0,3264 och den relativa felgränsen R z = R x + R y = E x ỹ = 0,3 7,2 + 0,1 4,7 = 0,063. Den absoluta felgränsen blir E z = R z z = 0,063 0,3264 = 0,021. c) Med z = x3 y 3 = 8,245 och den relativa felgränsen 1000 får vi approximationen z = 7,23 4, Den absoluta felgränsen blir R z = 3R x + 2R y = E x ỹ = 3 0,3 7, ,1 4,7 = 0,168. E z = R z z = 0,168 8,245 = 1, a) Enligt felfortplantningsformeln: E y y E x 0,2707 0,0005 0, ,0002, y = 2,2860 ± 0, korrekta decimaler, 4 korrekta siffror. b) Enligt felfortplantningsformeln med två termer: E y y E t + y 2 E2 t 0,02 0, , , ,0003, y = 0,9998 ± 0, korrekta decimaler, 3 korrekta siffror. 7. Löses enklast genom att använda den flerdimensionella varianten av felfortplantningsformeln (sidan 1.4 i Egnesund) n E f E i f xi (x) i=1 på y = f(x,t) = 5e x sin(t) med x = ( x, t) = (0,34, 1,3) E y f x ( x, t) E x + f t ( x, t) E t = 5e 0,34 sin(1,3) 0,005+ 5e 0,34 cos(1,3) 0,05 0,0647 Alternativ lösning: y = 5e x sin(t) = a(x)b(t) Kan då konstatera att R y = R a + R b Ea ã + E b b Med E a a ( x) E x och E b b ( t) E t fås R y = R a + R b 5e 0,34 0,005 5e 0,34 + cos(1,3) 0,05 sin(1,3) = 0,005 + tan 1,3 0,05 0, Resultaten kan bli olika på olika räknedosor. MATLAB ger: a) 800, , , , (ca 14 decimaler, dvs 9 korrekta siffror). 0, , , (ca 16 korrekta siffror, mest noggrant). b) f(0,001) = 2 sin(0,001) sin(2 0,001) 9, , f(0,001) = 4 sin(0,001) sin 2 (0,5 0,001) 9, (mest noggrant).

5 Det är alltid uttrycket utan subtraktion som är mest noggrannt eftersom det inte kan ske någon cancellation. 10. x x 2 = , feluppskattning: E x = Ez f (x 2 ) = f(x 2) f (x 2 ) x 2 = , feluppskattning: E x = Ez f (x 2 ) = f(x 2) f (x 2 ) x Här behöver vi inte bry oss om den specifika funktionen, utan vi kan direkt använda oss av formeln = b a 2 n+1. = b a 2 n+1 2n+1 = b a n = log 2 Då vi har 4 signifikanta decimaler så är = 0, n = log 2 ( b a ) 1 = 14,29 ( b a ) 1 Då vi bara kan göra ett helt antal iterationer så avrundar vi svaret uppåt n = a) Till exempel x 0 = 0,2, x 1 0, , x 2 0, , x 3 0, f(x) = x 0,2 cos(x), E a f(x 3) f 2, (x 3 ) b) Ekvationen har flera rötter. Vi väljer den rot som ligger i intervallet [0,π]. I detta intervall är ekvationen ekvivalent med x = G(x) = arccos( x 3 ) som ger konvergens för fixpunktsmetoden. Låt t ex Rätt rot: x 1, x0 = 1, x 1 = , x 2 = 1,14799, x3 = 1,17812