Dagens ämnen. Potensserier

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Dagens ämnen. Potensserier"

Ingrid Lundberg
för 7 år sedan
Visningar:

1 Dagens ämnen 1 / 6

2 Dagens ämnen Potensserier 1 / 6

3 Dagens ämnen Potensserier Definition 1 / 6

4 Dagens ämnen Potensserier Definition Var konvergerar potensserien? 1 / 6

5 Dagens ämnen Potensserier Definition Var konvergerar potensserien? Räkning med potensserier 1 / 6

6 Dagens ämnen Potensserier Definition Var konvergerar potensserien? Räkning med potensserier Derivering 1 / 6

7 Dagens ämnen Potensserier Definition Var konvergerar potensserien? Räkning med potensserier Derivering Intergrering 1 / 6

8 Dagens ämnen Potensserier Definition Var konvergerar potensserien? Räkning med potensserier Derivering Intergrering Inledning om Maclaurinserier (om vi hinner) 1 / 6

9 Potensserier 2 / 6

10 Potensserier En oändlig summa av formen c n x n 2 / 6

11 Potensserier En oändlig summa av formen c n x n kallas en potensserie. 2 / 6

12 Potensserier En oändlig summa av formen c n x n kallas en potensserie. För vilka x är detta meningsfullt? 2 / 6

13 Potensserier En oändlig summa av formen c n x n kallas en potensserie. För vilka x är detta meningsfullt? För de x R som serien konvergerar 2 / 6

14 Potensserier En oändlig summa av formen c n x n kallas en potensserie. För vilka x är detta meningsfullt? För de x R som serien konvergerar, vad har funktionen f(x) = c n x n för egenskaper? 2 / 6

15 Sats 10.15, sid 464 För en potensserie c n x n gäller exakt ett av följande alternativ: 3 / 6

16 Sats 10.15, sid 464 För en potensserie c n x n gäller exakt ett av följande alternativ: (a) R > 0 : c n x n är absolutkonvergent för x < R och divergent om x > R. 3 / 6

17 Sats 10.15, sid 464 För en potensserie c n x n gäller exakt ett av följande alternativ: (a) R > 0 : c n x n är absolutkonvergent för x < R och divergent om x > R. (b) c n x n är absolutkonvergent x R 3 / 6

18 Sats 10.15, sid 464 För en potensserie c n x n gäller exakt ett av följande alternativ: (a) R > 0 : c n x n är absolutkonvergent för x < R och divergent om x > R. (b) c n x n är absolutkonvergent x R (c) c n x n är divergent för alla x 0. 3 / 6

19 Sats 10.15, sid 464 Talet R i (a) kallas potensseriens konvergensradie 4 / 6

20 Sats 10.15, sid 464 Talet R i (a) kallas potensseriens konvergensradie I fall (b) säger vi att konvergensradien är 4 / 6

21 Sats 10.15, sid 464 Talet R i (a) kallas potensseriens konvergensradie I fall (b) säger vi att konvergensradien är I (c) fall säger vi att konvergensradien är 0 4 / 6

22 Sats 10.16, sid 465 Låt f(x) = c n x n och antag att konvergensradien är R > 0 (R = är tillåtet). 5 / 6

23 Sats 10.16, sid 465 Låt f(x) = c n x n och antag att konvergensradien är R > 0 (R = är tillåtet). För x < R gäller att (a) f(x) är en kontinuerlig funktion av x. 5 / 6

24 Sats 10.16, sid 465 Låt f(x) = c n x n och antag att konvergensradien är R > 0 (R = är tillåtet). För x < R gäller att (a) f(x) är en kontinuerlig funktion av x. (b) f(x) är deriverbar 5 / 6

25 Sats 10.16, sid 465 Låt f(x) = c n x n och antag att konvergensradien är R > 0 (R = är tillåtet). För x < R gäller att (a) f(x) är en kontinuerlig funktion av x. (b) f(x) är deriverbar och f (x) = nc n x n 1. n=1 5 / 6

26 Sats 10.16, sid 465 Låt f(x) = c n x n och antag att konvergensradien är R > 0 (R = är tillåtet). För x < R gäller att (a) f(x) är en kontinuerlig funktion av x. (b) f(x) är deriverbar och f (x) = nc n x n 1. (c) f(x) har en primitiv funktion n=1 5 / 6

27 Låt f(x) = Sats 10.16, sid 465 c n x n och antag att konvergensradien är R > 0 (R = är tillåtet). För x < R gäller att (a) f(x) är en kontinuerlig funktion av x. (b) f(x) är deriverbar och f (x) = nc n x n 1. n=1 (c) f(x) har en primitiv funktion och c n F (x) = C + n + 1 xn+1, C =konstant. n=1 5 / 6

28 Låt f(x) = Sats 10.16, sid 465 c n x n och antag att konvergensradien är R > 0 (R = är tillåtet). För x < R gäller att (a) f(x) är en kontinuerlig funktion av x. (b) f(x) är deriverbar och f (x) = nc n x n 1. n=1 (c) f(x) har en primitiv funktion och c n F (x) = C + n + 1 xn+1, C =konstant. n=1 Serierna i (b) och (c) har också konvergensradien R. 5 / 6

29 Sats 10.16, sid 465 Satsen gör att vi kan beräkna de potensserier som efter derivering eller integrering blir en känd serie. 6 / 6

30 Sats 10.16, sid 465 Satsen gör att vi kan beräkna de potensserier som efter derivering eller integrering blir en känd serie. Kända serier är den geometriska serien och Maclaurinserierna för de elementära funktionerna (mer om dessa nästa Fö). 6 / 6

31 Sats 10.16, sid 465 Satsen gör att vi kan beräkna de potensserier som efter derivering eller integrering blir en känd serie. Kända serier är den geometriska serien och Maclaurinserierna för de elementära funktionerna (mer om dessa nästa Fö). Kom ihåg!! 6 / 6

32 Sats 10.16, sid 465 Satsen gör att vi kan beräkna de potensserier som efter derivering eller integrering blir en känd serie. Kända serier är den geometriska serien och Maclaurinserierna för de elementära funktionerna (mer om dessa nästa Fö). Kom ihåg!! Serierna i (b) och (c) har också konvergensradien R. 6 / 6

Relevanta dokument

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och