Numeriska metoder för ODE: Teori

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Numeriska metoder för ODE: Teori"

Transkript

1 Numeriska metoder för ODE: Teori Lokalt trunkeringsfel och noggrannhetsordning Definition: Det lokala trunkeringsfelet är det fel man gör med en numerisk metod när man utgår från det exakta värdet vid tiden t k och tar ett steg. Dvs, lokala trunkeringsfelet är skillnaden mellan exacta värden y(t k+1 ) och numeriska värden y k+1. Analysera lokala trunkeringsfelet genom Taylorutveckling kring lämplig punkt. Exempel 1: Euler framåt Taylor: y(t k+1 ) = y(t k ) + hy (t k )) + O(h 2 ) (1) Euler framåt: y k+1 = y k + hf(t k, y k ) (2) Subtrahera (2) från (1): y(t k+1 ) y k+1 = y(t k ) + hy (t k )) + O(h 2 ) y k hf(t k, y k ) = y(t k ) y k + hy (t k )) hf(t k, y k ) + O(h 2 ) = O(h 2 ) (3) Vi har y(t k ) = y k och y (t k ) = f(t k, y k ) Exempel 2: Euler backåt Taylor: y(t k ) = y(t k + h h) = y(t k+1 ) hy (t k+1 )) + O(h 2 ) (4) Euler backåt: y k+1 = y k + hf(t k+1, y k+1 ) (5) Subtrahera (5) från (4): y(t k+1 ) y k+1 = y(t k ) + hy (t k+1 )) O(h 2 ) y k hf(t k+1, y k+1 ) = y(t k ) y k + hy (t k+1 )) hf(t k+1, y k+1 ) O(h 2 ) = O(h 2 ) (6) Vi har y(t k ) = y k och y(t k+1 ) = f(t k+1, y k+1 ) Vi säger att lokala trunkeringsfelet (här) är O(h 2 ), dvs storleksordningen ges av den första termen som inte försvinner. 1

2 Det globala felet när man löst över ett helt intervall är i bästa fall summan av de lokala felen, men kan också bli värre (eller bättre). Antal steg man gör på ett intervall a t b är (b a)/h. Det betyder att summan av de lokala felen här blir (b a)/h O(h 2 ) = O(h). Generellt: Om lokala trunkeringsfelet är O(h p+1 ) så är globala felet O(h p ). Def: Om en metod har globalt fel av O(h p ) så säger man att den har noggrannhetsordning p. Konsistens och konvergens Def: En numerisk metod för lösning av ODE är konsistent om lokala trunkeringsfelet Ψ[y, h] 0 då h 0. Def: En numerisk metod för lösning av ODE är konvergent om y k y(t k ) då h 0. Konvergens kräver både konsistens och stabilitet Man kan konstruera metoder som är konsistenta, men inte konvergerar mot den rätta lösningen även om h 0. Metoden måste också vara stabil: nästa föreläsning. Testekvationen Säg att vi har ett fel, t.ex. avrundningsfel, i det värde på y k vi skulle ha fått om vi räknat exakt. Hur påverkar det värdet av y k+1. Exempel : Euler framåt y k+1 = y k + hf(t k, y k ) ŷ k = y k + ɛ y k+1 ˆ = y k + ɛ + hf(t k, y k + ɛ) = y k + ɛ + hf(t k, y k ) + ɛh f + O(ɛ2 ) = y k+1 + (1 + h f )ɛ +... Om (1 + h f ) > 1 så växer felet. Detta kallas störningsanalys. 2

3 Vi ser att f är avgörande för hur felet beter sig. När man analyserar stabiliteten hos en numerisk metod för ODE brukar man använda testekvationen som har en konstant derivata f y = λy = λ. Lösningarna till testekvationen är y(t) = y 0 e λt, dvs λ avgör hur fort lösningarna växer eller avtar, beroende på tecken. Stabilitetsanalys för Euler framåt Euler framåt För testekvationen får vi y k+1 = y k + hf(t k, y k ) y k+1 = y k + hλy k y k+1 = y k (1 + λh) Avtagande lösning (stabilitet) y k+1 < y k om 1 + λh < 1 En cirkel i komplexa planet ges av z c = r Här λh ( 1) < 1, cirkel med centrum i -1 och radie 1. Stabilitetsvillkor och stabilitetsområden Definition: Stabilitetsvillkor är det villkor på λh som gör att störningar inte växer (lösningen inte växer). Definition: Stabilitetsområde är det geometriska område i komplexa planet med λh-värden som ger en till beloppet avtagande lösning till testekvationen. se att det är samma faktor som multiplicerar y k och störningen. Kan de komplexa tal Rita Rita stabilitet- sområde Stabilitetsanalys Euler bakåt Euler bakåt För testekvationen får vi y k+1 = y k + hf(t k+1, y k+1 ) y k+1 = y k + hλy k+1 3

4 y k+1 (1 λh) = y k 1 y k+1 = (1 λh) y k Avtagande lösning y k+1 < y k om 1 λh > 1 Utanför cirkeln med centrum i 1 och radie 1. Om λ < 0 är metoden stabil för alla värden på h. Detta kallas att metoden är A-stabil. Trapetsmetoden: Stbilitetsområde hela vänstra halvplanet. A-stabil. Styva problem Vad innebär att en ODE är styv? Lösningen varierar mycket snabbt (som λ stort) över ett delintervall. Ett system av ODEer har funktioner som varierar över olika tidsskalor snabba och långsamma reaktioner. Alla numeriska metoder måste ta små steg i de kritiska intervallen. En lämplig metod kan ta större steg över resten av intervallet. Adaptivt val av steglängd, automatiskt Idéskiss: Vi har visat att det lokala trunkeringsfelet i Euler framåt har ledande term h2 2 y. Givet en uppskattning på y kan vi välja steglängd så att h 2 k 2 y k tol h 2tol y k Det sparar tid (beräkningar) att ta stora steg där det går. Det som är svårt och/eller dyrt är att uppskatta det lokala felet. Matlab: ode45 t.ex. använder inbäddade Runge-Kutta metoder. (s ) Idé: Använd två metoder med olika noggrannhetsordning (t.ex. 4 och 5) för att beräkna y k + 1 Metod med p = 4: y(t k+1 ) y k+1 = O(h 5 ) Metod med p = 5: y(t k+1 ) ỹ k+1 = O(h 6 ) 4

5 Differensen ger ỹ k+1 y k+1 = (y(t k+1 ) y k+1 ) (y(t k+1 ) ỹ k+1 ) y(t k+1 ) y k+1 }{{}}{{} O(h 5 ) O(h 6 ) Feluppskattning ger nu a) Fel OK, fortsätt b) Fel för stort, minska steglängden och försök igen c) Fel för litet, öka steglängden nästa gång. 5

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Målen för föreläsningen Stabilitet vid diskretisering av ODE med numeriska metoder Definition: Den analytiska lösningen till en ODE är begränsad. En numerisk metod för

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Vilka metoder har vi tagit upp? Euler framåt Euler bakåt Trapetsmetoden y k+ = y k + hf(t k, y k ), explicit y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ), implicit y k+ = y k + h (f(t

Läs mer

Ordinära differentialekvationer,

Ordinära differentialekvationer, Sammanfattning metoder Ordinära differentialekvationer, del 2 Beräkningsvetenskap II n Eulers metod (Euler framåt, explicit Euler): y i+1 = y i + h i f (t i, y i ) n Euler bakåt (implicit Euler): y i+1

Läs mer

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6.

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6. Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN6 09-03-17 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se Repetition av FN5 (GNM kap 6.1-2B) Differentialekvationer Standardform för begynnelsevärdesproblem

Läs mer

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Institutionen för datavetenskap Umeå universitet december 06 Teknisk beräkningsvetenskap I Repetitionsfrågor: 5DV54 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Del

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys 160526 Del I: (1) (a) Heuns metod för numerisk lösning av differentialekvationer har noggrannhetsordning 2. Detta betyder att Felet avtar med

Läs mer

Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar. 1 Beräkningsfelsanalys. 1.1 Uttryck med kancellation

Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar. 1 Beräkningsfelsanalys. 1.1 Uttryck med kancellation Linköpings Universitet Kompletterande material Matematiska institutionen/beräkningsmatematik 5 februari 203 Ingegerd Skoglund IT Termin 6 Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar Beräkningsfelsanalys

Läs mer

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi

Läs mer

Föreläsning 9. Absolutstabilitet

Föreläsning 9. Absolutstabilitet Föreläsning 9 Absolutstabilitet Introduktion För att en numerisk ODE-metod ska vara användbar måste den vara konvergent, dvs den numeriska lösningen ska närma sig den exakta lösningen när steglängden går

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986, 0702-634722 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-10-17 Skrivtid: 8 00 11 00 (OBS!

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-06-07 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars

Läs mer

Föreläsning 8, Numme i2,

Föreläsning 8, Numme i2, SF545, Numeriska Metoder, I, HT0, Ninni Carlsund Levin, Föreläsning 8 Föreläsning 8, Numme i, 0 GKN Kap - Differentialekvationer GNM kap 7-7), S Ch Dagens termer Riktningsfält Standardform Begynnelsevärdesproblem

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD9) STS ES W K1 Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på ett kladdpapper,

Läs mer

Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154

Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154 Institutionen för datavetenskap Umeå universitet 18 december 15 Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154 Deltentamen inkusive svar Tid: 9. 13. Hjälpmedel: Matlab. Maximalt antal poäng: 1 5 poäng är tillräckligt

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 8-8-8 DAG: Torsdag 8 aug 8 TID: 8.3 -.3 SAL: M Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H4 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

10 1 Felgraf. Fel Antal steg

10 1 Felgraf. Fel Antal steg Tillämpade Numeriska II, Lab 6 Josef Arvidsson, F99 7882-244 f99-jar@f.kth.se Tomas Almberger, F99 836- f99-tal@f.kth.se 25 november 23 Partiella differentialekvationer. Värmeledningsekvationen.. Del a.

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Uppgifter märkta med redovisas 1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan 1.2-1.3. Givet a = 1,23, E a = 0,005 c = 0,00438 ± 0,5 10 5 b = 23,71, E b = 0,003

Läs mer

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

LABORATION cos (3x 2 ) dx I = SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför

Läs mer

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med

Läs mer

F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering.

F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering. 050301 p 1 (10) F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering. 1. Styckevis polynom: linjär och spline-interpolation; En funktion f representerad i en tabell (x i,f i ), i = 0,...,n,

Läs mer

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje

Läs mer

Ickelinjära ekvationer

Ickelinjära ekvationer Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Numeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19

Numeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19 Dagens ämnen 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19 Dagens

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

André Jaun, HT-2005 Anteckningar från lektioner i Numeriska Metoder fys-åk2. (Sid 93) Trapetsregeln Adaptiva metoder ODE-metod Förbehandlande metoder

André Jaun, HT-2005 Anteckningar från lektioner i Numeriska Metoder fys-åk2. (Sid 93) Trapetsregeln Adaptiva metoder ODE-metod Förbehandlande metoder André Jaun, HT-25 Anteckningar från lektioner i Numeriska Metoder fys-åk2. (Sid 93) Lektion 7 Integraler Problemformuleringen lyder: Beräkna A = Trapetsregeln Adaptiva metoder ODE-metod Förbehandlande

Läs mer

7 november 2014 Sida 1 / 21

7 november 2014 Sida 1 / 21 TANA09 Föreläsning 2 Talrepresentation i datorer. Flyttalssystem. Datoraritmetik och Beräkningsfel. Beräkningsfelsanalys och Kancellation. Serier och Resttermsuppskattningar. Tillämpning - Beräkning av

Läs mer

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning 1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Eddie Wadbro 18 november, 2015 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (1 : 37)

Läs mer

Differentialekvationer begynnelsevärdesproblem

Differentialekvationer begynnelsevärdesproblem André Jaun, HT-2005 Anteckningar från lektioner i Numeriska Metoder fys-åk2. (Sid 33) Lektion 3, 4 och 5 Differentialekvationer begynnelsevärdesproblem Standardform och definitioner Eulers metod Runge-Kuttas

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen

1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen 1 Stokastiska processer En stokastisk process är en stokastisk variabel X(t), som beror på en parameter t, kallad tiden. Tiden kan vara kontinuerlig, eller diskret (i vilket fall man brukar beteckna processen

Läs mer

AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER

AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Stabilitet Fasporträtt AUTONOMA DE: Det är speciellt enkelt att rita ett riktningsfält för en ekvation av typen y F( y) (ekv) (eller

Läs mer

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?

Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen? Block 5: Ickelineära ekvationer Löpsedel: Icke-lineära ekvationer Varför är det svårt att lösa ickelineära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod Noggrannhet/stoppvillkor

Läs mer

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Institutionen för Matematik Göteborg F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Heath 1: a) -01416 resp -0046 b) -0001593 resp -000051 c) 000165

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

DN1240, numo08 Stefan Knutas, Fredrik Båberg, B.10: Nalle-Maja gungar

DN1240, numo08 Stefan Knutas, Fredrik Båberg, B.10: Nalle-Maja gungar DN140, numo08 Stefan Knutas, 8811-0056 Fredrik Båberg, 88031-0511 3B.10: Nalle-Maja gungar Sammanfattning Detta arbete är skrivet som en del av Numeriska Metoder, Grundkurs. Uppgiften vi valde gick ut

Läs mer

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20 TANA09 Föreläsning 7 Interpolation Interpolationsproblemet. Introduktion. Polynominterpolation. Felanalys. Runges fenomen. Tillämpning. LED display. Splinefunktioner. Spline Interpolation. Ändpunktsvillkor.

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

1 Tillväxt. 1.1 Exogen tillväxt (Solow och Ramsey)

1 Tillväxt. 1.1 Exogen tillväxt (Solow och Ramsey) 1 Tillväxt 1.1 Exogen tillväxt (Solow och Ramsey) Antag att vi för enkelhets skull att arbetsutbudet är helt oelastiskt så hushållens nyttofunktion är E t P Ts=0 s u (c t+s ) där T kan vara oändligt. Vi

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Något om Taylors formel och Mathematica

Något om Taylors formel och Mathematica HH/ITE/BN Taylors formel och Mathematica Något om Taylors formel och Mathematica Bertil Nilsson 207-0-0 I am the best Ett av Brooks många ödmjuka inlägg i den infekterade striden som under början av 700

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 2 augusti 2016 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0

Läs mer

Inledning. Kapitel 1. 1.1 Bakgrund. 1.2 Syfte

Inledning. Kapitel 1. 1.1 Bakgrund. 1.2 Syfte Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika typer av fjädrar med olika parametrar.

Läs mer

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III Sebastian Andersson Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 16 december 2015 är en prognosmetod vi kan använda för serier med en

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller $ KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2 oktober 26 5 Femte veckan Integraler med tillämpningar Veckans begrepp Primitiva funktioner, integraler, area Trapetsmetoden för numerisk integration Partiell

Läs mer

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi Beräkningsvetenskap stefan@it.uu.se Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska beräkningar Mer ingenjörsmässigt,

Läs mer

Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer

Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer Eftersom endast ett mindre antal differentialekvationer kan lösas analytiskt, är numeriska lösningsmetoder ofta av stor betydelse. Nära besläktade

Läs mer

Lektioner Datum Lokal Grupp 1 Grupp 2 Grupp 3 Grupp 4 Avsnitt

Lektioner Datum Lokal Grupp 1 Grupp 2 Grupp 3 Grupp 4 Avsnitt Föreläsning 8.15-10.00 Lektioner 10.15-12.00 Datum Lokal Grupp 1 Grupp 2 Grupp 3 Grupp 4 Avsnitt ons-3-dec Hörsal G C: 5.1-5.2 tor-4-dec Hörsal G N210 A302 A303 MC413 C: 5.3-5.4 fre-5-dec Hörsal G C: 2.10,

Läs mer

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor 5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

Varning!!! Varning!!!

Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H04 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

Information Coding / Computer Graphics, ISY, LiTH. Integrationsmetoder

Information Coding / Computer Graphics, ISY, LiTH. Integrationsmetoder Integrationsmetoder Datorspel är tidsdiskreta Explicita analytiska funktioner för hastighet och acceleration saknas Position är integral av hastighet Hastighet är integral av acceleration Eulerintegrering

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3

Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3 Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Carl-Henrik Fant Matematiska Vetenskaper 17 september 2009 1 3 Multipelntegraler 3.1 ubbelintegraler Exempel. Vi skall beräkna dubbelintegralen (y

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06) Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT6) 216-1-15 1. (a) Känslighetsfunktionen S(iω) beskriver hur systemstörningar och modellfel påverkar utsignalen från det återkopplade systemet. Oftast

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Varför numeriska metoder? Vad är numeriska metoder?

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Varför numeriska metoder? Vad är numeriska metoder? Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN1 08-11-18 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se Om numeriska metoder Om programmering (Staffan Romberger) Information om kursen

Läs mer

Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden

Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden Michael Hanke October 19, 2006 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller i vetenskap och ingenjörsvetenskap

Läs mer

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons

Läs mer

Kapitel 3. Approximation av funktioner

Kapitel 3. Approximation av funktioner Kapitel 3. Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner. I allmänhet kan inte ens elementära funktioner såsom sinus- och cosinusfunktionerna

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Nyquistkriteriet. Henrik Sandberg. Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014

Nyquistkriteriet. Henrik Sandberg. Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014 Nyquistkriteriet Henrik Sandberg Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014 Upplägg Harry Nyquist Frekvensanalys i sluten loop Nyquistkriteriet Exempel Argumentvariationsprincipen Harry Nyquist (1889-1976)

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

Teori- och räkneuppgifter

Teori- och räkneuppgifter Teori- och räkneuppgifter Version December 7 014 1 Fel- och störningsanalys 11 Värdet på x är uppmätt till 0956 med ett absolutfel på högst 00005 Ge en öre gräns för absolutfelet i y exp(x + x Motiera

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

Kapitel 4. Iterativ lösning av ekvationer

Kapitel 4. Iterativ lösning av ekvationer Kapitel 4. Iterativ lösning av ekvationer Vi skall nu undersöka, har man löser numeriskt ekvationer av formen f(x) = 0. Dylika ekvationer kallas också olinjära, eftersom funktionen oftast har ett olinjärt

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer