Stabilitet m.a.p. begynnelsedata
|
|
- Jakob Persson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal I teorin för differentialekvationer (ur allmännare matematisk synvinkel) har vi följande aspekt: Olinjära system Exempel: ½ y 0 = y (1 y), t 0 y (0) = a (given) (Obs. Diff.ekvationen är olinjär!) Vi kan omedelbart se två konstanta lösningar: y = 0 för alla t y = 1 för alla t (Då är såväl höger- som vänsterled =0.) Sådana lösningar kallas jämviktslösningar. (Att ett system befinner sig i jämvikt, brukar ju betyda att tillståndsvariablerna håller sig konstanta.) Annars, på alla intervall där högerledet inte antar värdet 0, så är ekvationen ekvivalent med y 0 y (1 y) =1 En separabel diff.ekv.! Z Z dy = dt y (1 y) Z µ 1 y + 1 Z dy = dt 1 y ln y ln 1 y = t + C y 1 y = ±e C e t [Sätt in t =0] y a = 1 y 1 a et (1 a) y = a (1 y) e t y = Vad händer med lösningen när t? = ae t 1 a + ae t = 1 1 a a e t +1 Anm. De vertikala linjerna kring t =2ärinte lösningskurvor, utan lodräta asymptoter för de två lösningarna med y (0) < 0. Hur beror lösningarna på begynnelsevärdet y (0)? Om vi har två lösningar, y 1 och y 2, med olika begynnelsevärden, a 1 och a 2, men med a 1 a 2 relativt liten, kommer då skillnaden mellan y 1 och y 2 att vara liten även för alla t>0? Att denna fråga är viktig, kan inses så här: Tänk att y (t) är en storhet vars framtida värden vi vill förutsäga utifrån det nuvarande värdet y (0), som vi mäter upp. Vi kan därvid inte undvika ett visst mätfel, så den lösning vi tar fram har ett annat begynnelsevärde än den riktiga lösningen. Hur brukbar är då vår lösning som approximation till den riktiga? När det gäller exemplet ovan, så är det klart att, om vi har att göra med lösningskurvorna ovanför t-axeln, så spelar inte begynnelsevärdet någon större roll lösningskurvorna bildar en konvergent knippe begynnelseskillnaderna syns inte efterhand. Lösningskurvorna under t-axeln är däremot väldigt känsliga för begynnelsevärdet. I detta enkla exempel är i alla fall lösningskurvornas kvalitativa utseende klart alla lösningar med y (0) < 0 kommer att avta mot med växande t. Men i mera komplicerade fall system av flera olinjära diff.ekvationer så kan även svaret på frågor som Kommer kurvan att vända någon gång? att vara starkt beroende av begynnelsevärdet. Lösningen y 0 ovan kallas instabil jämviktslösning (jämviktspunkt) Lösningen y 1 ovan kallas stabil jämviktslösning (jämviktspunkt). ( 1, om 1 a a > 1 y (t) q, redan när t, annars 1 a a Några lösningskurvor för olika värden på y (0) = a : 1
2 Allmänt: Låt f vara en given funktion av två variabler. Beteckna med y (a, t) lösningen till problemet ½ y 0 = f (t, y), t 0 y (0) = a (given) (I vårt exempel ovan är f oberoende av t, f (t, y) = y (1 y), ett s.k. autonomt system.) En lösning y (a 0,t) kallas stabil, om det till varje ε > 0 finns ett δ > 0 så att a a 0 < δ = y (a, t) y (a 0,t) < ε för alla t 0 instabil, annars De stabila lösningarna indelas i sin tur i två kategorier. En stabil lösning y (a 0,t) kallas asymptotiskt stabil, omδ kan väljas så att dessutom y (a, t) y (a 0,t) 0 när t neutralt (marginellt) stabil, annars. Linjära system Antag att y 1 och y 2 är två lösningar till y 0 (t) = A (t) y (t)+f (t),t 0 y k (0) = a k, k =1, 2 (Här är y (t) kolonnvektor, A (t) kvadratisk matris, och f (t) kolonnmatris bestående av kända kända funktioner. Att värdet av en vektor är litet/begränsat skall tolkas som så att alla element i vektorn är små/begränsade.) Då är y 1 y 2 = A (y 1 y 2 ) d.v.s. differensen y 1 y 2 är en lösning till motsv. homogena ekvation med begynnelsevärdet a 1 a 2. Stabilitetsfrågan reduceras då till följande: asymptotisk stabilitet: Gäller y (t) 0 när t för alla lösningar till homogena ekv. y 0 = Ay? stabilitet: Är y (t) begränsad för t 0 för alla lösningar till homogena ekv. y 0 = Ay? Spanne brukar en något hemmagjord terminologi, som dock passar bättre för just linjära system ([S, 69]): Spanne : stabil standard : asymptotiskt stabil OBS. För olinjära system är stabilitet en egenskap hos varje enskild lösning ett system kan ha såväl stabila som instabila lösningar. För linjära system är alla lösningar av samma typ som nollösningen till motsv. homogen system är den stabil, etc., så är alla andra lösningar av samma typ. Därför kan vi prata om stabilitet som en egenskap hos systemet (systemmatrisen A)! LTI-system y 0 = Ay + f, A = konstant n n-matris Stabilitetsfrågan kan i de allra flesta fall avgöras genom att bestämma egenvärdena till A Om A är diagonaliserbar y (t) =c 1 e λ1t s 1 + c 2 e λ2t s c n e λnt s n där λ k är egenvärdea (ev. komplexa) och s k är motsvarande egenvektorer, medan c k är (ev. komplexa) konstanter som bestäms av begynnelsevillkoren. Om A inte är diagonaliserbar Kan inträffa endast då karaktäristiska polynomet har minst ett nollställe λ med multipliciteten m>1. Utredningen i kap.5.4. leder till (sats 5.6) att ett sådant nollställe kan (men behöver inte) ge upphov till termer (i lösningen av typen ct k e λt s, 0 < heltal k<m (s är då inte längre egenvektor). Ett alternativt sätt att se komma fram till detta är ensidig Laplacetransformation: y 0 (t) = Ay (t) sy (s) y (0) = AY (s) (si A) Y (s) = y (0) Y (s) = (si A) 1 y (0) Enligt Cramers regel (kap.4.6) är elementen i (si A) 1 rationella funktioner av s, närmare bestämt bråk av typen polynom av grad <n det (si A) Om nu det (si A) har, efter ev. förkortning av gemensamma faktorer med täljaren, en faktor (s a) m, m > 1 så kommer vi i partialbråksuppdelningen att få en summa C 1 s a + C 2 (s a) C m (s a) m Inverstransformering ger då (bortser från θ (t)-faktorn, eftersom man kan visa att samma summa av exponentialfunktioner är lösning även för t<0) C 1 e at + C 2 te at C m m! tm e at Detåterstårdåatttänkapåhurfunktioneravtypen t k e λt uppför sig när t. Se [S,kap.4.2] 2
3 Stabilitet m.a.p. ekv. parametrar I förra avsnittet ställde vi frågan hur känslig lösningen till ½ y 0 = f (t, y), t 0 y (0) = a (given) Ettannatsättattsepå f begränsad = y begränsad är att betrakta f som insignal och y som utsignal. Då är detta insignal-utsignalstabiliteten från kap.9. är för variationer i begynnelsedata y (0). Men vi kan också fråga oss hur känslig en lösning är för variationer i f. Vi hade exemplet y 0 = y (1 y), men i tillämpningarna har man snarare y 0 = ky (1 y) där konstanten k är en s.k. fysikalisk modellparameter, vars värde man härleder ur mätningar, alltså är den inte heller exakt given. Då är frågan: Om vi nu bestämmer lösningen för ett k som avviker något från det riktiga, kommer då denna lösning att duga som approximation till den riktiga lösningen? I [S, kap ] betraktas problemet y 0 = Ay + f Vi frågar oss: Om y 1 och y 2 är lösningar då f = f 1 resp. f = f 2 i högerledet, båda med samma värde för t =0, och vi vet att f 1 f 2 är litet för alla t>0, är då även y 1 y 2 litet för alla t>0? Vi tittar på skillnaden y 1 y 2. Den löser ½ y 0 = Ay + f, med f = f 1 f 2 y (0) = 0 Härav ses att vår fråga är ekvivalent med frågan om f begränsad = y begränsad / y 0 eftersom lineariteten medför att y beror proportionellt mot f : ersätter vi f med cf, så ändras lösningen y också medenfaktorc. (Mera formellt: Anta att vi vet att f (t) B för alla t 0= y (t) M för alla t 0 där alltså y (t) är den lösning som uppfyller y (0) = 0. Då kan vi säga att f (t) δ = B δ f (t) B = y 0 = Ay + B δ f har en lösning y M med y M (t) M y 0 = Ay + f har då lösningen δ B y M som uppfyller δ B M δ B M 3
4 y = y h + y p -metoden för system [S, kap ] säger att vi kan lösa y 0 = Ay + f för vissa speciella f mycket på samma sätt som skalära diff.ekvationer i envariabelanalysen. y 00 + ay 0 + by = f = given funktion y = y h + y p där y h är den allmänna lösningen till y 0 = Ay, medan y p är någon lösning, som vi försöker få med lämplig ansats. Om f (t) =konstant vektor f 0 : Ansätt y p = konstant vektor: För att lösa y 0 (t) = Ay (t)+c 1 f 1 (t)+c 2 f 2 (t), c 1,c 2 konstanter räcker det att hitta lösningar y 1 och y 2 till y 0 = Ay + f 1 resp. y 0 = Ay + f 2 separat, och sätta ihop dem: y = c 1 y 1 + c 2 y 2 blir en lösning till y 0 = Ay + c 1 f 1 + c 2 f 2 0 = Ay p + f 0 Ay p = f 0 ger linjärt ekvationssystem för elementen i y p ; lösbart om det A 6= 0. Om f (t) =konstant vektor ggr en exponentialfunktion = e st f 0, f (t) =e st f 0 så ansätt en y p på samma form: y p = e st y 0 y 0 p = se st y 0 se st y 0 = e st Ay 0 + e st f 0 (si A) y 0 = f 0 ger linjärt ekvationssystem för elementen i y 0 ; lösbart om det (si A) 6= 0, d.v.s. om s inte är egenvärde till A. Speciellt om s är komplext s = σ + iω och matriserna A och f 0 är reella, så är Re (si A) 1 f 0 e st en lösning till y 0 = Ay + f 0 e σt cos ωt Im (si A) 1 f 0 e st en lösning till y 0 = Ay + f 0 e σt sin ωt Om Re s>re λ för alla egenvärden λ till A, så kommer denna y p att dominera för stora t över y h (som är en linjärkombination av termer av typ t k e λt ). Med anledning av detta kallar [S] y p =(si A) 1 f 0 e st för generaliserat stationär lösning. Resonans: läs [S, kap.4.8] Övningsuppgifter i Spanne, kap.4: stabilitet : 1,2,12 (hämta gärna resultat från 3.2 och 3.12 alt. utnyttja dator till övn.1) superposition : 3-8 4
5 Kap.4 : lösn. till vissa övn. 4.12a Nollställena är a r a 2 ± 2 4 b Om b 0, så får vi reella nollställen och det största av dem, det som fås med plustecknet, är 0, d.v.s. instabilitet. Om 0 <b<a 2 /4, så har vi fortfarande två olika reella nollställen. Om a>0, så är båda negativa, d.v.s. stabilitet. Om a<0, så är båda positiva, d.v.s. instabilitet. Om b = a 2 /4, så har vi en dubbelrot, = a/2, d.v.s. stabilitet om och endast om a>0 Om b>a 2 /4, så har vi två komplexa nollställen av formen a/2 ± i (något reellt), d.v.s. stabilitet om och endast om a> b Polynomet kan faktoriseras i faktorer av typen s + α, γ reellt s 2 + βs + γ, β, γ reella Att polynomet är stabilt innebär att varje sådan faktor har sina nollställen i vänstra halvplanet. För den första typen betyder det att α > 0 För den andra typen: att β > 0 och γ > 0, enligt delfråga a). Alla faktorerna har alltså idel positiva koefficienter. Multiplicerar man ihop dem, så kommer produkten att ha positiva koefficienter, t.ex. (s + α) s 2 + βs + γ = s 3 +(α + β) s 2 +(γ + αβ) s + αγ 4.12c Ett (reellt) polynom av udda gradtal, har alltid minst ett reellt nollställe: T.ex. då p (x) = x 3 + ax är x 3 -termen dominerande för stora x (såväl positiva som negativa) och därmed p (x), när x p (x), när x så någonstans måste polynomets graf korsa x-axeln (kontinuerlig funktion!). Därför har vi faktorisering s 3 + as 2 + bs + c = (s + α) s 2 + βs + γ, α reellt a = α + β (enl.föregående) b = γ + αβ c = αγ Det finns två tänkbara sätt på vilka produktpolynomet skulle misslyckas med att vara stabilt: s + α ej stabilt, eller s 2 + βs + γ ej stabilt Detta i sin tur är (enl. bl.a. a)) ekvivalent med α 0 eller β 0 eller γ 0 Kan något av dessa tre olikheter gälla, samtidigt som Fall α 0: α + β > 0, γ + αβ > 0 αγ > 0? = β > 0= αβ 0= γ > 0= αγ 0 Nej, med γ 0 får vi inget exempel av påstådd typ. Fall β 0: = α > 0= αβ 0= γ > 0 Här får vi däremot inget motsägelse! Låt alltså t.ex. β = 1, α = 2 så att α + β > 0 γ = 3 så att γ + αβ > 0 αγ > 0 är då också uppfyllt Då har produktpolynomet positiva koefficienter, men andragradsfaktorn s 2 s+3 har två komplexa rötter med realdel > d Med faktorisering som i c) har vi alltså att polynomet är stabilt om och endast om α > 0, β > 0 och γ > 0, där a = α + β, b = γ + αβ, c = αγ Vi konstaterade redan i b) att om α, β, γ > 0, så är a, b, c > 0. Vidare ab c = (α + β)(γ + αβ) αγ = = β γ + αβ + α 2 = = β b + α 2 så även den storheten är > 0 när α, β, γ > 0. I c) såg vi att det inte går att ha α 0, när a, b, c > 0. Återstår nu att visa att det med tillägget ab c>0, inte går att ha β 0 eller γ 0 heller. β b + α 2 ¾ = ab c>0 = β > 0 b>0 γ = c a > 0 5
6 4.14a Falskt, eftersom p A har grad = 8, vilket innebär att A är en 8 8-matris. 4.14b Falskt, eftersom p A har nollstället λ =0, d.v.s. det (A λi) = 0 för λ = 0, vilket betyder att det A = c Spåret av A är = summan av egenvärdena (se Spanne, sid.57, sats 3.13), varvid multipla egenvärden räknas upprepade gånger: =0+( 1)+( 1)+( 2)+(2i)+( 2i)+(3i)+( 3i) = d det A = produkten av egenvärdena Spanne, samma sats som i c): =0 4.14e Kan ej avgöras det finns multipla egenvärden. 4.14f Sant, eftersom egenvärdena har realdel 0 och de som har realdel =0är enkla. 4.14g Falskt, eftersom det finns egenvärden med realdel =0:Det finns t.ex. en vektor s sådan att är en lösning. 4.14h Falskt, eftersom x (t) =e 2it s Ax 2x = 0 (A 2I) x = 0 har en icke-trivial lösning om och endast om det (A 2I) = 0, d.v.s.om λ = 2 är nollställe till det karateristiska polynomet, och så är inte fallet här. 4.14i Samma resonemang osm i föregående fråga. Svar ja, eftersom λ = 2 är nollställe till p A. 4.14j Ja, det finns en lösning av formen x = = f 1 cos πt + f 2 sin πt eftersom λ = iπ inte är nollställe till p A. 6
Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden
Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merVi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att
Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs mer1 Diagonalisering av matriser
1 Diagonalisering av matriser Kan alla matriser diagonaliseras? Nej, det kan de inte. Exempel: ẋ 1 = x 1 + 2x 2, Integrerande faktor: e t x 2 = x 2 x 2 (t) = c 2 e t och ẋ 1 x 1 = 2c 2 e t. e t x 1 e t
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206) Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656 Torsdagen den 8 januari 2009, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merMultiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0
Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs merdy dx = ex 2y 2x e y.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,
Läs merTeori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs mer1 Repetition - Övning 3.8
Repetition - Övning 38 Spåret av en matris definieras som: T r(a) = n i= a ii = n i= y z = y + y 2 + + y n = A y = Vi vill definiera när ett system kan ta emot input och leverera output utan att systemet
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merx 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)
Differentialekvationer II Modellsvar till räkneövning 4 16.4. 218 (kl 12-14 B222) 1. Lös det linjära homogena DE-systemet x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t) med matrismetoden. Påminnelse: egenvärden och
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-10-10 Skrivtid: 9.00 14.00. Hjälpmedel:
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs merFöreläsning 9. Absolutstabilitet
Föreläsning 9 Absolutstabilitet Introduktion För att en numerisk ODE-metod ska vara användbar måste den vara konvergent, dvs den numeriska lösningen ska närma sig den exakta lösningen när steglängden går
Läs merAbsolutstabilitet. Bakåt Euler Framåt Euler
Absolutstabilitet Introduktion För att en numerisk ODE-metod ska vara användbar måste den vara konvergent, dvs den numeriska lösningen ska närma sig den exakta lösningen när steglängden går mot noll. Det
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs mer1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF137 Tisdagen den 11 januari 211, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant
Läs merLösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.
Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merAB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer
AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s
Läs merSTABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merAnalys av jämviktslägen till differentialekvationer
Analys 360 En webbaserad analyskurs Ordinära differentialekvationer Analys av jämviktslägen till differentialekvationer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Analys av jämviktslägen
Läs merTSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet. Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Amplitudstabilitet hos svängningar
glerteori 27, Föreläsning Daniel Axehill / 23 Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet Linjärt system G(s) återkopplat med en statisk olinjäritet f(x) TSRT9 glerteori Föreläsning : Fasplan Daniel
Läs merALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift
Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merTENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671
Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.
Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av
Läs merReglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10
Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 10: Fasplan Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av föreläsning 9. Nyquistkriteriet 2(25) Im G(s) -1/k Re -k Stabilt om G inte omsluter 1/k. G(i w) Sammanfattning
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merOlinjära system (11, 12.1)
Föreläsning 2 Olinjära system (11, 121) Introduktion Vad menas med ett olinjärt system? Betrakta ett system där insignalerna u 1 (t) och u 2 (t) ger utsignalerna y 1 (t) respektive y 2 (t), d v s och u
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merTMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs merRepetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem
Institutionen för datavetenskap Umeå universitet december 06 Teknisk beräkningsvetenskap I Repetitionsfrågor: 5DV54 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Del
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merKurs 5B1200, Sammanfattningar av lektioner för M2 läsåret 1998/99. Björn Gustafsson
Kurs 5B1200, Sammanfattningar av lektioner för M2 läsåret 1998/99. Björn Gustafsson Lektion 1 En separabel differentialekvation är en som kan skrivas på formen f(x)dx = g(y)dy. Lösningar på implicit form
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs mer1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merVi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer
Kapitel System av ordinära dierentialekvationer Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer med konstanta koecienter. Huvudvikten läggs vid fallet att systemets
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs mer(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden
Läs merVälkomna till Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merFör startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 1
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH 16 september 2016 Homogena injära ODE m konst koeff Sist: homogena linjära ODE med konstanta koefficienter. Första ordningens sådan ekvation kan skrivas y
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs mer(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merNumeriska metoder för ODE: Teori
Numeriska metoder för ODE: Teori Vilka metoder har vi tagit upp? Euler framåt Euler bakåt Trapetsmetoden y k+ = y k + hf(t k, y k ), explicit y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ), implicit y k+ = y k + h (f(t
Läs merAndragradspolynom Några vektorrum P 2
Låt beteckna mängden av polynom av grad högst 2. Det betyder att p tillhör om p(x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är reella tal. Några exempel: x 2 + 3x 7, 2x 2 3, 5x + π, 0 Man kan addera två polynom
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs mer