Euklides algoritm för polynom
|
|
- Jonas Danielsson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma delaren till två polynom, och precis som för heltal kan Euklides algoritm användas till detta. Enligt faktorsatsen motsvarar gemensamma delare gemensamma nollställen. En gemensam delare h till två polynom f och g kallas för en största gemensam delare om h har maximal grad bland alla polynom som delar både f och g. Om det är fallet skriver vi SGD(f, g) = h. Den största gemensamma delaren är entydigt bestämd upp till associering. Med det menas att om h 1 och h 2 uppfyller villkoret för att vara SGD(f, g), så finns det ett nollskilt tal λ sådant att h 1 = λh 2. Exempel 6.1. Polynomen x 3 x och x 2 x 2 har x + 1 som en största gemensam delare. Man kan se ett exempel på hur det går till att dividera polynom med varandra med kvot och rest med liggande stolen i [Vre06, sid 159]. Euklides algoritm för två polynom f och g fungerar som Euklides algoritm för två heltal: Först divideras f med g med kvot och rest. Sedan divideras g med resten, första resten med andra resten osv, till dess att en division går jämnt upp och resten därmed blir noll. En största gemensam delare till f och g är den sista nollskilda resten. Eftersom den endast är bestämd upp till associering, kan vi när som helst byta ut ett polynom i Euklides algoritm mot ett associerat polynom om det förenklar beräkningarna. Eller, skrivet med formler: SGD(p(x), r(x)) = SGD(p(x), λr(x)) för alla tal λ 0. Reella polynom Den första satsen om reella polynom säger att dess icke-reella nollställen kommer i konjugerade par: Sats 6.2. Låt f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n vara ett reellt polynom, så att a 0, a 1,..., a n R. Om z = α + iβ är ett nollställe till f, så är även z = α iβ ett nollställe. Bevis. Räknereglerna för konjugering leder till att f( z) = f(z) = 0 = 0 om f(z) = 0. Om f(x) är ett reellt polynom med ett icke-reellt nollställe z så är alltså även z ett nollställe. Dessa två har samma multiplicitet: f(x) är ju delbart med det reella andragradspolynomet (x z)(x z): f(x) = (x 2 x(z + z) + z z)q(x) där q(x) är ett reellt polynom av grad två lägre än f. Om z skulle vara ett nollställe till q(x), kommer dess multiplicitet vara ett lägre än det var i f(x), och även z skulle vara ett nollställe
2 till q(x). Detta argument kan upprepas ända tills kvoten q(x) inte längre har z som nollställe. För varje faktor (x z) vi dividerar bort, kan vi också dividera bort en faktor (x z). Vi fortsätter med ytterligare en sats om reella polynom; den säger att ett reellt icke-konstant polynom alltid kan skrivas som en produkt av reella första- och andragradsfaktorer faktorer av grad tre eller högre behövs aldrig. De irreducibla andragradsfaktorerna motsvarar konjugerade par av icke-reella nollställen och förstagradsfaktorerna motsvarar polynomets reella nollställen. Sats 6.3. Ett reellt icke-konstant polynom kan alltid skrivas som en produkt av reellt irreducibla första- och andragradsfaktorer. Faktoriseringen är entydig (så när som på associering och faktorernas ordningsföljd). Bevis. Enligt algebrans fundamentalsats, har vi p(x) = c(x α 1 )(x α 2 ) (x α n ) där α 1, α 2,..., α n är polynomets nollställen, och den faktoriseringen är entydig. Nollställena är à priori komplexa tal, men en del av dem kan mycket väl vara reella (de som har imaginärdel noll). De icke-reella nollställena kommer i konjugerade par, och varje sådant par ger upphov till en reell andragradsfaktor: Paret α och α ger upphov till (x α)(x α) = x 2 (α + α)x + αα, som är reellt eftersom de tre koefficienterna är reella. Dessutom är det irreducibelt, eftersom en faktorisering uppenbarligen skulle kräva icke-reella tal. Därefter återstår de reella nollställena, och de ger upphov till reella förstagradsfaktorer: Ett reellt nollställe β ger upphov till den reella faktorn x β. Säg att ett reellt polynom p(x) har det komplexa nollstället x = 2 3i. Då följer det att dess konjugat x = 2 + 3i också är ett nollställe, och tillsammans ger de upphov till den reella andragradsfaktorn (x (2 3i))(x (2 + 3i)) = (x 2 + 3i)(x 2 3i) ( ) = (x 2) 2 (3i) 2 = (x 2 4x + 4) + 9 = x 2 4x Observera likheten ( ) där konjugatregeln används att multiplicera på det viset sparar en del möda när man vill hitta den reella andragradsfaktorn som hör till ett konjugerat par av icke-reella nollställen. Exempel 6.4. Bestäm samtliga nollställen till polynomet p(x) = x 7 9x x 5 70x x 3 81x x 20 givet att det har nollställena x = i, x = 2 + i och x = 2. Lösning: Eftersom p(x) är ett reellt polynom, kommer dess icke-reella nollställen i konjugerade par. Paret x = i och x = i ger upphov till en faktor (x i)(x + i) = x 2 + 1, och paret x = 2 + i och x = 2 i ger upphov till en faktor (x 2 + i)(x 2 i) = x 2 4x + 5.
3 Till sist ger nollstället x = 2 upphov till en faktor (x 2). Kvoten då p(x) divideras med (x 2 4x + 5)(x 2 + 1)(x 2) = x 5 6x x 3 16x x 10 är x 2 3x + 2, så p(x) = (x 2 + 1)(x 2 4x + 5)(x 2)(x 2 3x + 2). Eftersom x 2 3x + 2 = (x 2)(x 1) följer det att p:s samtliga (sju) nollställen är i, i, 2 + i, 2 i, 2 (dubbelt nollställe) och 1. Det följer av sats 6.3 att alla reella polynom av udda grad har (minst) ett reellt nollställe: De icke-reella nollställena kommer ju i konjugerade par, så antalet icke-reella nollställen är jämnt. Men det sammanlagda antalet nollställen (räknade med multiplicitet) är udda alltså måste det finnas minst ett reellt nollställe. Detta kan också ses på grafen till f: om högstagradstermen har positiv koefficient så gäller det att lim f(x) = och lim f(x) =, så grafen måste x x skära x-axeln någonstans däremellan. Om högstagradskoefficienten skulle vara negativ har vi istället lim f(x) = och lim f(x) =, men vi kan ändå dra samma slutsats. x x Exempel 6.5. Faktorisera följande reella polynom i reella faktorer av grad högst 2. a) p(x) = x 3 x 2 4x 6 (tips: p(3) = 0), b) p(x) = x 4 + 4, Lösning: a) Faktorn som hör till x = 3 är (x 3), och med hjälp av liggande stolen kan vi se att p(x) = (x 3)(x 2 + 2x + 2). Den andra faktorn har nollställena 1 i och 1 + i, alltså ett konjugerat par av icke-reella nollställen. b) Det komplexa talet a är ett nollställe till p(x) omm det löser den binomiska ekvationen a 4 = 16 (se v21.pdf för beskrivning av hur en sådan ekvation löses). Lösningarna ligger på en cirkel i det komplexa talplanet med radie två och centrum i origo, och de har argument π/4, 3π/4, 5π/4 och 7π/4. Man ser (enklast genom att rita en figur) att de kommer i konjugerade par: lösningarna är 1 ± i och 1 ± i. Motsvarande faktorisering av p(x) är p(x) = (x 1 + i)(x 1 i)(x + 1 i)(x i) = (x 2 2x + 2)(x 2 + 2x + 2). Precis som förväntat krävdes ingen faktor av grad tre eller högre. Eftersom faktoriseringen är entydig, finns inte heller något annat sätt att faktorisera p(x) på (så när som på associering och att faktorerna byter plats), så att faktorisera polynomet i reella första- och andragradsfaktorer är verkligen precis samma sak som att hitta dess nollställen. Känner man till nollställena så känner man till faktoriseringen och om man känner till faktoriseringen så känner man till nollställena. Annars kanske det vore frestande att försöka faktorisera polynomet direkt utan att först hitta dess nollställen men det är inte så enkelt som det ser ut! Multipla rötter Derivatan av ett polynom p(z) = a n z n + a n 1 z n a 2 z 2 + a 1 z + a 0 är polynomet p (z) = na n z n 1 + (n 1)a n 1 z n a 3 z 2 + 2a 2 z + a 1.
4 Sats 6.6. Om z = a är ett nollställe av multipliciteten m 2 till polynomet f(z), så är z = a ett nollställe av multipliciteten m 1 till derivatan p (z). Om a är ett enkelt nollställe till p(z), så är det inte ett nollställe till p (z). För att hitta multipla rötter till ett polynom p(z) bör man alltså söka en största gemensam delare till p(z) och p (z), för om z = a är en rot till både p(z) och p (z), så har båda dessa en faktor (z a). Exempel 6.7. Bestäm samtliga nollställen till polynomet p(x) = x 4 2x 3 7x x 12 givet att det har ett dubbelt nollställe. Lösning: Vi söker gemensamma faktorer till p(x) och p (x) = 4x 3 6x 2 14x + 20, med hjälp av Euklides algoritm. p(x) = 1 ( 4 x 1 2) p (x) 17 ( 4 x x + 38 ) 17 p (x) = 4 ( x + 55 ) ( 34 x x + 38 ) (x 2) x x = ( x 19 17) (x 2). Vi drar slutsatsen att p(x) och p (x) har en gemensam faktor x 2, och alltså att p(x) har ett nollställe x = 2 av multiplicitet 2. Det ger upphov till en faktor (x 2) 2 = x 2 4x + 4. Division av p(x) med denna faktor visar att p(x) = (x 2) 2 (x 2 + 2x 3), så förutom det dubbla nollstället x = 2 har p nollställena 1 och 3. Rationella rötter Sats 6.8. Antag att a 0, a 1,..., a n är heltal och att polynomet a 0 + a 1 x a n x n har ett rationellt nollställe a = p/q, där p och q är heltal och SGD(p, q) = 1. Då måste p a 0 och q a n. Om speciellt a n = 1, så måste eventuella rationella nollställen vara heltal. Exempel 6.9. Ekvationen 15x x x + 14 = 0 har en rationell rot. Lös ekvationen! Lösning: Om x = p/q är en rot, så måste p {±1, ±2, ±7, ±14} och q {1, 3, 5, 15}. Eftersom alla koefficienter i polynomet är positiva finns ingen positiv rot, så p < 0. Då återstår 16 tal att testa, och det visar sig att x = 2 3 är en rot. Om man är listig, kan man utesluta ytterligare några av de 16 utan att testa: Om x 1 så följer det till exempel att både 15x 3 +10x 2 och 21x+14 är negativa, så deras summa kan ej bli noll. Då återstår bara talen med p < q. De resterande två nollställena finner man genom att dividera 15x x x + 14 med (x ), eller med (3x + 2) för den delen; då blir kvoten 5x2 + 7 som har de två nollställena x = ±i 7/5. Samband mellan nollställen och koefficienter Antag att andagradspolynomet t 2 + a 1 t + a 0 har nollställen α och β. Då gäller det att t 2 + a 1 t + a 0 = (t α)(t β) = t 2 t(α + β) + αβ,
5 så att polynomets koefficienter a 1 och a 0 ges av { a 1 = α + β a 0 = αβ. För ett tredjegradspolynom ser det ut som följer: Om polynomet har nollställen α, β och γ, så följer det att t 3 + a 2 t 2 + a 1 t + a 0 t 3 + a 2 t 2 + a 1 t + a 0 = (t α)(t β)(t γ) = t 3 t 2 (α + β + γ) + t(αβ + αγ + βγ) αβγ, så att polynomets koefficienter a 2, a 1 och a 0 ges av a 2 = α + β + γ a 1 = αβ + αγ + βγ a 0 = αβγ. I både andra- och tredjegradsfallet är alltså summan av polynomets nollställen lika med nästhögstagradskoefficienten med ombytt tecken. Och produkten av rötterna är lika med ( 1) deg(f) a 0. Detta gäller mer allmänt: Om ett polynom t n + a n 1 t n a 2 t 2 + a 1 t + a 0 har nollställen α 1, α 2, α 3,..., α n så gäller det att summan av dem är nästhögstagradskoefficienten med ombytt tecken och produkten av dem är ( 1) n gånger konstanttermen eller, skrivet med formler: n n a n 1 = α i och ( 1) n a 0 = α i. i=1 Detta var det sista som ingår i kursen, men vi säger ytterligare några ord om sambandet mellan ett polynoms nollställen och koefficienter för att stilla vår nyfikenhet. i=1 Överkurs Hur är det med de övriga koefficienterna? Vi har rett ut hur konstanttermen och nästhögstagradskoefficienten uppför sig, men om man tittar på formeln a 1 = αβ + αγ + βγ ovan så verkar det finnas en slags regelbundenhet även där. Om vi tittar vidare på sambandet för fjärdegradspolynom så framträder mönstret ännu tydligare: nollställena α, β, γ och δ till ett fjärdegradspolynom t 4 + a 3 t 3 + a 2 t 2 + a 1 t + a 0 uppfyller a 3 a 2 a 1 a 0 = α + β + γ + δ = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = αβγδ, och i allmänhet har vi följande samband mellan ett polynoms nollställen och dess koefficienter: Om polynomet t n + a n 1 t n 1 + a n a 2 t 2 + a 1 t + a 0
6 har nollställen α 1, α 2, α 3,..., α n så gäller det för alla 0 i n 1 att ( 1) i a i = S α σ(1) α σ(2) α σ(3) α σ(i), där summan löper över mängden S av alla funktioner σ : {1, 2, 3,..., i} {1, 2, 3,..., n} som är växande i meningen att σ(k) < σ(l) för alla 1 k < l i. Referenser [Vre06] A. Vretblad och K. Ekstig. Algebra och geometri. Gleerup, 2006.
Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merPolynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion
Polynom över Under baskursen bekantade du dig med polynomen över de komplexa talen. Nedanstående material är till stora delar en repetition av detta stoff. DEFINITION Ett polynom över är ett uttryck av
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merManipulationer av algebraiska uttryck
Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merMer om faktorisering
Matematik, KTH Bengt Ek november 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Mer om faktorisering Inledning. Är alla ringar som Z? De första matematiska objekt vi studerade i den här kursen
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09. 1. Betrakat gruppen G = (Z 19 \ {0}, ). (a) Visa att G är en cyklisk grupp.
Läs merPOLYNOM OCH EKVATIONER. Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen
POLYNOM OCH EKVATIONER Torbjörn Tambour Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen Postadress Matematiska institutionen Stockholms universitet
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merFinaltävling i Uppsala den 24 november 2018
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Uppsala den 4 november 018 1. Låt ABCD vara en fyrhörning utan parallella sidor, som är inskriven i en cirkel. Låt P och Q vara skärningspunkterna
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs mer10! = =
Algebra II: Gamla tentor Algebra II: Lösningar till tentan den 28. maj 2012 Hjälpmedel: Papper skrivdon samt miniräknare. 1. Låt ϕ : N N vara Eulers ϕ-funktion. (a) Primfaktorisera ϕ(10!). Lösning: Faktoriseringen
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merKompletteringskompendium
Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning
Läs mer3. Bestäm med hjälpa av Euklides algoritm största gemensamma delaren till
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Isac Hedén, isac@math.uu.se Prov i matematik Vi räknar ett urval av dessa uppgifter vid vart och ett av de tio lektionstillfällena. På kurshemsidan framgår
Läs merLite om räkning med rationella uttryck, 23/10
Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merLösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Läs merHär studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 3.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 3 handlar om problemet att avgöra hur en given funktions värden växlar tecken. Här studera
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Ett försök att generalisera konjugatregeln av Ulrika Söderberg 2016 - No 17 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET,
Läs merA B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merTal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Läs merFaktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran.
Per-Eskil Persson Visst kan man faktorisera x 4 +1 Att faktorisera polynom är inte alltid helt enkelt men inte dess mindre en väsentlig del av den algebra som elever möter i slutet av högstadiet och senare
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merMatematik 4 Kap 4 Komplexa tal
Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet
Läs mer(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C
Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B
Läs merExtraproblem Uppsalas matematiska cirkel
Extraproblem Uppsalas matematiska cirkel Gustav Hammarhjelm Våren 2019 Kapitel 1 Ett primtal p är ett heltal skilt från ±1 vars enda heltalsfaktorer är ±1 och ±p. I alla uppgifter på detta blad betraktar
Läs merAvsnitt 3, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs mer1. (a) Lös ekvationen (2p) ln(x) ln(x 3 ) = ln(x 6 ). (b) Lös olikheten. x 3 + x 2 + x 1 x 1
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning 6 hp ITE/MPE-lab MA2047 Algebra och diskret matematik Mikael Hindgren Onsdagen den 26 oktober 2016 035-167220 Skrivtid: 9.00-13.00 Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merx 23 + y 160 = 1, 2 23 = ,
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar, inför tentan moment B, på de avsnitt som inte omfattats av lappskrivningarna, Diskret matematik för D2 och F, vt08.. Ett RSA-krypto har n =
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 6, 977 Årgång 6, 977 Första häftet 36. Lös ekvationssystemet { x y = 8 y log x + x log y = 2 (Svar: x = y = 8) 36. lös ekvationen 6sin x 6sin2x + 5sin3x =. (Svar: x = n 8, 84,26 + n 36,
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 15 Ringar, kroppar och polynom Det fjortonde kapitlet behandlar ringar. En ring har till skillnad
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merGaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University
U.U.D.M. Project Report 014:38 Gaussiska heltal Maja Wallén Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg Juni 014 Department of Mathematics Uppsala University Innehållsförteckning
Läs merKTHs Matematiska Cirkel. Polynom. Dan Petersen Kathrin Vorwerk
KTHs Matematiska Cirkel Polynom Dan Petersen Kathrin Vorwerk Institutionen för matematik, 2010 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 0 Mängdlära 1 0.1 Mängder...............................
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merSvar och anvisningar till arbetsbladen
Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,
Läs mer= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)
Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Femtegradsekvationen av Niklas Fransson 2017 - No 44 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merforts. Kapitel A: Komplexa tal
forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.5 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merStabilitet m.a.p. begynnelsedata
Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.6 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merA-del. (Endast svar krävs)
Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i
Läs merSAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR
SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR 1. Föreläsning 1 Se litet blad om mängdlära på kurshemsidan. Talsystemen N, Z, Q, R. Mängder och symboler. Lite logik. Slutligen gick vi igenom potenslagarna. Eftersom
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal Mikael Hindgren 17 september 2018 Delbarhet Exempel 1 42 = 6 7 Vi säger: 7 är en faktor i 42 eller 7 delar 42 Vi skriver: 7 42 Definition 1 Om a, b
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Gaussiska primtal och andra prima faktorer av Jenny Arthur 2016 - No 13 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET,
Läs mer