Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Transkript

1 Institutionen för Matematik Göteborg F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Heath 1: a) resp b) resp c) resp Heath 14: a) δf δx b) δf cot(x) x δx f x nära noll utan att x är nära noll Heath 15: Känsligt när x och y är nästan lika c) cond = cot(x)x d) då sin(x) är Heath 16: a) framåt: , 0006, 01585, bakåt: , 0036, b) framåt: , , , bakåt: , , Heath 17: a) System (10, 6, -5, 3) b) System (10, 6 -, 3) Heath 110: a) Då x är nära noll b) x/(1 x ) Heath 11: a) Den andra formeln, relativa felet begränsat av 3µ, oberoende av x och y b) x nära y n Heath 113: x = m i=1 ( x i m ), där m = max i x i Heath 117: 1074 resp 971 Heath 119: OFL= 18 (1 4 ), UFL= 16, subnormal: UFL ändas till 149 Heath 13: a) UFL=10 98, b) dvs underflow, c) dvs gradual underflow Heath C17: Tumreglerna stämmer bra Heath C11: För stora (men i övrigt ganska lika) tal är den senare formeln sämre på grund av kancellation Heath 7: [ a) det(a) = ɛ [ b) Kritiskt om 1 ɛ = 1 dvs om ɛ är mindre än maskintalet ɛ c) L =, U = 1 ɛ 1 0 ɛ d) samma som b) Heath 13: 1 L 1 x = b, z = Bx, 3 w = c Bx, 4 L y = w [ [ [ 1 a a Heath 16: a) Om c 1 så blir det = c b c 1 0 b ca [ [ [ a 1 0 Om c > 1 så pivotering dvs = 1 0 c b 1/c 1 b) Matrisen singulär om b = ac 1 [ c b 0 a b/c

2 Heath 17: = Heath 19: a) Den är inte stabil b) betrakta A = Heath 1: 1 y = Ab, Cz = b, 3 u = z + y, 4 v = Au + u, 5 Bx = v 1 e 1 Heath 33: e = 3 3 e 3 5 Heath 34: Ja, matrisen har full rang [ 1 Heath 36: a) 1 b) x = 1 Heath 317: α =, v = (, 0, 0, 0) T Heath 3: b) Om diag(r) väljs positiv är QR-faktoriseringen entydig och därmed R = L T Heath 330: a) a = U 1 Σ 1 V1 T, U 1 = a/ a, Σ 1 = a, V 1 = 1 b) a T = U 1 Σ 1 V1 T, U 1 = 1, Σ 1 = a, V 1 = a/ a [ [ Heath 334: a) A + =, b) A = 0 ɛ 1, c) Illakonditionerat, ett fel ɛ i A blir ett fel ɛ 1 i A + Heath 414: a) ja, α = 0, b) nej, komplex-konjugerade egenvärden Heath 44 c) En iteration Heath 43: a) 1 (n-1 st) och -1 (1 st) b) c + is och c is Heath 51: a) 3/, b) 4/3 Heath 5: a) x k+1 = x k x3 k x k 5 3x k, b) x k+1 = x k x k e x k 1+e x k, c) x k+1 = x k + 1 x ksin(x k ) x k cos(x k )+sin(x k ) Heath 53: a) x k+1 = x k x k y x k = 1 (x k + y x k ), b) 3 resp 4 iterationer Heath 55: b) Beräkningsfelen förstärks medan de i vanlig sekantmetod förminskas vid en iteration Heath 56: a) divergent b) konvergent c) x k+1 = 05(x k + y x k ) [ (k+1) [ (k) [ [ (k) x1 x1 d1 x (k) 1 x (k) Heath 59 a) = + där x x d x (k) 1 1 [ d1 d (k) [ x = 1 + x 1 x 1 x (k)

3 [ 05 Heath 510: x (1) = 05 Heath 513: Misslyckas om x 1 = 0, ty då är Jacobianen singulär Heath C5: a) divergent, b) linjär C = 1, c) linjär C = 1, d) kvadratisk (metoden är 4 Newtons) Heath C53: Bisection = intervallhalvering, se Extraövning 1, som biblioteksrutin kan man ta MATLAB s fzero Newtons metod: a), b) och c) ger kvadratisk konvergens medan d) ger linjär konvergens med C = 3 Heath C59: b) snabb linjär konvergens g (E ) 0036, c) kvadratisk konvergens vid start nära lösningen E , d) använd fzero i MATLAB Heath 68: a) (1, 1) T, b) x (1) = (18, 3) T, c) f minskar, d) längre från lösningen Heath 69: b) En iteration Heath 617: a) 5 b) f(1/11, 6/11) = 48/11 Heath C67: a) och b) sadelpunkter i (0, 0) T och (0, 1) T, minpunkt i (1, 0) T, maxpunkt i ( 1, 1) T Heath C61: x = (1, 1, 05, 0) T Heath C6: a) x = ( 00945, 00315, 05157, 0457, 00315) t Heath 71: p (t) = t Heath 75: p 3 (t) = (t 1) + 9(t 1)(t ) + (t 1)(t )(t 3) Heath 715: a) ja b) nej, ok om n 3 Heath 81: a) M(f) = 1/8, T (f) = 1/, b) E = 1/8, c) S(f) = 1/4, d) exakt ty polynom av grad 3 Heath 83: ja Heath 81: Andra ordning Heath 813: ( 3f(x) + 4f(x + h) f(x + h))/h Heath C84: a) ja, b) nej, c) nej, d) nej, e) ja, f) nej, g) ja y Heath 91 c) y 1 = y, y = y, y 3 = y 1 = y y = y 3 y 3 = y 3 y + y 1 t + 1 Heath 93: ja Heath 94: a) ja, b) nej, c) y 1 = 15, d) ja, e) y 1 = 1/35 Heath 97: a) och b): y 1 = y, y = y 1, y 1 (0) = 1, y (0) =, c) ej stabilt, d) y 1 = (, 5) T, e) nej, f) nej 3

4 Heath 98: a) 01y 1 + y 1 1 = 0, b) y (k+1) 1 = y (k) d) y (1) 1 = (y(k) 1 ) +y (k) 1 1 0y (k), c) y (0) = 09, Heath 99: a) alla, b) (1) och (3), c) (3), d) (1) och (3), e) (3), f) (1) och (3), g) (3) Heath 910: Stabilitetsområde: 1 + z + z / 1 Heath 103: a) ekvation i s; α + (b a)s = β, b) s = (β α)/(b a) Heath 11: 9/16 Extra 1: a) b) function rot=bisec(funktion,a,b,eps); fa=funktion(a); while abs(a-b) > eps c=(a+b)/; fc=funktion(c); if fa*fc > 0 a=c; fa=fc; else b=c; end end rot=(a+b)/; Extra : a) Start i x 0 = 0 ger x 4 = 09375, x 4 x 0065 Extra 4: a) 10, b) 10 1 Extra 5: a) divergent b) konvergent c) g(x) = 05(x + 3 x ) Extra 6: b) Newton: 1, 14, 167, 18, 191, 195, 198, 1988, 1994, 1997, Förbättrad Newton: 1, 1833, 1991, , Extra 7: A 1 = /a 1/a 1/a, κ(a) = /a om a och κ(a) = + /a 1 1/a 1/a a + 8/a om a Konditionstalet minst då a = Extra 8: Nio korrekta decimaler Extra 10: I 0 = 845, λ = 089 Extra 11: a) Sex siffror: λ = , tre siffror: λ = , illakonditionerat b) Sex siffror: λ = , tre siffror: λ = 009, bättre konditionerat Extra 1: y 1 = , y overflow, y 3 = , y 4 underflow µ = är en generell övre gräns för relativa felen i y 1 och y 3 Extra 13: Bakåtanalys: x i x i x i µ( + µ), i = 1, 4

5 Extra 14: a) A(x, v) = x(3 x/) sin v + (3 x/) cos v sin v b) f(y) = 0, där f 1 = 3 x (3 x/) cos v, f = x cos v+(3 x/) cos v, y = [x, v T c) Newtons [ metod: y (k+1) = y (k) + d (k) där J(y (k) )d (k) = f(y (k) ) cos v (3 x/) sin v och J(y) = cos v 05 cos v x sin v (6 x) sin v Extra 15: Steepest Descent x () = (05, 05) T, Konjugerad Gradient x () = (/3, 1/3) T = x Extra 16: Residualer: f i = c 0 + c 1 e c t i sin(c 3 t i ) y i, Problem: min ci f 1 sin(c 3 t 1 )e c t 1 t 1 c 1 sin(c 3 t 1 )e c t 1 c 1 t 1 e c t 1 cos(c 3 t i ) Jacobian: J = 1 sin(c 3 t m )e c t m t m c 1 sin(c 3 t m )e c t m c 1 t m e c t m cos(c 3 t m ) Linjärt mk-problem: min d J (l) d f (l), där J (l) = J(c (l) ), f (l) = f(c (l) ), c = [c 1, c, c 3 T Gauss-Newton: c (l+1) = c (l) d (l), l = 1,,, där d (l) är lösning till det linjära mkproblemet Extra 17: b) Köp 87 resp 78 säckar (avrundat) Det blir övergödning av kväve! Extra 18: på resp intervall; s 1 = + (x 1), s = 3 + (x ), s 3 = 5 + (x 3) (x 3), s 4 = 6 (x 4) Extra 19: d) Spline stämmer bäst { 0, 0 x 1 Extra 0: a) s(x) = { + x, 1 x 0, 0 x 1 b) s(x) = (x 1), 1 x Extra 1: Kubisk spline verkar bäst Extra : a) T = 091 ± 0005, b) T = 091 ± 0015 Extra 3: v = 153 m/s, Extra 4: 14 ± 0009 Extra 5: y 1 = Extra 6: h < 10 4 h = m Extra 7: En iteration ger stabilitetsområde: {z C; 1 + z + z < 1} Två iterationer ger stabilitetsområde {z C; 1 + z + z + z 3 < 1} Extra 8: Till exempel 1 (6, 3,, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1) 7 Extra 9: 5 Extra 30: a) (,,, ), b) 4 5