Numeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19

Transkript

1 Dagens ämnen 1 / 19

2 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19

3 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19

4 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19

5 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser Vad skall vi jämföra med? 1 / 19

6 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser Vad skall vi jämföra med? Absolutkonvergens 1 / 19

7 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser Vad skall vi jämföra med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium 1 / 19

8 Numeriska serier 2 / 19

9 Numeriska serier I princip samma teori som för genegraler 2 / 19

10 Numeriska serier I princip samma teori som för genegraler Vad skall vi mena med a k? k=1 2 / 19

11 Numeriska serier I princip samma teori som för genegraler Vad skall vi mena med a k? k=1 Studerar delsummorna s N = N k=1 a k 2 / 19

12 Numeriska serier I princip samma teori som för genegraler Vad skall vi mena med a k? k=1 Studerar delsummorna s N = Vad händer med dessa då N? N k=1 a k 2 / 19

13 Definition 10.1, sid 436 Om gränsvärdet existerar lim s N = lim N N N k=1 a k 3 / 19

14 Definition 10.1, sid 436 Om gränsvärdet existerar, dvs om lim s N = lim N N lim N N k=1 a k N a k = S R k=1 3 / 19

15 Definition 10.1, sid 436 Om gränsvärdet existerar, dvs om så säges lim s N = lim N N lim N N k=1 a k N a k = S R k=1 a k vara konvergent och ha värdet S. k=1 3 / 19

16 Numeriska serier 4 / 19

17 Numeriska serier Hur känner man igen konvergens? 4 / 19

18 Numeriska serier Hur känner man igen konvergens? Sats 10.1, sid436 a k konvergent = lim a n = 0. n k=1 4 / 19

19 Numeriska serier Hur känner man igen konvergens? Sats 10.1, sid436 a k konvergent = lim a n = 0. n k=1 OBS! Håll ordning på logiken! Det är = INTE!!. 4 / 19

20 Numeriska serier Hur känner man igen konvergens? Sats 10.1, sid436 a k konvergent = lim a n = 0. n k=1 OBS! Håll ordning på logiken! Det är = INTE!!. D V S att termerna går mot noll innebär INTE att serien är konvergent. 4 / 19

21 Divergenskriteriet 5 / 19

22 Divergenskriteriet Konvergens kräver att termerna går mot noll. 5 / 19

23 Divergenskriteriet Konvergens kräver att termerna går mot noll. Negera påståendet i föregående sats. 5 / 19

24 Divergenskriteriet Konvergens kräver att termerna går mot noll. Negera påståendet i föregående sats. Då fås: 5 / 19

25 Divergenskriteriet Konvergens kräver att termerna går mot noll. Negera påståendet i föregående sats. Då fås: Om termerna INTE går mot noll så är serien INTE konvergent, d v s divergent. 5 / 19

26 Numeriska serier 6 / 19

27 Numeriska serier Hur visar man konvergens då? 6 / 19

28 Numeriska serier Hur visar man konvergens då? I princip samma teori som för genegraler. 6 / 19

29 Numeriska serier Hur visar man konvergens då? I princip samma teori som för genegraler. Sats 10.4 (Integralkriteriet), sid 442: Antag att f är avtagande för x 1. Då gäller 6 / 19

30 Numeriska serier Hur visar man konvergens då? I princip samma teori som för genegraler. Sats 10.4 (Integralkriteriet), sid 442: Antag att f är avtagande för x 1. Då gäller 1 f(x)dx konvergent 6 / 19

31 Numeriska serier Hur visar man konvergens då? I princip samma teori som för genegraler. Sats 10.4 (Integralkriteriet), sid 442: Antag att f är avtagande för x 1. Då gäller 1 f(x)dx konvergent f(k) konvergent k=1 6 / 19

32 Intergralkriteriet 7 / 19

33 Intergralkriteriet Beviset av integralkriteriet bygger på följande sats: 7 / 19

34 Intergralkriteriet Beviset av integralkriteriet bygger på följande sats: Sats A.1, sid 479 Om a n, n = 1, 2,..., är en växande uppåt begränsad talföljd så existerar lim a n som n ett reellt tal. 7 / 19

35 Sats 10.11, sid 456 (Jämförelsesats I) 8 / 19

36 Sats 10.11, sid 456 (Jämförelsesats I) Antag att 0 f(x) g(x). Då gäller: 8 / 19

37 Sats 10.11, sid 456 (Jämförelsesats I) Antag att 0 f(x) g(x). Då gäller: (a) om b a b a g(x)dx är konvergent så är f(x)dx är konvergent 8 / 19

38 Sats 10.11, sid 456 (Jämförelsesats I) Antag att 0 f(x) g(x). Då gäller: (a) om b (b) om b a g(x)dx är konvergent så är f(x)dx är konvergent a b a b a f(x)dx är divergent så är g(x)dx är divergent 8 / 19

39 Sats 10.6, sid (Jämförelsesats I) 9 / 19

40 Sats 10.6, sid (Jämförelsesats I) Antag att 0 a k b k. Då gäller: 9 / 19

41 Sats 10.6, sid (Jämförelsesats I) Antag att 0 a k b k. Då gäller: (a) om b k är konvergent så är a k konvergent k=1 k=1 9 / 19

42 Sats 10.6, sid (Jämförelsesats I) Antag att 0 a k b k. Då gäller: (a) om b k är konvergent så är a k konvergent (b) om k=1 a k är divergent så är k=1 k=1 k=1 b k divergent 9 / 19

43 Jämförelsesats för positiva serier 10 / 19

44 Jämförelsesats för positiva serier Läs satsen i ord istället för i formler: 10 / 19

45 Jämförelsesats för positiva serier Läs satsen i ord istället för i formler: (a) Om den större serien är konvergent så är den mindre serien också konvergent. 10 / 19

46 Jämförelsesats för positiva serier Läs satsen i ord istället för i formler: (a) Om den större serien är konvergent så är den mindre serien också konvergent. (b) Om den mindre serien är divergent så är den större serien också divergent. 10 / 19

47 Vad skall vi jämföra med? 11 / 19

48 Vad skall vi jämföra med? Sats 10.12, sid 456 (a) 1 1 x αdx är { konvergent om α > 1 divergent om α 1 11 / 19

49 Vad skall vi jämföra med? Sats 10.12, sid 456 (a) 1 1 x αdx är { konvergent om α > 1 divergent om α 1 (b) x αdx är { konvergent om α < 1 divergent om α 1 11 / 19

50 Vad skall vi jämföra med? 12 / 19

51 Vad skall vi jämföra med? Sats 10.5, sid k = α α α α k=1 är { konvergent om α > 1 12 / 19

52 Vad skall vi jämföra med? Sats 10.5, sid k = α α α α k=1 är { konvergent om α > 1 divergent om α 1 12 / 19

53 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid / 19

54 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) g(x) A > 0 då x problemet. 13 / 19

55 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) g(x) A > 0 då x problemet. Då gäller: 13 / 19

56 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) A > 0 då x problemet. g(x) Då gäller: b a g(x)dx konvergent 13 / 19

57 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) A > 0 då x problemet. g(x) Då gäller: b a b a g(x)dx konvergent f(x)dx konvergent 13 / 19

58 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.13, sid 458 f, g 0. Om f(x) A > 0 då x problemet. g(x) Då gäller: b a b a g(x)dx divergent f(x)dx divergent 13 / 19

59 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.7, sid / 19

60 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.7, sid 446 a k, b k 0. Om a k b k A > 0 då k. 14 / 19

61 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.7, sid 446 a k, b k 0. Om a k b k A > 0 då k. Då gäller: 14 / 19

62 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.7, sid 446 a k, b k 0. Om a k A > 0 då k. b k Då gäller: konvergent k=1 a k 14 / 19

63 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.7, sid 446 a k, b k 0. Om a k A > 0 då k. b k Då gäller: konvergent k=1 k=1 a k b k konvergent 14 / 19

64 Jämförelse på (slapp) kvotform Sats 10.7, sid 446 a k, b k 0. Om a k A > 0 då k. b k Då gäller: divergent k=1 k=1 a k b k divergent 14 / 19

65 Absolutkonvergens 15 / 19

66 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f / 19

67 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f 0. Vad gör vi om f växlar tecken? 15 / 19

68 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f 0. Vad gör vi om f växlar tecken? Studera f. 15 / 19

69 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f 0. Vad gör vi om f växlar tecken? Studera f. Definition. säges b a Om b a f(x) dx är konvergent f(x) dx vara absolutkonvergent 15 / 19

70 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f 0. Vad gör vi om f växlar tecken? Studera f. Definition. säges b a Om b a f(x) dx är konvergent f(x) dx vara absolutkonvergent (och förstås konvergent). 15 / 19

71 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att a k 0. Vad gör vi om f växlar tecken? Studera f. Definition. säges b a Om b a f(x) dx är konvergent f(x) dx vara absolutkonvergent (och förstås konvergent). 15 / 19

72 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att a k 0. Vad gör vi om a k växlar tecken? Studera f. Definition. säges b a Om b a f(x) dx är konvergent f(x) dx vara absolutkonvergent (och förstås konvergent). 15 / 19

73 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att a k 0. Vad gör vi om a k växlar tecken? Studera a k. Definition. säges b a Om b a f(x) dx är konvergent f(x) dx vara absolutkonvergent (och förstås konvergent). 15 / 19

74 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att a k 0. Vad gör vi om a k växlar tecken? Studera a k. Definition. Om a k är konvergent säges b a k=1 f(x) dx vara absolutkonvergent (och förstås konvergent). 15 / 19

75 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att a k 0. Vad gör vi om a k växlar tecken? Studera a k. Definition. Om a k är konvergent säges k=1 a k förstås konvergent). k=1 vara absolutkonvergent (och 15 / 19

76 Sats 10.9, sid 450 Systematiserad jämförelse med geometrisk serie. 16 / 19

77 Sats 10.9, sid 450 Systematiserad jämförelse med geometrisk serie. k Rotkriteriet: ak Q då k 16 / 19

78 Sats 10.9, sid 450 Systematiserad jämförelse med geometrisk serie. k Rotkriteriet: ak Q då k Kvotkriteriet: a k+1 a k Q då k 16 / 19

79 Sats 10.9, sid 450 Systematiserad jämförelse med geometrisk serie. k Rotkriteriet: ak Q då k Kvotkriteriet: a k+1 a k Q då k 0 Q < 1 = a k är absolutkonvergent. k=1 16 / 19

80 Sats 10.9, sid 450 Systematiserad jämförelse med geometrisk serie. k Rotkriteriet: ak Q då k Kvotkriteriet: a k+1 a k Q då k 0 Q < 1 = a k är absolutkonvergent. k=1 Q > 1 = a k är divergent. k=1 16 / 19

81 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium 17 / 19

82 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Alternerande serie 17 / 19

83 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Alternerande serie, varannan +, varannan. 17 / 19

84 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Alternerande serie, varannan +, varannan. Om a k är alternerande k=1 17 / 19

85 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Alternerande serie, varannan +, varannan. Om a k är alternerande och k=1 (a) a k 0 då k 17 / 19

86 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Alternerande serie, varannan +, varannan. Om a k är alternerande och k=1 (a) a k 0 då k (b) a k a k+1 för alla k 17 / 19

87 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Alternerande serie, varannan +, varannan. Om a k är alternerande och k=1 (a) a k 0 då k (b) a k a k+1 för alla k så är serien konvergent. 17 / 19

88 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Bättre i ord! Om serien är alternerande 18 / 19

89 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Bättre i ord! Om serien är alternerande och termernas belopp avtar mot noll 18 / 19

90 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Bättre i ord! Om serien är alternerande och termernas belopp avtar mot noll så är serien konvergent. 18 / 19

91 Sats 10.10, sid 452 Leibniz kriterium Bättre i ord! Om serien är alternerande och termernas belopp avtar mot noll så är serien konvergent. Felet då serien approximeras med en delsumma är mindre än den första utelämnade termen. 18 / 19

92 Sammanfattning 19 / 19

93 Sammanfattning Termerna går inte mot noll = divergens. 19 / 19

94 Sammanfattning Termerna går inte mot noll = divergens. 1 Jämför med k α. k=1 19 / 19

95 Sammanfattning Termerna går inte mot noll = divergens. 1 Jämför med k α. k=1 Konvergent om α > 1, divergent annars. 19 / 19

96 Sammanfattning Termerna går inte mot noll = divergens. 1 Jämför med k α. k=1 Konvergent om α > 1, divergent annars. Integralkriteriet och jämförelsesatserna 19 / 19

97 Sammanfattning Termerna går inte mot noll = divergens. 1 Jämför med k α. k=1 Konvergent om α > 1, divergent annars. Integralkriteriet och jämförelsesatserna Rot- och kvotkriteriet 19 / 19

98 Sammanfattning Termerna går inte mot noll = divergens. 1 Jämför med k α. k=1 Konvergent om α > 1, divergent annars. Integralkriteriet och jämförelsesatserna Rot- och kvotkriteriet jämförelse med geometrisk serie Leibniz kriterium: 19 / 19

99 Sammanfattning Termerna går inte mot noll = divergens. 1 Jämför med k α. k=1 Konvergent om α > 1, divergent annars. Integralkriteriet och jämförelsesatserna Rot- och kvotkriteriet jämförelse med geometrisk serie Leibniz kriterium: Alternerande 19 / 19

100 Sammanfattning Termerna går inte mot noll = divergens. 1 Jämför med k α. k=1 Konvergent om α > 1, divergent annars. Integralkriteriet och jämförelsesatserna Rot- och kvotkriteriet jämförelse med geometrisk serie Leibniz kriterium: Alternerande, termernas belopp avtar mot noll 19 / 19

101 Sammanfattning Termerna går inte mot noll = divergens. 1 Jämför med k α. k=1 Konvergent om α > 1, divergent annars. Integralkriteriet och jämförelsesatserna Rot- och kvotkriteriet jämförelse med geometrisk serie Leibniz kriterium: Alternerande, termernas belopp avtar mot noll = konvergens 19 / 19