Numeriska metoder för ODE: Teori

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Numeriska metoder för ODE: Teori"

Transkript

1 Numeriska metoder för ODE: Teori Vilka metoder har vi tagit upp? Euler framåt Euler bakåt Trapetsmetoden y k+ = y k + hf(t k, y k ), explicit y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ), implicit y k+ = y k + h (f(t k, y k ) + f(t k+, y k+ )), explicit Heun ỹ k+ = y k + hf(t k, y k ) y k+ = y k + h (f(t k, y k ) + f(t k+, ỹ k+ )), explicit Klassiska R-K k = f(t k, y k ) k = f(t k+, y k + h k ) k 3 = f(t k+, y k + h k ) k 4 = f(t k+, y k + hk 3 ) y k+ = y k + h 6 (k + k + k 3 + k 4 ), explicit Alla är enstegsmetoder

2 Lokalt trunkeringsfel och noggrannhetsordning Definition: Det lokala trunkeringsfelet är det fel man gör med en numerisk metod när man utgår från det exakta värdet vid tiden t k och tar ett steg. Rent tekniskt får man lokala trunkeringsfelet τ genom att sätta in den exakta lösningen i metoden och ta skillnaden mellan VL och HL. Exempel : Euler framåt τ = y(t k+ ) y(t k ) hf(t k, y(t k )) På grund av differentialekvationen kan vi ersätta (t k, y(t k ) med y (t k ) vilket ger: τ = y(t k+ ) y(t k ) hy (t k ) Analysera lokala trunkeringsfelet genom taylorutveckling kring lämplig punkt. Här väljer vi att taylorutveckla kring t = t k. Notera att y(t k+ ) = y(t k + h) Koeff Term = Utveckling y(t k+ ) = y(t k ) + hy (t k ) + h y (t k ) + h3 6 y (t k ) +... y(t k ) = -y(t k ) h y (t k ) = hy (t k ) τ = h y (t k ) + h3 6 y (t k ) +... Vi säger att lokala trunkeringsfelet i det här fallet är O(h ). Storleksordningen ges av den första termen som inte försvinner. För en förenklad analys av det globala felet när man löst över ett helt intervall kan vi summera de lokala felen. (OBS! En strikt analys av det globala felet är mera komplicerad och ligger utanför kursens ram.) Antal steg man gör på ett intervall a t b är (b a)/h. Det betyder att summan av de lokala felen här blir (b a)/h O(h ) = O(h). Generellt: Om lokala trunkeringsfelet är O(h p+ ) så är globala felet O(h p ). Def: Om en metod har globalt fel O(h p ) så säger man att den har noggrannhetsordning p. Exempel : Euler framåt har alltså noggrannhetsordning. Exekveringstider Huvudsakliga beräknings arbetet ligger i evalueringen av f(t, y). Heun gör två funktionsevalueringar per steg medan Euler gör en.

3 Arbete Euler: W (arbetet för en funktionsevaluering) Arbete Heun : W Antal steg blir T/h. För ett fall där Euler behöver använda steg h = 0.0 och Heun klarar samma noggrannhet med steg h = 0. får vi: Euler: T/0.0 = 00T Heun: T/0. = 0T Totalt arbete Euler: 00 T W Heun: 0 T W Heun är i detta fall 5 ggr snabbare för motsvarande kvalitet på lösningen, trots att metoden behöver göra dubbelt så mycket arbete per beräkningspunkt. Den högre noggrannhetsordningen gör att det behövs betydligt färre beräkningspunkter, så att exekveringstiden blir kortare trots det större arbetet per punkt. Noggrannhetsordning för våra metoder Metod Noggrannhetsordning Euler framåt och bakåt Trapetsmetoden Heun klassiska R-K 4 Konsistens och konvergens Def: En numerisk metod för lösning av ODE är konsistent om Ψ[y, h]/h 0 då h 0. Def: En numerisk metod för lösning av ODE är konvergent om y k y(t k ) då h 0. Konvergens kräver både konsistens och stabilitet Man kan konstruera metoder som är konsistenta, men inte konvergerar mot den rätta lösningen även om h 0. Metoden måste också vara stabil: nästa föreläsning. 3

4 Kondition, stabilitet och testekvationen De numeriska ODE-lösare som vi använder i den här kursen är utformade för att lösa begynnelsevärdesproblem på formen: y (x) = f(t, y(t)), t 0 y(0) = a där a är ett givet begynnelsevärde. Vad händer om det är ett mätfel ε(0) i a, så att vi i stället för det exakta begynnelsevärdet använder y(0) = a + ε(0)? Låt y(t)+ε(t) vara den exakta lösningen till det störda problemet (alltså problemet med mätfel i begynnelsevärdet). Då gäller: (y(t) + ε(t)) = f(t, y(t) + ε(t)) Om vi taylorutvecklar f(t, y(t) + ε(t)) kring y(t) och sätter in i ovanstående ekvation, så får vi: y (t) + ε (t) = f(t, y(t)) + f (t, y(t))ε(t)) +... Eftersom y (x) = f(t, y(t)) så tar y (t) och f(t, y(t)) ut varandra i ovanstående uttryck. Slutsatsen blir att om vi från början har ett mätfel ε(0) så kommer den exakta lösningen till ODE-problemet med störda indata att vid tiden t skilja sig med ε(t) från den exakta lösningen y(t) till problemet med exakta indata och ε(t) uppfyller ungefär nedanstående differentialekvation: ε (t) = f (t, y(t))ε(t)) Notera att koefficienten f (t, y(t)) inte beror på ε(t). Ekvationen för hur felet fortplantas med tiden är alltså en lineär ODE. Utredningen ovan visar hur den exakta lösningen till differentialekvationen påverkas av en störning i indata. En ekvation där en liten störning i indata ger upphov till en stor störning i lösningen sägs vara illakonditionerad. Motsvarande egenskap hos den numeriska metoden kallas instabilitet. Det vill säga att om en liten störning i problemet ger en stor störning i den numeriska lösningen, så är den numeriska metoden instabil. För att analysera en numerisk metods stabilitetsegenskaper, så undersöker man hur den numeriska metoden påverkar lösningen till störningsekvationen ovan. I analysen ersätter man f (t, y(t)) med en konstant λ och man brukar använda variabelnamnet y i stället för ε: y (t) = λy(t). 4

5 Detta kallas för testekvationen. Konstanten λ kan vara ett komplext tal. Lösningarna till testekvationen är y(t) = y 0 e λt, så λ avgör hur fort lösningarna växer eller avtar, beroende på tecken. Stabilitetsanalys för Euler framåt Euler framåt y k+ = y k + hf(t k, y k ) För Euler framåt tillämpad på testekvationen får vi y k+ = y k + hλy k y k+ = y k ( + λh) Kom ihåg att i testekvationen står y för störningen. För stabilitet krävs att störningen avtar med tiden, det vill säga att y k+ < y k som enligt ovanstående uttryck skulle innebära att y k ( + λh) < y k. Slutsatsen blir att för att Euler framåt ska vara stabil krävs att: + λh < Detta kallas för stabilitetsvillkoret för denna metod. Eftersom λ är kan vara ett komplext tal kan stabilitetsvillkoret beskrivas som ett område i komplexa talplanet. En cirkel i komplexa talplanet med centrum i c och radie r ges av de komplexa tal z som uppfyller z c = r. Villkoret λh ( ) < uppfylls därför av de komplexa tal λh som finns i en cirkel med centrum i - och radie. Denna cirkel kallas för stabilitetsområdet för Euler framåt. Stabilitetsvillkor och stabilitetsområden Definition: Stabilitetsvillkor är det villkor på λh som gör att störningar inte växer (den numeriska lösningen till testekvationen inte växer). Definition: Stabilitetsområde är det geometriska område i komplexa planet med λh-värden som ger en till beloppet avtagande lösning till testekvationen. 5

6 Stabilitetsanalys Euler bakåt Euler bakåt För testekvationen får vi y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ) y k+ = y k + hλy k+ y k+ ( λh) = y k y k+ = ( λh) y k Avtagande lösning y k+ < y k om λh >. Detta är stabilitetsvillkoret för metoden. Stabilitetsområdet utgörs av alla komplexa tal λh som finns utanför cirkeln med centrum i och radie. Om realdelen av λ < 0 är metoden stabil för alla värden på h. Detta kallas att metoden är A-stabil. Stabilitet för Heun Stabilitetsområdet för Heuns metod: Stabilitetsomrà de fã r Heuns metod Im λ h Re λ h Stabilitetsanalys för Heuns metod: för testekvationen y k+ = y k + h (f(t k, y k ) + f(t k+, y k + hf(t k, y k )) y k+ = y k + h (λy k + λ(y k + hλy k )) = ( + λh + (λh) )y k 6

7 Stabilitet, avtagande lösning y k+ < y k om Styva problem + λh + (λh) < Av det vi hittills har sagt framgår att valet av steglängd beror på både den numeriska metodens noggrannhet och på dess stabilitetsegenskaper. Vi behöver välja en steglängd som gör att diskretiseringsfelet blir tillräckligt litet för att uppfylla den tolerans som användaren har satt. Dessutom måste steglängden uppfylla stabilitetsvillkoret för den numeriska metoden. Vi har också sett att explicita metoder har sämre stablitetsegenskaper än implicita metoder. Ett ODE-problem sägs vara styvt om det är sådant att en explicit metod på grund av stabilitetsvillkoret måste ta väsentligt kortare steg än vad som skulle krävas för att uppfylla toleransen. Av störningsanalysen ovan framgår att det är storleken på f (t, y(t)) som avgör hur stort λ kan bli i testekvationen. Ju större värde f (t, y(t)) kan få för ett visst ODE-problem, desto styvare är alltså problemet. (OBS! Ovanstående är en förenklad beskrivning. För ett system av ODE kommer frac f(t, y(t)) att vara en matris kommer λ att svara mot egenvärdena tiil den matrisen. Detta ligger utanför ramen för den här kursen.) 7

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Målen för föreläsningen Stabilitet vid diskretisering av ODE med numeriska metoder Definition: Den analytiska lösningen till en ODE är begränsad. En numerisk metod för

Läs mer

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Institutionen för datavetenskap Umeå universitet december 06 Teknisk beräkningsvetenskap I Repetitionsfrågor: 5DV54 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Del

Läs mer

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6.

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6. Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN6 09-03-17 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se Repetition av FN5 (GNM kap 6.1-2B) Differentialekvationer Standardform för begynnelsevärdesproblem

Läs mer

Föreläsning 9. Absolutstabilitet

Föreläsning 9. Absolutstabilitet Föreläsning 9 Absolutstabilitet Introduktion För att en numerisk ODE-metod ska vara användbar måste den vara konvergent, dvs den numeriska lösningen ska närma sig den exakta lösningen när steglängden går

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys 160526 Del I: (1) (a) Heuns metod för numerisk lösning av differentialekvationer har noggrannhetsordning 2. Detta betyder att Felet avtar med

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi

Läs mer

Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar. 1 Beräkningsfelsanalys. 1.1 Uttryck med kancellation

Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar. 1 Beräkningsfelsanalys. 1.1 Uttryck med kancellation Linköpings Universitet Kompletterande material Matematiska institutionen/beräkningsmatematik 5 februari 203 Ingegerd Skoglund IT Termin 6 Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar Beräkningsfelsanalys

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 8-8-8 DAG: Torsdag 8 aug 8 TID: 8.3 -.3 SAL: M Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986, 0702-634722 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-10-17 Skrivtid: 8 00 11 00 (OBS!

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-06-07 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars

Läs mer

Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154

Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154 Institutionen för datavetenskap Umeå universitet 18 december 15 Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154 Deltentamen inkusive svar Tid: 9. 13. Hjälpmedel: Matlab. Maximalt antal poäng: 1 5 poäng är tillräckligt

Läs mer

AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER

AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Stabilitet Fasporträtt AUTONOMA DE: Det är speciellt enkelt att rita ett riktningsfält för en ekvation av typen y F( y) (ekv) (eller

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Föreläsning 8, Numme i2,

Föreläsning 8, Numme i2, SF545, Numeriska Metoder, I, HT0, Ninni Carlsund Levin, Föreläsning 8 Föreläsning 8, Numme i, 0 GKN Kap - Differentialekvationer GNM kap 7-7), S Ch Dagens termer Riktningsfält Standardform Begynnelsevärdesproblem

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

10 1 Felgraf. Fel Antal steg

10 1 Felgraf. Fel Antal steg Tillämpade Numeriska II, Lab 6 Josef Arvidsson, F99 7882-244 f99-jar@f.kth.se Tomas Almberger, F99 836- f99-tal@f.kth.se 25 november 23 Partiella differentialekvationer. Värmeledningsekvationen.. Del a.

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 2-5-26 DAG: Lördag 26 maj 2 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal

Läs mer

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2, Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0)

Läs mer

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H4 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 15 Repetition Lekt 14 Bestäm följande gränsvärden cos x tan x lim x 0 x x + ln ( e 2x

Läs mer

Nyquistkriteriet. Henrik Sandberg. Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014

Nyquistkriteriet. Henrik Sandberg. Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014 Nyquistkriteriet Henrik Sandberg Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014 Upplägg Harry Nyquist Frekvensanalys i sluten loop Nyquistkriteriet Exempel Argumentvariationsprincipen Harry Nyquist (1889-1976)

Läs mer

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Del A Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

y(0) = e + C e 1 = 1

y(0) = e + C e 1 = 1 KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs

Läs mer

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Numeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19

Numeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19 Dagens ämnen 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19 Dagens

Läs mer

F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering.

F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering. 050301 p 1 (10) F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering. 1. Styckevis polynom: linjär och spline-interpolation; En funktion f representerad i en tabell (x i,f i ), i = 0,...,n,

Läs mer

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning 1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Repetition ekvationer - Matematik 1

Repetition ekvationer - Matematik 1 Repetition ekvationer - Matematik 1 Uppgift nr 1 I en 2-barnsfamilj är alla tillsammans 107 år. Sonen är 7 år yngre än dottern. Mamman är 4 år äldre än pappan. Pappan är 4 gånger äldre än dottern. Hur

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

dy dx = ex 2y 2x e y.

dy dx = ex 2y 2x e y. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi Beräkningsvetenskap stefan@it.uu.se Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska beräkningar Mer ingenjörsmässigt,

Läs mer

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:

Läs mer

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10 Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 10: Fasplan Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av föreläsning 9. Nyquistkriteriet 2(25) Im G(s) -1/k Re -k Stabilt om G inte omsluter 1/k. G(i w) Sammanfattning

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje

Läs mer

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen? Block 5: Ickelineära ekvationer Löpsedel: Icke-lineära ekvationer Varför är det svårt att lösa ickelineära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod Noggrannhet/stoppvillkor

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

Lektioner Datum Lokal Grupp 1 Grupp 2 Grupp 3 Grupp 4 Avsnitt

Lektioner Datum Lokal Grupp 1 Grupp 2 Grupp 3 Grupp 4 Avsnitt Föreläsning 8.15-10.00 Lektioner 10.15-12.00 Datum Lokal Grupp 1 Grupp 2 Grupp 3 Grupp 4 Avsnitt ons-3-dec Hörsal G C: 5.1-5.2 tor-4-dec Hörsal G N210 A302 A303 MC413 C: 5.3-5.4 fre-5-dec Hörsal G C: 2.10,

Läs mer

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1 Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1 Viktig information om övningstentamen Betygsgränserna är endast preliminära. Del B och del C behöver inte beröra samma problem som inlämningsuppgifterna.

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Kursen avses ge dig kunskap om numeriska metoder, hur man kan använda dessa genom elementär programmering i MATLAB samt

Läs mer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s

Läs mer

Laboration 1: Optimalt sparande

Laboration 1: Optimalt sparande Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Beskrivning och mål. Den här laborationen syftar till att ge en grundläggande förståelse

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

LABORATION cos (3x 2 ) dx I = SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Information Coding / Computer Graphics, ISY, LiTH. Integrationsmetoder

Information Coding / Computer Graphics, ISY, LiTH. Integrationsmetoder Integrationsmetoder Datorspel är tidsdiskreta Explicita analytiska funktioner för hastighet och acceleration saknas Position är integral av hastighet Hastighet är integral av acceleration Eulerintegrering

Läs mer

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet. Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Amplitudstabilitet hos svängningar

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet. Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Amplitudstabilitet hos svängningar glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 23 Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet Linjärt system G(s) återkopplat med en statisk olinjäritet f(x) TSRT9 glerteori Föreläsning : Fasplan Daniel

Läs mer

Signalanalys med snabb Fouriertransform

Signalanalys med snabb Fouriertransform Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör

Läs mer

Poisson Drivna Processer, Hagelbrus

Poisson Drivna Processer, Hagelbrus Kapitel 6 Poisson Drivna Processer, Hagelbrus Poissonprocessen (igen) Vi har använt Poissonprocessen en hel del som exempel. I den här föreläsningen kommer vi att titta närmare på den, och även andra processer

Läs mer

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor 5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD9) STS ES W K1 Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på ett kladdpapper,

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer

Introduktionsföreläsning. Outline. Beräkningsvetenskap I. Sara Zahedi Hanna Holmgren. Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet

Introduktionsföreläsning. Outline. Beräkningsvetenskap I. Sara Zahedi Hanna Holmgren. Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet Lärare Introduktionsföreläsning Beräkningsvetenskap I Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet Sara Zahedi Hanna Holmgren 29 oktober, 2012 Outline 1 2 Information om kursen 3 Introduktion

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform

Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den laborationen har syften: dels att visa lite hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man den an dels att

Läs mer

CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor

CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Dagens tema Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Fasplan(-rum), trajektorier, fasporträtt ZC sid 340-1, ZC10.2 Definitioner: Lösningarna

Läs mer

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Institutionen för Matematik Göteborg F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Heath 1: a) -01416 resp -0046 b) -0001593 resp -000051 c) 000165

Läs mer

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x Uppsala Universitet Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Ordinära differentialekvationer F,Q,W,IT Civilingenjörsutbildningen 1996-6-7 Skrivtid: 15. 21.. Varje problem ger högst 5

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

Existens och entydighet

Existens och entydighet Föreläsning 7 Eistens och entydighet 7.1 Aktuella avsnitt i läroboken Appendi Eistence and Uniqueness of Solutions. 47 48 FÖRELÄSNING 7. EXISTENS OCH ENTYDIGHET Som vi sett i flera eempel kan man ibland

Läs mer

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 = Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer