Numeriska metoder för fysiker Lördag , kl 10-14

Transkript

1 FyL, Num met för fysiker, NADA, KTH/SU, Ninni Carlsund 8--9 Numeriska metoder för fysiker Lördag 8--9, kl -4 Skrivtid 4 tim Maximal poäng 35 + bonuspoäng från årets laborationer (max 4p) Betygsgänser: för betyg D: minst poäng, för betyg C: över 6 poäng oc för betyg B: över 9 poäng för betyg A: över 3 poäng Alla poäng är inklusive bonuspoäng Maxpoäng för uppgifterna anges inom parentes bredvid uppgiftsnumret Tillåtna jälpmedel: Nadas användarandledning för MATLAB För icke-svenskspråkiga tillåts också lexikon Var god notera att miniräknare ej är tillåten på denna tentamen Svar skall motiveras oc uträkningar redovisas Korrekt svar utan motivering eller med felaktig motivering medför poängavdrag Då algoritmbeskrivning begärs, avses normalt beskrivning i MATLAB/ComsolScript Eftersom miniräknare ej är tillåten är det tillåtet att lämna enkla beräkningsuttryck oförenklade, tex c 5 3 cos(π/3) i stället för det uträknade c ( ) P Ange dina bonuspoäng oc den kursomgång (linje oc termin) där poängen erållits Endast poäng från 7 är giltiga P Ekvationen nedan ar en rot nära x x 3 x e ( x) (3) a) Genomför en iteration med Newton-Rapsons metod för denna rot (Handräkning) () b) Har ekvationen fler rötter? (3) c) Antag att ekvationen i deluppgift a var αx 3 x βe (γ x) där parametrarna var uppmätta med felgränser, α ± E α, β ± E β oc γ ± E γ Ge en algoritm för att skatta en gräns för onoggranneten i den i deluppgift a sökta roten som uppkommer av dessa felgränser P Givet tabellen x y 3 8 () a) Skatta y(6) med linjär interpolation () b) Skatta y(6) med kvadratisk interpolation () c) Skatta trunkeringsfelet i värdet i deluppgift b ovan, dvs y(6) erållet med kvadratisk interpolation Tentamen fortsätter på nästa sida Var god vänd!

2 FyL, Num met för fysiker, NADA, KTH/SU, Ninni Carlsund 8--9 P3 (3) a) Bestäm parametrarna α, β då kurvan y α + β(x γ) anpassas till tabellen nedan med minstakvadratmetoden Du får är anta att γ x 3 y 3 5 (3) b) Skriv ett Matlab-program som beräknar samtliga parametrar α, β oc γ då dessa anpassas till tabellen med minstakvadratmetoden P4 Integralen nedan skall skattas med trapetsregeln: exp(x )dx () a) Beräkna de två värden på integralen man får med trapetsregeln oc steglängderna respektive () b) Är trapetsregelvärdena en över- eller underskattning av det sanna integralvärdet? () c) Använd de två integralvärden du fått i deluppgift a ovan för att skatta vad trapetsregelvärdet för steglängden 5 ungefär bör bli Tips: Som bekant är e 7 oc du beöver ej ta med mer än decimaler i räkningarna P5 Givet nedan är tre formler som är tänkta att numeriskt approximera förstaderivatan av y(x) Härled formlernas respektive noggrannetsordning () a) y (x) y(x+) y(x ) () b) y (x) y(x+) y(x ) 3 () c) y (x) y(x+) y(x ) 3 P6 Scrödingers vågekvation i en dimension ser ut y + V (x)y(x) E y(x) För väteatomen ser potentialen ut som V (x) Z x, där konstanten Z är kärnans laddning oc konstanten E är bindningsenergin, E /n, där n är systemets uvudkvanttal NB: Deluppgift b, c oc d kan lösas även om inte deluppgift a lösts (4) a) De sanna randvärdena till problemet är y() oc lim x y(x), men det blir svårt numeriskt Man approximerar då lösningen enbart på intervallet x med randvillkoren y() oc y() Härled formlerna för finita differensmetoden (bandmatrismetoden) som man får om man delar in intervallet i 5 delar () b) Antag att man i stället fått begynnelsevillkoren y() oc y () 5 (oc alltså inget villkor i x ) Skriv om Scrödinger-ekvationen till ett första ordningens system av differentialekvationer Glöm inte ta med begynnelsevillkoren () c) Skatta med Eulers metod oc steglängden värdet av y(3) (Handräkning) Använd kärnladdningen Z oc uvudkvanttalet n oc begynnelsevillkoren enligt deluppgift b (3) d) Skriv ett Matlab-program som plottar lösningen y(x) (oc inget annat) på intervallet x om man använder begynnelsevillkoren enligt deluppgift b Lycka till oc gott fortsatt nummande önskar Ninni!

3 FyL, Num met för fysiker, NADA, KTH/SU, Ninni Carlsund 8--9 Kort förslag till lösning Pa Newton-Rapson: x n+ x n f(x n )/f (x n ) Här är x oc f(x) x 3 x e ( x) f() 3 e oc f (x) 3x + e ( x) f () 3 + e 3 oc därmed x ( )/3 4/3 Pb Skriv ekvationen som x 3 x e ( x) Kalla f(x) x 3 x oc g(x) e ( x) - Alt : (ma matematik) g(x) > för alla x (oc avtagande) För x < är f(x) <, alltså inga rötter för x < För < x < är f(x) < likaså, alltså inga rötter för < x < eller För x > är f (x) > oc g (x) <, alltså korsar kurvorna max en gång Eftersom f() < g() så korsar dom varandra En rot för x > Återstår intervallet < x < : men där finns inga rötter eller ty f(x) x 3 x x 3 + x oc g(x) e > 7 dvs f(x) oc g(x) skär inte varandra på intervallet < x < Det finns bara en rot (den strax ovanför x ) - Alt : (ma grafik (oc lite matematik)) Plotta (dvs skissa för and) kurvorna y f(x) oc y g(x) Ur figuren inses raskt att det bara finns en rot för x > oc ingen för x < Återstår intervallet < x < ; resonera som i alternativ : inga rötter Alltså finns bara en rot, strax ovanför x Pc Använd störningsräkning! Beräkna först roten med originalvärden på parametrarna, x Beräkna sedan den rot man får om man stör α maximalt, x α Beräkna sedan den rot man får om man stör β maximalt, x β Beräkna sedan den rot man får om man stör γ maximalt, x γ Felgränsen i roten skattas sedan som summan av absolutbeloppen av skillnaderna x rot(α, β, γ ) x α rot(α + E α, β, γ ) x β rot(α, β + E β, γ ) x γ rot(α, β, γ + E γ ) E x x α x + x β x + x γ x Beräkningen av roten sker frslagsvis med Newton-Rapsons metod (som i deluppgift a, men med fler varv) Pa Vi skall byta gradtal mellen upppgifterna - använd Newtons ansats Grad: p(x) c + c (x x ) p(x ) y oc p(x ) y med x 5 oc x 7 ger c 8 oc c vilket ger p(6) (Alternativ lösning: 6 är mittimellan 5 oc 7, med linjär IP, dvs rätlinje blir p(6)(y(5)+y(7))/) Pb Fortsätt med Newtons ansats; p(x) c +c (x x )+c 3 (x x )(x x ) Lägg till nya punkten x 3 4 oc y 3 3 samt ekvationen p(x 3 ) y 3 vilket ger c 3 vilket ger p(6) Pc Trunkeringsfelet kan med Newtons ansats skattas med första försummade termen, dvs E trunk p p (6) p 3 (6) Beräkna 3e-gradspolynomet: p 3 (x) c + c (x x ) + c 3 (x x )(x x ) + c 4 (x x )(x x )(x x 3 ) Lägg till nya punkten x 4 oc y 4 samt ekvationen p(x 4 ) y 4 vilket ger c 4 5/7 vilkget ger p(6) 5/7 Trunkeringsfelet blir då E ( 5/7) 5/7 5/7 7 P3a Då γ är problemet ett linjärt MKV-problem i α c oc β c y c + c (x ) Ställ upp det linjära ekvationssystem Ac b oc lös ma normalekvationerna, A T Ac A T b x y ( ) ( c c ) A T A 3 5 ( ) 4 6, A T b 6 8 ( ) 4 Lös x-systemet så får man c 3/ oc c 5/6 P3b Kan lösas med Gauss-Newton ELLER lineraisering 3

4 FyL, Num met för fysiker, NADA, KTH/SU, Ninni Carlsund 8--9 Alt Gauss-Newton: Sätt c α, c β oc c 3 γ: c[ 3/, 5/6, -]; % Startvarden gissade fran varden i p3a t; iter; wile norm(t)<e-6 & iter<5; fc()+c()*(x-c(3))^ - y; J[x^, (x-c(3))^, -c()**(x-c(3))]; tj\ f; cc-t; iteriter+; end; if iter<5; alfac(), betac(), gammac(3) else disp( Ej konvergens ) end; Alt Linearisering: y α + β(x γ) α + β(x xγ + γ ) (α + γ ) (βγ)x + βx Sätt alltså c α + γ, c βγ oc c 3 β oc MKV-anpassa ett andragradspolynom p(x) c + c x + c 3 x till mätdata x[ 3] ; y[ 3 5] ; A[x^ x x^]; ca\y betac(3) gamma-c()/(*beta) alfac()-beta*gamma^ Fördelar med detta alternativ är att man inte beöver någon startgissning oc att man får svaret direkt, utan iteration P4a { T() f( ) + { f() e + e e 544 { T() f( ) + f() + { f() e + e + e e + e 37 P4b En överskattning ty e x är en kurva som böjer sig uppåt (a-derivatan är positiv), så de räta linjerna i trapetsregeln ligger alltid ovanför kurvan P4c T skall avta ungefär en faktor 4 T T() T() ( T)/4 43 T(5) P5 Härleds ma Taylor-utveckling y(x + ) y + y +! y + 3 3! y + O ( 4) y(x ) y y +! y 3 3! y + O ( 4) y(x + ) y + y + ()! y + ()3 y + O ( 4) 3! y + y + 4! y ! y + O ( 4) 4

5 FyL, Num met för fysiker, NADA, KTH/SU, Ninni Carlsund 8--9 P5a P5b y(x + ) y(x ) {y + y +! y + 3 3! y + O ( 4) {y + 3 3! y + O ( 4) y + 3! y + O ( 3) {y y +! y 3 3! y + O ( 4) Uttrycket går mot y när som sig bör Felet är E trunk 3! y + O ( 3) c + O ( 3), dvs metoden är av ordning (ty första feltermen är ) y(x + ) y(x ) 3 {y + y + 3! y + 3 3! y + O ( 4) 3 {y + 3 3! y + O ( 4) 3 3 y + 3 3! y + O ( 3) {y y +! y 3 3! y + O ( 4) Uttrycket går INTE mot y när Formeln skattar ej y Metoden är av ordning (ty fungerar inte) P5c y(x + ) y(x ) 3 {y + y + 4 3! y ! y + O ( 4) 3 {y y +! y 3 3! y + O ( 4) P6a {3y + 3 3! y ! y + O ( 4) y +! y + 3 3! y + O ( 3) Uttrycket går mot y när som sig bör Felet är E trunk! y +3 3! y +O ( 3) c +c +O ( 3), dvs metoden är av ordning (ty första feltermen är ) y + V (x)y Ey Diskretisera intervallet Dela upp det i N delar: x i + i där ( )/N y i y(x i ) med kända randvärden y oc y N Ersätt alla derivator med differenser: y (x i ) yi yi+yi+ ger y i y i + y i+ + V (x i ) y i E y i, i N y i + (V (x i ) ) y i + y i+, i N Med V (x i ) /x i oc flytta över kända y-värden till ögerledet fås f(x ) f(x ) f(x 3 ) f(x 4 ) f(x N ) f(x N ) där f(x i ) V (x i ) x i För N 5 blir det f(x ) y f(x ) y f(x 3 ) y 3 f(x 4 ) y 4 5 y y y 3 y 4 y N y N y y 5 y y N

6 FyL, Num met för fysiker, NADA, KTH/SU, Ninni Carlsund 8--9 P6b y + V (x)y Ey, styck a ordningens differentialekvation Inför stycken jälpfunktioner u y u y u u u (E V (x)) u med u () u () 5 P6c Eulers metod ger ū (n+) ū (n) + ū (n) vilket är blir u (n+) u (n) + u (n) u (n+) u (n) + (E V (x n ))u (n) x n+ x n + Med oc x beövs steg för att komma till x x 3: så y(3) 9 P6d function uprimdudx(x,u); uprim[u(); (-/x)*u()]; n x u u u u ( /x)u u u 5 ( /) ( /) [xut,uut]ode45( dudx [, ],[, 5]); yutuut(:,); plot(xut,yut); /NC 6