Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Transkript

1 KTH Matematik Tentamen del SF5, , kl 8.-., Numeriska metoder och grundläggande programmering Namn:... Personnummer:... Program och årskurs:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången HT7-VT8 här: Max antal poäng på denna del är 2. Gränsen för godkänt/betyg E är poäng (inklusive bonuspoäng). Endast ett korrekt svar per uppgift. Om denna del av tentamen (del ) blir godkänd så rättas även del 2, vilket ger möjlighet till högre betyg. Inga hjälpmedel är tillåtna (ej heller miniräknare). Skriv svaren på dessa papper. Skriv namn på varje sida.. Modellen y(x) = αx + βx 2 ska anpassas till punkterna i tabellen nedan i minstakvadratmening. x - y.5 ( p) Det leder till det överbestämda ekvationssystemet Ac y där kolumnvektorn c ska bestämmas. a) Vilket ekvationssystem måste man lösa för att bestämma minstakvadratapproximationen? A Ac = y A Ac = Ay 2 AA c = A y AA c = A y A Ac = 2 y x A Ac = A y b) Vad blir α och β? α = 5/2 och β = 5/2 α = /2 och β = /2 α = och β = 3/ α = och β = x α = 2 och β = 2 α = och β = α = och β = α = och β = 2

2 We obtain x x 2 x x 2 = x 2 x 2 2 and therefore ( ) ( ) 2 = 2 and ( ).5 = ( ) The solution is ( ) 2 = 2 ( 2 2 ) ( ). Var god vänd

3 2. Givet ekvationen cos(2πx) e x =. a) En iteration med Newtons metod och startgissning x = ger x lika med: e/ /2 / /2 x /e 2/e / With f(x) = cos(2πx) e x and f (x) = 2π sin(2πx) e x, we obtain x = f() f () = e e = e + e e = e. ( p) b) Till vilken rot och på vilket sätt konvergerar Newtons metod med startgissning x =? linjär konvergens till x = kvadratisk konvergens till x = linjär konvergens till x = x kvadratisk konvergens till x = linjär konvergens till x = kvadratisk konvergens till x = 3. Integralen 2x + (2x) 2x + dx approximeras med trapetsregeln. Vad blir det approximativa värdet om steglängden h =.5? x For the approximation we obtain h 2 (f() + 2f(h) + f()) = 8 ( ) = 8 = 2. (2p). En iterativ metod har använts till att lösa den ickelinjära ekvationen f(x) =. Tabellen nedan visar felet e k vid iteration k k 2 3 e k Vilken konvergensordning har metoden? 2 x

4 5. En numerisk kvadraturmetod har använts för att beräkna en integral. Tabellen nedan visar felet e h vid steglängd h h e h Vilken noggrannhetsordning har metoden? 2 3 x Tentamen fortsätter på nästa blad 6. Givet tabellen nedan x i 2 3 y i Låt p(x) vara det andragradspolynom som interpolerar punkterna, dvs p(x i ) = y i. Vad blir p()? - -/ x -/3 -/2 -/5 Using Lagrange interpolation, we immediately have p(x) = (x ) (x 2) 3 (3 2) = x (x 2). 3 Hence: p() = Givet begynnelsevärdesproblemet y (t) = 2π(t + ) cos( y(t) ), y() =. Vilken approximation y 2 y(.) ges med Framåt Euler med steglängden.5? x π/2 π/ /2 π 2 / 2π /

5 With the Euler steps y n+ = y n + hf(t n, y n ) we obtain y = y h2π(t + ) cos( y ) = π cos() = π and y 2 = y h2π(t + ) cos( y ) = π π( 2 + ) cos( π ) = π + π 3 2 = π Funktionen nedan är given. function y = foo(x, a) for k=-: b=x-k; while (x > -2) && (x < 2) x=x+a+; end end y = b + x; end Resultatet av anropet foo(-, ) blir x 2 Var god vänd

6 9. Vilka utsagor är rätt och vilka är fel? (Poängsättning: - korrekta svar= p, 5-6 korrekta svar=2 p.) a) Intervallhalvering är en effektiv metod för att lösa integraler. rätt x fel b) Noggrannhetsordningen för trapetsregeln är två. x rätt fel c) Fixpunktiterationer konvergerar alltid om startgissningen är tillräckligt bra. rätt x fel d) Vi använder Framåt Euler för att lösa begynnelsevärdesproblemet y (t) = y(t) i intervallet t [, 5] med startvärdet y() =. Ju kortare steglängd vi tar, desto större blir tidsåtgången. x rätt fel e) Ett stort triangulärt ekvationssystem går snabbare att lösa än ett tridiagonalt ekvationssystem av samma storlek. rätt x fel f) Finita differensmetoden för linjära randvärdesproblem leder till glesa linjära ekvationssystem. x rätt fel