Matrisexponentialfunktionen
|
|
- Ove Olofsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 U.U.D.M. Project Report 206:2 Matrisexponentialfunktionen Neda Farzaneh Examensarbete i matematik, 5 hp Handledare: Martin Herschend Examinator: Jörgen Östensson Juni 206 Department of Mathematics Uppsala University
2
3 Matrisexponentialfunktionen Neda Farzaneh Uppsala Universitet
4
5 Innehåll. Introduktion 4 2. Grundläggande begrepp för vektorrum 4 3. Rummet av matriser 8 4. Matrisexponentialfunktionen 0 5. Beräkning av e X 4 6. Matrislogaritm 7 Litteraturförteckning 3
6 4 INNEHÅLL. Introduktion Arbetet handlar om matrisexponentialfunktionen. Inom matematiken är matrisexponentialfunktionen en utökning av exponentialfunktionen för komplexa tal till kvadratiska matriser, så att man får en matrisfunktion. Exponentialfunktionen för matriser denieras som e X = k! Xk. Serien konvergerar för alla kvadratiska matriser, X. I arbetet kommer vi att gå igenom några grundläggande begrepp, några egenskaper hos e X, beräkning av e X och matrislogaritmen. Exponentialfunktionen som till varje komplext tal z tillordnar e z har många viktiga egenskaper: e Xx+y = e x e y t ext x, y C. I det här arbetet ska vi utvidga denna funktion så även är denierad för kvadratiska matriser X. Vi går igenom grundläggande begrepp som; vektorrum, norm, normerat rum, Cauchyföljd och kompletta metriskt rum. Därefter bevisar vi några viktiga egenskaper för e X. Till exempel: rummet av n n-matriser är komplett, konvergens och absolutkonvergens av e X, derivatan av e X och matrislogaritmen. Sedan handlar arbetet om matrislogaritmen. Vilken är en inversfunktion till matrisexponentialen. Det vill säga för varje matris X är e X inverterbar. Lägg märke till att det bara är nollskilda tal som kan ha logaritm, ty e z aldrig kan vara noll. 2. Grundläggande begrepp för vektorrum Grundläggande egenskaper, denitioner och satser gällande gruppteori. Definition (Produktoperation). [3] En produktoperation, även kallad binär operation, på en mängd S är en avbildning som tilldelar till varje ordnat par av element av S ett unikt bestämt element av S. Det vill säga : S S S Observera att a, b S a b S, det vill säga denna operation är sluten. Definition 2 (Grupp). En grupp är en mängd G tillsammans med en binär opertion med följande egenskaper: () Associativ: För alla a, b, c G: a (b c) = (a b) c (2) Existens av identitetselement: Det existerar ett identitetselement, e, sådant att för alla a G: a e = e a = a
7 2. GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FÖR VEKTORRUM 5 (3) Existens av invers: Det existerar för alla a G ett element, kallat för invers, a, sådant att a a = a a = e Definition 3 (Abelsk grupp). [3] En abelsk grupp, även kallat kommutativ grupp, är en grupp som även har den kommutativa egenskapen. Det vill säga: a, b G a b = b a För abelska grupper betecknas ofta grupp operationen med +. Lemma (Identitetselementet är unikt). Låt G vara en grupp och låt e, f G vara sådana att för alla g G: Isåfall så är e = f. e g = g e = g f g = g f = g Bevis. Eftersom, e är identitetselement, så har vi att e f = f men då vi även har denierat f som identitetselement, så har vi att Därav så har vi att e f = e e = e f = f Lemma 2 (Varje element i en grupp har en och bara en invers). Låt G vara en grupp, med e som identitetselement och g, h, k godtyckliga element i G. Antag att Isåfall så är h = k. g h = h g = e g k = k g = e Bevis. Vi vet att g h = g k = e. Utför vi produktoperationen på vänster sida med h så får vi h (g h) = h (g k). Enligt den associativa egenskapen så är (h g) h = (h g) k, vilket ger oss att e h = e k och h = k. Lemma 3 (Produkten av ett element och dess invers är kommutativ). Låt G vara en grupp, med e som identitetselement och g vara ett godtyckligt element i G. Antag att h G uppfyller antingen h g = e eller g h = e. Isåfall är h den unika inversen av g och både h g = e och g h = e är sanna. Bevis. För att visa att h är inversen till g så måste vi visa att både h g = e och g h = e är sanna. Antag att vi vet att h g = e är sant, då kan vi visa att detta implicerar g h = e. Eftersom h g = e så har vi att g (h g) = g e = g. Enligt den associativa egenskapen har vi därmed att (g h) g = g. Enligt denitionen av en
8 6 INNEHÅLL grupp så vet vi att gruppen har en invers, och låt oss kalla denna invers för g. Vi utför produktoperationen till höger med inversen g och vi får ((g h) g) g = g g = e (g h) ( g g ) = e (g h) e = e g h = e Motsvarande kan vi visa att ifall g h = e så innebär det att h g = e. Lemma 4 (Egenskaper för inverser). Låt G vara en grupp där e är dess identitetselement, där g och h är godtyckliga element av G, isåfall ( g ) = g () (g h) = h g (2) (3) Bevis.. e = e e = g g = ( g ) ( ) e = g ( g g ) = ( g ) ( (g ) ) e = g g } {{ } =e = ( g ) e = e g = ( g ) = g 2. Så Lemma 3 ger h g = (g h). 3. (h g ) (g h) = h ((g g) h) = h (e h) h h = e. e e = e e = e. Definition 4. (Vektorrum); [, s. 33] Ett komplext vektorrum är en abelsk grupp (V, +) med en operation C V V, (λ, x) λx där följande påstående gäller;
9 2. GRUNDLÄGGANDE BEGREPP FÖR VEKTORRUM 7.Assosiativitet : λ (µ x) = (λµ) x, 2.Distributivitet : (λ + µ) x = λ x + µ x, λ (x + y) = λ x + λ y, 3.Enhetselement : x = x. Definition 5. (Norm, normerat rum); [, s. 46] En norm på ett vektorrum V tillordnar varje vektor x ett ickenegativt reellt tal som betecknas x. För en norm ska följande uppfyllas; x = 0 x = 0, ax = a x, x + y x + y. Exempel. Om V = C n så är x = x 2 + x x x 2 n en norm. Om en norm är denierade på ett vektorrum då kallas det för normerat rum. [, s. 46] Definition 6. (metriskt rum)[, s. ] Ett metriskt rum är en mängd X med en funktion d : X X R, där följande vilkor gäller; d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = 0 x = y, d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Från ovanstående ser vi att avståndsfunktionen betecknas som d. Exempel 2. Om V är ett normerat rum så är en metrik på V. d(x, y) = x y Definition 7. (Cauchyföjld) [, s. 5] Betrakta en följd { xi } i= i ett metriskt rum (X, d). Ifall d(x n, x m ) går mot noll då m, n går mot oändligheten (oberoende av varandra) kallas följden en Cauchföljd. Mer precist gäller:
10 8 INNEHÅLL för varje ɛ nns det ett N att två godtyckliga element med index större än N har ett avstånd som är mindre än ɛ, det vill säga: För ett normerat rum (V, ) gäller; ɛ > 0 N ɛ, n, m > N ɛ, d(x n, x m ) < ɛ. Där d(x n, x m ) har ersatts med x n x m. ɛ > 0 N ɛ, n, m > N ɛ, x n x m < ɛ. Med kompletta metriskt rum menar man ett rum V där alla Cauchyföljder konvergerar. 3. Rummet av matriser Vi kommer i huvudsak studera det normerade rummet (V, ) där V = {alla komplexa n n matriser}, och A = aij 2, där A V. Sats. Rummet (V, ) av komplexa n n-matriser är komplett. Dessutom gäller A B A B. Bevis. Beviset för denna sats nns i [2, s. 28]. Sats 2. För alla A V gäller A k A k. Bevis. Vi använder induktion för att bevisa denna sats. Antag att Då har vi att: Antag att k =, (induktionbas). k =, A = A = A, OK. A k A k, (induktionantagandet). Om det gäller för k då ska det gälla även för k + : Alltså A k+ = A k A A k A A k A. A k+ A k+, (induktionsbevis).
11 Definition 8. (konvergens)[, s. 5] Låt och 3. RUMMET AV MATRISER 9 S = S n = A k n A k, där A k är n n-matriser, eller komplexa tal. Vi säger att S konvergerar om följden (S n ) konvergerar och skriver S = lim n S n. Definition 9. (absolutkonvergens)[2, s. 32] Vi säger att S = är absolutkonvergent om är konvergent. A k A k Sats 3. (absolutkonvergens av e X ) [2, s. 32] Betrakta serien S = och summan där A k är n n-matriser. S n = A k n A k, Om S är absolutkonvergent så är S konvergent. Bevis. Om S absolutkonvergerar så är S n en Cauchyföljd som konvergerar eftersom (V, ) är komplett. Att S n är en Cauchyföljd kan ses på följande vis: Antag att m n. Så är m m S m S n = A k A k som går mot noll om n. k=n+ k=n+ k=n+ A k
12 0 INNEHÅLL 4. Matrisexponentialfunktionen Vi ska nu visa att absolutkonvergerar. S = e X = k! Xk Exempel 3. Vi uppskattar serien k! Xk Eftersom bara är en konstant då kan vi ta ut det från absolut-tecknet: k! k! Xk = X k k! k! X k = e X <. Vi ser att serien är begränsad av konvergerar mot något tal nämligen e X vilket är mindre än oändligheten så serien absolutkonvergerar.. Sats 4. (konvergens av e X ) [2, s. 3] Serien e X = konvergerar. k! Xk Bevis. Om en serie är absolutkonvergent är den även konvergent, enligt Sats 3. Så från exemplet ovan ser vi att S är absolutkonvergens och alltså konvergerar. Enligt Sats 4 har vi alltså en funktion som till varje n n-matris X tillordnar matrisen e X. Vi kallar denna funktion för matrisexponentialfunktionen. Vi går nu igenom några viktiga egenskaper hos e X. Sats 5. [2, s. 29] Låt X och Y vara två godtyckliga n n matriser. Då har vi följande:.e 0 = I. 2.(e X ) = e X. 3.e X är inverterbar och (e X ) = e X. 4.e (α+β)x = e αx e βx för alla α och β i C. 5.Om C är inverterbar, då e X+Y = e X e Y = e Y e X. 6.Om C är inverterbar, då e CXC = Ce X C. 7. e X e X.
13 4. MATRISEXPONENTIALFUNKTIONEN Bevis.. Antag X = 0. Då är 2. e X = k! Xk = 0! X0 + }{{} k= =I k! Xk } {{ } =0 = I. 3. Eftersom Men Alltså 4. Eftersom 5. e X = k! (X ) k = 0! (X ) 0 +! (X ) + = 0! (X0 ) +! (X ) + = (X k ) = (e X ). X ( X) = ( X) X = X 2 så e X e X = e X+( X), enligt 5. e X+( X) = e X X = e 0 = I. (e X ) = e X. (αx)(βx) = αβx 2 = (βx)(αx), så e αx+βx = e αx e βx, enligt 5. ( ) ( ) e X e Y = k! Xk k! Y k ( = 0! X0 +! X + 2! X2 + ) ( 3! X ! Y 0 +! Y + 2! Y 2 + ) 3! Y Om vi väljer en term från första parantesen: m! Xm, och en term från andra parantesen: Y n, så ger det n! upphov till m! n! Xm Y n. Alltså är e X e Y = m! n! Xm Y n. m,n=0 Eftersom produkten är kommutativ, dvs XY = Y X, så är e X+Y = k! (X + Y )k = k! k j=0 ( k j) X j Y k j
14 2 INNEHÅLL enligt binomialstasen. Dessutom Alltså är ( ) k k! j e X+Y = = k! k! j!(k j)! = j!(k j)!. k j=0 j!(k j)! Xj Y k j, Om vi nu ersätter m = j och n = k j. Så är j!(k j)! Xj Y k j = m!n! Xm Y n. Alltså är 6. Eftersom så är e CXC = e Y e X = e X+Y. k! (CXC ) k. (CXC ) k = CX } C {{ C} X } C {{ C} XC = =I =I = CXIXI IXC = CX k C, e CXk C = k! CXC. Eftersom C är konstant vi tar ut den från summan, = C( k! Xk )C = Ce X C. 7. k! Xk k! Xk k! X k = e X. Sats 6. (Derivatan av e X ) [2, s. 30] Låt X vara en n n komplex matris. Då är f(t) = e tx en deriverbar funktion, och Speciellt, t etx = Xe tx = e tx X. etx t t=0 = X.
15 Bevis. vi vet att för k > 0 är Dessutom är t (t0 0! X0 ) = 0. Alltså har vi att där k = l + och l = k. Dessutom är 4. MATRISEXPONENTIALFUNKTIONEN 3 t (etx ) = t k! (tx)k = t ( t k = t t k k! Xk k! Xk ), t (tk k! Xk ) = kt k, k! Xk = t k k k! Xk = t k (k )! Xk. t (etx ) = k= t k (k )! Xk = t l l! Xl+ = l=0 l=0 ( ) ( t l = X l! Xl = l=0 l=0 l=0 t l l! Xl+, t l l! Xl X t l l! Xl ) X = Xe tx = e tx X. Därav har vi bevisat att t etx = Xe tx = e tx X. En tillämpning av derivatan av matrisexponentialfunktioner är att lösa ekvationen Y = XY. Sats 7. Ekvationen Y = XY, där Y = Y (t), har lösningar Y = e tx C där C är en konstant n n matris. Bevis. så Y = t Y (t) = t (etx C) ( ) = t etx C = X } e tx {{ C} = XY, enligt sats 6, Y Y = XY.
16 4 INNEHÅLL 5. Beräkning av e X Här anger vi metoder för beräkning av e X. Vi går igenom tre fall. Fall : X är diagonaliserbar. Anta att X är en komplex n n reell eller matris och att X är diagonaliserbar. Då existerar det en inverterbar komplex matris C så att X = CDC. Där λ 0 D = λ n e D är diagonalmatrisen med egenvärden e λ,, e λn, och vi har e λ 0 e X = C... C, 0 e λn eftersom C e X C = e C XC = e D. Genom att diagonalisera X kan vi tydligt lösa ut e X. Exempel 4. Matrisen är given. Egenvektorer av X är [ i] och Alltså den inverterbara matrisen [ i ] X = 0 a a 0 med egenvärden ia och ia. C = i i och Vi beräknar C = [ 2 i 2 i 2 2 ], och e X = = 2 = 2 D = ia 0. 0 ia [ i e ia 0 i 0 e ia 2 i 2 i 2 2 e ia ie ia i ie ia e ia = i [ e ia + e ia ie ia + ie ia ie ia ie ia e ia + e ia = ] = ].
17 5. BERÄKNING AV e X 5 Vi vet att e ia + e ia = cos( a) + i sin( a) + cos(a) + i sin(a) = 2 cos a + 0 = 2 cos a, Så e X = 2 i(e ia e ia ) = i(cos( a) + i sin( a) cos(a) i sin(a)) [ e ia + e ia ie ia + ie ia ie ia ie ia e ia + e ia ] = 2 = i( 2i sin a) = 2 sin a. 2 cos a 2 sin a = 2 sin a 2 cos a [ cos a sin a sin a cos a ]. Notera att om X, och därav a, är reell då e X är reell. Fall 2: X är nilpotent. En n n matris X är nilpotent om X m = 0 för någon positivt tal m. Vidare om X m = 0, då X l = 0 för alla l > m. I detta fall efter de första termerna serien k! Xk avslutas och kan beräknas exakt. Exempel 5. Vi beräknar e X där X = 0 a b 0 0 c Notera att X 2 = 0 0 ac och att X 3 = 0. Alltså e X = a b + ac 2 0 c. 0 0 Fall 3: X är godtycklig. En general matris X kan vara varken nilpotent eller diagonaliserbar. Men vi har följande sats: Sats 8. [2, s. 295] Låt A vara en komplex n n matris. Då existerar det ett unikt par (S, N) av matriser med föjande egenskaper:. A = S + N, 2. SN = NS, 3. S är diagonaliserbar och 4. N är nilpotent.
18 6 INNEHÅLL Så varje matris X kan skrivas i formen X = S + N, enligt Sats 8, med S diagonaliserbar och N nilpotent och SN = NS. Eftersom N och S kommuterar, har vi e X = e S+N = e S e N. Vi kan beräkna e S och e N som i fall och fall 2. Exempel 6. Matrisen är given. Då är X = X = a b 0 a a a 0 b, 0 0 där S = a 0 0 a och N = 0 b 0 0 uppfyller vilkoren i Sats 8. Vi har alltså e X = e S e N = e a 0 b e a e 0 e a = a b 0 0 e a. Exempel 7. Låt a = 2 och b = 3. det vill säga vi har matrisen X = Lägg märke till att X = = +, }{{}}{{} =S =N där (S, N) är som i sats 8. e X = e S e N = e e 2 e N : N = N 2 = 0 0 = e N = 0! I +! N + 2! N 2 + }{{} = = + = e e X = e S e N e 2 3e = 0 e 2 = e 2.
19 6. MATRISLOGARITM 7 6. Matrislogaritm Matrislogaritm är en invers funktion till matrisexponentialen. Vi tittar på logaritmen av komplexa talen för att se vad är det som är rimligt att förvänta sig i matrisfallet. Eftersom e z aldrig kan vara noll, kan bara nollskilda tal ha en logaritm. Varje nollskild komplex tal kan skrivas som e z för någon z, men z är inte unik. Det nns inte någon kontinuerligt väg till att deniera logaritmen i mängden av alla nollskilda komplexa tal. Situationen är liknande för matriser. För varje matris X är e X inverterbar. Så det är bara inverterbara matriser som kan ha logaritm. Sats 9. [2, s. 32] Funktionen log z = m= m+ (z )m ( ) m är denierad och analytik i en cirkel med radien och centrum z =. För alla z med z <, gäller e log z = z. Bevis. Denna sats kan bevisas med analytisk utvidgning. se [2, s. 32], alltså Lemma 2.5. Definition 0. [2, s. 33] För en n n matris A denerar vi log A med (m+) (A I)m log A = ( ) m närhelst serien konvergerar. Eftersom serien har konvergensradie och eftersom kommer serien att konvergera om A I <. m= m= (m+) (z )m ( ) m (A I) m A I m, m= (m+) (A I)m ( ) m Sats 0. Låt A vara en godtycklig komplex n n matris. Då nns diagonaliserbara n n matriser A m m så att lim A m = A. m Bevis. Se [2, s. 59] avsnitt, alltså exercise 5.
20 8 INNEHÅLL Sats. [2, s. 34] Funktionen log A = m= m+ (A I)m ( ) m är denierad och kontinuerlig på uppsättningen av alla komplexa n n matriser A med A I <. För alla A med A I <, gäller Bevis. Eftersom och eftersom serien e log A = A. (A I) m (A I) m m= m= m+ (z )m ( ) m har konvergensradie, kommer serien m+ (A I)m ( ) m att absolutkonvergera för alla A med A I <. Vi visar exp(log A) = A för alla A med A I < genom två fall. Fall A är diagonaliserbar. Anta att med D diagonal. Då A = CDC, A I = CDC I = C(D I)C. Det följer att (A I) m är på formen (z ) m 0 (A I) m = C... C, 0 (z n ) m där z,, z n är egenvärden av A. Så Om A I <, då måste varje egenvärde z k av A uppfylla z k <. m= m+ (A I)m ( ) m log z 0 = C... C, 0 log z n
21 och Fall 2 A är inte diagonaliserbar. Välj A m m N enligt Sats 0 så att 6. MATRISLOGARITM 9 e log z 0 e log A = C... C = A. log zn 0 e och A m diagonaliserbar. lim A m = A m lim A m I = A I <. m Alltså nns det N > 0 så att för m N gäller A m I <, så för m N gäller och e log(am) = A m lim m elog(am) = lim A m = A men e log(limm Am) = e log A. Så e log A = A.
22
23 Litteraturförteckning [] B. Choudhary, Sudarsan Nanda, Functional Analysis with Applications, Wiley Easten Ltd, New Dehli, 989 [2] Brian C. Hall, Lie Groups, Lie algebras and Representations, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 2003 [3] Jones, H.F Groups, representations and physics, Institute of Physics, 998
Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merGrupper och RSA-kryptering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merNorm och QR-faktorisering
Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.
Läs merMatriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1
Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1
Läs merBasbyten och linjära avbildningar
Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merMATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merTMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs merNovember 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)
Fö : November 4, 7 Egenvärde och egenvektor Definition s 9: Låt A resp T : R n R n vara en n n-matris resp en linjär avbildning En icke-trivial vektor v R n kallas en egenvektor till A resp till T med
Läs meravbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merx + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2.
1 Matematiska Institutionen KTH Exam for the course Linjär algebra, 5B1307, Januari 14, 008, 14:00-19:00 Kursexaminator: Sandra Di Rocco Minst 15 poäng ger betyg 3, minst poäng ger betyg 4 och mins 8 poäng
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merExponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden
Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merSjälvkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merDIAGONALISERING AV EN MATRIS
DIAGONALISERING AV EN MATRIS Definition ( Diagonaliserbar matris ) Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n n. Matrisen A är diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merVi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att
Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merKonvergens för iterativa metoder
Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merAlgebrans fundamentalsats
School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75
Läs merMatematiska strukturer - Satser
Matematiska strukturer - Satser April 2, 2018 I detta dokument har jag samlat och översatt de flesta satser som ingår i kursen Matematiksa Strukturer (FMAN65) från kursboken Set Theory and Metric Spaces
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merMultiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0
Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs mer2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner
Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merLösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m
Läs merMetriska rum, R och p-adiska tal
Metriska rum, R och p-adiska tal Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 När vi säger avståndet mellan punkt X och punkt Y där X och Y är punkter i planet (säg) är
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs merInnehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13
LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merMeningslöst nonsens. November 19, 2014
November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merExistens och entydighet för ordinära differentialekvationer
Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Michael Björklund, f-mib@f.kth.se Grundläggande begrepp Definition 1 Ett begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer har följande
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merCrash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016
Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 20
Linjär Algebra, Föreläsning 20 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Symmetriska avbildningar, repetition F : E E sägs vara symmetrisk om (F (u) v) = (u F (v)) gäller för all u, v i det Euklidiksa rummet
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs mer1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M
Läs merKappa 1. Robin Kastberg. 10 oktober 2014
Kappa 1 Robin Kastberg 10 oktober 2014 Sammanfattning Vi visar att uppgiften är lösbar för en generell triangel genom att visa att det är en trivial egenskap för en särskild, och att alla dessa egenskaper
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merOändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag Jörgen Säve-Söderbergh Väntevärde för en funktion av en stokastisk variabel Om
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merSubtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Läs merSF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merTMV142/186 Linjär algebra Z/TD
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv
Läs merDetta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,
Läs merStora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)
Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet
Läs merGrafer och grannmatriser
Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på
Läs merMINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER
MINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER SONJA KOVALEVSKYDAGARNA 2008; HANNA USCKA-WEHLOU 0. Praktiska anmärkningar Det finns följande moment i workshop: en föreläsningsdel - jag berättar om
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs mer