Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna
|
|
- Marcus Eklund
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Intro till vektorer, matriser och Gausselimination 8. Den euklidiska normen x = x 1 + x + x n och x 1 + x + ( ) x n = x 1 x x n 9. Vi ska beräkna v u : = x 1 x. x n = x T x. = Snygga till ekvationssystemet och ställ på matrisform ger: Aug = Lös ur detta ut I 3, sedan I, sedan I 1 (bakåtsubstitution), vilket ger I 1 = 6, I = 5, I 3 = 1 (enheten blir ampere). 11. Ställ upp Aug: Aug = multiplikatorer: l 1 = 1 l 31 = För att hitta nästa multiplikator får man 0. Tricket då är att göra radbyte mellan rad och rad 3: Sedan kan man lösa ut de obekanta med bakåtsubstitution och får då lösningen x 1 = 17 10, x = 13 5, x 3 =. 1
2 1. Ställ upp Aug: Aug = multiplikatorer: l 1 = 1 l 31 = Här blir hela den andra raden 0 (utom högerledet). Nollraden säger att 0 x x + 0 x 3 = dvs 0 =, vilket är omöjligt. Om man gör ett radbyte liksom föregående uppgift blir den tredje raden fortfarande en nollrad, så det löser inte problemet. Det här ekvationssystemet saknar då lösning. Man säger att matrisen här är singulär. Saknar singulära problem alltid lösning? Nej, om högerledet istället varit b = 1 hade man fått Den andra ekvationen säger här att 0 = 0, vilket är sant. Det finns nu oändligt många lösningar. Programvara, t ex Matlab, upptäcker i sådana här fall att matrisen är singulär. Följande resultat får man om man försöker lösa problemet i Matlab: >> x = A\b Warning: Matrix is singular to working precision. x = NaN -Inf Inf Vad NaN och Inf betyder tas upp senare i kursen.
3 13. (a) Sätt och P A blir (testa!) P = P = (b) Sätt och P A blir P = P =
4 Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar algoritmens stabilitet och har inget med konditionstalet att göra. (c) Rätt. Utan pivotering är algoritmen instabil och då kan avrundningsfel ackumuleras så att noggrannheten i den beräknade lösningen blir mycket dålig. 8. (a) Hela sista raden i U består av nollor. Därmed kan vi dra slutsatsen att koefficientmatrisen i denna uppgift är singulär och att systemet saknar entydig lösning. Elimineringen i högerledet resulterar i att sista ekvationen i Ux = d blir 0 = 0. Slutsatsen blir att ekvationssystemet har oändligt många lösningar. (b) Att Matlab hittar en lösning är en effekt av flyttalsräkning. I flyttalsberäkningar blir inte sista ekvationen riktigt 0 = 0. Om man tittar på element U 33 ser man att sista elementet inte blir 0, utan och man kan anta att det finns avrundningsskräp i någon decimal. Det gör att Matlab felaktigt löser problemet. Däremot varnar Matlab att konditionstalet är väldigt högt. Om man beräknar det exakta (Matlabs backslash använder en uppskattning av konditionstalet) konditionstalet så ser man att det ligger på storleksordningen vilket, när dubbel precision används, betyder att matrisen kan vara singulär. Det här är ett exempel på att man inte okritiskt kan acceptera lösningar från programvaror, utan man måste ha kunskaper i hur beräkningsprogramvaror faktiskt fungerar. 9. (a) Givet att endast de två termerna skilda från 0 är behäftade med mätfel blir relativa felet i högerledet ( )/( ) (b) Relativt fel i x är enligt känd formel högst produkten av konditionstalet och relativa felet i högerledet. Nu är enligt uppgiften cond(a) Tillsammans med svaret i föregående deluppgift ger detta att relativa felet i x är högst ca < Detta är mindre än 1 % fel. (c) Om konditionstalet är 10 6 blir relativa felet i x högst ca Felet kan alltså vara större än 1 % i detta fall. 10. Om man utnyttjar LU-faktorisering ger det väsentligt kortare exekveringstid när vi vill lösa en följd av av ekvationssystem där alla systemen har samma koefficientmatris A och de olika högerleden inte är kända samtidigt. (Det kan till exempel vara så att varje nytt högerled beror 4
5 på lösningar till tidigare system i följden av ekvationssystem.) Man utför LU-faktorisering av matrisen en gång, sedan utför man framåtoch bakåtsubstitution för varje högerled. De relevanta parametrarna för att uttrycka tidsvinsten är m (antalet ekvationssystem som ska lösas), n (A är en n n-matris) och t f (ungefärlig exekveringstid för en flyttalsoperation). Tiden för att lösa varje nytt system med gausseliminering och bakåtsubstitution blir ca m ( (/3)n 3 + n ) t f. Tiden för att först göra LUfaktorisering och därefter lösa varje nytt system med framåtsubstitution och bakåtsubstitution blir ca (/3)n 3 t f + m ( n + n ) t f. Tidsvinsten då LU-faktorisering blir alltså ca (m 1)(/3)n 3 mn. 11. En tridiagonal matris har strukturen: d 1 f 1 e 1 d f A = e n 1 d n 1 f n 1 e n d n De underdiagonala elementen e i kommer att nollställas i eliminationsprocessen. Elementen på diagonalen förändras enligt d i = d i faktor f i 1, i =,..., n. De överdiagonala elementen f i förändras inte alls eftersom f i = f i faktor 0 = f i, i =,..., n 1. Högerledet b uppdateras som vanligt genom b i = b i faktor b i 1, i =,..., n. Vi tänker oss nu för enkelhets skull att vi lagrar diagonalerna i vektorer e, d respektive f och högerledet b. Algoritmen för Gausselimination blir då % Gausselimination av matris och högerled for k = :n faktor = e((k)/d(k-1) d(k) = d(k) - faktor*f(k-1): b(k) = b(k) - faktor*b(k-1); end Sedan utförs bakåtsubstitution, där vi för varje rad n, n 1,..., 1 nu enbart har tre element att hantera. Det blir då: 5
6 % Bakåtsubstitution x(n) = b(n)/d(n); for k = n-1: -1:1 x(k) = (b(k) - f(k)*x(k+1))/d(k); end 1. Se lösningsförslaget ovan. LU-faktorisering innehåller enbart elimination av koefficientmatrisen (högerledet elimineras i framåtsubstitutionen). Vi tittar alltså enbart på elimineringen av koefficientmatrisen, och i lösningen ovan sker det i de två första raderna inuti for-loopen (beräkning av faktor och av d(k)). Antalet flyttalsoperationer i dessa två rader är sammanlagt 3 (en division, en multiplikation och en subtraktion). For-loopen går n 1 varv så det totala antalet flyttalsoperationer för LU-faktoriseringen blir (n 1) 3 3n. 13. Sätt inledningsvis piv = 1:n. Ändra vidare i algoritmen för LU-faktorisering så att piv(k) och piv(i) används som radindex i koefficientmatrisen. När två rader ska byta plats med varandra håller vi ordning på detta genom att låta värdena piv(i) och piv(k) byta plats med varandra i piv. På så vis kommer raderna i koefficientmatrisen att bearbetas i rätt ordning (enligt radpivoteringen) utan att vi fysiskt behöver byta plats på raderna i koefficientmatrisen. 14. Operationen P b ersätts av att vi tar elementen i b i den ordning som anges av piv. I övrigt behövs inga förändringar av algoritmen. 6
7 Integraler 6. I uppgift 3c var steglängden h 1 = 1/4 och diskretiseringsfelet upskattades med tredjedelsregeln till ca Absolutbeloppet av diskretiseringsfelet var alltså något mindre än , vilket innebär att integralen approximerades med en korrekt decimal. Vi söker nu steglängden h = d (1/4) så att absolutbeloppet av diskretiseringsfelet blir (vilket innebär sex korrekta decimaler). Diskretiseringsfelet i trapetsmetoden är proportionellt mot h. Det medför att när h ändras med en faktor d, till dh, så ändras felet med en faktor d. För att lösa uppgiften ska du alltså finna det värde på d som gör att d 0.04 = Detta ger att d Den sökta steglängden är alltså ca (1/4) Om vi vill göra en motsvarande analys för fallet med Simpsons formel så ska vi utnyttja att diskretiseringsfelet då är proportionellt mot h 4. Om vi med Simpsons formel skulle ha fått diskretiseringsfelet ɛ med steglängd 1/4, så skulle steglängden för att få sex korrekta decimaler bli d (1/4) där d 4 ɛ = (a) Av de metoder vi behandlat kan vi förvänta oss att Simpsons formel ger den noggrannaste lösningen. Simpsons formel tillämpad på våra data blir: Q ( ) = 0.66 (b) Vi behöver ta hänsyn till diskretiseringsfelet och funktionsfelet. Diskretiseringsfelet kan vi uppskatta med 15-delsregeln. Då behöver vi räkna ut Simpson-värdet för steglängden 0.5: Q ( ) = 0.66 Diskretiseringsfelet enligt 15-delsregeln blir då: ( )/15 = 0. Absolutbeloppet av funktionsfelet är enligt känd formel högst (b a)ɛ, där [a, b] är integrationsintervallet och ɛ är en övre gräns för felet i de enskilda funktionsvärdena. I vårt fall är b a = 1 0. Funktionsvärdena är enligt uppgiftstexten givna med två korrekta decimaler, så ɛ = Slutsatsen blir att funktionsfelet är högst (1 0) = Totalt blir felet summan av diskretiseringsfelet och funktionsfelet. Enligt de uppskattningar vi gjort ovan blir absolutbeloppet av det totala felet i vårt fall alltså högst ca Detta innebär att Q har beräknats med ca två korrekta decimaler. 7
8 8. Vi ska först härleda 15-delsregeln. Diskretiseringsfelet vid beräkning av en integral med Simpsons metod kan skrivas som I = S(h) + E(h), där I är den exakta integralen, S(h) är den beräknade integralen med Simpsons metod och E(h) betecknar diskretiseringsfelet. För Simpsons metod beror E(h) av h som ( b a 180 h4 f (4) eller O(h 4 ). Vi beräknar integralen med två steglängder, h och h och får då I = S(h) + E(h) = S(h) + O(h 4 ) I = S(h) + E(h) = S(h) + O((h) 4 ) = S(h) + 16O(h 4 ). Om vi antar att f (4) är ungefär lika vid beräkning med de två olika steglängderna medför det att S(h) + O(h 4 ) S(h) + 16O(h 4 ) vilket ger O(h 4 ) S(h) S(h) 15 dvs vilket skulle visas. E(h) S(h) S(h), 15 Förutom diskretiseringsfel införs också funktionsfel. Härledning av övre gräns för detta fel: Vi konstaterar först att det vi talar om är S(h) S(h), där S(h) är Simpsons formel med exakta funktionsvärden och S(h) är Simpsons formel med de faktiskt använda funktionsvärdena, som kan vara behäftade med avrundnings- och/eller mätfel. Vi betecknar de exakta funktionsvärdena med f(x) och de approximativa med f(x). Enligt föregående uppgift är f(x) f(x) < ɛ. Vi får S(h) S(h) = h 3 [(f(x 0) f(x 0 )) + 4 Triangelolikheten ger nu n k=,4,... S(h) S(h) h 3 [ f(x 0) f(x 0 ) + 4 n k=,4,... h ɛ = h 3 n 1 k=1,3,... (f(x k ) f(x k )) + (f(x k ) f(x k )) + (f(x n ) f(x n ))] n 1 k=1,3,... f(x k ) f(x k ) + f(x k ) f(x k ) + f(x n ) f(x n ) ] n 1 k=1,3,... ɛ + n k=,4,... ) ( ɛ + 4 n ɛ + n + ɛ = h 3nɛ = hnɛ 3 ɛ + ɛ 8
9 Eftersom h = (b a)/n följer nu att S(h) S(h) (b a)ɛ, vilket skulle bevisas. 9. Ett allmänt förstagradspolynom har formen f(x) = c 0 +c 1 x. Uppgiften går ut på att bestämma a 0 och a 1 så att formeln i uppgiften gäller med exakt likhet för förstagradspolynom. Notera att eftersom det handlar om att härleda trapetsformeln, så betecknar x 0 integrationsintervallets nedre gräns, a, och x 1 den övre gränsen, b. Det vill säga a 0 och a 1 ska bestämmas så att: b a Detta kan skrivas om som (c 0 + c 1 x) dx = a 0 (c 0 + c 1 a) + a 1 (c 0 + c 1 b) c 0 (b a) + c 1 (b a )/ = c 0 (a 0 + a 1 ) + c 1 (a 0 a 0 a + a 1 b) För att detta ska stämma måste a 0 + a 1 = b a a 0 a + a 1 b = (b a )/ I detta ekvationssystem betraktas a och b som givna. Genom att lösa ekvationssystemet får vi fram vi fram värden på de obekanta a 0 och a 1, närmare bestämt: a 0 = a 1 = (b a)/. När vi sätter in dessa värden i formeln i uppgiften ser vi att resultatet har blivit trapetsformeln. Uppgiften visar alltså ett alternativt sätt att härleda trapetsformeln. Simpsons formel kan härledas på motsvarande vis. Den är exakt för tredjegradspolynom. 10. Givet integrationsgränserna a och b, antalet delintervall n samt en Matlab-funktion som beskriver integranden f(x), så kan trapetsformeln implementeras på följande vis: x = linspace(a,b,n+1) fx = f(x) coeff = [1 *ones(1,n-1) 1] trap = (b-a)/*coeff*fx 9
10 Ickelineära ekvationer 4. Tänkbara svårigheter: Startgissning x 0 nära kurvans minimipunkt gör att x 1 hamnar långt från nollställena. Ett olyckligt val av startgissning enligt ovan kan göra att iterationsprocessen divergerar. Om man skulle råka välja minimipunkten som startgissning så blir det division med noll. Det finns två lösningar i närheten av x = 1, den ena mindre än och den andra större än 1. Om man är ute efter en specifik lösning och råkar välja startgissningen för långt ifrån den, så kan eventuellt få konvergens mot den andra lösningen i stället. 5. Beträffande bisektionsmetoden vet vi att den övre gränsen för absolutbeloppet av felet halveras i varje iteration. Det innebär att det krävs log (10) 3.3 iterationer för att felet ska delas med 10 (vilket innebär att vi har fått ytterligare en korrekt decimal). I uppgift 1 gav bisektionsmetoden en lösning med en korrekt decimal. För att få 1 korrekta decimaler skulle vi alltså behöva åstadkomma ytterligare 11 korrekta decimaler, vilket skulle kräva ca iterationer. Eftersom det måste vara ett helt antal iterationer blir svaret att det krävs ytterligare 37 iterationer. Beträffande Newton-Raphsons metod vet vi att konvergenshastigheten är kvadratisk. Tumregelsmässigt kan vi då säga att när vi är nära en lösning så fördubblas antalet korrekta decimaler i varje iteration. I uppgift 1 gav Newton-Raphson en lösning med två korrekta decimaler. Efter ytterligare två iterationer kommer vi då att ha ca 8 korrekta decimaler. Sedan ger nästa iteration teoretiskt ytterligare en fördubbling av antalet korrekta decimaler. Svaret är alltså att det krävs ytterligare tre iterationer för att vi ska ha nått minst 1 korrekta decimaler. 6. Vi betraktar y som givet och vill beräkna y. Första steget är att formulera en ekvation till vilken y är en lösning. Ett naturligt val är x y = 0. Vi tillämpar nu Newton-Raphsons metod på denna ekvation och får: x k+1 = x k (x k y)/x k Efter förenkling blir detta: x k+1 = (x k + y/x k ) / Vi provar formeln för fallet då y = 3. Enligt uppgiften ska vi ha tre signifikanta siffror vilket innebär att absolutbeloppet av relativa felet 10
11 bör vara högst ca Vi uppskattar absolutbeloppet av relativa felet med (x k x k 1 )/x k. Med x 0 = 3 får vi: k x k (x k x k 1 )/x k Efter tre iterationer kan vi alltså säga att 3 = 1.73 med tre signifikanta siffror. Med formeln ovan kan man få en mycket noggrann approximation av y efter bara ett fåtal iterationer om man väljer startgissningen på ett smart vis. Om man skriver y > 0 som ett flyttal i normaliserad form så blir y = m E, där 1 m <. Då kan vi konstatera att y = m E/. Vi kan enkelt räkna ut E/ om E är jämn. Om vi antar att 1/ finns förberäknad och lagrad i datorn kan vi även räkna ut E/ för udda värden på E. Vidare innebär normaliseringen att m = 1 + c, där 0 c < 1. Taylorutveckling ger då att m 1 + c/ c /8. Genom att sätta x 0 = (1 + c/ c /8) E/ får vi alltså en mycket noggrann startgissning. Om vi tillämpar ovanstående på y = 3 får vi följande. I basen är y = Startgissningen blir då x 0 = / i bas. I bas 10 blir detta x 0 = Om vi itererar med detta som utgångspunkt får vi: k x k (x k x k 1 )/x k Observera att de två sista iterationerna gav samma resultat. I detta fall skulle det alltså ha räckt med tre iterationer för att beräkna 3 mycket noggrant. Resultatet x 3 överensstämmer i samtliga decimaler med det resultat som operationen sqrt(3) ger i Matlab. 9. Uppskattningen är densamma som vi använde i beräkningarna i uppgift 6 ovan. Den bygger på att absoluta felet kan uppskattas med skillnaden mellan x k och x k 1. För att få en approximation av relativa felet dividerar man sedan approximationen av absoluta felet med x k. Vi visar nu att x k x k 1 är en approximation av absoluta felet x x k 1, där x betecknar den exakta men okända lösningen till 11
12 f(x) = 0. Eftersom x är en lösning till problemet gäller att f(x ) = 0. Det ger sambandet: f(x k 1 ) = f(x ) f(x k 1 Nu använder vi medelvärdessatsen och får att: f(x k 1 ) = f(x ) f(x k 1 = f (c) x x k 1, där c är en (okänd) punkt mellan x och x k 1. Ur sambandet ovan följer att x x k 1 = f(x k 1 ) / f (c) När vi är nära x är det rimligt att anta att f (c) f (x k 1 ). Om vi sätter in detta i sambandet ovan får vi att det absoluta felet approximeras av f(x k 1 ) / f (x k 1 ). Slutligen noterar vi att när Newton- Raphsons metod används så är f(x k 1 ) / f (x k 1 ) = x k x k 1. Därmed har vi visat att x k x k 1 är en approximation av absoluta felet x x k 1. Notera att vi i algoritmen använder denna uppskattning för att bedöma om x k (inte x k 1 ) är tillräckligt noggrann. Vid konvergens vet vi att noggrannheten ökar väsentligt för varje ny iteration, så felet i x k kommer i praktiken att vara betydligt mindre än det uppskattade felet för x k while ~(ea <= es iter >= maxit) xrold = xr; xr = xr - func(xr)/dfunc(xr); iter = iter + 1; if xr ~= 0, ea = abs((xr-xrold)/xr)*100: end end Observera att villkoret i while-loopen ovan även kan formuleras så här: eq > es & iter < maxit 11. Bedömningen av om det tentativa värdet var tillräckligt bra bör bestå av två delar: Värdet ligger fortfarande kvar i intervallet [a, b] Det uppskattade felet i approximationen har minskat Båda dessa villkor bör vara uppfyllda för att det tentativa värdet ska accepteras. Det första villkoret är enkelt att testa och behöver inte motiveras närmare. Det andra villkoret förutsätter att vi har ett sätt att uppskatta felet i det tentativa värdet. Därvid kan vi exempelvis använda den feluppskattning som visades i uppgift 9 ovan. Vi utför den uppskattningen 1
13 för x (k+1) och jämför med motsvarande uppskattning för x (k) (som vi gjorde när x (k) beräknades och som vi antar att vi har sparat i en variabel). Om denna jämförelse tyder på att x (k+1) är noggrannare än x (k) så anser vi att det andra villkoret ovan är uppfyllt. Som teoretisk motivering för denna del kan du använda samma resonemang som i uppgift 9. 13
Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna
Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar
Läs merLösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna
Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar
Läs merLösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5. hp, 14-6-4 Kursmål (förkortade), hur de täcks i uppgifterna och maximalt
Läs merFacit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Del A Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på
Läs merFacit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1 Viktig information om övningstentamen Betygsgränserna är endast preliminära. Del B och del C behöver inte beröra samma problem som inlämningsuppgifterna.
Läs merFacit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1 Viktig information om övningstentamen Betygsgränserna är endast preliminära. Del B och del C behöver inte beröra samma problem som inlämningsuppgifterna.
Läs merSammanfattninga av kursens block inför tentan
FÖRELÄSNING 14 Sammanfattninga av kursens block inför tentan BILD Vi har jobbat med numerisk metoder, datorprogram och tolkning av lösning. Numeriska metoder BILD olika områden: Linjära ekvationssytem,
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 017-0-14 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merBlock 2: Lineära system
Exempel Från labben: Block : Lineära system Del 1 Trampolinens böjning och motsvarande matris (här 6060-matris) Matrisen är ett exempel på - gles matris (huvuddelen av elementen nollor) - bandmatris Från
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393)
Tentamen i Beräkningsvetenskap I (TD9) Skrivtid: 6 januari kl 4 7 OBS! timmar! Hjälpmedel: Godkänd litteratur: Mathematics handbook, Physics handbook. Penna, suddgummi, miniräknare och linjal får användas.
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5. hp, 215-3-17 Skrivtid: 14 17 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, 2008-2-9 Skrivtid: 4 00 7 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel:
Läs merFÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 16 januari Bordsnummer:
FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN Din tentamenskod (6 siffror): ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Personnummer: - Datum: 16 januari 2013 Kursens namn (inkl. grupp): Beräkningsvetenskap I (1TD393)
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Stefan Engblom, tel. 471 27 54, Per Lötstedt, tel. 471 29 72 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2016-03-16 Skrivtid:
Läs merTentamen i: Beräkningsvetenskap I och KF
Tentamen i: Beräkningsvetenskap I och KF Skrivtid: 9 januari 2017 kl 08 00 11 00 OBS! 3 timmar! Hjälpmedel: Endast penna, suddgummi, miniräknare och linjal får användas. Formler finns i bifogad formelsamling.
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, 2011-03-08 OBS: Kurskod 1TD394 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merFöreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
Läs merLinjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att
Läs merFacit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393 - nya versionen, 5hp!)
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393 - nya versionen, 5hp!) Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna
Läs merTentamen i: Beräkningsvetenskap I och KF
Tentamen i: Beräkningsvetenskap I och KF Skrivtid: december 2014 kl 14 00 17 00 OBS! 3 timmar! Hjälpmedel: Penna, suddgummi, miniräknare och linjal får användas. Formler finns i bifogad formelsamling.
Läs merLinjära ekvationssystem
Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på
Läs merVarning!!! Varning!!!
Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H04 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat
Läs merAnvänd gausseliminering med radpivotering. Spara minnesutrymme genom att lagra både Ä och Í i den datastruktur som inledningsvis innehåller
ÏÇÊÃÇÍÌ ÏÓÖ ÓÙØ ÍÔÔ Ø Ö Ø ÐÐ ÖĐ Ò Ò Ú Ø Ò Ô Á Ë ÔØ ¾¼½ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò ĐÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ Om Workout Detta häfte innehåller uppgifter som ingår i de s k workout-passen i kursen Beräkningsvetenskap I.
Läs merKonvergens för iterativa metoder
Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, 010-06-07 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merIcke-linjära ekvationer
stefan@it.uu.se Exempel x f ( x = e + x = 1 5 3 f ( x = x + x x+ 5= 0 f ( x, y = cos( x sin ( x + y = 1 Kan endast i undantagsfall lösas exakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar
Läs merLABORATION cos (3x 2 ) dx I =
SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför
Läs merELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 32 maj Bordsnummer: Kontrollera att du fått rätt tentamensuppgifter
FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN Din tentamenskod (6 siffror): ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Personnummer: - Datum: 32 maj 4711 Kursens namn (inkl. grupp): Beräkningsvetenskap I (1TD393 DEMO)
Läs merFacit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1
Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD9) STS ES W K1 Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på ett kladdpapper,
Läs merTeorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.
Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0
Läs merFel- och störningsanalys
Fel- och störningsanalys 1 Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis
Läs mer2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Läs merNUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden
NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett
Läs merLösningsförslag till inlämningsuppgift 3 i Beräkningsprogrammering Problem 1) function condtest format compact format long
Lösningsförslag till inlämningsuppgift 3 i Beräkningsprogrammering Problem 1) function condtest format compact format long % Skapa matrisen A med alpha=1 A = [1 2 3; 2 4 1; 4 5 6]; b = [2.1; 3.4; 7.2];
Läs merFel- och störningsanalys
Fel- och störningsanalys Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis utan
Läs merELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 32 maj Bordsnummer: Kontrollera att du fått rätt tentamensuppgifter
FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN Din tentamenskod (6 siffror): ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Personnummer: - Datum: 32 maj 4711 Kursens namn (inkl. grupp): Beräkningsvetenskap I (1TD393 DEMO)
Läs merFallstudie: numerisk integration Baserad på läroboken, Case Study 19.9
Fallstudie: numerisk integration Baserad på läroboken, Case Study 19.9 Beräkningsvetenskap DV Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet 30 september, 2013 Att beräkna arbete Problem:
Läs merGruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans
Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Uppgifter märkta med redovisas 1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan 1.2-1.3. Givet a = 1,23, E a = 0,005 c = 0,00438 ± 0,5 10 5 b = 23,71, E b = 0,003
Läs merLABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering
SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med
Läs merFMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum
Johan Helsing, 11 oktober 2018 FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Inlämningsuppgift 3 Sista dag för inlämning: onsdag den 5 december. Syfte: att träna på att hitta lösningar
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Per Lötstedt, tel. 471 2986 Ken Mattsson, tel 471 2975 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2015-06-02 Skrivtid: 14
Läs merTentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs
KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, 8.-11., Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-01-11 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars
Läs merNUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 9, Numme-delen. Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem
NUMPROG, 2D1212, vt 2005 Föreläsning 9, Numme-delen Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem Då steglängden h är tillräckligt liten erhålles en noggrann
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-06-07 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986, 0702-634722 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-01-15 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS!
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merDel I: Lösningsförslag till Numerisk analys,
Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-05-31 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
Läs merKurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer
Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Michael Hanke, Johan Karlander 2 april 2008 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller inom vetenskap och teknik
Läs merTentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar Tentamensdatum: 005-03- Skrivtid: 9-5 Hjälpmedel: inga Om problembeskrivningen i något fall
Läs merTentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL
Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merIckelinjära ekvationer
Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2010-05-31 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merMMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986, 0702-634722 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-10-17 Skrivtid: 8 00 11 00 (OBS!
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
Läs merIcke-linjära ekvationer
stefan@it.uu.se Eempel f ( ) = e + = 5 3 f ( ) = + + 5= f (, y) = cos( ) sin ( ) + y = Kan endast i undantagsfall lösas eakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar eller oändligt många
Läs merTENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671
Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:
Läs merFöreläsning 5. Approximationsteori
Föreläsning 5 Approximationsteori Låt f vara en kontinuerlig funktion som vi vill approximera med en enklare funktion f(x) Vi kommer använda två olika approximationsmetoder: interpolation och minstrakvadratanpassning
Läs merOrdinära differentialekvationer,
Sammanfattning metoder Ordinära differentialekvationer, del 2 Beräkningsvetenskap II n Eulers metod (Euler framåt, explicit Euler): y i+1 = y i + h i f (t i, y i ) n Euler bakåt (implicit Euler): y i+1
Läs merDatoraritmetik. Från labben. Från labben. Några exempel
Datoraritmetik Beräkningsvetenskap I Från labben Två huvudtyper av fel: diskretiseringsfel och avrundningsfel Olika sätt att mäta fel: relativt fel, absolut fel Begreppen ε M, Inf, NaN, overflow, underflow,
Läs mer7 november 2014 Sida 1 / 21
TANA09 Föreläsning 2 Talrepresentation i datorer. Flyttalssystem. Datoraritmetik och Beräkningsfel. Beräkningsfelsanalys och Kancellation. Serier och Resttermsuppskattningar. Tillämpning - Beräkning av
Läs mer2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT Störningsanalys
Olof Runborg ND 10 februari 2004 2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT 2004 Störningsanalys Indata till ett numeriskt problem innehåller i praktiken alltid (små) fel.felen kan bero på tex mätfel, avrundningsfel
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merAkademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014
MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA32 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 204 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:
Läs merBlock 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?
Block 5: Ickelineära ekvationer Löpsedel: Icke-lineära ekvationer Varför är det svårt att lösa ickelineära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod Noggrannhet/stoppvillkor
Läs merNumerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.
Läs merLinjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen
Läs merTMA226 datorlaboration
TMA226 Matematisk fördjupning, Kf 2019 Tobias Gebäck Matematiska vetenskaper, Calmers & GU Syfte TMA226 datorlaboration Syftet med denna laboration är att du skall öva formuleringen av en Finita element-metod,
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merTeknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer
Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Eddie Wadbro 18 november, 2015 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (1 : 37)
Läs merSammanfattning (Nummedelen)
DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,
Läs mer5B1146 med Matlab. Laborationsr. Laborationsgrupp: Sebastian Johnson Erik Lundberg, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3
1 Revision 4 2006-12-16 2. SIDFÖRTECKNING 5B1146 med Matlab Laborationsr Laborationsgrupp: Sebastian Johnson, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3 Titel Sida 1. Uppgift 1.8.1....3 2. Uppgift 1.8.2....6 3. Uppgift
Läs merTMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merKort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!
Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H4 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat
Läs merTANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys
Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys 160526 Del I: (1) (a) Heuns metod för numerisk lösning av differentialekvationer har noggrannhetsordning 2. Detta betyder att Felet avtar med
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 8-8-8 DAG: Torsdag 8 aug 8 TID: 8.3 -.3 SAL: M Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merKTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup
KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag 2006-04-21 kl. 13 16 Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar
Läs mer2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:
1 Axel Ruhe NADA 10 mars 2005 2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: Dessa frågor är till hjälp vid inläsning av Linjär Algebra momenten i kursen. Hänvisningar till
Läs merTMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 41 Linjär Algebra, Föreläsning
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merDenna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Standardform för randvärdesproblem
Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN8 09-03-30 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se! Repetition av FN7 (GNM kap 4, 6.3)! Bandmatrismetoden/Finita differensmetoden!
Läs merAkademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014
MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:
Läs merInterpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter
Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Några tillämpningar Animering rörelser, t.ex. i tecknad film Bilder färger resizing Grafik Diskret representation -> kontinuerlig 2 Interpolation
Läs merFöreläsning 8: Aritmetik och stora heltal
2D1458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 8: Aritmetik och stora heltal Datum: 2006-11-06 Skribent(er): Elias Freider och Ulf Lundström Föreläsare: Per Austrin Den här föreläsningen
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs mer