Samtliga deluppgifter i denna uppgift använder följande differentialekvation. Deluppgift a görs för hand

Transkript

1 Numeriska Metoder för SU, HT010. Laboration 4: Ickelinjära ekvationssystem och differentialekvationer Sista redovisningsdag för bonuspoäng: (L19) Obs! Skriftliga delen skall denna gång vara en ordentlig rapport. Denna laboration kan maximalt ge 1.6 bonuspoäng. Om ingen av de frivilliga uppgifterna görs kan laborationen maximalt ge 1.0 bonuspoäng. ( Totalt kan labbarna ge max 4 tentabonuspoäng.) Förberedelse: Denna laboration behandlar differentialekvationssystem (framför allt randvärdesproblem), ickelinjära ekvationssystem samt minstakvadratmetoden för överbestämda ickelinjära ekvationssystem. Hur lång tid har du förberett dig inför Lab4? SVAR:...tim. Detta är sista laborationen i kursen, den innehåller därför, liksom i verkligheten, problem som inte är renodlade till ett visst kapitel i boken. Du bör därför förvänta dig att du kan behöva kombinera alla de metoder du lärt dig hittills för att lösa uppgifterna. Uppgift 1 R-M Samtliga deluppgifter i denna uppgift använder följande differentialekvation. Deluppgift a och b görs för hand. y = xy 0.004x y a) De givna villkoren på y är y(3) = 3,y (3) = och y (3) =. Bestäm y (6) med Eulers metod och steglängden h = 1.5. ( För hand med miniräknare). Rita upp y,y och y för 3 < x < 6 (dvs rita punktvärdena för y,y och y och dra raka streck mellan punktvärdena). b) De givna villkoren på y är nu y(3) = 3,y (3) = och y (6) = 3. Bestäm y(6) med inskjutningsmetoden och Eulers metod och steglängden h = 1.5. ( För hand med miniräknare). Rita upp y,y och y för 3 < x < 6 (dvs rita punktvärdena för y,y och y och dra raka streck mellan punktvärdena). (Ledning: Om du behöver mer än 5 inskjutningar så är något fel.) Uppgift R-M Samtliga deluppgifter i denna uppgift använder följande differentialekvation. Deluppgift a görs för hand och deluppgift b, c och d med dator. y = xy 0.003(xy ) a) De givna villkoren på y är y(3) =,y (3) = 3 och y (6) =. Förklara hur man skulle skatta y (6) med inskjutningsmetoden. Ange speciellt vad det är man måste gissa ett värde på, hur man gör för att kunna mäta hur bra gissningen var, hur mycket man korrigerar sitt värde och hur man kollar hur bra resultatet för y (6) är. b) Skriv ett datorprogram som hittar lösningen till uppgiften i a med inskjutningsmetoden (använd gärna en effektivare metod än Euler). Redovisa hur ni kollar att ni har tre säkra siffror i det sökta värdet y (6). c) Extrauppgift: Förutom lösningen till uppgiften i a skatta y (5.9) med inskjutningsmetoden. (använd gärna en effektivare metod än Euler). Redovisa hur ni kollar att ni har tre säkra siffror i det sökta värdet y (5.9). d) Extrauppgift: Skatta även y (5.9) med tre säkra siffror. (Samma villkor på y som i a och b). 1

2 Uppgift 3 R-MS Uppgift e, f och g frivilliga, tillsammans värda 0.1 bonuspoäng. Vi har en cylindrisk stång inspänd mellan två olika uppvärmda väggar. Den vänstra väggen håller konstant 175 C, den högra väggen håller konstant 110 C. Temperaturen i rummet mellan väggarna (där stången är) är 4 C. Stången är 7 decimeter lång. Du skall beräkna temperaturfördelningen i stången med bandmatrismetoden då den beskrivs av följande differentialekvation: d T ( ) dx = g T(x) T rum där g beror av materialkonstanter, g = H K, där H är värmeöverföringtalet från staven till luften omkring (enhet Watt per ytenhet) och K är värmeledningstalet inuti staven (enhet Watt per meter och grad). a) Hur många bivillkor måste man ha för att lösningen till differentialekvation ovan skall kunna skattas. Vilka är de givna randvillkoren? b) Härled det ekvationssystem som man får i bandmatrismetoden då man delar in stången i fem delar. Det skall skrivas på formen Ay = b där endast y får innehålla okända storheter. c) Beräkna med bandmatrismetoden temperaturen med två säkra decimaler vid x = 0.5m, räknat från vänstra väggen (givna data får antas exakta). Datorprogrammet skall skrivas så att man lätt kan ändra antalet delar stången delas in i. Använd g = 6. Rita också en figur över temperaturfördelningen i stången. d) Vilket är det minsta antal delar man måste dela upp stången i om man söker temperaturen i stången 4 centimeter från den vänstra väggen och hela stången är 90 centimeter lång? Varför? e) Extrauppgift: Som deluppgift c men nu antas stången vara 8 decimeter lång. f) Extrauppgift: Härled det ekvationssystem man får om den högra väggen inte fanns utan stången bara tar slut (och rummet var större). Randvillkoret vid x = L blir då dt dx = gπr Dela in stången i fem delar. (Om du vill kan du använda stångradien 3 millimeter) g) Extrauppgift: (inte direkt en nummefråga): Är stången av metall? (Ledning: g = H K värmeledningen ut till luften är större än värmeledningen inuti stången). = 6 > 1, dvs Differentialekvationen kan lätt härledas från värmeledningsvillkor av den som vill (fråga gärna Mattias om fler detaljer). Utseendet ovan beror strikt på att stången antas cylindrisk. Ekvationen används då man konstruerar t.ex. kylflänsar för att kyla av maskiner. Man vill då veta t.ex. hur mycket värme kylflänsen leder bort och hur varm den blir på vissa ställen. Uppgift 4 R-S Frivillig, värd 0.3 bonuspoäng. Det har blivit kallare ute och Ludde går för att stänga sitt öppna fönster. Det bär sig inte bättre än att han snubblar och råkar stöta till en blomsterkruka som stod i fönstret så att den faller ut genom det öppna fönstret. Den fallande krukan beskrivs av följande differentialekvation: mẍ = v(x,y) mk luft ẋ ẋ +ẏ mÿ = mg mk luft ẏ ẋ +ẏ där v(x,y) = e xy är en vindfunktion, g = 9.81 är gravitationskonstanten, k luft = 0. är luftmotståndet, m = 0.7 ty krukan väger sju hekto, y är höjden över marken och x det horisontella avståndet från fönstret. ẋ är kortform för x/ t, ẍ för x/ t osv. Fönsterbrädan är 8.1 meter över marken och Ludde knuffade krukan rakt ut, dvs horisontellt.

3 a) Rita en figur över krukans färd från fönstret ner mot marken under tiden 0 till 1.75 sekunder antagandes att starthastigheten var 8 m/s. b) Bestäm med inskjutningsmetoden krukans starthastighet med två säkra decimaler då Ludde noterade att den landade på marken efter exakt 1.70 sekunder. (Alla givna data får antas exakta, dvs E tab = 0) c) Hur långt i sidled hade krukan hunnit då den var en meter ovan marken? Välj själv lämplig noggrannhet i ditt svar. (Tips: Interpolation i 1.70-sekunders-banan!) d) Ludde minns plötsligt att det finns ett bord placerat på gården nedanför. Risken för att någon skall få krukan i huvudet skulle drastiskt minska om krukan landade på bordet. Bestäm med inskjutningsmetoden krukans nödvändiga starthastighet med tre säkra siffror för att krukan ska landa mitt på bordet. Bordets mittpunkt har koordinaterna y = 1 och x = 3+α/100 där α är summan av era födelsedagar. (Exempel: födelsedatum 13/4 och 5/8 ger 13+5 = 38 vilket ger x = 3.38) Bordets koordinater får anses exakta. (Tips: Tiden behöver nu ej vara 1.70 sekunder. Välj själv en lämplig sluttid för integrationen. (Du behöver inte finna exakta landningstiden, bästa sluttiden är en tid som är lite större än landningstiden.)) e) Om bordets y-koordinat hade varit osäkert uppmätt, tex y = 1.00 ± Hur skulle du ha undersökt denna osäkerhets påverkan på den nödvändiga starthastigheten? Inga räkningar behövs men väl en beskrivning av hur man gör. f) Extrauppgift: Beräkna krukans sluthastighet med två decimaler då den landar på bordet. (Bordets koordinater är de i d-uppgiften.) Innan du praktiserar dina nya kunskaper för att dekorera borden utanför din bostad direkt från fönstret bör du nog även räkna på hur stora stötar själva blomkrukan tål. Uppgift 5 R-M x+y = 1 xy +y = 1.9 a) Genomför för hand ett steg med Newtons metod för ickelinjära system med startvärdena x = 0 och y =. b) Värdena x = 0 och y = 1 ligger närmare lösningen men fungerar ändå inte alls. Varför? c) Föreslå egna startvärden (dvs utan att använda de givna värdena). Visa hur du kommer fram till dina startvärden. d) Hur skulle du kunna lösa ekvationssystemet ovan utan att använda Newtons metod för ickelinjära system? e) Extrauppgift: Hur många lösningar har systemet? Uppgift 6 R-M a) Bestämmedfemsiffrormedelpunkten(X,Y)ochradienR fördencirkelsomgårgenomdetrepunkterna (x 1,y 1 ) = (1,8), (x,y ) = (3,4) och (x 3,y 3 ) = (7,9) genom att lösa det ickelinjära ekvationssystemet b) Blir det samma svar som i Lab (uppgift 5)? (x 1 X) +(y 1 Y) = R (x X) +(y Y) = R (x 3 X) +(y 3 Y) = R c) Multiplicera tredje ekvationen med 5, dvs tredje ekvationen blir 5(x 3 X) +5(y 3 Y) = 5R. Lös systemet igen, blir det samma lösning som i a? 3

4 Uppgift 7 R-M Återställ ekvationssystemet till det i uppgift 6a. Lägg till de två punkterna (4,10) och (6,4) så att det blir totalt fem givna punkter, och anpassa bästa cirkel med ickelinjära minstakvadratmetoden (Gauss-Newtons metod). Vad blir X, Y och R? Är det samma svar som i Lab (dvs i uppgift 6a, den med 5 punkter)? Multiplicera återigen tredje ekvationen med 5. Får man nu samma svar som något av de tidigare svaren? Återställ systemet till sin ursprungsform. Multiplicera ekvationen från den sista punkten, dvs (6, 4), med 5. Får man nu samma svar som något av de tidigare svaren? Rita upp cirklarna, gärna alla tre i samma bild. Uppgift 8 R-S I uppgift 4 i Lab mätte vi avståndet från punkten P till de kända punkterna A och B. Inbindningsmetoden gav oss då ekvationssystemet { (xa x P ) +(y A y P ) = L A (x B x P ) +(y B y P ) = L B Lös med Newtons metod detta ickelinjära ekvationssystem då man vet att de kända punkternas koordinater är A = (8,37) och B = (77,39) och de uppmätta avstånden L A = 0.0 och L B = 60.0 (avstånden antas exakta). Får du samma svar som programmet tvapkt.m från kurshemsidan? Uppgift 9 R-S Lös det ickelinjära överbestämda ekvationssystem vi får med inbindningsmetoden i uppgift 8 ovan, när vi tar med alla tre punkterna A, B och C i beräkningen. Det gällde C = (6,7) och L C = 0.0 (alla givna värden får antas exakta). (x A x P ) +(y A y P ) = LA (x B x P ) +(y B y P ) = LB (x C x P ) +(y C y P ) = LC Uppgift 10 R-S Frivillig, värd 0.1 bonuspoäng. Extrauppgift: Får man samma svar (med 6 decimaler) som i uppgift 9 ovan om man i stället löser det ickelinjära ekvationssystemet (xa x P ) +(y A y P ) (xb = L A x P ) +(y B y P ) (xc = L B x P ) +(y C y P ) = L C Uppgift 11 R-S Titta på dina resultat från uppgifterna 6-9 (och 10) och avgör: Vilken eller vilka egenskaper hos ekvationssystemet avgör om man får samma svar eller om lösningen ändras då man skriver om eller skalar om en eller flera ekvationer i ekvationssystemet? Kan du ange varför? Prova gärna din teori genom att modifiera någon av uppgifterna 6-10 och se att din teori stämde (tips om du ännu inte gjort uppgift 10: förutspå om det skall bli samma svar eller ej, lös uppgiften och kolla sedan att du tänkt rätt). Uppgift 1 R-S Uppgift b och c frivilliga, tillsammans värda 0.1 bonuspoäng. Global Positioning System (GPS) bygger just på inbindningsmetoden. Man mäter avståndet till ett antal satelliter som ingår i systemet. Avstånden blir aldrig exakt uppmätta. Detta motsvarar i vårt exempel ovan att L A,L B och L C får felgränser. a) Beskrivhurmanbestämmerpunkten(x P,y P )iuppgift9meddenfelgränssomkommeravattavstånden är givna med felgränser, L A = 0.0±0.8, L B = 60.0±0.9 och L C = 0.0±0.8. 4

5 b) Extrauppgift: Beräkna den i deluppgift a sökta felgränsen. (Bortse från ev presentationsfel). c) Extrauppgift: Samma uppgift som deluppgift b men tag bort mätning C, (dvs bara två ekvationer och avstånd tas med). Blir det samma svar som i Lab? Samma svar som i deluppgift b? Bättre än i b? Detta ska visa finessen med att göra fler mätningar än matematiskt nödvändigt för att få ner konsekvenserna av osäkra mätdata och/eller enskilda mätfel. Uppgift 13 R-S Hur lång tid har du lagt ner på förberedelser? SVAR:...tim. Hur lång tid har du lagt ner på Lab4 (exkl förberedelsen)? SVAR:...tim. Om du har glömt att uppge tiden för någon eller några av dina tidigare labbar är det hög tid att lämna in dessa tidsuppgifter nu! Muntliga delen av Lab4 godkänd Namn:... Datum:... Pers.nr.:... Ass:... Antal + :... Detta var den sista laborationen i kursen! God fortsättning på numme-användandet önskar Mattias! 5