Faktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran.
|
|
- Torbjörn Hansson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Per-Eskil Persson Visst kan man faktorisera x 4 +1 Att faktorisera polynom är inte alltid helt enkelt men inte dess mindre en väsentlig del av den algebra som elever möter i slutet av högstadiet och senare på gymnasiet. Vi får här ta del av hur man med hjälp av lättillgängliga datoralgebrasystem, appar och nätresurser kan erbjuda elever vägar till förståelse och färdigheter i polynomfaktorisering. Faktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran. Redan i slutet av grundskolan möter elever i regel denna omvändning till multiplikation med hjälp av distributiva lagen och de speciella regler man kan härleda ur den, som konjugatregeln och kvadreringsregeln. Att förstå och tillämpa faktorisering innebär en betydande ansträngning, både av de elever som ska lära sig den och av läraren som ska göra detta möjligt. Distributiva lagen: a (b + c) = ab + ac Konjugatregeln: (a + b) (a b) = a b Kvadreringsregeln: (a ± b) = a ± ab + b I gymnasiekurserna framträder faktorisering i de första kurserna i samband med ekvationslösning och för att exempelvis finna nollställen till funktioner. Oftast gäller det uttryck, ekvationer och funktioner av grad två. Faktorisera uttrycket 1x 9x. Den största gemensamma faktorn i termerna är 3x. När den bryts ut (divideras) ur dessa får man det faktoriserade uttrycket 3x (4x 3). Lös ekvationen x 5x + 6 = 0. Kvadratkomplettering av vänsterledet ger! 5 5 x 5x + +6 och sedan x 5 1. Med konjugatregeln fås x 5 1 x och ekvationen blir (x 3)(x ) = 0 som sedan lätt löses. Vilka nollställen och vilken symmetrilinje har grafen till funktionen f(x) = x x 3? Liknande metoder som i de två föregående exempel kan användas. Nämnaren nr
2 Här har både konjugat- och kvadreringsregeln använts. Vi kan som i exemplet kvadratkomplettera, eller så kan vi utnyttja en färdig formel. Båda tillvägagångssätten bygger i grunden på kunskaper om dessa specialregler. En bra generell metod är att finna nollställen till polynomet och utifrån dem konstruera förstagradspolynom som detta kan divideras med. Att det är möjligt anges i faktorsatsen och metoden som används är polynomdivision. För att bli riktigt drivna i att faktorisera måste elever träna på mer komplicerade polynom, av tredje graden och högre. Inom analysen i gymnasiets senare kurser måste de också kunna finna nollställen till derivatan av exempelvis fjärdegradsfunktioner för att bestämma maxima och minima. Ett paradexempel som brukar finnas med i läroböckerna är faktorisering av uttrycket x 4 16 eller liknande: Konjugatregeln utnyttjas två gånger och vi får x 4 16 = (x 4) (x + 4) =(x ) (x + ) (x + 4). Det kan också tänkas att eleven lär sig faktoriseringsformeln x 3 1 = (x 1)(x + x + 1). Men hur är det med uttryck av liknande slag med den allmänna formeln x n 1, där n är vilket positivt heltal som helst? Att göra en undersökning av vad som händer när n blir tämligen stort är ganska jobbigt och till slut nästan omöjligt. Vi kan utföra delar av faktoriseringen men kan kanske inte klara den fullständigt. Med hjälp av datoralgebrasystem (CAS) kan detta enkelt göras av elever i gymnasiekurser. I didaktisk litteratur har exempel på sådan undersökande aktivitet beskrivits av Drijvers, Boon och van Reeuwijk vid Freudenthalinstitutet i Nederländerna. Det går bra att utnyttja vilket CAS-verktyg som helst, datorprogramvara, applikationer etc. Kommandot är nästan alltid factor, men ibland (som i Geogebra) Faktorisera. Om vi provar att faktorisera x n 1 för heltal n från 1 till 1 får vi: factor(x 1 1) (x 1) factor(x 1) (x 1)(x + 1) factor(x 3 1) (x 1)(x + x + 1) factor(x 4 1) (x 1)(x + 1)(x + 1) factor(x 5 1) (x 1)(x 4 + x 3 + x + x + 1) factor(x 6 1) (x 1)(x + 1)(x + x + 1)(x x + 1) factor(x 7 1) (x 1)(x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1) factor(x 8 1) (x 1)(x + 1)(x + 1)(x 4 + 1) factor(x 9 1) (x 1)(x + x + 1)(x 6 + x 3 + 1) factor(x 10 1) (x 1)(x + 1)(x 4 + x 3 + x + x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) factor(x 11 1) (x 1)(x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1) factor(x 1 1) (x 1)(x + 1)(x + 1)(x + x + 1)(x x + 1)(x 4 x + 1) Ett mönster börjar framträda, och det ger upphov till en rad intressanta frågor som är utmärkta att diskutera i klassen, antingen gruppvis eller i helklass. Exempel på sådana frågor är: 54 Nämnaren nr 013
3 Alla uttryck verkar ha faktorn (x 1). Kan vi motivera detta eller rent av finna ett bevis för att så måste vara fallet? Vad är gemensamt för de n där faktoriseringen också innehåller (x + 1)? Hur motiverar eller bevisar vi det? Vissa uttryck innehåller bara två faktorer, (x 1) och en obruten summa av potenser av x. T ex x 7 1 =(x 1)(x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1). Vad är gemensamt för de n där detta inträffar? Det finns andra faktorer som är gemensamma. Exempelvis finns (x + x + 1) med när n är 3, 6, 9 och 1. Hur kan vi förklara det? Det verkar som om alla termer har koefficienterna +1 eller -1, alltså är av typen ± x k. Gäller detta alltid när man faktoriserar x n 1, oavsett n? Här finns det möjlighet att ställa hypoteser och enkelt kontrollera dem. Som lärare kan du också be eleverna att gissa nästa i raden. Vad tror de att faktoriseringen av x 13 1 kan ge? Faktoriseringen av x 14 1? etc. På samma sätt kan eleverna försöka faktorisera polynomen där n är positivt heltal. Ett helt annat mönster visar sig: factor(x 1 + 1) (x + 1) factor(x + 1) (x + 1) factor(x 3 + 1) (x + 1)(x x + 1) factor(x 4 + 1) (x 4 + 1) factor(x 5 + 1) (x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) factor(x 6 + 1) (x + 1)(x 4 x + 1) factor(x 7 + 1) (x + 1)(x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x + 1) factor(x 8 + 1) (x 8 + 1) factor(x 9 + 1) (x + 1)(x x + 1)(x 6 x 3 + 1) factor(x ) (x + 1)(x 8 x 6 + x 4 x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) factor(x ) (x + 1)(x 10 x 9 + x 8 x 7 + x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x + 1) factor(x 1 + 1) (x 4 + 1)(x 8 x 4 + 1) Samma typ av frågeställningar kan göras som för det tidigare mönstret. Om eleverna arbetat med detta, klarar de säkert att själva upptäcka de frågor de vill ställa och även att formulera hypoteser och finna svar till dem. Men vänta lite nu! Har inte Gauss för länge sedan fastslagit att man kan faktorisera alla polynom, så att faktorerna bara är polynom av första och andra graden? Vi utgår från faktoriseringen av x Om det även hade funnits en term x hade uttrycket följt en kvadreringsregel. Låt oss införa en sådan och kompensera genom att dra ifrån samma term. Nu ser vi att det går att använda konjugatregeln och vi får x 4 +1=x 4 +x +1 x = ( x +1 ) p x (x +1 ) p (x x +1 ) + p x = x p x +1 x + p x +1 Carl-Friedrich Gauss, Nämnaren nr
4 Jovisst går det att faktorisera! Men varför klarade inte CAS-verktygen av detta? Problemet ligger i hur vi definierar faktorisera. Ofta tänker vi bara på heltal, precis som inom talteori, och då får vi resultat enligt tabellerna ovan. Om exempelvis talet 30 ska delas upp i två faktorer så har vi kanske 3 10 eller 5 6 i tankarna men sällan t ex 3 p 5 p. Ger vi också möjlighet för koefficienter i polynomen som är algebraiska tal, klarar vi att faktorisera enligt Gauss princip. Algebraiska tal definieras som tal vilka kan vara rötter till polynomekvationer med heltalskoefficienter. Det rör sig då om rotuttryck av olika slag. Det algebraiska talet x = q p 1 är en rot till ekvationen x 4 + x 1 = 0. Om vi alltså öppnar för faktorisering där algebraiska tal är tillåtna, blir mönstren för x n + 1 som vi studerat ovan ganska annorlunda. Dessvärre finns det för flera CAS-verktyg ingen möjlighet att göra detta. Ett undantag är TI-Nspire CAS, där vi med en liten ändring av kommandot kan uppnå detta. Vi provar det på något som tidigare inte fått någon faktorisering, x 4 + x 3 + x + x + 1: factor(x 4 + x 3 + x + x + 1, x) ger x + 1 p! 5 x +1! x + 1+p 5 x +1 Lägg märke till x:et som lagts till inom parentesen i kommandot. Denna lilla förändring ger alltså detta nya resultat. Det är ju också intressant att det är två tal som vi förknippar med femhörningar och gyllene snittet som framträder som koefficienter här. Vad kan det bero på? Gauss utnyttjade i själva verket denna typ av faktoriseringar för att bevisa att regelbundna femhörningar, men även t ex regelbundna sjuttonhörningar, inskrivna i cirklar kan konstrueras med passare och linjal. Det lämnas åt läsaren att verifiera att faktoriseringen är korrekt och att kanske även finna ett sätt att genomföra den med papper och penna. Med detta tilläggskommando kan vi alltså bilda nya mönster av faktoriseringarna ovan, och även i detta fall diskutera i klassrummet vad som händer, och varför. Frågorna blir delvis helt nya. Men på tal om Gauss, bevisade han inte att alla polynom kan faktoriseras till enbart förstagradsuttryck i det komplexa talområdet? Jovisst, och datoralgebrasystemen ger också möjlighet till detta. Exempelvis får vi att x + 1 = (x i)(x + i). Vi provar detta på polynomet x I exempelvis Maxima heter kommandot gfactor, och vi får x = (x i)(x + i). I TI-Nspire blir kommandot cfactor(x 4 + 1,x) och uttrycket blir i och med detta fullt faktoriserat i det komplexa talområdet x 4 +1= x 1+i p x + 1+i p x 1 i p x + 1 i p Nollställena till polynomet bildar i det komplexa talplanet hörnen i en kvadrat som är inskriven i en cirkel med radien 1. Med papper och penna kan vi finna dem genom att med lämplig metod lösa ekvationen x = 0 i det komplexa talområdet. 56 Nämnaren nr 013
5 z 1 z är rötter till ekvationen 4 x = 0. Vad vi menar med att faktorisera ett polynom är alltså inte helt entydigt. Det beror på vilka förutsättningar vi ger i form av vilka slags faktorer som är tillåtna och även inom vilket talområde vi utför faktoriseringen. Vanlig faktorisering bör vi kanske precisera som heltalsfaktorisering (det finns också gaussiska heltal i det komplexa talområdet). De mer ovanliga faktoriseringar som presenterats i artikeln är ofta inte heller åtkomliga med hjälp av grafritande program, räknare eller applikationer. Om vi i undervisningen vill studera dem närmare, vilket är önskvärt åtminstone i de senare kurserna i gymnasiet, behövs någon form av datoralgebrasystem som verktyg. Några sådana presenteras nedan. Till sist ett litet tips för den som försökt lösa problemet om alla termer i heltalsfaktoriseringen av x n 1 alltid är av typen ± x k : Prova att faktorisera x Datorprogramvara: Applikationer: Nätet: EXEMPEL PÅ CAS-VERKTYG Geogebra Maxima TI-Nspire (även räknare) Symbolic Calculator HD PocketCAS CAS Calc P11 WolframAlpha TI-Nspire LITTERATUR Drijvers, P., Boon, P. & van Reeuwijk, M. (011). Algebra and technology. I P. Drijvers (red), Secondary algebra education Revisiting topics and themes and exploring the unknown, Rotterdam: Sense Publishers. Kieran, C. & Drijvers, P. (006). The co-emergence of machine techniques, paper-and-pencil techniques, and theoretical reflection: a study of CAS use in secondary school algebra. International journal of computers for mathematics learning 11, NÄMNAREN NR
Visst kan man faktorisera x 4 + 1
Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merKvadratkomplettering
Kvadratkomplettering Steg-för-steg-demonstration Hillevi Gavel Institutionen för matematik och fysik (IMa) Mälardalens högskola (MDH) 3 april 2006 Instruktioner Det här bildspelet visar hur man genomför
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merAvsnitt 3, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merTal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merMatematik 4 Kap 4 Komplexa tal
Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet
Läs merAlgebra och rationella uttryck
Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr Förenkla x0 y 6 z 5 25 y 2 Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 ab b 5a - a² 9a där a 0. där b 0. Uppgift nr 4 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + 2x 3 ) Uppgift nr
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.
Läs mer10! = =
Algebra II: Gamla tentor Algebra II: Lösningar till tentan den 28. maj 2012 Hjälpmedel: Papper skrivdon samt miniräknare. 1. Låt ϕ : N N vara Eulers ϕ-funktion. (a) Primfaktorisera ϕ(10!). Lösning: Faktoriseringen
Läs merRepetitionskurs i. elementär algebra, matematik. för DAI1 och EI1 ht 2014
Repetitionskurs i elementär algebra, matematik för DAI och EI ht 04 Chalmers Tekniska Högskola Reimond Emanuelsson II August 5, 04 Förord Detta kompendium är tänkt som en repetition av elementär algebra
Läs merManipulationer av algebraiska uttryck
Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merAvd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.
STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.
Läs merKonsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merHär studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 3.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 3 handlar om problemet att avgöra hur en given funktions värden växlar tecken. Här studera
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merNågra feta resultat av Gauss och ett mindre fett som har hans namn
Några feta resultat av Gauss och ett mindre fett som har hans namn Spyken, Lund 2 september 2012 Gausselimination 1 Gausselimination är en central teknik som används för att på ett systematiskt sätt lösa
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merPlanering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov
År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen
Läs merHär är två korta exempel på situationer då vi tillämpar den distributiva lagen:
Modul: Algebra Del 8: Avslutande reflektion och utvärdering Distributiva lagen Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Distributiva lagen a (b + c) = a b + a c Den distributiva lagen kallas den räknelag
Läs merLite om räkning med rationella uttryck, 23/10
Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs mer2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merAlgebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Läs merKompletteringskompendium
Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion
Läs merMatematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 digitala övningar med TI-82 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merRepetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18
Repetition kapitel,, 5 inför prov Ma NA7 vt8 Prov tisdag 5/6 8.00-0.00 Algebra När man adderar eller subtraherar uttryck, så räknar man ihop ensamma siffror för sig, x-termer för sig, och eventuella x
Läs merMatematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering
Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Kursboken innehåller uppgifter på tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad. Efter varje kapitel finns en bra sammanfattning,
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merPOLYNOM OCH EKVATIONER. Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen
POLYNOM OCH EKVATIONER Torbjörn Tambour Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen Postadress Matematiska institutionen Stockholms universitet
Läs merAbsolut möjligt. Problemet. per-eskil persson
per-eskil persson Absolut möjligt Absolutbelopp nämns inte i kursplanerna för gymnasiet, samtidigt som förkunskaper kring dem efterfrågas av högskolan. Med utgångspunkt i en kurs för lärarstudenter konstruerades
Läs merMer om faktorisering
Matematik, KTH Bengt Ek november 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Mer om faktorisering Inledning. Är alla ringar som Z? De första matematiska objekt vi studerade i den här kursen
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merPolynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion
Polynom över Under baskursen bekantade du dig med polynomen över de komplexa talen. Nedanstående material är till stora delar en repetition av detta stoff. DEFINITION Ett polynom över är ett uttryck av
Läs merMatematik C (MA1203)
Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven
Läs merAlgebra, kvadreringsregler och konjugatregeln
Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy
Läs merMatematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering
Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Kursboken innehåller uppgifter på tre nivåer, a,b och c, i stigande svårighetsgrad. Efter varje kapitel finns en bra sammanfattning,
Läs merLektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1
Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merPrecis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren
Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.
Läs merÖvning log, algebra, potenser med mera
Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merKompendium i Algebra grundkurs. Rikard Bøgvad
Kompendium i Algebra grundkurs Rikard Bøgvad Förord. Detta kompendium innehåller material till första terminens kurs i algebra vid matematiska institutionen vid Stockholms universitet, närmare bestämt
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merFöreläsningsanteckningar till Matematik D
Olof Bergvall Föreläsningsanteckningar till Matematik D Matematiska Institutionen Stockholms Universitet, Stockholm E-mail: olofberg@math.su.se Innehåll 1 Algebra......................................................
Läs merStudieplanering till Kurs 2b Grön lärobok
Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad
Läs merTI-Nspire CAS. Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5. Your Expertise. Our technology. Student Success.
TI-Nspire CAS Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5 Your Expertise. Our technology. Student Success. TI Nspire CAS Exempel på flera moment för Ma 4 och Ma 5 Här är ett material som visar hur man kan
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Ett försök att generalisera konjugatregeln av Ulrika Söderberg 2016 - No 17 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET,
Läs merExplorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Läs merTATM79: Matematisk grundkurs HT 2018
TATM79: Matematisk grundkurs HT 08 Föreläsningsanteckningar för Y, Yi, MED, Mat, FyN, Frist Johan Thim, MAI y y = /x x x TATM79: Föreläsning Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim augusti
Läs merSommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper
Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1
Läs merTATM79: Matematisk grundkurs HT 2017
TATM79: Matematisk grundkurs HT 017 Föreläsningsanteckningar för Y, Yi, MED, Mat, FyN, Frist Johan Thim, MAI y 1 y = 1/x 1 x x TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim
Läs merTATM79: Matematisk grundkurs HT 2016
TATM79: Matematisk grundkurs HT 016 Föreläsningsanteckningar för Y, Yi, MED, Mat, FyN, Frist Johan Thim, MAI y 1 y = 1/x 1 x x TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merGymnasieelevers matematiska svårigheter vid hantering och lösning av andragradsekvationer En systematisk litteraturstudie
Linköpings universitet Matematiska institutionen Examensarbete 1, 15 hp Ämneslärarprogrammet (Gymnasiet) - Matematik Höstterminen 2018 LiU-LÄR-MG-A--2019/05--SE Gymnasieelevers matematiska svårigheter
Läs merMatematik 2b 1 Uttryck och ekvationer
Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer Repetera grunderna i ekvationslösning Lära dig parentesmultiplikation, kvadreringsreglerna och konjugatregeln Lära dig lösa fullständiga andragradsekvationer Få en
Läs merArkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Femtegradsekvationen av Niklas Fransson 2017 - No 44 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM
Läs merEn samling funktionspussel för gymnasienivå
En samling funktionspussel för gymnasienivå ü Pusslenas idé Det är lätt att snabbt rita många funktionsgrafer med en grafisk räknare, men hur är det med elevernas vana och förmåga att utläsa information
Läs merÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011
ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig
Läs merFör att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merFlera digitala verktyg och exponentialfunktioner
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg I Del 8: Matematikundervisning och utveckling med digitala verktyg Flera digitala verktyg och exponentialfunktioner Håkan Sollervall,
Läs mer