Hela tal LCB 1999/2000

Transkript

1 Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när b delar a, och b Uppenbart gäller att samt att a när så inte är fallet. Några exempel: a a a för alla a b 0 för alla b I nästa sats samlar vi några enkla egenskaper hos delbarhetsrelationen. SATS 1. För heltal a, b, c gäller 1 b a och a b b 2 c b och b a c a. 3 c a och c b c xa yb för alla heltal x och y. a. 4 b a och a 0 b a. BEVIS. 1 Enligt förutsättningen finns heltal m respektive n så att a mb och b na Härav följer att a mna, varav mn 1 (såvida inte a 0 men då är också b 0). Eftersom m och n är heltal medför mn 1 att m n 1 eller m n 1. Alltså är b a. 2 Enligt förutsättningen finns heltal m respektive n så att b mc och a nb Därmed är a nm c med nm ett heltal, varför c a enligt definitionen av delbarhet. 3 Enligt förutsättningen finns heltal m respektive n så att Detta medför att a mc och b nc xa yb xm yn c och eftersom xm yn är ett heltal följer påståendet i satsen. 4 Överlåtes åt läsaren. Vi har sett ovan att 1 och a alltid är delare till talet a. Dessa kallar vi de triviala delarna, andra (eventuella) delare kallas äkta. 6 nb.

2 2 DEFINITION 2. Ett heltal p 1 kallas ett primtal 1 om det saknar äkta delare. Tal som inte är primtal kallas sammansatta. De lägsta primtalen är Läsaren uppmanas fylla på listan med några primtal till. Lägg märke till att 1 inte räknas som primtal. LEMMA 1. Varje heltal n 1 kan skrivas som en produkt av primtal. (Även produkter med bara en faktor är tillåtna.) BEVIS. Beviset genomförs med induktion över n. För n 2 är lemmat uppenbart sant, eftersom 2 är ett primtal. För induktionssteget antar vi att varje tal k kan skrivas som en produkt av primtal. Betrakta nu talet n k 1. Två möjligheter föreligger. 1) Talet n är ett primtal. Då är vi klara. 2) Talet n är sammansatt. Då har det äkta delare och kan följaktligen skrivas som n ab, där a och b är heltal med 1 a b k. Induktionsantagandet kan alltså användas på a och b. Dessa tal kan alltså skrivas som produkter av primtal, och därmed gäller detta också talet n ab. Beviset är klart. Exempel 1. Talet har primfaktoriseringen (Kontrollera själv.) I lemma?? nämns inget om att framställningen av n som produkt av primtal är entydig. Så är emellertid fallet, om man bortser från ordningsföljden mellan faktorerna. Detta är innehållet i aritmetikens fundamentalsats, till vilken vi återkommer i slutet av kapitlet. Beviset av detta resultat kräver nämligen en del förberedelser. Redan nu kan vi emellertid visa följande berömda sats. SATS 2. (EUKLIDES) Det finns oändligt många primtal. BEVIS. Antag motsatsen, och låt p 1 p 2 p k beteckna alla de ändligt många primtalen. Bilda talet N p 1 p 2 p k 1 Talet N är en produkt av primtal enligt lemma??, och är följaktligen delbart med något av primtalen ovan, säg p j. Men av p j N och p j p 1 p 2 p k följer att p j 1 enligt 3 i sats??. Detta innebär en motsägelse, ty p j 1. Nu ska vi diskutera division med rest. 1 I vissa sammanhang tillåtes också negativa tal som primtal, men vi gör inte så här.

3 2. STÖRSTA GEMENSAM DELARE 3 SATS 3. (DIVISIONSALGORITMEN) Låt a och b vara heltal, b sådana att (1) a qb r 0 r b Dessa tal är dessutom entydigt bestämda. 0. Då finns tal q och r Anmärkning. I (??) kallas a för dividend, b för divisor, q för kvot och r för rest. Namnet divisionsalgoritmen för satsen är tradition men missvisande; namnet borde egentligen syfta på den procedur (uppställning) man använder för att utföra divisionen, dvs. beräkna q och r. BEVIS. Satsen är trivial om a 0. Fallet a 0 återföres lätt på fallet a 0 (överlåtes åt läsaren). Vi antar alltså nu att a 0. Betrakta mängden av heltal S a tb; t Z a tb 0 Denna är inte tom, ty a S, och består av icke-negativa heltal. Enligt välordningsprincipen har S ett minsta element r. Antag att r a qb. Då är a qb r och dessutom är 0 r b. 0 r a qb a 2b a b a Det återstår att visa att q orh r är entydigt bestämda. Antag att det finns två möjligheter a q 1 b r 1 q 2 b r 2 Då är q 1 q 2 b r 2 r 1 Eftersom r 2 r 1 b följer att q 1 q 2 0 och därmed r 2 r 1 0. Alltså är q 1 q 2 och r 1 r 2. Exempel 2. Om 125 divideras med 12 får vi kvoten 10 och resten 5: Största gemensam delare Två heltal a och b kan naturligtvis ha gemensamma delare, bland annat är 1 en sådan. Eftersom bara ändligt många delare är möjliga måste det finnas en största gemensam delare. I formuleringen av följande definition tolkar vi dock ordet störst på ett sätt som är anpassat till begreppet delare.

4 4 DEFINITION 3. Låt a och b vara heltal, inte båda noll. Det positiva talet d kallas den största gemensamma delaren till a och b om 1 d a och d b, 2 c a och c b c d. Det är klart att den största gemensamma delaren är entydigt bestämd. Den brukar betecknas 2 d a b Två heltal a och b kallas relativt prima om a b 1. Exempel 3. Låt a 42, b 70. De gemensamma delarna är att , 2, 7, 14, och vi får För större tal än i exemplet behövs en systematisk procedur som inte kräver att man bestämmer samtliga delare. En sådan finns känd sedan gammalt, Euklides algoritm. Den ingår som subrutin i de flesta datorprogram som handlar om heltalsaritmetik. Vi beskriver den enklast i ett exempel. Exempel 4. Bestäm Lösning: Metoden går ut på att dividera det största av de två talen med det minsta (divisionsalgoritmen). Kvoten är ointressant men inte resten. I nästa steg gör vi en ny division där den förra divisorn är dividend och den föregående resten är divisor. Vi fortsätter på detta sätt tills vi får en rest som är noll. Uppställningen blir följande: Den största gemensamma delaren är den sista icke försvinnande resten, dvs. i detta fall 1. Varför det blir så ska vi förklara nu. SATS 4. Euklides algoritm, metoden i exempel??, leder till den största gemensamma delaren. BEVIS. Räkningarna kommer att ta slut i ett ändligt antal steg, eftersom (de positiva) resterna minskar med minst en enhet vid varje division. Vidare har vi, med data från exemplet, Att det alltid fungerar på detta sätt bevisas i följande lemma. 2 Grimaldi, 3:e och 4:e upplagan, använder beteckningen gcd! a" b#%$

5 3. DIOFANTISKA EKVATIONER 5 LEMMA 2. Om a qb r så är a b & b r. BEVIS. Antag att c är en gemensam delare till b och r. Då är c naturligtvis en delare till b, men också till a enligt 3 i sats??. Följaktligen är c en gemensam delare till a och b. Omvänt på samma sätt: om c är en gemensam delare till a och b så är c en gemensam delare till b och r a qb. Eftersom tydligen a och b har exakt samma gemensamma delare som b och r måste dessa två talpar ha samma största gemensamma delare. Anmärkning. Man kan genomföra räkningarna i exempel?? ett steg kortare genom att ersätta den andra divisionen med Allmänt handlar det om att tillåta en negativ rest och välja den rest som har minst absolutbelopp. Kortare räkningar är en fördel om man avser att fortsätta räkningarna så som i följande exempel. Exempel 5. Vi fortsätter exempel?? genom att gå baklänges i räkningarna. Understrukna tal nedan är intressanta, de andra ska bara uppfattas som koefficienter. Vi får ' Vi har lyckats skriva den största gemensamma delaren 1 som en heltalslinjärkombination av 250 och 111! Precis som i exemplet, genom att gå baklänges i Euklides algoritm, visar man följande sats. SATS 5. Om d är den största gemensamma delaren till heltalen a och b så finns heltal s och t så att d sa tb Denna sats är, som vi skall se senare, ett mycket användbart teoretiskt verktyg. 3 Diofantiska ekvationer Vi skall syssla med diofantiska 3 ekvationer (2) ax by c där a, b och c är givna heltal och x och y obekanta heltal. Geometriskt betyder (??) en rät linje i planet, men vi intresserar oss nu enbart för eventuella punkter med heltalskoordinater. Sådana behöver inte alltid finnas. Följande sats ger villkor för när det inträffar. SATS 6. Ekvationen (??) har en lösning om och endast om a b 3 Diofantos var en grekisk matematiker verksam i Alexandria kring år 300 e.kr. Diofantiska ekvationer var dock kända av babylonierna många hundra år tidigare. c.

6 ) ) 6 BEVIS. Antag först att (??) är lösbar, och beteckna lösningen med x och y. Sätt d ( a b. Då har vi enligt sats?? d a d b d xa yb d c Antag omvänt att d c, så att c md för något heltal m. Enligt sats?? har ekvationen ax by d en lösning; kalla den x x 0 y y 0* Då ser man genom insättning att x mx 0 y my 0 löser (??). Observera att lösningen x x 0, y y 0 i beviset kan beräknas med Euklides algoritm. I nästa sats beskriver vi hur man finner samtliga lösningar till (??). SATS 7. Om x 0 y 0 är en lösning till (??) ges samtliga lösningar av,+ - x x 0 n b (3)., d y y 0 n a n Z/ d Här betecknar d som tidigare den största gemensamma delaren a b. Talen b0 d och a0 d är naturligtvis heltal. Vi observerade tidigare att (??) betyder en linje i planet. I (??) har vi parameterformen av samma linje. BEVIS. Enligt förutsättningen är ax 0 by 0 c, och för en godtycklig lösning x y gäller ax by c. Genom subtraktion får vi a x x 0 1 b y y 0 0 Här kan vi dividera med d och fortfarande ha kvar heltal överallt. Vi får a x x 0 d b y d y 0 Den största gemensamma delaren till talen a d och b d nedan, att a y y d Alltså är för något heltal n 2 y y 0 n a d är 1. Därför följer, enligt lemma?? vilket leder till att x x 0 n b. Beviset är klart. d Vi formulerar slutligen det lemma som behövdes i beviset. Beteckningarna nu har ingen relation till dem ovan. LEMMA 3. Om a bc och a b 1 så följer att a c.

7 3. DIOFANTISKA EKVATIONER 7 BEVIS. Enligt sats?? finns heltal s och t så att Efter multiplikation med c får vi sa tb 1 c csa ctb cs a t bc Eftersom a a och enligt förutsättningen a bc följer enligt 3 i sats 1 att a delar högerledet ovan. Därmed har vi visat att a c. Innehållet i lemmat uppfattas ibland som självklart. Om den som uppfattar det som trivialt tvingas ge en motivering till varför det skulle vara så, utmynnar denna dock ofta i resonemang som mer eller mindre dolt utnyttjar aritmetikens fundamentalsats. Denna sats är emellertid inte bevisad ännu, och dess bevis nedan kommer att utnyttja lemma??, varför sådana argument inte kan utnyttjas som bevis för lemmat. Vi ger nu ett praktiskt exempel på lösning av en diofantisk ekvation. Som framgår av siffrorna så har det några år på nacken. Exempel 6. Vid en idrottstävling kostade entrébiljetten 1.75 kronor för vuxna och 1.45 för barn. De totala intäkterna var 100 kronor. Hur många barn köpte biljett? Lösning: tal till Här är Antag att det kom x barn och y vuxna. Räknat i ören får vi villkoret på dessa 145x 175y och vi börjar med att förkorta bort detta tal, med resultatet (4) 29x 35y 2000 Nu är , och ekvationen är lösbar enligt sats??. Vi börjar med att ställa upp Euklides algoritm för koefficienterna: Den största gemensamma delaren till 35 och 29 blir 1, något som vi ju redan sett direkt. Men vi kan nu räkna baklänges, och får då ' Här kan vi avläsa en lösning till 29x 35y 1 (nämligen x 6, y 5), men det är inte denna ekvation utan (??) som intresserar oss. Precis som i beviset för sats?? multiplicerar vi därför med 2000 och får

8 8 Här avläser vi lösningen x , y till (??). Den allmänna lösningen blir enligt (??), x , 1 n n Z/ 29 y n Det är inte alla dessa heltalspar som utgör lösningar till vårt problem. Uppenbarligen måste vi kräva att x 0 och y 0. Vi får att x n 0 3 n y n 0 3 n n n 344 Tydligen finns det två värden på n som duger, 343 och 344. Vårt problem har alltså två lösningar: 5 barn, 53 vuxna respektive 40 barn, 24 vuxna. 4 Aritmetikens fundamentalsats LEMMA 4. Antag att p är ett primtal och att p ab. Då gäller att p a eller p b. Anmärkning. Utan förutsättningen att p är primtal är satsen inte sann. Exempelvis gäller att men 6 3, 6 4. BEVIS. Om p a är p a 1, eftersom p är primtal. Då följer av lemma?? ovan att p b. Motsvarande sats då p delar en produkt av fler än 2 faktorer kan naturligtvis bevisas med induktion. Vi använder detta i beviset nedan. SATS 8. (ARITMETIKENS FUNDAMENTALSATS) Varje heltal n 1 kan på ett entydigt sätt (så när som på ordningsföljden) skrivas som en produkt av primtal. BEVIS. Existensen av en primfaktorisering är redan visad (lemma??). Entydigheten: Antag att något heltal n kan framställas på två sätt: (5) p 1 p 2 p r q 1 q 2 q s där p 1 4 p r q 1 q s primtal och där vi kan anta att r s. Betrakta primtalet p 1. Det delar vänsterledet och därmed högerledet. Av lemma?? följer att p 1 q j för något j Efter en omnumrering av talen q i kan vi anta att p 1 q 1, vilket eftersom även q 1 är primtal medför att p 1 q 1.

9 4. ARITMETIKENS FUNDAMENTALSATS 9 Efter division med p 1 q 1 får vi av (??) att p 2 p r q 2 q s Vi kan nu fortsätta på samma sätt: eftersom talet p 2 delar vänsterledet delar det högerledet, och därmed något av talen q j enligt lemma??. Efter en ny omnumrering får vi p 2 q 2, och därmed att p 2 q 2. När vi har upprepat detta förfarande tillräckligt många gånger har vi om r s situationen 1 q r5 1 q s Men q i 2 för alla i så att detta innebär en motsägelse. Därför leds vi till slutsatsen att s r och att p i q i i r Beviset är klart. Exempel 7. Antag att talet n har primfaktoriseringen n p e 1 1 pe 2 2 pe r r Betrakta ett annat tal m med primfaktoriseringen r i7 1 p e i i m p f 1 1 p f 2 2 p f r r Alla primtalen p i förutsättes vara olika. Exponenterna e i och f i är icke-negativa heltal, och möjligheten att till exempel f k 0 finns och innebär bara att primtalet p k inte förekommer i faktoriseringen. Det är en konsekvens av aritmetikens fundamentalsats att m n om och endast om alla primfaktorer i m också förekommer i n, och med minst samma multiplicitet, alltså att (6) f i e i för alla i Vi kan nu svara på den kombinatoriska frågan: hur många positiva heltal finns det som delar n? Diskussionen ovan visar att detta är antalet sätt att välja icke-negativa tal f i som satisfierar (??). Enligt multiplikationsprincipen är detta antal e 1 1 e 2 28 e r 1 Exempel 8. Betrakta talen och Deras största gemensamma delare är Läsaren uppmanas att själv formulera den allmänna regeln.

10 10 5 Minsta gemensam multipel Analogt med den största gemensamma delaren definierar man den minsta gemensamma multipeln till två tal. DEFINITION 4. Låt a och b vara heltal, inget av dem noll. Det positiva talet m kallas den minsta gemensamma multipeln till a och b om 1 a m och b m, 2 a c och b c m c. Vi betecknar den minsta gemensamma multipeln till a och b med 9 a b:. 4 Exempel 9. Talen och i exempel?? har den minsta gemensamma multipeln : SATS 9. För den största gemensamma delaren och den minsta gemensamma multipeln till två tal a och b gäller a b;9 a b: ab Beviset överlåtes åt läsaren med ledning av exempel?? och??. 4 Grimaldi, 3:e och 4:e upplagan, använder beteckningen lcm! a" b#%$