12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER

Transkript

1 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för dessa introducerat begreppet onvergenta integraler. Nedan sa vi definiera serier (d.v.s. generaliserade summor) och begreppet onvergens för dessa. Speciellt sa vi titta på tre olia typer av serier, positiva, alternerande och potensserier. Definition Låt {a } vara en följd av reella tal. Uttrycet a allas en serie. Talen a 1,a 2,a 3,..., allas seriens termer. Den ändliga summan s n = allas seriens n-te delsumma (eller partialsumm. n a Nedan sa vi studera för vila talföljder som s n har ett gränsvärde då n, dvs serien a är onvergent. Detta sulle betyda att vi får ett ändligt tal; seriens summa även om vi adderar oändligt många termer. Definition Vi säger att serien a är onvergent med summan s om gränsvärdet lim n s n existerar och vi sriver s = säger vi att serien är divergent. a. Om gränsvärdet inte existerar Anmärning På samma sätt som för generaliserade integraler gäller att: 1. Om 2. Om a är onvergent så är även a och a, M 1, onvergenta. =987 =M a är divergent så är även a och a, N 1, divergenta. =789 =N

2 123 Motsvarande till Anmärning 11.4 finns för serier. Anmärning Om a och b båda är onvergenta, så är även (a + b ) onvergent. 2. Om t.ex. a är onvergent och b är divergent, så är (a + b ) divergent. 3. Om a och b båda är divergenta, så an allt inträffa för (a + b ). Exempel Beräna om möjligt a = 1 och b = a, b och b) a = 1 och b 1 = ( + 1) (a + b ) om

3 NUMERISKA SERIER En av de vitigaste serierna är den geometrisa serien. Sats För den geometrisa serien med vot x gäller att x n+1 1 n, om x 1, x 1 x = n + 1 om x = 1. och x = 1, om x < 1, 1 x divergent om x 1. Bevis: Exempel Beräna om möjligt summan av serien 2 3 ( 1) 4.

4 125 Nästa sats talar om för oss på ett enelt sätt när en serie divergerar. Sats Om serien serie inte går mot 0, så är serien divergent. a är onvergent så är lim a = 0, dvs om termerna i en Bevis: Exempel Undersö om följande serier är onvergenta 7 ( ) b) =23 1

5 NUMERISKA SERIER Positiva serier Definition Serien a allas positiv om a 0 för alla. Satsen nedan visar på sambandet mellan positiva serier och generaliserade integraler med positiv integrand. Sats (Cauchys integralriterium). Antag att f är positiv och avtagande på [1, ]. Då är serien f() och den generaliserade integralen f(x)dx onvergenta samtidigt eller divergenta samtidigt. 1 Bevis: Exempel Avgör om följande serier är onvergenta eller divergenta: e b) =29 =31 1 α

6 12.1 Positiva serier 127 Vi använder Cauchys integralriterium till att visa ett resultat om stanardserien. Sats (Standardserien). Serien 1 är onvergent om och endast om α > 1. α Bevis: Sats Majorantriteriet: Om 0 a < b för alla, så gäller att 0 a b, och b onvergent a onvergent a divergent b divergent 2. Kvotriteriet: Om så är de positiva serierna divergenta samtidigt. b 0 < lim = A <, a a och b antingen onvergenta samtidigt eller Bevis: Följer på samma sätt som bevisen för motsvarande satser för generaliserade integraler med positiva integrander; se Sats 11.7 och 11.9.

7 NUMERISKA SERIER Exempel Avgör om följande serier är onvergenta eller divergenta: b) c) sin d) + 1 =37 =41 =43 =47

8 12.1 Positiva serier 129 Definition (Absolut onvergens). Om serien a är onvergent, så säger vi att serien a är absolut onvergent. Sats Om serien a är onvergent, så är serien a ocså onvergent. Bevis: Exempel Undersö om följande serier är absolutonvergenta. ( 1) 2 b) =53 =57 ( 1).

9 NUMERISKA SERIER Alternerande serier Definition (Alternerande serier). En serie på formen har samma tecen för alla, allas för en alternerande serie. ( 1) a, där a Sats Leibniz Kriterium: Om 1. a 0, då 2. a +1 a för alla 1 så är den alternerande serien ( 1) a onvergent. Bevis: Exempel Är följande serier absolutonvergenta? Om inte är de ändå onvergenta? =59 ( 1) + 1 b) =61 ( 1) (ln ) α b) ( 1 =63 )

10 12.3 Potensserier Potensserier a x allas för en potens- Definition (Potensserier). En serie på formen serie. Anmärning Samband mellan geometris serie och potensserie: 1. En geometris serie x är en potensserie a x med alla a = Teorin för onvergens hos potensserie bör därför jämföras med den för geometrisa serier. 3. I Sats 12.6 ser vi att den geometrisa serien allar R för seriens onvergensradie. x är onvergent för x < 1 = R. Vi Sats (Existens av onvergensradie). Till varje potensserie ett entydigt bestämt R, 0 R, allat onvergensradie, sådant att a x är onvergent om x < R och divergent om x > R. Dessutom gäller att om gränsvärdet G existerar enligt 1. Cauchys rotriterium: lim a 1/ = G 2. d Alemberts votriterium: lim a +1 a = G så är onvergensradien R = 1 G. a x finns Anmärning a är absolutonvergent om G < 1 och divergent om G > 1. Bevis:

11 NUMERISKA SERIER Exempel Kan rot- eller votriteriet användas för att avgöra om följande serier är onvergenta? = b) =789 ( 1) 3 2 c) 3 d) 5 ( 1) 2

12 12.3 Potensserier 133 Exempel Bestäm onvergensradien för följande potensserier: x + 1 (x 2) b) c)!(x 2) d) 2 x 2 2 n + ( 1) n e) 4 n

13 NUMERISKA SERIER Exempel För vila x onvergerar följande potensserier? 1 ln x b) (x 2) 3 99 c) ( ) 2 (x 1) 2

14 12.3 Potensserier 135 Sats (Termvis derivering och integrering av potensserier.) Antag att f(x) = a x har onvergensradie R > 0. Då är f ontinuerlig och deriverbar i ] R,R[, och och x 0 f (x) = a x 1 f(x)dx = a + 1 x+1 båda då x < R. potensserierna för derivatan och integralen har ocså onvergensradie R. Exempel Studera den geometrisa serien x b) 2 3 x, x < 1 för att beräna

15 NUMERISKA SERIER Exempel Betrata potensserien 1. Bestäm onvergensradien. ( 1) x2 (2)!. 2. Visa att potensserien satisfierar differentialevationen y + y = 0 y(0) = 1 y (0) = Bestäm potensseriens summa. Exempel Lös differentialevationen y y = 0, y(0) = 1 med en potensserieansats. Anmärning Vi har ovan visat att e x och cos x har potensserieuveclingen: 1. e x = 2. cos x = x! = 1 + x + x2 2! + x3 3! + ( 1) x2 (2)! = 1 x2 2! + x4 4! Denna utvecling allas för Maclaurinutvecling. I nästa avsnitt sall vi visa att även övriga elementära funtioner såsom sin x, ln(1 + x) och arctan x har ocså en maclaurinutvecling.