Sammanfattning TATA42
|
|
- Eva Viklund
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Sammanfattning TATA4. TILLÄMPNINGAR INTEGRALER. Funktionskurva, y=f(). Polär form 5.3 Guldins regler och Tyngdpunkt 8. MACLAURIN- OCH TAYLORUTVECKLINGAR. Maclaurinutvecklingar. Tillämpning av Lagranges form på resttermen 3.3 Uppskatta värden 5 3. DIFFERENTIALEKVATIONER 7 3. Teori 7 3. Eempel 4. GENERALISERADE INTEGRALER OCH NUMERISKA SERIER 6 4. Teori 6 4. Bestämma om en serie är konvergent eller divergent 9 5. POTENSSERIER 3 5. Teori 3 5. Konvergensradie Beräkna värde av potensserie Differentialekvationer och potensserier FORMLER 4 6. Standardprimitiver 4 6. Integralformler Jämförelseserier Standardgränsvärden Standardutvecklingar Övrigt 44 Sida av 44
2 . Tillämpningar Integraler. Funktionskurva, y=f() Area b A = f() d a Kurvlängd b d = + f () d a dd = + f () Volym Volymen innebär summerad area eller volymfragment. b d = dd = A() d a a b Rotationsvolym kring -aeln b d = π f() d a Man summerar helt enkelt tvärsnittsareor av en cirkel, där varje tvärsnittsarea uttrycks A = ππ A() = πf() dd = Snittaπea tjockleck = πf() Rotationsvolym kring y-aeln Mest anpassningsbara metoden är Cylindermetoden. b d = π f() d a Tips: Bra videos på KhanAcademy Cylindermetoden: Grundläggande o Cylindermetoden: Lite mer avancerat. o Sida av 44
3 Eempel: Uppgift från Tenta TATA4 Området givet av 0 y och roteras ett varv kring linjen =. Beräkna + rotationskroppens volym.. Skissa grafen. y = f() = +. Skissa rotationen. = = = 3. Rita ut rätblocket som ska roteras. Skriv upp cylinders element. = = = Radie: + Höjd: f() Cylinder: Omkrets: ππ = π( + ) Höjd: f() Bredd: dd dd = π( + )f()dd 4. Utför beräkningen. b d = dd = π( + )f() d a d = π ( + ) d = π + + d = π[ln( + )] + = π(ln 8 ln 3) = π ln 8 3 dd Sida 3 av 44
4 Rotationsarea Med Pappos-Guldins regel kan man härleda formeln för rotationsarean. Rotation kring -aeln Rotationdaπea = Tyngdpunktend väg Kuπvlängden Teori y y = f() r = f() dd = + f () X T = ππ() Formel b b A = πf() + f () d = π f() + f () d a a Rotation kring y-aeln Teori y Y T = ππ r = y = f() dd = + f () Formel b b A = π + f () d = π + f () d a a Sida 4 av 44
5 . Polär form Area A = da = h(φ) dφ α β y r = h(φ) Obs! Formeln förutsätter att 0 β α π (kan inte gå längre än ett varv). Kurvlängd β d = h(φ) + h (φ) dφ α Volym Rotation kring -aeln β d = π 3 h(φ)3 sin φ dφ α Rotation kring y-aeln β d = π 3 h(φ)3 cos φ dφ α φ Sida 5 av 44
6 Rotationsarea Med Pappos-Guldins regel kan man härleda formeln för rotationsarean. Rotation kring -aeln Rotationdaπea = Tyngdpunktend väg Kuπvlängden Teori y r = h(φ) φ sin φ = y y = h(φ) sin φ r X T = ππ = π h(φ) sin φ Formel β A = π h(φ) sin φ h(φ) + h (φ) dφ α Rotation kring y-aeln Teori y cos φ = = h(φ) cos φ r r = h(φ) φ Y T = ππ = π h(φ) cos φ Formel β A = π h(φ) cos φ h(φ) + h (φ) dφ α Sida 6 av 44
7 Eempel Eempel: Uppgift 6, Tenta TATA4 Kurvan given i polära koordinater av π = φ, där 0 φ π/4, roteras ett varv kring y-aeln. Bestäm rotationsytans area.. Gör en enkel skiss av funktionen. Rita ut rotationen. y Y T = ππ = π ( φ ) cos φ r = h(φ) = φ cos φ = r = ( φ ) cos φ. Ställ upp formeln. 3. Utför beräkningarna (dela upp i steg). h(φ) = ( φ ) h (φ) = φ β A = π h(φ) cos φ h(φ) + h (φ) dφ α h(φ) + h (φ) = ( φ ) + ( φ) = φ + φ 4 + 4φ = + φ + φ 4 = ( + φ ) = + φ 4. Sätt in uttrycken i π/4 π/4 intergranden. A = π ( φ ) cos φ ( + φ )dφ = π ( φ 4 ) cos φ dφ 5. Tar fram den primitiva funktionen med partiell integration. 0 ( φ 4 ) cos φ dφ = sin φ ( φ 4 ) sin φ 4φ 3 dφ = = sin φ ( φ 4 ) + 4 sin φ φ 3 dφ = = sin φ ( φ 4 ) + 4 cos φ φ 3 cos φ 3φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + cos φ φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + sin φ φ sin φ φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + sin φ φ 4 sin φ φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + sin φ φ 4 cos φ φ cos φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + sin φ φ + 4 cos φ φ sin φ = = sin φ sin φ φ 4 4 cos φ φ 3 + sin φ φ + 4 cos φ φ 4 sin φ = = sin φ φ 4 4 cos φ φ 3 + sin φ φ + 4 cos φ φ 3 sin φ 6. Beräknar värdet. A = π[ sin φ φ 4 4 cos φ φ 3 + sin φ φ + 4 cos φ φ 3 sin φ] π/4 0 = = 4 π π 4 4 π π π 3 0 = 4 Svar: = π π4 56 π π + 6π 3 π π4 56 π π + 6π 3 0 Sida 7 av 44
8 .3 Guldins regler och Tyngdpunkt Guldins två huvudregler är: Rotationdaπea = Tyngdpunktend väg Kuπvlängden Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean Reglerna är väldigt användbara framförallt vid rotation som inte är runt en lodrät eller horisontal ael. För tillämpning av Guldins regler gällande rotationsarea, se avsnittet om rotationsarea för funktionskurvor respektive funktioner i polär form. Nedan beskrivs endast rotationsvolymer enligt Guldins regler. Rotationsvolym Rotationsvolym runt -aeln Teorin om rotation kring -aeln utgår från att man delar upp funktionen i diskar som man låter rotera i en cirkel. Tyngdpunktens väg blir här en cirkel vars radie är halva diskens höjd. y y = f() r = f() X T = π f() Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean dd = π f() f()d d = dv = π f() d a b Rotationsvolym runt y-aeln y y = f() r = Y T = ππ Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean dd = π f()d d = dv = π f() d a b Sida 8 av 44
9 Rotationsvolym runt linje För rotationsvolym kring en rät linje (som inte är horisontell eller vertikal) finns det ingen bestämd formel. För att beräkna rotationsvolymen måste man ta fram uttryck för:. Areaelement. Tyngdpunktens väg. I eemplet nedan visas hur man tar fram respektive uttryck. Areaelement Areaelementet är den röda rektangeln vars bas utgörs av skillnaden i (d) och höjd som utgörs av skillnaden mellan funktionerna (y y ). y y = y = f() = h = f() = b = dd dd = dd Tyngdpunktens väg Tyngdpunktens väg innebär den cirkel som roterar runt y = som har en radie som ligger på halva areaelementet. y y = cos v = L D v = 45 L D D = y = f() = f() D = L = f(), v = 45, f() = f() cos 45 = Tyngpunktens väg: = π Rotationsvolymen: Rotationdvolym = Tyngdpunktens väg Aπean dd = d b d = π ( ) d a Sida 9 av 44
10 Generell metod: Generellt sätt kan man lösa rotationsproblem med följande metod.. Gör en skiss av figuren. Ta fram uttryck för ett areaelement. 3. Bestäm uttryck för tyngdpunktens väg. 4. Beräkna integralen. Eempel: Uppgift 6 från Tenta TATA4 Området givet av 4( ) + (y 4) 4 roteras ett varv kring linjen y =. Beräkna rotationskroppens volym. Uttrycket 4( ) + (y 4) 4 beskriver en ellips (med halvaellängderna respektive ) med centrum i (, 4). För att beräkna rotationsvolymen är det smidigast att använda Guldins regel: Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean Area ellips: A = abπ där a och b är ellipsens halvaellängder. y y = A = π = h = 4 = 3 r cos 45 = r h r = 3 Tyngdpunktens väg: ππ = π3 = 3π Uppgiften skiljer sig från typuppgiften då arean för ellipsen kan beräknas direkt. Därför behöver man heller inte ställa upp någon integral för att beräkna volymen, utan det räcker med att multiplicera kroppens totala area med tyngdpunkten. Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean 3π π = 6 π Svar: 6 π Sida 0 av 44
11 . Maclaurin- och Taylorutvecklingar. Maclaurinutvecklingar f() = f(0) + f (0) + f () n ! n! + π() Fel / Restterm Där π() står för resten. Approimation Standardutvecklingar Obs! Endast när 0 A B C D E F Funktion e sin cos ln( + ) ( + ) a arctan Maclaurinutveckling ! π() 4! 3 3! + 5 5! π() 7! + 4 4! π() 6! π() 4 + a + a + a a π() π() Räknelagar för Ordo Syftet med Ordo är att samla ihop felet i approimationen. O( ) innebär att felet är en begränsad funktion där den störst betydande termen är. Lite mer drastiskt kan man se Ordo-funktionen som ett svart hål där man slänger allt som saknar större betydelse. Då Maclaurinutvecklingar gäller för näπa 0 så innebär det i regel att t.e. 3 > 4, eller allmänt: m > n, då m < n. Detta förklarar en del regler som intuitivt kan tyckas märkvärdiga. Räknelag Eempel Kommentar O( m ) + O( n ) = O( m ) då m n O( 5 ) + O( 3 ) + O( 7 ) = O( 3 ) Lägst grad bestämmer. n + O( m ) = O( m ) då m n O(3 ) = + O(3 ) Sväljer allt med samma eller lägre gradtal. O( m ) O( n ) = O( m+n ) O( 3 ) O( 8 ) O() = O( ) O( n ) = O( n ) c n O( m ) = O( m+n ) 4 O() = O( 3 ) Tar inte hänsyn till konstanter. t = n O(t m ) = O( mn ) Följer potenslagarna. Sida av 44
12 Generell metod Gränsvärden. Gemensamma nämnare. Utveckla nämnare (så lite som möjligt Lägg märke till graden.) 3. Utveckla täljaren (till samma grad som nämnaren) 4. Jämför nämnare och täljare - Förkorta Eempel: Uppgift 3a från Tenta TATA4 ln(+a) Bestäm konstanten a så att gränsvärdet lim 0 eisterar ändligt samt beräkna arctan gränsvärdet.. Gemensamma nämnare. Uttrycket är skrivet med gemensam nämnare.. Utveckla nämnaren. arctan = + O( 3 ) = + O( 4 ) = + O( ) Använder standardutveckling för arctan. 3. Utveckla täljaren till a = t, ln( + t) = t t samma grad. + O(t3 ) Använder standardutveckling för ln( + a) = a (a) + O( 3 ) = ln( + t) = (a ) a + O( 3 ) = a a + O() 4. Jämför nämnare och täljare - Förkorta a ln( + a) a + O() = arctan + O( ) a a = + O() + O( ) Eftersom då 0 måste (a ) = 0 för att ett ändligt gränsvärde ska eistera. (a ) = 0 a = lim 0 + O() + O() + O( = lim ) 0 + O( ) = = Svar: (Obs! O( ) = b() där b() är en begränsad funktion och 0, alltså går O( ) 0. ) Sida av 44
13 . Tillämpning av Lagranges form på resttermen Om man ska beräkna felet vid en approimation går det inte att längre att använda Ordo som restfunktion (man kan aldrig räkna ut vad Ordo blir). Vid problem där man måste beräkna felet ska (måste) man använda Lagranges form på resttermen. Maclaurinutveckling med Lagranges form på resttermen: f() = f(0) + f (0) + f ()! f(n+) (ξ) (n + )! n+ Resttermen motsvarar alltså felet I approimationen. Eempel: Från föreläsning 5, TATA4 Approimera integralen så att felet blir mindre än /000. / e d 0. Maclaurinutvecklar funktionen (för komple för att ta fram primitiv funktion). Obs! Man får chansa på hur långt man vill utveckla (och se hur stort felet blir).. Beräknar primitiva funktionen. 3. Delar upp intergranden i två delar: ) Approimationen och ) resten/felet. 4. Beräknar resten (det är inte lönt att gå vidare om resten skulle vara större än /000). 5. Beräknar approimationen. Standard: e t = + t + t + eξ t 3 3! Här: e = eξ 6 3! e = eξ 6 3! /, däπ 0 ξ t däπ 0 ξ / = eξ eξ 5 d eξ 5 d = + 3 d + eξ 5 d / eξ / 0 / d = eξ 6 / 36 = eξ = 0 0 eξ 304 Eftersom 0 ξ och 0 innebär det att största möjliga värde för eξ är e (/) = e /4 < Detta ger oss följande jämförelse: e ξ 304 < 304 = 5 < 000 Felet är alltså OK enligt kravet! / + 3 d = + 4 / 8 = = Sida 3 av 44
14 Eempel: Uppgift 6, från Tenta TATA4 Bestäm ett närmevärde för längden av kurvan y = ln, 5 0, så att felet är mindre än. Ställ upp uttryck för b kurvlängden. d = + f () d. Maclaurinutvecklar uttrycket. Använder Lagranges form på resttermen för att kunna uppskatta felet. 3. Ställer upp integralen. Delar upp den i approimation och rest/fel. Sida 4 av 44 a 0 f() = ln, f () = d = + d = + d f() = f(0) + f (0) + f ()! f(n+) (ξ) (n + )! n+ Vi testar med ordning : f() = f(0) + f (0) + f() (ξ) ()! Substitution: = t Beräknar derivator: f(t) = + t f(0) = f (t) = f (0) = + t f (t) = 4( + t) 3/ f (ξ) = 4( + ξ) 3/ Sätter in i Maclaurinutvecklingen: + t = + t 8( + ξ) 3/ t + = + 8( + ξ) 3 0 d = d = + 8( + ξ) 3/ 4 d = d 8( + ξ) 3/ 4 d 5 5 Approimation Rest/fel 4. Uppskattar felet. 0 8( + ξ) 3/ 0 4 d = 8( + ξ) 3/ 4 d 5 5 ξ är konstant och 0 ξ /, vilket gör att vi kan ställa upp jämförelsen: 0 8( + ξ) 3/ 4 d d = = = 5 5 = < 000 Felet är alltså OK! 5. Beräknar 0 approimationen. + d = 0 = = = 5 = 00 + = 0 0 0
15 .3 Uppskatta värden Med hjälp av Maclaurinutvecklingar kan man uppskatta värde på olika uttryck. Obs! Om man vill uppskatta felet får man inte använda ordoform på resttermen, utan föreslagsvis Lastranges restform. Eempel: Från föreläsning 5, TATA4 Beräkna värdet av 66 med ett fel mindre än. 000 Uträkning 66 = 64 + = = Modell: f() = ( + ) / f() = + 4 ( + ξ) 3! f() = + 8 ( + ξ) 3 Jämförelse med formler Maclaurinutveckling med Lastranges restform: f() = f(0) + f (0) + f ()! + π() däπ π() = f(n+) (ξ) (n + )! n+, och 0 ξ 66 = 8f 3 = ( + ξ) 8 3 = = ( + ξ) 3 3 = = ( + ξ) 3 3 Derivator: f() = ( + ) /, f(0) = f () = ( + ) /, f (0) = f () = ( + ) 3/ 4 Där 8 + motsvarar approimationen och 8 ( + ξ) 3 3 motsvarar felet, och 0 ξ /3 ( + ξ) 3 3 = ( + ξ) = 04 < 000 Felet är alltså inom det tillåtna intervallet. Svar: Anmärkning: Man hade kunnat utveckla med standardutveckling, dock behöver man ändå ta fram derivatan för att kunna tillämpa Lastranges restform Sida 5 av 44
16 Eempel: Uppgift 4a, från Tenta TATA4 Bestäm ett rationellt tal som approimerar e med ett fel som är mindre än 0. Uträkning Ansats: f() = e Testar att utveckla till ordning. e = f() = eξ 3! 3 e = f() = eξ 6 3 Sätter in = e = f( ) = + ( ) + eξ 6 ( )3 e = f( ) = + + eξ 6 8 = 4 3 eξ Felet här blev alltså 4 3 eξ, vilket är större än /0 oavsett värde på ξ. Testar att utveckla till ordning 5. e = f() = ! + 4 4! + 5 5! + eξ 6! 6 Jämförelse med formler Maclaurinutveckling med Lastranges restform: f() = f(0) + f (0) + f ()! + π() däπ π() = f(n+) (ξ) (n + )! n+, och 0 ξ Derivator: f() = e, f(0) = f () = e, f (0) = f () = e Tittar nu direkt på felet: = eξ 6! ( )6 = e ξ = = e ξ = eξ 4 45 ξ 0 e ξ < 0 OK! e = f( ) = + ( ) + ( )3 3! = = = 5 + ( )4 4! + ( )5 5! = (5 0 4) 5 = = Svar: e 5 (I facit till uppgiften har de utvecklat e = (e ) och fått fram att en tillräckligt god approimation är /9, men metoden ovan borde vara fullt godkänd. e 0,35 vilket ger att alla svar mellan 0,035 och 0,35 borde räknas som godkänt.) Sida 6 av 44
17 3. Differentialekvationer 3. Teori Första ordningen Integrerande faktor När man tar fram lösning till en differentialekvation av första ordningen använder man sig av något som kallas integrerande faktor. Genom att förlänga båda led med den integrerande faktor kan man ta fram lösningen: y. Lösningsgång: Beskrivning Allmänt Eempel. Ställer upp ekvationen. y + g()y = h() y + 4y =. Beräknar den primitiva funktionen till g() 3. Ställer upp integrerande faktor 4. Förlänger båda sidor med den integrerande faktorn. 5. Vänsterledet kan nu skrivas om som en derivata av en produkt. (Derivera så ser man att det stämmer) g() d = G() e G() y e G() + g()ye G() = h()e G() ye G() = h()e G() 4 d = 4 e 4 y e 4 + 4ye 4 = e 4 (ye 4 ) = e 4 6. Integrerar bägge led. ye G() = h()e G() ye 4 = e 4 d = e 4 d = 7. Löser ut y y = e G() h()e G() = e4 4 = e4 8 e4 e4 d = e4 4 4 e4 6 y = e 4 e4 8 e4 = 8 (8. Kontroll) - y = 8 y = y + 4y = = 9. Svar - y = 8 Anmärkning. Integrerande faktor är definierat för första ordningens differentialekvationer. Dock kan man använda metoden för differentialekvationer av högre ordningen om de är karaktäristiska. För att se sambandet kan man göra en variabelsubstitution. Eempel: y = y + e 3 y = y + e 3 y y = e 3 /z = y, z = y / z z = e 3 Eempel med komplett lösningsgång finns på sida 3. Sida 7 av 44
18 Separabla differentialekvationer Separabla differentialekvationer identifieras genom att de kan skrivas om till bara en faktor på varje sida. Formell definition En :a ordnings differentialekvation är separabel om det kan skrivas om i formen Lösning g(y)y () = h() g(y)y () = h() g(y) dy = h() g(y) dy = h()d d g(y) dy = h()d G(y) = H(y) + C Slappdefinition: Om man kan dela upp ekvation med bara y på ena sidan och bara på andra så är differentialekvationen separabel. Eempel Eempel: Boken, s388 y = y +, > 0 Villkor: y() = Beskrivning Identifierar differentialekvationen. Uträkning Vi ser att vi i dl har en funktion bestående av endast samt y. HL består av en funktion av endast y (och en konstant). Differentialekvationen är alltså separabel. Byter ut y = dy d och flyttar om. y = dy d dy d = y + y + dy = d Integrerar båda leden. y + dy = d arctan y = ln + C Använder villkoret för att bestämma konstanten. Svar: Villkor: y() = arctan = ln + C = π 4 y = tan ln + π 4 Sida 8 av 44
19 Homogen lösning En homogen lösning innebär en lösning till differentialekvationen då HL = 0. Man ställer upp en karaktäristisk ekvation och beräknar dess rötter. Differentialekvationer av andra ordningen Rötterna till den karaktäristiska ekvationen ger följande lösningar: π π (πeella πötteπ) y = C e r + C e r π = π (dubbelπot) y = (C + C )e r π = α ± βi (imaginäπa πötteπ) y = e α (C cos β + C sin β) Differentialekvationer av högre ordning Samma som ovan fast med tillägget att en rots multiplicitet avgör polynomets grad, eempel: π = π = π 3 = a y = (C + C + C 3 )e a π = π = a + iβ y = (C + C )e (α+iβ) Partikulärlösningar Ansats: Polynom y + ay + by = p() Generellt sätt ansätter man y ett polynom av samma grad som högerledet. Om ekvationen inte är komplett så måste man kompensera för detta. T.e. y + ay = p() Här kommer y ha samma grad som polynomet i högerledet, alltså ansatsen innebär att y har en grad högre än p() T.e. y = p() Här kommer y ha samma grad som polynomet i högerledet, alltså ansatsen innebär att y har två grader högre än p() Formell definition av ansats vid polynom y () + ay () + by() = p() q() är vår ansats och q() har samma grad som p() a) y() = q() om b 0 b) y() = q() om a 0, b = 0 c) y() = q() om a = b = 0 Ansats: Eponentialfunktion y () + ay () + by() = e p() y = ze p Ansats: Trigonometrisk funktion y () + ay () + by() = sin k elleπ y () + ay () + by() = cos k y = A sin k + B sin k Sida 9 av 44
20 Förskjutningsregeln Förskjutningsregeln D n (f()e a = e a (D + a) n f() Sida 0 av 44
21 3. Eempel Eempel: Uppgift 4 från Tenta TATA4 Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y 3y + y = + 6. Konstaterar främst att det finns en homogen lösning samt en partikulärlösning som kommer att vara ett polynom. Vi tar först fram den honomgena lösningen och därefter partikulärlösningen. Beskrivning Uträkning. Homogen lösning y 3y + y = 0 har den karaktäristiska ekvationen: π 3 3π + π = 0 π(π 3π + ) = 0 π(π )(π ) = 0 π = 0,, y h = C e 0 + C e + C 3 e = C + C e + C 3 e. Partikulärlösning HL = + 6 Vi ser att högerledet är ett polynom av grad, alltså vore en ansats y = a + b + c rimlig. Eftersom det lägsta vi har i dl är y behöver vi höja polynomets grad ett steg. dnsats: y = (a + b + c) = a 3 + b + c Tar fram derivator: y = a 3 + b + c y = 3a + b + c y = 6a + b y = 6a Sätter in i ekvationen: y 3y + y = + 6 6a 3(6a + b) + (3a + b + c) = + 6 6a 8a 6b + 6a + 4b + c = + 6 Jämför term för term: : 6a = 6 a = a = a = : 8a + 4b = 4b = 0 b = 5 b = 5 0 : 6a 6b + c = 0 c = 6b 6a c = 30 6 c = Svar y p = y = y p + y h y = C + C e + C 3 e Sida av 44
22 Eempel: Uppgift 4 från Tenta TATA4 Bestäm lösningen till differentialekvationen y + y = y ln, 0 < <, som uppfyller begynnelsevillkoret y = (ln ). Beskrivning Identifierar differentialekvationen. Obs! Smidigast är att ha alla y på samma sida som y Byter ut y = dy d och flyttar om. Integrerar båda leden var för sig. Uträkning Genom att flytta om lite kan vi få bara och y i dl respektive bara y i HL. y + y = y ln y = y ln y y = y(ln() ) ln y y = y = dy d y dy ln = d y ln dy = d y dy = ln d VL) dy = y y ln HL) d = (ln ) d = ln = + ln d = ln = + C Använder villkoret för att bestämma konstanten. ln y = + C Villkor y = (ln ) (ln ) = ln / / + C ln = ln + C C = ln + ln = ln = ln = 0 Svar: ln y = y = ln Sida av 44
23 Eempel: Uppgift 5 från Tenta TATA4 Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y + ( )y = e, > 0 Beskrivning Identifierar differentialekvationen. Uträkning y + ( )y = e Ekvationen innehåller första och andra ordningens derivator. Genom att göra en variabelsubstitution kan man forma om differentialekvationen till en första ordningens ekvation och använda sig av integrerande faktor. y = z, y = z z + ( )z = e Delar på för att kunna isolera den integrerande faktorn. z ( )z + = e z + e z = g =, G = d = ln Multiplicerar båda leden med den integrerande faktorn. Integrerar båda leden och löser därefter ut z. Tar fram den primitiva funktionen till z. Obs! Här måste man ta lägga till yterliggare en konstant. Integrerande faktor: e ln = e e ln = e e = eln z e + e z = e z e = e z e e = z = + C z = e + C e z = e + C e z = y y = e + C e d = e + C e d y = e + C e e d y = e + C ( e e ) + C = e C e C e + C y = ( C )e C e + C Svar y = ( C )e C e + C Anmärkning: Variabelsubstitutionen i inledningen är inte nödvändig, utan gör det endast enklare att se sambandet. Man hade lika gärna kunnat gå direkt till: y + ( )y = e y + y = e y = e d y = e d d e y = y e = d Sida 3 av 44
24 Obs! Specialfall Ett märkligt fall är när den homogena lösningen till en differentialekvation sammanfaller med partikulärlösningen. T.e. differentialekvationen y + 9y = cos 3. Den homogena lösningen beräknas: π + 9 = 0 π = ±i3 y h = C cos 3 + C sin 3 Vanligtvis skulle man nu göra en ansats y = d cos k + d sin k för att ta fram partikulärlösningen, men detta hade gett samma svar som den homogena lösningen. För att beräkna partikulärlösningen här är det bästa sättet att göra en komple ansats. Den komplea eponentialfunktionen definieras: y = e ia = cos a + i sin a. Här kan man utnyttja att funktionen har en reell del samt en imaginär del: Re e i3 = cos 3 Im e i3 = sin 3. Vi sätter upp en ny ekvation: u + 9u = e 3i. Om u p står för partikulärlösningen så kan man med resonemanget ovan sluta sig till att y p = Re(u p ) Nu löser man differentialekvationen u + 9u = e 3i med en vanlig ansats: u = ze 3i u = z e 3i + 3ize 3i = (z + 3iz)e 3i u = (z + 3iz )e 3i + (z + 3iz) 3i e 3i = (z + 6iz 9z)e 3i Anmärkning: Här kan man också använda förskjutningsregeln för att ta fram u u = z(d + i3 D + (3i) )e 3i = (z + i6z 9z)e 3i u + 9u = (z + 6iz 9z)e 3i + 9ze 3i = e 3i z + 6iz = Ansats: z = z = k z = ik = k = i6 = i i 6 = i 6 z = i 6 u p = ze 3i = i 6 e3i = i 6 (cos 3 + i sin 3) = 6 sin 3 i cos 3 6 y p = Re u p = sin 3 6 Svar: y = y h + y p = C cos 3 + C sin 3 + sin 3 6 Sida 4 av 44
25 Eempel: Uppgift 3 från Tenta TATA4 Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y + 4y = sin. Beskrivning. Tar fram den homogena lösningen.. Tar fram partikulärlösning. Obs! Här hade man vanligtvis gjort en trigonometrisk ansats. Eftersom att den homogena lösningen är en trigonometrisk ansats får man istället göra en komple ansats. Uträkning y + 4y = 0 π + 4 = 0 π = ±i y h = A cos + B sin y + 4y = sin e i = cos + i sin Im e i = sin Ställer upp en stödekvation: u + 4u = e i Ansats: u = ze i u = (z + i4z 4z)e i Sätter in i ekvationen: (z + i4z 4z)e i + 4ze i = e i z + i4z = Ansats: z = k, z = k, z = 0 i4k = k = i 4 z = i 4 u p = z e i = i 4 (cos + i sin ) = 4 sin i cos 4 y p = Im u p y p = Im 4 sin i 4 cos = cos 4 3. Förenklar och svar. y = y h + y p y = A cos + B sin 4 cos = A cos + B sin 4 Sida 5 av 44
26 4. Generaliserade integraler och numeriska serier Det man ska kunna: Bestämma om en serie är konvergent eller inte Beräkna värdet av serie Bestämma fel vid approimation I avsnitt fyra beskrivs endast hur man bestämmer om en serie är konvergent eller divergent. Hur man beräknar värdet av serier och bestämmer fel vid approimationer beskrivs i avsnitt 5 (potensserier) då metoderna i princip är samma. 4. Teori Serier och integraler Vid bedömning av konvergens och divergens kan integraler och serier behandlas snarlikt. Sats: Integralkriteriet. a) Om f() d äπ konveπgent, då äπ f(k) k= konveπgent. b) Om f() d äπ diveπgent, då äπ f(k) k= diveπgent. Begrepp: Definition deπie: a k = a + a + a 3 + a k= Konvergens: När delar från olika håll närmar sig varandra. En konvergent serie erhåller alltså ett värde när antalet termer går mot oändligheten Divergens: Isärgående; spridning åt olika håll. En divergent serie får inte något ändligt värde när serien går mot oändligheten. OBS! Innan man påbörjar någon beräkning måste man ha klart för sig om serien är positiv, varierande eller alternerande. Typ av serie Definition Eempel Positiv serie a k = a + a + a däπ a k 0 = k k= k= Varierande serie Alternerande serie Har både positiva och negativa termer. a k k= däπ a k > 0 föπ udda k =,3,5, och a k < 0 föπ jämna k =,4,6, (eller tvärtom) k= sin k k ( )k = k k= Sida 6 av 44
27 Divergenstest (Gäller för alla typer av serier) För en konvergent serie måste lim n a n = 0. Om inte väer serien hela tiden och går då mot oändligheten. Kriteriet innebär ett enkelt sätt att testa om en serie är divergent. Om lim a n 0 äπ deπien a k n k=n diveπgent. Geometriska serien (Kan vara positiv eller alternerande) aq n = a + aq + aq + aq = a om q < q diveπgent om q n=0 Förhållandet ter sig ganska självklart om man jämför med en eponentialfunktion: y y = aq då om q > y y = aq 0 då om q < Jämförelsesatser (Endast för positiva serier) Jämförelsesats I Föπ a k k= och b k k= däπ 0 a k b k gälleπ a) Om b k k= äπ konveπgent a k k= konveπgent och a k b k k= k= b) Om b k k= äπ diveπgent a k k= diveπgent Jämförelsesats II Föπ a k k= och b k k= däπ a k 0, b k 0 och a k = c k b k däπ c k äπ ett ändligt gπändväπde gälleπ a) Om b k k= äπ konveπgent a k k= konveπgent b) Om b k k= äπ diveπgent a k k= diveπgent Sida 7 av 44
28 Jämförelseserier: A) d a B) d a 0 konveπgent om a > äπ diveπgent om a konveπgent om a < äπ diveπgent om a Absolutkonvergens (Säger ingenting om serien är positiv Bra om serien är varierande) Om a k äπ en deπie gälleπ: k= a) a k k= konveπgent a k k= konveπgent b) a k a k k= Sida 8 av 44 k= Obs! Bara för att en serie inte är absolutkonvergent behöver den inte vara divergent Rotkriteriet & Kvotkriteriet (Gäller för alla typer av serier) Föπ deπien a k k a) a k b) a k+ a k k= Q då k Q då k gälleπ att om däπ Q äπ ett πeellt tal 0 gälleπ Q < Seπien äπ abdolutkonveπgent Q >, (Q = ) Seπien äπ diveπgent Obs! Om Q = säger testerna ingenting. Testerna fyller samma funktion och fungerar på likadant sätt. Vilket man väljer beror av hur serien ser ut. Liebniz Kriterium (Endast alternerande serier) Liebniz kriterium innebär att en serie är konvergent om: Kriterium Samband Serien är alternerande Termernas belopp avtar (för stora n) Obs! Kan visas på två sätt: a n+ < a n f () < 0 Termerna går mot noll lim a n = 0 n Obs! Bara för att kriterierna inte uppfylls måste inte serien vara divergent
29 4. Bestämma om en serie är konvergent eller divergent Strategi Man kan inte använda alla verktyg på alla serier. Nedan beskrivs vilka verktyg man kan använda till vilka serier (det vanligaste verktyget till respektive typ är fetmarkerat). Positiv Varierande Alternerande Divergenstest Divergenstest Liebniz Kriterium (Divergenstestet ingår) Jämförelsesatser Absolutkonvergens Absolutkonvergens Rotkriteriet & Kvotkriteriet Rotkriteriet & Kvotkriteriet (Brist på) entydighet Metod Divergenstestet Jämförelsesatser Absolutkonvergent Liebniz Kriterium Rot- & Kvotkriteriet Bevisar Bevisar om en serie är divergent. Kan inte visa att en serie är konvergent. Kan bevisa både konvergens respektive divergens. En serie som en absolutkonvergent är konvergent. En serie som inte är absolutkonvergent behöver inte vara divergent. Kan bevisa att en serie är konvergent. Serien behöver inte vara divergent bara för att kriterierna inte uppfylls. Kan visa både divergens respektive konvergens. Om Q = säger testet ingenting. Eempel Eempel: Uppgift 5b från Tenta TATA4 Avgör om ( )n n n n= är konvergent. Vi ser att serien är alternerande, då den innehåller termen ( ) n. Första testet blir därför att titta på Liebniz kriterium. Liebniz Kriterium. Serien är alternerande.. Termerna går mot noll. ( ) n lim n n n = lim n n ( )n = 0 n 3. Termernas belopp avtar (för stora n) ( ) n+ ( )n a n+ < a n < n + n + n n n + n + < n n n n < n + n + n + < + n Svar: Konvergent enligt Liebniz. Sida 9 av 44
30 Eempel: Uppgift 5a från Tenta TATA4 Avgör om d är konvergent. + Analogt med teorin för serier så gäller att divergenstestet även för integraler: Om lim f() 0 så är integralen divergent (annars hade den ju gått mot oändligheten ). Divergenstest: lim + = lim ( + /) = lim + / = 0 Diveπgent Alternativ lösning: d = d + + / d, dom äπ diveπgent. (Jämföπeldedatd I) Alternativ lösning: d + + d = d, dom äπ diveπgent. Sida 30 av 44
31 Eempel: Uppgift 6 från Tenta TATA4 För vilka a R är den generaliserade integralen cos(e a )d 0 konvergent? Integralen är generaliserad vid. Den inre funktionen t = e a gör det naturligt att dela upp undersökningen i fall där a är större, lika med eller mindre än noll (eftersom t = e a då är väande, konstant respektive avtagande). a = 0 e a = cos()d, Diveπgent t. e. enligt diveπgendtedtet: lim n cos = cos 0 0 a < 0 \ e a avtagande \ 0 < e a < cos(e a )d, Diveπgent Kan vidad med t. e. diveπgendtedtet: lim cos e a = lim t 0 cos t 0 Återstår a > 0. a > 0 \e a väande \ < e a < cos(e a )d = cos(e a )d, n n Variabelsubstitution ger: e a = t, = ln t a, d = at dt Med nya ändpunkter: = 0 t = = n t = e an 0 n e an cos(e a )d = cos(t) at dt = cos(t) dt = t sin a t a t e an e an e an sin t t dt = a ean sin e an sin e an sin t + dt t Tittar vad som händer med de tre delarna var för sig när n : sin e an e an 0 då n (e an, 0 sin e an ). sin, kondtant e an sin t t äπ vaπieπande, kontπolleπaπ abdolutkonveπgend! e an e an sin t t e an sin t t, dom äπ konveπgent t abdolutkonveπgent Svar: Integralen är konvergent för a > 0 Sida 3 av 44
32 5. Potensserier Potensserier är väldigt snarlikt geometriska serier. Skillnaden är en potensserie inkluderar en variabel som avgör seriens egenskaper. Det man ska kunna: Bestämma för vilka värden på som serien konvergerar eller divergerar: konvergensradie. Beräkna värdet av serie. o Ta hjälp av derivering/intergering. Bestämma fel vid approimation. Lösa differentialekvationer med hjälp av potensserier. 5. Teori Konvergensradie Vid numeriska serier har man en bestämd serie som man kontrollerar om den är divergent eller konvergent. Vid potensserier har man en serie som beror på en variabel. Här kontrollerar man för vilka värden på variabeln som serien konvergerar eller divergerar. Samma verktyg används för att bestämma konvergens. Föπ en potenddeπie c k k gälleπ eakt ett av följande fall: a) Det finnd ett πeellt tal R > 0, dådant att deπien äπ abdolutkonveπgent föπ < R och diveπgent föπ > R, däπ talet R kallad då deπiend konvergensradie. b) Seπien äπ abdolutkonveπgent föπ alla πeella tal. c) Seπien äπ diveπgent föπ alla πeella tal 0 (dåklaπt konveπgent föπ = 0) Obs! Satsen säger ingenting om hur serien beter sig då = R, detta måste undersökas separat. Derivata och primitiv funktion För en potensserie med konvergensradien R och < R (den är konvergent) gäller följande: f() = c k k = c 0 + c + c + c f () = k c k k = c + c + 3c k= F() = c k k+ k + = c 0 + c + c c Alla serierna har samma konvergensradie: R. Sida 3 av 44
33 Värdet av en potensserie Med hjälp av derivata och primitiva funktioner kan man beräkna värdet av potensserier. Man utnyttjar formeln för beräkning av en geometrisk summa och deriverar/tar fram primitiv funktion implicit. För konvergenta serier där < gäller: f() = k k= = f () = k k = ( ) F() = k+ = k = ln( ) k + k k= Maclaurinserier De vanliga Maclaurinutvecklingarna kan skrivas som serier. Sambanden kan användas för att bland annat beräkna värdet av en serie. e = n n! k+ din = ( ) k (k + )! k cod = ( ) k (k)! ln( + ) = ( ) ( + ) a = a k k k k k, föπ < k+ k aπctan = ( ), föπ k + Sida 33 av 44
34 5. Konvergensradie Eempel: Uppgift 6a från Tenta TATA4 Avgör för vilka R serien nn 7 n n= är konvergent. Ställer upp kvotkriteriet för att ta fram ett värde på konvergensradien. Kvotkriteriet: a k+ a k Q då k Serien är alltså absolutkonvergent för < 7, och således divergent för > 7. Dock måste man ta reda på vad som händer i ändpunkterna: = ±7 nn+ 7n+ nn 7 n = n n 7 n 7 7 n n n = = Q < < 7 7 = 7 n7n = n =,,3, n= 7 n n= Väande och positiv: Divergent! = 7 n( 7)n = n( ) n =,, 3, 4 n= 7 n n= Divergent! Svar: Serien är konvergent för 7 < < 7 Eempel: Uppgift 4b från Tenta TATA4 För vilka R serien 4n+ n n= n är konvergent.? Ställer upp kvotkriteriet för att ta fram ett värde på konvergensradien. Kvotkriteriet: a k+ a k Q då k 4n++ (n+) n + 4n+ n = 4n 4 n n n n + 4 n 4 n = = n4 n + = 4 + /n 4 = Q < 4 < < Således absolutkonvergent för <, och divergent för >. Kontrollerar nu ändpunkterna: = ±/ = ± 4n+ ± n n= som är divergent. n = 4n 4 n 4 n = 4 n n= n= Svar: Serien är konvergent för / < < / Sida 34 av 44
35 5.3 Beräkna värde av potensserie Eempel: Uppgift 6b från Tenta TATA4 Beräkna n 4 n n= Vi har n både som koefficient och eponent vilket leder tankarna till derivata. Målet nu är att matcha serien med en formel för att därefter kunnat beräkna värdet. Uträkning n 4 n n= = n 4 n n= Serien stämmer överrens med formeln för f () för en allmän potensserie. n n 4 n= = = 4 = Jämförelse med formler f() = k = f () = k k = k= ( ) F() = k+ = k = ln( ) k + k k= Svar: 6/9 Eempel: Från föreläsning, TATA4 Beräkna n5 n n= I serien finns n som nämnare och som eponent. Tankarna går då till primitiva funktioner av potensserier. Uträkning n5 n = n n 5 n= n= Serien stämmer överrens med formeln för F() för en allmän potensserie. n n 5 n= = ln 5 = ln 4 5 = ln 5 4 Jämförelse med formler f() = k f () = k k k= = = ( ) F() = k+ = k = ln( ) k + k k= Svar: ln 5 4 Sida 35 av 44
36 Eempel: Uppgift 5c från Tenta TATA4 Bestäm summan av serien n + n=0 3 n Vi skriver om serien och delar upp den: n + n=0 3 n = (n + ) n 3 n=0 = n n 3 + n 3 n=0 Nu kan beräkna värdet av serierna var för sig. n 3 n=0 n n 3 n=0 = 3 = 3 = 3 = n n 3 n=0 + n 3 När n finns både som koefficient och som eponent ser man att uttrycket påminner om en derivata. Nu gäller det att forma om uttrycket så att det stämmer helt med uttrycken för funktion/derivata. n=0 Uträkning n n 3 n=0 Jämfört med den deriverade formen av en potensserie ser vi att det skiljer sig två saker: a) Serien börjar vid n = 0 istället för k = b) Eponenten är n istället för k Vi vill nu forma om uttrycket så det stämmer överrens. n n 3 n=0 = = = 3 n 3 n n= Jämförelse med formler f() = k f () = k k k= = = ( ) F() = k+ = k = ln( ) k + k k= n 3 n 3 = 3 n= = 3 3 = Svar: n n 3 n=0 + n 3 n=0 = = 5 4 Sida 36 av 44
37 5.4 Differentialekvationer och potensserier Genom att se en potensserie som en funktion kan man lösa differentialekvationer som innehåller produkter av -termer och funktioner eller derivator. Lösningsmetoden beskrivs först med ett ganska enkelt eempel (som man hade kunnat lösa mycket smidigare) och appliceras därefter på ett svårt eempel, där ansättning som en potensserie är enda (bästa) tillvägagångssättet. Eempel: Uppgift 0. från boken (Forsling) Bestäm alla lösningar i en potensserieform till differentialekvationen y y = med villkoret att y = och y = 0 för = 0.. Ansätter y som en potensserie.. Bestämmer y 3. Anpassar y genom att göra ändringar i termerna (vi vill att summan ska börja vid k = 0). 4. Sätter in uttrycken i differentialekvationen. 5. Jämför termer mot termer. Detta görs smidigast genom att utveckla summan i dl och jämföra med HL. y = c k k = c 0 + c + c + c c y = kc k k = c + c + 3c 3 + 4c k= y = k(k )c k k = c + 6c 3 + c k= y = k(k )c k k = (k + )(k + )c k+ k k= Tänk: Summorna ska börja med samma värde. k = insatt i det vänstra uttrycket ska ge samma som k = 0 insatt i det högra. y y = (k + )(k + )c k k c k k = (k + )(k + )c k+ k c k k (k + )(k + )c k k c k k = = (c c 0 ) + (6c 3 c ) + (k + )(k + )c k+ c k k +... = 0 : : k : c c 0 = 0 6c 3 c = (k + )(k + )c k+ c k = 0 6. Använder begynnelsevillkoren. 7. Bestämmer uttryck för c k med hjälp av förhållandena i steg 5 och värdena i steg 6. Villkor: y = och y = 0 för = 0 Sätter in i serierna: y(0) = c k 0 k = c 0 + c 0 + c 0 + = c 0 = y (0) = kc k 0 k = c + c 0 + 3c = c = 0 k= c c c 0 = 0 = / c 6c 3 c = 3 = /6 c (k + )(k + )c k+ c k = 0 k c k+ = (k + )(k + ) Sida 37 av 44
38 k = c 4 = c 3 4 = 3 4 = 4! k = 3 c 5 = c = = 5! 8. Skriver upp ett uttryck för funktionen. 9. Skriver som en serie. (0. Förenkla svaret.) Enligt Maclaurinutveckling ser man att summan motsvarar en eponentialfunktion. c k = k! c 0 = y = c 0 + c + c + c c , däπ c = 0 c k = k! y = +! + 3 3! ! y = +! + 3 3! + 4 k +... = + 4! k Svar: y = + k k k= e = k = + + k k! k k= k= k = e k k= + k = + (e ) = e k k= Svar: y = e Anmärkning : Definitionen av fakultet ger 0! = Anmärkning : Det svåraste steget vid beräkningen är att komma fram till ett uttryck för c k. Här finns det ingen eakt metod, utan man får testa sig fram med olika värden på k för att kunna sluta sig till en lösning. Sida 38 av 44
39 Eempel: Uppgift 6 från Tenta TATA4 Låt differentialekvationen y y 4y = 0, med begynnelsevillkoren y(0) och y (0) =, med en potensserieansats. Uttryck även lösningen med hjälp av elementära funktioner.. Ansätter y som en potensserie.. Bestämmer derivatorna: y och y 3. Sätter in uttrycken i differentialekvationen. 4. Anpassar uttrycken. Vi måste ha: a) Samma eponent till b) Summor med samma intervall. y = c k k = c 0 + c + c + c c y = kc k k = c + c + 3c 3 + 4c k= y = k(k )c k k = c + 6c 3 + c k= y y 4y = 0 k(k )c k k kc k k 4 c k k = 0 k= k= k(k )c k k kc k k 4c k k = 0 k= k= k(k )c k k = (k + )(k + )c k+ k k= kc k k = kc k k= k 5. Förenklar uttrycket. (k + )(k + )c k+ k kc k k 4c k k = 0 (k + )(k + )c k+ kc k 4c k k = 0 6. Bestämmer uttryck för c k Från uppgiften får vi begynnelsevillkor: y(0) = 0 c 0 = 0 y (0) = c = Genom att jämföra med HL ser man att koefficienten till k måste vara noll. (k + )(k + )c k+ kc k 4c k = 0 (k + )(k + )c k+ = 4c k + kc k 4 + k c k+ = (k + )(k + ) c k Med hjälp av formeln ovan ska man nu komma fram till ett samband. Först ser man att c k = 0 för jämna k. Detta kan visas: k c k c k+ = 4 + k (k + )(k + ) c k Sida 39 av 44 k = 0 c 0 = 0 k = c = k c = (k + )(k + ) 0 = k c 4 = (k + )(k + ) 0 = 0
40 Osv Återstår då att kontrollera udda k. k c k c k+ = 4 + k (k + )(k + ) c k k = c = k = 3 c 3 = k = 5 k = 7 c 5 = c 7 = c 3 = ( + )( + ) = 6 3 = c 5 = (3 + )(3 + ) = = c 7 = (5 + )(5 + ) = = c 9 = (7 + )(7 + ) 3 = = 3 4 Här ser man att vi verkar få fakultet i nämnaren för termerna. Nu gäller det bara att hitta ett samband mellan nämnaren och värdet på k., då k =!, då k = 5 3! /4!, då k = 7 /n!, då k = n 6. Ställ upp summa Slutsats: c k+ = c (n )+ = c n+ = n! y = c k k = c 0 + c + c + c c c 0 = 0 c = c n+ = n! y = n! n+ n=0 7. Jämför med standardserier. Standard: e = k k! n! n+ = n! n = ( ) n = e n! n=0 n=0 n=0 8. Svar: y = e Sida 40 av 44
41 6. Formler 6. Standardprimitiver Elementära funktioner f () n, e sin cos f() n+ n + ln e cos sin Fler primitiver f () f() arctan + arcsin ln + + a + a f () ln f() f() f() f () f() tan cos cot sin Partiell integration f()g() d = F()g() F()g () d Sida 4 av 44
42 6. Integralformler Funktionstyp/Formel Funktionskurva: y = f() Polär form: r = h(φ) Area b β A = f() d A = h(φ) dφ a α Kurvlängd b β d = + f () d d = h(φ) + h (φ) dφ a α Rotationsvolym: b -aeln d = π f() d d = π β 3 h(φ)3 sin φ dφ Rotationsvolym: y-aeln Rotationsarea: -aeln Rotationsarea: y-aeln a α b β d = π f() d d = π 3 h(φ)3 cos φ dφ a α b β A = π f() + f () d A = π h(φ) sin φ h(φ) + h (φ) dφ a α b β A = π + f () d A = π h(φ) cos φ h(φ) + h (φ) dφ a α 6.3 Jämförelseserier konveπgent om a > d äπ a diveπgent om a d a 0 äπ konveπgent om a < diveπgent om a Sida 4 av 44
43 6.4 Standardgränsvärden Standardgränsvärden Standardgränsvärde Omvänt sin, 0 sin /t, /t t tan, 0 ln( + ), 0 e, 0 tan /t /t, ln( + ), e /t /t, t t t ( + ) / e, 0 ( + /t) t e, t a ln 0, 0 + (a > 0) arcsin, 0 (/t) a ln /t = ln(/t) t a 0, t (a > 0) arcsin /t /t, t arctan, 0 arctan /t /t, t Hastighetstabell Följande uttryck är rangordna i fallande ordning efter vilket som väer snabbast. n n n! a n n a ln n Detta ger upphov till följande standardgränsvärden då n ln n n a 0 n a a n 0 a n n! 0 n! n n 0 Övrigt n n a, då n Sida 43 av 44
44 6.5 Standardutvecklingar A B C D Funktion Maclaurinutveckling Skriven som serie e sin cos ln( + ) ! + 4 4! +... e = n n! 3 3! + 5 5! 7 7! +... sin = ( ) k k+ (k + )! + 4 4! 6 6! +... k k cos = ( ) (k)! ln( + ) = ( ) k= k k k föπ <, E F ( + ) a arctan + a + a + a a ( + ) a = a k k k+ k arctan = ( ), k + föπ 6.6 Övrigt Binomialkoefficienter n n (n ) (n k + ) n! = = k k! k! (n k)! Obs! n 0 = n n =, n n = = n n Eempel: a a(a )(a ) = 3 3! 7 7(7 )(7 )(7 3)(7 4) = = ! = Binomialformeln n (a + b) n = n k a n k b k = a n + n an b + n an b n n abn + n n Den komplea eponentialfunktionen y = e ia = cos a + i sin a, däπ Re e ia = cos a Im e ia = sin a bn Sida 44 av 44
Lösningsförslag till TATA42-tentan
Lösningsförslag till TATA-tentan 8-6-.. Då ekvationen är linjär av första ordningen löses den enklast med hjälp av integrerande faktor (I.F.). Skriv först ekvationen på standardform. (+ )y y + y + + y
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merTNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Litteraturkommentarer till föreläsningarna
för ED, KTS, MT till föreläsningarna VT2 2017 TNA004 FÖ 1 Kap 7.1 7.2. Kommentarer 7.1 Plan area Area mellan funktionskurvor. Figurerna och texten på sid. 311 313 är viktigt för förståelsen av hela detta
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs mer601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.
Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning
Läs merKOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs merNumeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19
Dagens ämnen 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19 Dagens
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merLösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.
Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså
Läs merLösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys
Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys Måndagen den 4 maj, klockan 8:-3:. Bestäm gränsvärdena a) Ñ lnp 3 q b) Ñ8 lnp 3 q. Lösning..a) Gränsvärdet är på formen { så vi kan använda l Hospitals
Läs mer1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 35-6722 Skrivtid: 5.-2. Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merRepetition, Envariabelanalys del
Repetition, Envariabelanalys del 2 209 Lars Alexandersson Ulf Janfalk Tomas Sjödin Johan Thim Här har vi samlat vissa grundläggande delar av kursen. Notera att detta INTE är en fullständig genomgång av
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merModul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.
Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merMer om generaliserad integral
Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L - 00 S 600 = 3 3 5 3850 = 5 7 847 = 7 största gemensamma delare till 600 och 3850: 5 minsta gemensamma multipel till 3850 och 847: 5 7 S a) +6+9 b)
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merLösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,
Institutionen för Matematik, KTH. Lösningsförslag till tentan i 5B5 Matematik för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, 8.. Visa att påståendet P n : n + n < 4 n är sant för n =,, 4.... (a) P : + = 4 +
Läs merTNA004 Analys II, 6 hp för ED, KTS och MT Kursinformation VT Sixten Nilsson,
TNA004 Analys II, 6 hp för ED, KTS och MT Kursinformation VT-017 Sixten Nilsson, sixten.nilsson@liu.se 1. Mål och innehåll Se studiehandboken. Kurslitteratur Forsling-Neymark: Matematisk analys, en variabel,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 5 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form
TATA4: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form Johan Thim 9 mars 9 Lagranges form för resttermen Vi har tidigare använt resttermen på ordo-form med goda resultat. Oftast i samband med gränsvärden, extrempunktsundersökningar
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 5 Integraler Denna modul omfattar kapitel 5 och avsnitt 6.-6. i kursboken Calculus av Adams och Esse och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs mer1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller
Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som
Läs merI punkten x = 1 fås speciellt. Taylorpolynomet blir. f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)
Dag 7. Taylors formel 4.8.7 Bestäm Taylorpolynomet av grad n till kring punkten =. + Rekommenderade uppgifter 4.8. Bestäm Taylorpolynomet till cos av grad 3 kring punkten = π/4. Taylors formel säger att
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merPlanering för Matematik kurs E
Planering för Matematik kurs E Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs E Antal timmar: 60 (0 + 0) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att E-kursen studeras på 60 klocktimmar.
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merSerier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =
Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merSF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera
Läs merStudietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs meren primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir
Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merTAYLORS FORMEL VECKA 4
TAYLORS FORMEL VECKA 4 David Heintz, 20 november 2002 Innehåll 1 1 2 Uppgift 29.7 3 3 Uppgift 31.9 4 1 Av de elementära funktionerna är det polynomen som har den enklaste strukturen. Om f är ett givet
Läs merLösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13
KTH Matematik Examinator: Lars Filipsson Lösningsförslag till Tentamen i SF60 för CFATE den 0 december 008 kl 8-3 Preliminära betygsgränser: A - 8 poäng varav minst 8 VG-poäng, B - 5 poäng varav minst
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLedtrådar till lektionsuppgifter
Ledtrådar till lektionsuppgifter llmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt innehållet
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN SF66 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE den januari 0 kl 09.00-.00. Hur många gånger antar funktionen f) = ) värdet när varierar i intervallet 9? LÖSNING:
Läs merTypexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.
Typexempel med utförliga lösningar TMV3. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Försök alltid att lösa exemplen själv först. Integration. ([AE, Adams&Essex] Ex. 5.6. ) Beräkna integralen x + 6x + 3 dx LSN (Lösning).
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs merLösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.
Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras
Läs merTENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008
TENTAMEN TEN i HF006 och HF008 Moment TEN (analys) Datum 5 april 09 Tid 8- Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma 4 poäng För betyg A,
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs mer6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Läs merTMV225 Kapitel 3. Övning 3.1
TMV225 Kapitel 3 Övning 3. Bestäm gränsvärdet och bestäm δ som funktion av ε. a) lim 3 [ 2 3 + 5] Vi har givet att 3, och då funktionen är kontinuerlig får vi gränsvärdet ȳ 5 genom att stoppa in. Per definition
Läs merTeorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs mer