Manipulationer av algebraiska uttryck
|
|
|
- Solveig Håkansson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018
2 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z)
3 Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c).. (x x).. (x z) = 0
4 Identitetslagarna a 1 = a
5 Identitetslagarna a 1 = a a 0 = 0
6 Identitetslagarna a 1 = a a 0 = 0 a + 0 = a
7 Identitetslagarna a 1 = a a 0 = 0 a + 0 = a 0 + a = a
8 Kluring 2 Tänk på ett tal.
9 Kluring 2 Tänk på ett tal. Addera 25 till det.
10 Kluring 2 Tänk på ett tal. Addera 25 till det. Sedan addera 125.
11 Kluring 2 Tänk på ett tal. Addera 25 till det. Sedan addera 125. Sedan subtrahera 37.
12 Kluring 2 Tänk på ett tal. Addera 25 till det. Sedan addera 125. Sedan subtrahera 37. Subtrahera det ursprungliga talet.
13 Kluring 2 Tänk på ett tal. Addera 25 till det. Sedan addera 125. Sedan subtrahera 37. Subtrahera det ursprungliga talet. Multiplicera resultatet med 50.
14 Kluring 2 Tänk på ett tal. Addera 25 till det. Sedan addera 125. Sedan subtrahera 37. Subtrahera det ursprungliga talet. Multiplicera resultatet med 50. Dividera med 10.
15 Kluring 2 Tänk på ett tal. Addera 25 till det. Sedan addera 125. Sedan subtrahera 37. Subtrahera det ursprungliga talet. Multiplicera resultatet med 50. Dividera med 10. Du fick talet 565.
16 Lösning kluring 2 Tänk på ett tal. X
17 Lösning kluring 2 Tänk på ett tal. X Addera 25 till det. X + 25
18 Lösning kluring 2 Tänk på ett tal. X Addera 25 till det. X + 25 Sedan addera 125. X = X + 150
19 Lösning kluring 2 Tänk på ett tal. X Addera 25 till det. X + 25 Sedan addera 125. X = X Sedan subtrahera 37. X = X + 113
20 Lösning kluring 2 Tänk på ett tal. X Addera 25 till det. X + 25 Sedan addera 125. X = X Sedan subtrahera 37. X = X Subtrahera det ursprungliga talet. X X = 113
21 Lösning kluring 2 Tänk på ett tal. X Addera 25 till det. X + 25 Sedan addera 125. X = X Sedan subtrahera 37. X = X Subtrahera det ursprungliga talet. X X = 113 Multiplicera resultatet med = 5650
22 Lösning kluring 2 Tänk på ett tal. X Addera 25 till det. X + 25 Sedan addera 125. X = X Sedan subtrahera 37. X = X Subtrahera det ursprungliga talet. X X = 113 Multiplicera resultatet med = 5650 Dividera med /10 = 565
23 Lösning kluring 2 Tänk på ett tal. X Addera 25 till det. X + 25 Sedan addera 125. X = X Sedan subtrahera 37. X = X Subtrahera det ursprungliga talet. X X = 113 Multiplicera resultatet med = 5650 Dividera med /10 = 565 Du fick talet 565.
24 Algebrans utveckling Pre-algebra har funnits redan i Babylon (2000 f.kr f.kr.)
25 Algebrans utveckling Pre-algebra har funnits redan i Babylon (2000 f.kr f.kr.) Synkoperad algebra (begränsad användning av variabler) från Diofantos tid (250 e.kr.)
26 Algebrans utveckling Pre-algebra har funnits redan i Babylon (2000 f.kr f.kr.) Synkoperad algebra (begränsad användning av variabler) från Diofantos tid (250 e.kr.) Algebra i modern mening utvecklades framför allt av Viète (1500-talet)
27 Kluring 3 Räkna ut ( )( )
28 Lösning kluring 3 Räkna ut ( )( )
29 Lösning kluring 3 Räkna ut ( )( ) Om 2008 = X får vi ((X 10) (X + 10) + 100)((X 20) (X + 20) + 400) X 4
30 Lösning kluring 3 Räkna ut ( )( ) Om 2008 = X får vi ((X 10) (X + 10) + 100)((X 20) (X + 20) + 400) X 4 = ((X ) + 100)((X ) + 400) X 4 = X 2 X 2 X 4 = 1
31 Införande av variabler Tumregel: inför variabler när du behöver spara plats, tid och tankekraft!
32 Konjugatregeln a 2 b 2 = (a b)(a + b)
33 Konjugatregeln a 2 b 2 = (a b)(a + b) = 2(1 + 3) (1 3)(1 + 3) = ( 3) = =
34 Konjugatregeln a 2 b 2 = (a b)(a + b) = 2(1 + 3) (1 3)(1 + 3) = ( 3) = = 1 3 Om a + bi är ett nollställe, så är a bi också ett nollställe till ett polynom med reella koefficienter.
35 Kluring 4 Två kvadrater är givna. Omkretsen på den andra är n cm större än omkretsen på den första. Arean på den andra är däremot n cm 2 större. Bestäm den sammanlagda omkretsen på de två kvadraterna.
36 Lösning kluring 4 Två kvadrater är givna. Med sidan a och med sidan b.
37 Lösning kluring 4 Två kvadrater är givna. Med sidan a och med sidan b. Omkretsen på den andra är n cm större än omkretsen på den första. 4b 4a = 4 (b a) = n
38 Lösning kluring 4 Två kvadrater är givna. Med sidan a och med sidan b. Omkretsen på den andra är n cm större än omkretsen på den första. 4b 4a = 4 (b a) = n Arean på den andra är däremot n cm 2 större. b 2 a 2 = (b a)(b + a) = n
39 Lösning kluring 4 Två kvadrater är givna. Med sidan a och med sidan b. Omkretsen på den andra är n cm större än omkretsen på den första. 4b 4a = 4 (b a) = n Arean på den andra är däremot n cm 2 större. b 2 a 2 = (b a)(b + a) = n Bestäm den sammanlagda omkretsen på de två kvadraterna. (b a) 4 = (b a)(b + a) 4 = b + a och 4b + 4a = 4 4 = 16
40 Binomialsatsen (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
41 Binomialsatsen (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
42 Binomialsatsen (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. (a+b) n = a n + ( ) ( ) ( ) n n n a n 1 b+ a n 2 b ab n 1 +b n 1 2 n 1
43 Kluring 5 Man vet att a 1 a = 3. Vad är a3 1 lika med? a3
44 Lösning kluring 5 Man vet att a 1 a = 3. Då är ( a 1 a) 3 = 3 3 = 27
45 Lösning kluring 5 Man vet att a 1 a = 3. Då är ( a 1 a) 3 = 3 3 = 27 Men ( a 1 ) 3 = a 3 3 a 2 1 a a + 3 a 1 a 2 1 a 3
46 Lösning kluring 5 Man vet att a 1 a = 3. Då är ( a 1 a) 3 = 3 3 = 27 Men ( a 1 ) 3 = a 3 3 a 2 1 a a + 3 a 1 a 2 1 a 3 = a 3 3 a a 1 a 3 = a3 1 ( a 3 3 a 1 ) = a 3 1 a a 3 3 3
47 Lösning kluring 5 Man vet att a 1 a = 3. Då är ( a 1 a) 3 = 3 3 = 27 Men ( a 1 ) 3 = a 3 3 a 2 1 a a + 3 a 1 a 2 1 a 3 = a 3 3 a a 1 a 3 = a3 1 ( a 3 3 a 1 ) = a 3 1 a a a 3 1 = = 36. a3
48 Kluring 6 Är följande tal ett primtal: ?
49 Lösning kluring 6 Är följande tal ett primtal: ? = (2 2 ) 99 (2 3) 100 = (3 100 ) 2 + (2 99 ) = (3 100 ) 2 + (2 99 ) = ( ) 2
50 Kvadratkomplettering a 2 + 2xa + y = (a + x) 2 x 2 + y
51 Teleskopiska summor
52 Teleskopiska summor ( 1 1 ) ( ) ( ) ( ) 2018
53 Teleskopiska summor ( 1 1 ) ( ) ( ) ( ) 2018 ( ) ( ) ( ) ( ) 2018 = =
54 Kluring 7 Bestäm produkten ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( )
55 Lösning kluring 7 = ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( )
56 Lösning kluring 7 = ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) = ( 1 2 ) ( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 4 3 ) ( ) ( ) 16 15
57 Lösning kluring 7 = ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) = ( 1 2 ) ( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 4 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )( ) ( 3 2 ) ( ) = = = 8 15
58 Kluring 8 För varje positivt heltal n bestäm summan n (n 1) n n (I nämnarna står alla möjliga produkter av några av talen 1, 2,..., n. Produkten av ett enda tal är talet självt.)
59 Lösning kluring n (n 1) n n = ( ) ( ) ( ) ( ) n
60 Lösning kluring n (n 1) n n = ( ) ( ) ( ) ( ) n = ( ) 2 1 ( ) 3 2 ( ) ( n + 1 n ) 1
61 Lösning kluring n (n 1) n n = ( ) ( ) ( ) ( ) n = ( ) 2 1 ( ) 3 2 ( ) ( n + 1 n ) 1 = ( ) 2 1 ( ) 3 2 ( ) ( n + 1 n ) 1 = n = n
62 Spegelvända polynom Varje polynom på formen x n + y n kan skrivas med hjälp av bara uttrycken x + y och xy.
63 Spegelvända polynom Varje polynom på formen x n + y n kan skrivas med hjälp av bara uttrycken x + y och xy. Till exempel x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy
64 Spegelvända polynom Varje polynom på formen x n + y n kan skrivas med hjälp av bara uttrycken x + y och xy. Till exempel x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy x 3 + y 3 = (x + y) 3 3x 2 y 3xy 2 = (x + y) 3 3xy(x + y) och så vidare...
65 Spegelvända polynom Varje polynom på formen x n + y n kan skrivas med hjälp av bara uttrycken x + y och xy. Till exempel x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy x 3 + y 3 = (x + y) 3 3x 2 y 3xy 2 = (x + y) 3 3xy(x + y) och så vidare... En summa på formen s k = x k + y k + z k kan skrivas om som ett polynom i x + y + z, xy + yz + xz, xyz (dvs uttryckas som en polynomfunktion mha bara dem).
66 Kluring 9 Lös ekvationssystemet { x 3 + y 3 = 8 x 2 + y 2 = 4
67 Lösning kluring 9 { x 3 + y 3 = (x + y) 3 3x 2 y 3xy 2 = 8 x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = 4
68 Lösning kluring 9 { x 3 + y 3 = (x + y) 3 3x 2 y 3xy 2 = 8 x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = 4 { (x + y) 3 3xy(x + y) = 8 (x + y) 2 2xy = 4
69 Lösning kluring 9 { x 3 + y 3 = (x + y) 3 3x 2 y 3xy 2 = 8 x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = 4 { (x + y) 3 3xy(x + y) = 8 (x + y) 2 2xy = 4 (x + y) = A, xy = B
70 Lösning kluring 9 { x 3 + y 3 = (x + y) 3 3x 2 y 3xy 2 = 8 x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = 4 { (x + y) 3 3xy(x + y) = 8 (x + y) 2 2xy = 4 (x + y) = A, xy = B { A 3 3AB = 8 A 2 2B = 4
71 Lösning kluring 9, forts. { A 3 3AB = 8 A 2 2B = 4 A 3 2AB = 4A (A 0)
72 Lösning kluring 9, forts. { A 3 3AB = 8 A 2 2B = 4 A 3 2AB = 4A (A 0) (A 3 2AB) (A 3 3AB) = 4A 8
73 Lösning kluring 9, forts. { A 3 3AB = 8 A 2 2B = 4 A 3 2AB = 4A (A 0) (A 3 2AB) (A 3 3AB) = 4A 8 AB = 4A 8
74 Lösning kluring 9, forts. { A 3 3AB = 8 A 2 2B = 4 A 3 2AB = 4A (A 0) (A 3 2AB) (A 3 3AB) = 4A 8 AB = 4A 8 A 3 3(4A 8) = 8 A 3 12A + 16 = 0
75 Lösning kluring 9, forts. A 3 3(4A 8) = 8 A 3 12A + 16 = 0
76 Lösning kluring 9, forts. A 3 3(4A 8) = 8 A 3 12A + 16 = 0 A = 2 är en rot:
77 Lösning kluring 9, forts. A 3 3(4A 8) = 8 A 3 12A + 16 = 0 A = 2 är en rot: A 3 12A + 16 = (A 2)(A 2 + 2A 8)
78 Lösning kluring 9, forts. A 3 3(4A 8) = 8 A 3 12A + 16 = 0 A = 2 är en rot: A 3 12A + 16 = (A 2)(A 2 + 2A 8) = (A 2)(A 2)(A + 4)
79 Lösning kluring 9, forts. A 3 3(4A 8) = 8 A 3 12A + 16 = 0 A = 2 är en rot: A 3 12A + 16 = (A 2)(A 2 + 2A 8) = (A 2)(A 2)(A + 4) x + y = 2 eller x + y = 4
80 Lösning kluring 9, forts. A = x + y = 2 eller A = x + y = 4 AB = 4A 8
81 Lösning kluring 9, forts. A = x + y = 2 eller A = x + y = 4 AB = 4A 8 (Om A = 2) 2B = 8 8 B = 0 eller (Om A = 4) 4B = 16 8 B = 6
82 Lösning kluring 9, forts. A = x + y = 2 eller A = x + y = 4 AB = 4A 8 (Om A = 2) 2B = 8 8 B = 0 eller (Om A = 4) 4B = 16 8 B = 6 { x + y = 2 xy = 0 eller { x + y = 4 xy = 6
83 Lösning kluring 9, forts. { x + y = 2 xy = 0 Då måste någon av x eller y vara lika med 0 och då är den andra av dem lika med 2 och vi får två lösningar i det här fallet: (x, y) = (0, 2) och (x, y) = (2, 0).
84 Lösning kluring 9, forts. { x + y = 4 xy + y 2 = 4y xy = 6 y 2 + 4y + 6 = 0 (y + 2) = 0 (y + 2) 2 = 2 vilket saknar reella lösningar.
85 Division med rest Om man dividerar polynomet P(x) med (x a) så blir resten P(a).
86 Division med rest Om man dividerar polynomet P(x) med (x a) så blir resten P(a). Det innebär bland annat att P(x) är delbart med (x a) om och endast om a är en rot till P.
87 Kluring 10 Visa att a är åtminstone en dubbelrot till polynomet P(x) om och endast om P(a) = 0 och P (a) = 0.
88 Lösning kluring 10 Om a är en rot så är P(a) = 0. Vi dividerar polynomet med (x a) 2 :
89 Lösning kluring 10 Om a är en rot så är P(a) = 0. Vi dividerar polynomet med (x a) 2 : P(x) = (x a) 2 Q(x) + c(x a) just eftersom a en rot. Det kommer vara en dubbelrot om och endast om c = 0.
90 Lösning kluring 10 Om a är en rot så är P(a) = 0. Vi dividerar polynomet med (x a) 2 : P(x) = (x a) 2 Q(x) + c(x a) just eftersom a en rot. Det kommer vara en dubbelrot om och endast om c = 0. P (x) = 2(x a)q(x) + (x a) 2 Q (x) + c
91 Lösning kluring 10 Om a är en rot så är P(a) = 0. Vi dividerar polynomet med (x a) 2 : P(x) = (x a) 2 Q(x) + c(x a) just eftersom a en rot. Det kommer vara en dubbelrot om och endast om c = 0. P (x) = 2(x a)q(x) + (x a) 2 Q (x) + c P (a) = c alltså är c = 0 om och endast om P (a) = 0.
92 Algebrans fundamentalsats (eller egentligen en konsekvens av den) Varje polynom av grad har n komplexa rötter, med multiplicitet inräknat. Det vill säga där z 1, z 2,..., z n är rötterna. P(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z n )
Euklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
MA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal Mikael Hindgren 17 september 2018 Delbarhet Exempel 1 42 = 6 7 Vi säger: 7 är en faktor i 42 eller 7 delar 42 Vi skriver: 7 42 Definition 1 Om a, b
x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
MA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Matematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Ekvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
POLYNOM OCH EKVATIONER. Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen
POLYNOM OCH EKVATIONER Torbjörn Tambour Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen Postadress Matematiska institutionen Stockholms universitet
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C
Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B
Exempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Matematiska uppgifter
Elementa Årgång 6, 977 Årgång 6, 977 Första häftet 36. Lös ekvationssystemet { x y = 8 y log x + x log y = 2 (Svar: x = y = 8) 36. lös ekvationen 6sin x 6sin2x + 5sin3x =. (Svar: x = n 8, 84,26 + n 36,
Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Avsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa
PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA 4.1 Kvadreringsreglerna Kvadraten på en summa Den finländska modellfamiljen med mamma, pappa och två barn äger ett kvadratformat hus. Här nedan i figur 4 har vi en planritning
Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Polynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion
Polynom över Under baskursen bekantade du dig med polynomen över de komplexa talen. Nedanstående material är till stora delar en repetition av detta stoff. DEFINITION Ett polynom över är ett uttryck av
Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.
STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.
1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Några feta resultat av Gauss och ett mindre fett som har hans namn
Några feta resultat av Gauss och ett mindre fett som har hans namn Spyken, Lund 2 september 2012 Gausselimination 1 Gausselimination är en central teknik som används för att på ett systematiskt sätt lösa
Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA
Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra
Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Lösningar till Algebra och kombinatorik
Lösningar till Algebra och kombinatorik 090520 1. Av a 0 = 0, a 1 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 2 = 1 4 a 1 a 0 + 3 2 = 1 4 1 0 + 32 = 4, a 3 = 1 4 a 2 a 1 + 3 2 = 1 4 4 1 + 32 = 9,
Kompletteringskompendium
Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 15 Ringar, kroppar och polynom Det fjortonde kapitlet behandlar ringar. En ring har till skillnad
S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Matematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Svar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Ekvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
x 23 + y 160 = 1, 2 23 = ,
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar, inför tentan moment B, på de avsnitt som inte omfattats av lappskrivningarna, Diskret matematik för D2 och F, vt08.. Ett RSA-krypto har n =
PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER
Explorativ övning 4 PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. De viktigaste begreppen är Aritmetikens fundamentalsats
Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10
Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen
Tal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Algebraiska räkningar
Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:
vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 1. Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att 31n + 13 är delbart
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
10! = =
Algebra II: Gamla tentor Algebra II: Lösningar till tentan den 28. maj 2012 Hjälpmedel: Papper skrivdon samt miniräknare. 1. Låt ϕ : N N vara Eulers ϕ-funktion. (a) Primfaktorisera ϕ(10!). Lösning: Faktoriseringen
Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Matematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan
Föreläsningsanteckningar till Matematik D
Olof Bergvall Föreläsningsanteckningar till Matematik D Matematiska Institutionen Stockholms Universitet, Stockholm E-mail: olofberg@math.su.se Innehåll 1 Algebra......................................................
= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Repetitionskurs i. elementär algebra, matematik. för DAI1 och EI1 ht 2014
Repetitionskurs i elementär algebra, matematik för DAI och EI ht 04 Chalmers Tekniska Högskola Reimond Emanuelsson II August 5, 04 Förord Detta kompendium är tänkt som en repetition av elementär algebra
Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:
A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Arbetsblad 5:2. Förkorta och förlänga bråk. 1 Förkorta med 2. 2 Förkorta med 5. 3 Förkorta med 3. 4 a) 4 = b) a) 6 = b) 16.
Arbetsblad 5:1 sid 142, 156 Repetition av bråk 1 Hur stor del av figuren är färgad? Skriv som ett bråk. a) b) c) d) 2 a) Skriv de bråk som är lika med en halv. b) Skriv de bråk som är mindre än en halv.
Algebrans fundamentalsats
School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75
Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Repetitionsmaterial för kompletteringskurs i matematik (5B1114)
Institutionen för matematik KTH petitionsmaterial för kompletteringskurs i matematik (5B4) Innehåll. Potenser och logaritmer. Trigonometriska funktioner. Komplexa tal 4. Polynom 0 5. Derivator 6 6. Differentialekvationer
vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.
Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson
Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består
matematik Lektion Kapitel Uppgift Lösningg T.ex. print(9-2 * 2) a) b) c) d)
1 Print 2.6 Prioriteringsregler 1 Beräkna a) 9 2 2 b) 10 + 5 6 c) 5 6 10 d) 16 + 4 5 6 2.6 Prioriteringsregler 7 Stina köper 3 chokladbollar för 10 kr styck och 1 kopp te för 14 kr. a) Skriv ett uttryck
Matematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Matematiska Institutionen KTH. Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09. 1. Betrakat gruppen G = (Z 19 \ {0}, ). (a) Visa att G är en cyklisk grupp.
För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal
Faktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran.
Per-Eskil Persson Visst kan man faktorisera x 4 +1 Att faktorisera polynom är inte alltid helt enkelt men inte dess mindre en väsentlig del av den algebra som elever möter i slutet av högstadiet och senare
Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper
Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1
3. Bestäm med hjälpa av Euklides algoritm största gemensamma delaren till
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Isac Hedén, isac@math.uu.se Prov i matematik Vi räknar ett urval av dessa uppgifter vid vart och ett av de tio lektionstillfällena. På kurshemsidan framgår
Gamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)
1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)
Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a
Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =
H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Algebra, kvadreringsregler och konjugatregeln
Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy
Andragradspolynom Några vektorrum P 2
Låt beteckna mängden av polynom av grad högst 2. Det betyder att p tillhör om p(x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är reella tal. Några exempel: x 2 + 3x 7, 2x 2 3, 5x + π, 0 Man kan addera två polynom
Tentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Hela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Determinanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning
Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet
Kompendium i Algebra grundkurs. Rikard Bøgvad
Kompendium i Algebra grundkurs Rikard Bøgvad Förord. Detta kompendium innehåller material till första terminens kurs i algebra vid matematiska institutionen vid Stockholms universitet, närmare bestämt