Algebrans fundamentalsats

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Algebrans fundamentalsats"

Transkript

1 School of Science and Technology SE Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore

2 Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, poäng Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Oktober 008 ÖU Nat Ex Mat01C Handledare: Holger Schellwat Examensarbete, 0p Matematik, C nivå, 61 75p 1

3 Innehåll 1 Förord Förberedelser 3 3 Beviset 6 1 Förord Denna uppsats bygger uteslutande på ett bevis av algebrans fundamentalsats publicerat 003 i tidskriften American Mathematical Monthly (se [1]). Bevisets författare är Harm Derksen, som vid tiden för dess publicering var adjunkt vid University of Michigan i Ann Arbor, Michigan, USA. 1 Uppgiften har bestått i att till beviset addera ett antal slutledningssteg som Derksen låtit bli att redovisa, och att korrigera några smärre felaktigheter. Dessutom har två lemman som ursprungligen inte fanns med i beviset tillförts, lemma 3 och 4, ämnade att kasta ljus över slutsatser dragna i lemma 7 och 8. Algebrans fundamentalsats säger att varje komplex polynomekvation p(x) 0 av grad n 1 har minst en komplex rot. En ekvivalent formulering är att varje kvadratisk matris med komplexa element har en egenvektor, och detta visar Derksen genom att sluta sig till det något starkare resultatet att varje mängd kommuterande kvadratiska matriser med komplexa element har en gemensam egenvektor. Bortsett från satsen om mellanliggande värden som det refereras till i lemma 1 och som springer ur den matematiska analysen, ligger beviset helt inom ramen för linjär algebra. Till skillnad från de flesta andra algebraiska bevis av algebrans fundamentalsats krävs här varken Galoisteori eller symmetriska polynom. Notera att det nedan inte görs någon åtskillnad mellan en linjär avbildning och dess standardmatris, så de avbildningar som förekommer skall ses som multiplikation mellan deras respektive standardmatriser och de vektorer som avses bli avbildade. 1 Se hderksen/cv/cv.html

4 Förberedelser För beviset behövs följande elementära egenskaper hos reella och komplexa tal. Lemma 1. Varje polynom av udda grad med reella koefficienter har ett reellt nollställe. Bevis.Det är tillräckligt att visa att ett moniskt polynom P (x) x n + a 1 x n a n, med a 1,..., a n R och n udda, har ett reellt nollställe (ett moniskt polynom är ett polynom där koefficienten för potensfunktionen med högst grad är 1). Sätt x (n a i ) 1/i, där (n a i ) 1/i är det största talet i mängden {n a 1, (n a ) 1/, (n a 3 ) 1/3,..., (n a n ) 1/n } och a i 0. Då gäller att x (n a i ) 1/i x i n a i a i x i 1 n. Vidare gäller att ( P (x) x n 1 + a 1 x + a x + + a ) n x n och att ( 1 + a 1 x + a x + + a ) ( n x n 1 a 1 x a x a ) ( n x n 1 n ) 1 n, så tillsammans med det faktum att n är udda så att x n ändrar tecken när x gör det, fås att P (x) > 0 då x (n a i ) 1/i och P (x) < 0 då x (n a i ) 1/i. Enligt satsen om mellanliggande värden finns ett reellt tal λ i intervallet [ (n a i ) 1/i, (n a i ) 1/i ] sådant att P (λ) 0, vilket därmed visar lemmat. Lemma. Varje komplext tal har en kvadratrot. Bevis. Betrakta z : α + βi, där α och β är reella. Om β 0, sätt w : (γ + α)/ + i (γ α)/ och γ : α + β. Då gäller att vilket ger γ α + β β γ α, ( ) γ + α γ α w + i γ + α + i( γ + α)( γ α) ( γ α ) α + i( γ + α)( γ α) α + i (γ + α)(γ α) α + i γ α α + βi. 3

5 Om β < 0, sätt istället w : (γ + α)/ i (γ α)/, men låt γ vara definierat som ovan. Då är vilket ger β γ α, ( ) γ + α γ α w i α i γ α α + βi. Alltså har z en kvadratrot både då β 0 och då β < 0. Lemma 3. Låt V : C { v (a + bi) : a, b R}, och definiera addition och multiplikation med skalär på följande vis: + : V V V ; (a + bi, c + di) (a + bi) + (c + di) (a + c) + (b + d)i : R V V ; (λ, a + bi) λ(a + bi) λa + λbi Då är V ett -dimensionellt reellt vektorrum. Bevis. Vektorerna i V har följande egenskaper: Eftersom (a + c) + (b + d)i V, ordnar operatorn + till varje vektorpar ( u, v) V en tredje vektor u + v V. Operationen addition är alltså definierad på V. Eftersom λa + λbi V (där λ R), kan varje vektor u V multipliceras med ett godtyckligt reellt tal λ, så att λ u V. Således är även operationen multiplikation med skalär definierad på V. Låt nu λ, µ R och u, v, w V vara godtyckliga. Då gäller att (i) u + v v + u, eftersom u + v (a + bi) + (c + di) (a + c) + (b + d)i (c + a) + (d + b)i v + u (c + di) + (a + bi) (c + a) + (d + b)i (ii) ( u + v) + w u + ( v + w), eftersom ( u+ v)+ w ((a+bi)+(c+di))+(e+f i) ((a+c)+(b+d)i)+(e+f i) ((a + c) + e) + ((b + d) + f)i (a + c + e) + (b + d + f)i u+( v+ w) (a+bi)+((c+di)+(e+f i)) (a+bi)+((c+e)+(d+f)i) (a + (c + e)) + (b + (d + f))i (a + c + e) + (b + d + f)i (iii) Det existerar ett element 0 V sådant att u + 0 u. 4

6 Bevis. Sätt c : 0, d : 0 och v c + di. Då är u + v (a + bi) + (c + di) (a + bi) + (0 + 0i) (a + 0) + (b + 0)i (a + bi) (iv) Det existerar ett element u V sådant att u + ( u) 0. Bevis. u (a + bi) V a, b R a, b R x : ( a bi) V. Då är u + x (a + bi) + ( a bi) (a a) + (b b)i 0, så att x u (v) λ(µ u) (λµ) u, eftersom λ(µ u) λ(µ(a + bi)) λ(µa + µbi) λµa + λµbi (λµ)(a + bi) (vi) 1 u u. Bevis. Sätt λ : 1. Då är λ u 1 u 1(a + bi) 1a + 1bi a + bi u (vii) λ( u + v) λ u + λ v, eftersom λ( u + v) λ((a + bi) + (c + di)) λ((a + c) + (b + d)i) λ(a + c) + λ(b + d)i λ u + λ v λ(a + bi) + λ(c + di) (λa + λbi) + (λc + λdi) (λa + λc) + (λb + λd)i λ(a + c) + λ(b + d)i (viii) (λ + µ) u λ u + µ u, eftersom (λ + µ) u (λ + µ)(a + bi) (λ + µ)a + (λ + µ)bi λ u + µ u (λa + λbi) + (µa + µbi) (λa + µa) + (λb + µb)i (λ + µ)a + (λ + µ)bi Följaktligen är V ett reellt vektorrum, så det som återstår är att visa dess dimension. Vektorerna e 1 1 och e i är linjärt oberoende eftersom ekvationen λ λ i 0 + 0i, där λ 1, λ R, har en lösning endast då både λ 1 och λ 0. Dessutom gäller att varje vektor v V kan skrivas som 5

7 u a1 + bi a e 1 + b e ( e 1 och e spänner alltså tillsammans upp V ), så S { e 1, e } utgör en bas för V. Och då en bas med n vektorer spänner upp ett n-dimensionellt vektorrum, gäller att dim V. Lemma 4. Om V är ett ändligtdimensionellt vektorrum bestående av komplexa vektorer, gäller att dim R V dim C V, där V i vänsterledet betecknar V som ett reellt vektorrum och i högerledet som ett komplext vektorrum. Bevis. Eftersom varje ändligtdimensionellt komplext vektorrum är isomorft till C n för något något n Z +, kan man utan inskränkning av allmängiltigheten sätta V : C n { v (a 1 + b 1 i, a + b i,..., a n + b n i) : a k, b k R}. Låt V vara ett komplext vektorrum, d.v.s. ett vektorrum över de komplexa talen. Då utgör vektorerna e 1 (1, 0, 0,..., 0), e (0, 1, 0,..., 0),..., e n (0, 0, 0,..., 1) en bas S för V, eftersom de är linjärt oberoende och varje vektor v V kan skrivas som v (a 1 + b 1 i) e 1 + (a + b i) e + + (a n + b n i) e n, d.v.s. som en linjärkombination av e 1, e,..., e n där koordinaterna med avseende på basvektorerna är komplexa. Med n vektorer i S är dim C V n. Låt nu istället V vara ett reellt vektorrum. Då gäller för V att koordinaterna med avseende på en godtycklig bas P för V är reella. En bas för V utgörs då av vektorerna e 1 (1, 0, 0,..., 0), e 1 (i, 0, 0,..., 0), e (0, 1, 0,..., 0), e (0, i, 0,..., 0),..., e n (0, 0, 0,..., 1), e n (0, 0, 0,..., i), eftersom de är linjärt oberoende och varje vektor v V kan skrivas som v a 1 e 1 + b 1 e 1 + a e + b e + + a n e n + b n e n. Det inses därför lätt att dim R V dim C V. 3 Beviset Låt K vara en kropp, och låt d och r vara positiva heltal. Betrakta nu följande påstående: P(K, d, r): Varje mängd med r kommuterande endomorfier A 1, A,..., A r på ett n-dimensionellt vektorrum V över K, där d inte delar n, har en gemensam egenvektor. Lemma 5. Om P(K, d, 1) är sant, gäller att P(K, d, r) är sant för alla r 1. Bevis. Lemma 5 bevisas genom induktion över r. 6

8 P(K, d, 1) är givet. Antag att P(K, d, r 1) är sant, och låt A 1, A,..., A r vara kommuterande endomorfier på ett n-dimensionellt vektorrum V över K, där d inte delar n. Genom induktion över n kan visas att A 1, A,..., A r har en gemensam egenvektor, vilket är enkelt i det fall då n 1. Låt A k (a k ), där 1 k r. Då gäller att och med fås att vilket slutligen ger A k X λ k X (A k λ k I)X 0, det(a k λ k I) 0 a k λ k 0 λ k a k, A k X λ k X a k x a k x (a k a k ) x 0 x t, där t K och t 0. En gemensam egenvektor är därför x 1. Eftersom P(K, d, 1) är sant, har A r en egenvektor x r (så x r 0) med ett tillhörande egenvärde λ r K. Låt W : ker(a r λ r I) { x V : (A r λ r I) x 0} och Z : im(a r λ r I) { y V : (A r λ r I) x y för något x V } (observera att 0 x r W, så dim W 1). Både W och Z är slutna under A 1, A,..., A r, vilket visas nedan. Låt x W och A l {A 1, A,..., A r }. Då är (A r λ r I)(A l ) x (A r A l λ r IA l ) x (A l A r λ r A l I) x (A l A r A l λ r I) x A l (A r λ r I) x A l 0 0. Alltså är W slutet under A l (eller, ekvivalent: A l är en endomorfi på W ). Låt y Z. Då gäller att det finns en vektor x V sådan att (A r λ r I) x y. Vidare är då A l y A l (A r λ r I) x (A r λ r I)A l x, där A l x V, vilket alltså innebär att A l y Z. Således är Z slutet under A l. Låt W V, d.v.s. låt W vara ett äkta underrum i V. Då är dim W < dim V n (se [], sats 5.4.7, s. 6), och eftersom A r har en egenvektor v V (så att v W ), följer att 1 dim W n 1. Således är också 1 dim Z n 1. Eftersom dim W + dim Z dim V (se [], sats 8..3, s. 404) och d inte delar dim V, gäller att d inte delar dim W eller att d inte delar dim Z. Det står klart att A 1, A,..., A r är kommuterande endomorfier både på W och Z, 7

9 så antag nu att P (K, d, r) är sant för W eller Z (d.v.s. att A 1, A,..., A r har en gemensam egenvektor x i W eller Z) för alla dimensioner 1 m n 1. Eftersom dim V n och V W + Z, gäller i sådana fall att P (K, d, r) är sant för n, så att x V är en gemensam egenvektor till A 1, A,..., A r. Och då det ovan visats att P (K, d, r) är sant för n 1, måste P (k, d, r) vara sant för n, så att (P (K, d, r), n 1) och (P (K, d, r), n ) tillsammans ger att P(K,d,r) är sant för n 3 och så vidare. Alltså är P (K, d, r) sant för alla n. I det återstående fallet är W V. Eftersom P(K, d, r 1) är sant, har A 1, A,..., A r 1 en gemensam egenvektor v V. Då gäller att v W, vilket betyder att A r v λ r v (bortsett från nollvektorn är varje vektor i W nämligen en egenvektor till A r ), och alltså är v en gemensam egenvektor till A 1, A,..., A r. Lemma 6. P(R,, r) är sant för alla r, d.v.s. om A 1, A,..., A r är kommuterande endomorfier på ett uddadimensionellt reellt vektorrum, så har de en gemensam egenvektor. Bevis. Enligt lemma 5 är det tillräckligt att visa att P(R,, 1) är sant. Om A är en endomorfi på ett uddadimensionellt reellt vektorrum, så är det (xi A) ett polynom av udda grad med reella koefficienter. Enligt lemma 1 har det (xi A) därför ett reellt nollställe λ. Således är λ ett reellt egenvärde till A. Lemma 7. P(C,, 1) är sant, d.v.s. varje endomorfi på ett uddadimensionellt komplext vektorrum har en egenvektor. Bevis. Låt A : C n C n vara en komplex linjär avbildning med n udda och låt V vara det reella vektorrum som utgörs av mängden av alla hermitiska n n- matriser, d.v.s. V Herm n (C) (en hermitisk matris A är en matris för vilken det gäller att A A : A t, d.v.s. att A är lika med transponatet av sitt komplexa konjugat). Då är och L 1 (B) : AB + BA AB BA L (B) : i två kommuterande endomorfier på V (observera att B V ), då det gäller att ( (AB + BA (L 1 (B)) ) ) (AB) + (BA ) B A + AB BA + AB AB + BA L 1 (B) L 1 (B) Herm n (C) 8

10 och ( (AB BA (L (B)) ) ) ((AB) (BA ) ) i i och dessutom att och (BA AB) i L 1 (L (B)) (L 1 L )(B) 1 AB BA i ( A (AB BA ) i L (B) L (B) Herm n (C), + (AB ) BA ) A i 1 4i ((AAB ABA ) + (ABA BA A )) 1 4i ((AAB A(AB) )+ L (L 1 (B)) (L L 1 )(B) 1 i + (A(AB) B(AA) )) 1 4i (AAB B(AA) ) ( A (AB + BA ) 1 4i ((AAB + ABA ) (ABA + BA A )) (AB + ) BA ) A 1 4i ((AAB + A(AB) ) (A(AB) + B(AA) )) 1 4i (AAB B(AA) ), d.v.s. att L 1 och L kommuterar. Eftersom huvuddiagonalen i en hermitisk matris utgörs endast av reella element, och övriga element i detta specifika fall är komplexa, har B en frihetsgrad i huvuddiagonalen och två frihetsgrader ovanför. En reell bas för V består därför av n(n 1) + n n vektorer, så att dim R V n. Enligt lemma 6 är P(R,, ) sant, vilket, eftersom dim R V är udda, implicerar att L 1 och L har en gemensam egenvektor B V. Då är L 1 (B) λb och L (B) µb, där λ och µ är reella. Detta ger att (L 1 + il )(B) AB + BA + AB BA AB (λb + iµb) (λ + µi)b, d.v.s. att varje kolonnvektor i B som inte är nollvektorn är en egenvektor till matrisen A. Lemma 8. P(C, k, r) är sant för alla positiva heltal k och r. Bevis. Lemmat visas genom induktion över k. Från lemma 7 och 5 följer att fallet då k 1, d.v.s. P(C,, r), är sant. Antag att P(C, l, r) är sant för l < k. 9

11 Lemma 5 ger vid handen att det är tillräckligt att visa att P(C, k, 1) är sant för att visa att P(C, k, r) är det. Låt A : C n C n vara en linjär avbildning, där n är delbart med k 1 men inte med k, och låt V vara det komplexa vektorrum som utgörs av mängden av alla skevsymmetriska n n-matriser med komplexa matriselement, d.v.s. V Skew n (C) (en skevsymmetrisk matris A är en matris för vilken det gäller att A A). Då är och L 1 (B) : AB + BA L (B) : ABA två kommuterande endomorfier på V, då det gäller att och (L 1 (B)) (AB + BA ) (AB) + (BA ) B A + AB (AB + BA ) L 1 (B) L 1 (B) Skew n (C) (L (B)) (A(BA )) (BA ) A AB A A( B)A och dessutom att ABA L (B) L (B) Skew n (C), och L 1 (L (B)) (L 1 L )(B) A(ABA ) + (ABA )A AABA + AB(AA) L (L 1 (B)) (L L 1 )(B) A(AB + BA )A AABA + AB(AA), d.v.s. att L 1 och L kommuterar. En bas för V är (a 1 + b 1 i)

12 (a + b i) (a 3 + b 3 i) (a n(n 1)/ + b n(n 1)/ i) , så dim C V n(n 1)/. Det gäller att k 1 n n k 1 m, där m är ett heltal. Eftersom (k 1) 1 är n jämnt, och tillsammans med n k k m k m k n implicerar att inte delar m, d.v.s. att m är udda. Slutligen är dim C V n(n 1) k 1 k k 1 m(n 1) k m(n 1), där m(n 1) är udda och alltså inte delbart med. Detta försäkrar att k 1 inte delar dim C V. Enligt P(C, k 1, ) (l (k 1) och r i antagandet ovan), har L 1 och L en gemensam egenvektor B, så L 1 (B) λb och L (B) µb, där λ och µ är komplexa (eftersom V är ett komplext vektorrum). Det följer att L (B) µb ABA A(L 1 (B) AB) A(λB AB) λab A B µb 0 (A λa + µi)b 0. 11

13 Låt v vara en kolonnvektor i B som inte är nollvektorn. Då är (A λa + µi) v 0. Enligt lemma har varje komplext tal en kvadratrot, varför det finns ett tal δ C sådant att δ λ 4µ. Med α : (λ + δ)/ och β : (λ δ)/ kan polynomet x λx + µ skrivas som (x α)(x β), eftersom (x α)(x β) x xβ αx + αβ x x(β + α) + αβ ( ) (λ δ) x (λ + δ) x + + αβ x (λ + δ)(λ δ) λx + 4 Då gäller att x λx + λ δ x λx + 4µ 4 4 x λx + µ. (A αi) w 0, där w (A βi) v. Om w 0 är v en egenvektor till A med egenvärdet β, och om w 0 är w en egenvektor till A med egenvärdet α. Eftersom k inte delar dim C n, följer lemmat. Teorem 9. Om A 1, A,..., A r är kommuterande endomorfier på ett ändligtdimensionellt komplext vektorrum V som inte är nollrummet, så har de en gemensam egenvektor. Bevis. Låt V vara ett n-dimensionellt vektorrum. Då existerar minst ett heltal k sådant att k inte delar n, oavsett värde på n. Eftersom P(C, k, r) är sant enligt lemma 8, följer teoremet. (Observera att lemma 8 uttrycker en något svagare proposition än teorem 9 därav behovet av detta bevis.) Korollarium 10 (algebrans fundamentalsats). Om P (x) är ett icke-konstant polynom med komplexa koefficienter, så existerar det ett tal λ C sådant att P (λ) 0. Bevis. Det är tillräckligt att bevisa satsen för moniska polynom. Sätt Då är P (x) det(xi A), där P (x) x n + a 1 x n 1 + a x n a n a n a n 1 A a n, a 1 1

14 eftersom upprepad utveckling efter första kolonnen av det(xi A) ger x 0 0 a n 1 x 0 a n 1 det(xi A) an x + a 1 0 x 0 xa n 1 + a n 1 x 0 a n an x + a 1 x a j+a 1j utv. efter kolonn 1 x 0 0 xa n 1 + a n 1 x 0 a n ( 1)( 1) an x + a 1 0 x 3 0 x a n + xa n 1 + a n 1 x 0 a n an x + a 1 utv. efter kolonn 1 x a j+a 1j x x a n + xa n 1 + a n 1 x 0 a n 3 ( 1)( 1) an x + a 1 xn 1 x n a + x n 3 a xa n 1 + a n 1 x + a 1 (x n 1 )(x + a 1 ) (x n a + x n 3 a xa n 1 + a n )( 1) x n + a 1 x n 1 + a x n + a 3 x n a n 1 x + a n 13

15 Teorem 9 implicerar att A k {A 1, A,..., A r } har ett komplext egenvärde, varför A, som kan ses som en kommuterande endomorfi på minst ett komplext vektorrum, har ett egenvärde λ C. Följaktligen är P (λ) 0, vilket visar satsen. Referenser [1] Harm Derksen, The Fundamental Theorem of Algebra and Linear Algebra, American Mathematical Monthly, 110 (003), [] Howard Anton, Elementary Linear Algebra, 9 th ed., John Wiley and Sons, New York, [3] Lars V. Ahlfors, Complex Analyis, 3 rd ed., McGraw Hill, Auckland,

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt:

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt: LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 1 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 3 3 Skalärprodukt, Vektorprodukt, Volymprodukt 7 4 Linjer och plan 10 5 Matriser

Läs mer

5.7. Ortogonaliseringsmetoder

5.7. Ortogonaliseringsmetoder 5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II. Hasse Carlsson

Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II. Hasse Carlsson Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II Hasse Carlsson Version 2013 Inledning Syftet med linjär algebra är att studera vektorrum och linjära avbildningar mellan vektorrum.... (Här skall det stå något

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos et

2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos et 7. Egenv rden och egenvektorer L t A beteckna en n=n-matris. I vissa riktningar x 6= beter sig matrisen A enkelt i den meningen att x och Ax r kar vara parallella: Denition 7.. Talet s gs vara ett egenv

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 2 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 4 21 Rummen R n och M n 1 7 22 Skalärprodukt 8 3 Linjer 11 31 Linjer på parameterform

Läs mer

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare.

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare. Kursprogram till Linjär algebra II, SF1604, för D1, vt12. Kursledare och föreläsare: Olof Heden Lindstedtsvägen 25 rum 3641 Tel:790 62 96 (mobil: 0730 547 891) e-post: olohed@math.kth.se Övningar: grupp

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer