A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F"

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla sig till studiet av dessa brukar benämnas (matematisk) logik. Avsnitt 1.3 till 1.6 i [Vre06] handlar om utsagor och om olika sätt att kombinera sådana till nya utsagor. Utsagor Vid redovisning av matematiska tankegångar behöver man ett språk, det byggs upp av utsagor: En utsaga är en fullständig mening, ett påstående, som har ett sanningsvärde. Exempel 1.1. Vad är klockan? är inte någon utsaga, eftersom sanningsvärde saknas. En utsaga kan vara sann, falsk, eller öppen. En öppen utsaga är sann ibland, vilket kan illustreras med utsagan x + y = z som är sann exempelvis om x = y = z = 0, men falsk om x = 1, y = z = 2. Konjunktion och disjunktion Konjunktion är ett sätt att kombinera två utsagor till en ny utsaga. Samma sak med disjunktion. Konjunktionen av två utsagor A och B betecknas A B och utläses A och B. Disjunktionen betecknas A B och utläses A eller B. För att definiera de två utsagorna A B, och A B kan man använda sanningsvärdestabeller, som på s. 33 i [Vre06]. A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F I tabellen, betecknas sann med S och falsk med F, och på rad tre, kan vi till exempel läsa att om A är en falsk utsaga och B är en sann utsaga, så är A B en falsk utsaga medan A B är en sann utsaga. Negation och motsats; kvantorer Motsatsen till en utsaga A betecknas A, och det är en utsaga som är falsk då A är sann och sann då A är falsk. Uttrycken för varje och det existerar en/ett förekommer ofta i utsagor av matematisk natur, och istället för att skriva ut dessa uttryck igen och igen har man infört symbolerna respektive för dem. Ett bra sätt att komma ihåg vilken som är vilken, är att och påminner om de första bokstäverna i de engelska orden all respektive exists.

2 Implikation och ekvivalens Om en utsaga B följer av en annan utsaga A, säger vi att A implicerar B. Det betecknas A B, och sanningsvärdestabellen som används för att definiera utsagan A B finns på sid. 37 i [Vre06]. Exempel 1.2. a) (x = 2 y = 3) x + y = 5. b) Låt A vara utsagan: (Alla litteraturvetare är läskunniga) (Horace Engdahl är en litteraturvetare). Låt B vara utsagan: (Horace Engdahl är läskunnig). Då gäller det uppenbarligen att A B. Utsagan A B anses alltid vara sann ifall A är falsk oavsett sanningsvärdet på utsagan B. Detta kan tyckas märkligt vid första anblicken, men det har visat sig lämpligt, och bereder inte några svårigheter i praktiken. Exempel 1.3. Pelle ska ut och handla och säger till sin fru: Om äpplena kostar högst 5 kr styck så köper jag äpplen. Det Pelle säger är implikationen A B, av de två utsagorna A: Äpplena kostar högst 5 kr styck och B: Jag köper äpplen. Säg nu att äpplena kostar 7 kr styck, så att utsaga A är falsk. Då köper Pelle inte några äpplen, så att även utsaga B är falsk. Nu är frågan: Har Pelle ljugit eller talat sanning när han kommer hem utan äpplen? Alltså: Är utsagan A B falsk eller sann? Visst verkar det ganska naturligt att säga att Pelle har talat sanning? Detta förklarar varför utsagan A B betraktas som en sann utsaga ifall A är falsk. Enda gången som vi skulle säga att Pelle faktiskt har ljugit, är ju ifall A är sann, men B är falsk, och det är också den enda situationen då utsagan A B är falsk. Utsagan A B kan även skrivas B A, och utsagan (A B) (A B) brukar vanligtvis skrivas A B. Den senare utläses A är ekvivalent med B. Utsagan A B är ekvivalent med utsagan B A dessa två är alltså utbytbara mot varandra, och det kommer vi att ha nytta av många gånger under kursens gång. Man kan visa, till exempel genom att rita en sanningsvärdestabell, att utsagan (A B) är ekvivalent med utsagan A ( B). Lägg också märke till att utsagorna ( A) och A är ekvivalenta med varandra. Detta används i motsägelsebevis som kommer nästa vecka. Antag att vi vill bevisa en utsaga A. Den logiska strukturen för ett motsägelsebevis, är att man visar utsagan A F, där F är en falsk utsaga (en motsägelse). Men den enda möjligheten för utsagan A F att vara sann, där F är en falsk utsaga, är att A är falsk. Alltså gäller ( A), det vill säga A. Som sagt, vi återkommer till detta under nästa vecka. I [Vre06, 1.7] används begreppen implikation och ekvivalens vid ekvationslösning. Ekvationslösning När man redovisar sin lösning av en ekvation, är det viktigt att man inte slarvar med logiken, och använder begreppen vi infört hittills på ett felaktigt sätt. Man ska bara skriva ett likhetstecken när det verkligen handlar om likhet, implikationspil när det handlar om implikation, ekvivalenspil ( ) när det handlar om två ekvivalenta utsagor, och så vidare. När man gör en algebraisk operation är det alltid bra att fråga sig om den är reversibel, dvs. om den går att göra baklänges. Ekvationen 2x + 4 = x är ekvivalent med ekvationen x + 4 = 0, eftersom addition med ( x) kan omintetgöras genom addition med x. Vi kan alltså fritt gå fram och tillbaka mellan de två ekvationerna, de är ekvivalenta: 2x + 4 = x x + 4 = 0.

3 Däremot är ekvationerna x = 6 x och x 2 = 6 x inte ekvivalenta. Förvisso medför den första ekvationen den andra, eftersom om två tal är lika så kommer även deras kvadrater att vara lika. Däremot visar exemplet 3 2 = ( 3) 2 att kvadraten av två tal kan vara lika utan att talen själva är lika. Kvadrering är alltså inte en reversibel operation. Vi kan inte dra roten ur för att omintetgöra den. Den rätta implikationspilen i det här fallet är alltså: x = 6 x x 2 = 6 x. En relativt vanlig felkälla vid ekvationslösning är att man förkortar alltför vårdslöst, helt utan att bekymra sig för nolldivision. Vad är anledningen att följande två ekvationer inte är ekvivalenta? (x + 2)(x + 1) = 2x(x + 1) och x + 2 = 2x. Medför någon av dem den andra? I [Vre06, 1.8] handlar det om mängdlära. Mängder En mängd är en samling av objekt. Dessa objekt kallas för mängdens element. Låt M vara en mängd, och x ett element i M. Det skrivs x M, och utläses x är ett element i M. En mängd bestäms entydigt av sina element, det vill säga två mängder A och B är lika, A = B, om och endast om följande utsaga är sann: x A x B. Mängder kan beskrivas på olika sätt, till exempel genom uppräkning av dess element. Så är till exempel M = {1, 2, 3, 4, 5} mängden av alla heltal mellan ett och fem. En del mängder är så vanliga att de har fått egna symboler, till exempel mängden av naturliga tal N, mängden av heltal Z, mängden av rationella tal Q, och mängden av reella tal R. Ett annat sätt att ange mängden M ovan, skulle vara att beskriva den som alla heltal som ligger mellan ett och fem: M = {x N 1 x 5}. Man anger alltså en delmängd av den kända mängden N genom att välja ut alla element som uppfyller en viss utvald egenskap som man specifiserar (egenskapen är 1 x 5 i det här fallet). En mängd A kallas för en delmängd till en annan mängd B, det skrivs A B, ifall följande utsaga är sann: x A x B. Under tiden man lär sig mängdlära kan det vara till nytta att föreställa sig en mängd som en bärkasse (till exempel en sådan som man kan få i mataffären att ta hem sina varor i) där man kan stoppa i olika objekt (element). En bärkasse kan försås vara tom, om man inte har lagt något i den, och på samma sätt kan en mängd vara tom: Den tomma mängden är {}, och även den har fått en egen symbol:. Precis som man kan lägga en bärkasse i en annan bärkasse, kan en mängd vara ett element i en annan mängd: Exempel 1.4. Betrakta mängden A = {1, 2, {34, {41}}, {}, {11, 3, 7}}. Dess element är 1, 2, {34, {41}}, {} och {11, 3, 7}, fem stycken till antalet. De första två elementen är enkla att förstå. Det tredje elementet kan vi tänka på så här: vi tar en påse och lägger 41 i den. Sedan lägger vi hela påsen i en annan påse där 34 ligger. Det fjärde elementet är den tomma mängden (man kan lägga en tom påse i en annan påse, och en tom mängd kan

4 vara ett element i en annan mängd). Det sista elementet i B är en mängd (påse) som innehåller 11, 3, och 7. Om vi låter B = {2, {11, 3, 7}} så gäller det att B A, eftersom alla element i B också finns i A. Den tomma mängden är en delmängd till varje mängd, och det kan verifieras med hjälp av definitionen för delmängd som angavs ovan på följande vis: Låt A vara en mängd. Per definition gäller det att A om och endast om följande utsaga är sann: x x A. Utsagan x är uppenbarligen falsk just eftersom inte innehåller några element, och därmed är implikationen x x A sann! Motsatsen vore ju att det finns ett element x sådant att (x ) (x / A), vilket uppenbarligen är falskt den tomma mängden innehåller ju inte något element överhuvudtaget! Det är viktigt att notera skillnaden i hur symbolerna och används. Den första används för att beskriva att ett visst element tillhör en viss mängd. Den andra används för att beskriva att en viss mängd är en delmängd av en viss mängd. Helt olika saker alltså! Mängdoperationer Hittills har vi sett att vi kan göra operationer (konjunktion, disjunktion, negation, implikation) på utsagor för att erhålla nya utsagor. På liknande sätt finns det vissa mängdoperationer som kan utföras på mängder och som resulterar i nya mängder. Givet två mängder A och B skriver vi A B, för A:s skärning med B (eller snittet av A och B), A B för unionen av A och B, och A \ B, för mängddifferensen mellan A och B. Dessa definieras av följande egenskaper: x A B (x A) (x B) x A B (x A) (x B) x A \ B (x A) (x / B). Två mängder A och B kallas för disjunkta ifall A B =, alltså om de inte har några gemensamma element. Alla dessa begrepp illustreras väl av så kallade Venn-diagram, se [Vre06, sid 48]. Om X är en mängd, och A X, så kan man prata om A:s komplement i mängden X. Det betecknas med A c, och består av alla element i X som inte ligger i A. Med andra ord: A och A c är disjunkta mängder, och A A c = X. Talteori Introduktion Kapitel 2 i [Vre06] handlar om talteori, alltså teorin för heltal. Ett grundläggande begrepp inom talteorin är delbarhet, och det definieras som följer. Låt a och b vara heltal. Vi skriver b a (det utläses b delar a eller b är en delare i a ) om det finns ett heltal c sådant att a = bc. Exempel 1.5. (a) (b) ( 5) 75. (c) För varje heltal b gäller att b 0.

5 Alla heltal a har ±1 och ±a som delare, och dessa fyra kallas för triviala delare. Ibland kan det finnas fler delare än de triviala, till exempel har talet 6 följande delare: ±1, ±2, ±3, ±6 (±2 och ±3 kallas för icke-triviala delare eftersom de inte är triviala). Förkortningen SGD utläses största gemensamma delare, och det betyder precis vad man tror att det betyder 1. Exempel 1.6. Ett sätt att beräkna SGD(12, 30) är att skriva upp samtliga delare till 12 respektive 30. Delarna till 12 är ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 och delarna till 30 är ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30. Den största gemensamma delaren till 12 och 30 är uppenbarligen 6, och då skriver vi SGD(12,30)=6. Ett mycket effektivare sätt att beräkna SGD(m, n) för två heltal m och n är att använda Euklides algoritm. Ett heltal a 2 som inte har några icke-triviala delare kallas för ett primtal. Ett av våra huvudsakliga mål i talteoridelen är att bevisa följande (välkända) resultat. Sats 1.7 (Aritmetikens fundamentalsats). Varje heltal som är större än eller lika med 2 kan skrivas som en produkt av primtal, och så när som på omordning av faktorerna är en sådan faktorisering entydig. Exempel 1.8. Talet 12 kan faktoriseras i primtal på följande vis: 12 = = = Dessa tre faktoriseringar är lika så när som på omordning av faktorerna. Antalet primfaktorer i 12 är således tre: 2, 2, och 3. Skrivsättet skulle kunna uppfattas som en produkt av två faktorer (2 2 och 3), men i själva verket är det bara ett annat skrivsätt för så antalet faktorer är fortfarande tre. För att kunna utföra en primtalsfaktorisering i praktiken är det bra att veta några enkla delbarhetsregler. Följande sats bevisas enkelt med hjälp av kongruensräkning vi kommer att se det under vecka 19. Sats 1.9. Låt n vara ett positivt heltal a) 2 n n slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8. b) 3 n n:s siffersumma 2 är delbar med 3. c) 4 n de två sista siffrorna i n utgör ett tal som är delbart med 4. d) 5 n n slutar på 0 eller 5. e) 6 n n är delbart med både 2 och 3. f) 8 n n de tre sista siffrorna i n utgör ett tal som är delbart med 8. g) 9 n n:s siffersumman är delbar med 9. 1 Om minst ett av talen a och b är nollskilt, är SGD(a, b) lika med det största heltalet som är en delare i både a och b. Däremot om a = b = 0, så blir definitionen problematisk eftersom det finns oändligt många gemensamma delare till a och b (varje heltal är ju en delare i noll). Alltså finns det inte någon största bland dem. Vi definierar det speciella fallet separat, så att SGD(0, 0) = 0 per definition. 2 Siffersumman är det tal som man får om man adderar alla siffror i n med varandra.

6 h) 10 n n är delbart med både 2 och 5. i) 11 n n:s alternerande siffersumman 3 är delbar med 11. Exempel Den alternerande siffersumman av är =4, och eftersom 4 inte är delbart med 11 så är inte heller det. Två tal a och b kallas för relativt prima om SGD(a, b) = 1. Exempel: 4 och 15 är relativt prima (fast inget av dem är ett primtal). Lägg märke till delbarhetsregeln för 6: den fungerar bara på grund av att 2 och 3 är relativt prima. Samma sak med regeln för division med 10, den fungerar bara på grund av att 2 och 5 är relativt prima. Exempel Hur kan det komma sig att att 36 inte är delbart med 4 6 = 24 trots att 36 är delbart med både 4 och 6? (Svar: det beror på att SGD(4, 6) 1). Delbarhet Vi säger alltså att ett heltal a är delbart med ett heltal b om det finns ett heltal c sådant att a = bc. Det viktigaste med definitionen för delbarhet är att formalisera det begreppet, trots att de flesta troligen redan har en känsla för vad det betyder att ett heltal är delbart med ett annat. Definitionen ska man kunna utantill (och inte bara veta på ett ungefär vad den innebär) anledningen är att det behövs om man vill bevisa någon sats som har med delbarhet att göra. Den första satsen som vi bevisar är en bra övning i logik och bevisföring det är det som är själva svårigheten med satsen. Lägg gärna bort kursboken och försök att bevisa följande sats på egen hand! Sats Låt a, b, c, x och y vara heltal. a) a b a c a (b + c). b) a b a bc. c) a b a c a (xb + yc). d) a b a c a (b + c). Ett annat resultat om delbarhet som man ofta får nytta av är följande: Följdsats Låt x, y och z vara heltal sådana att x + y = z, och n ett heltal som delar två av de tre. Då delar n även det tredje. Bevis. Antag att n x och n y. Då är n en delare i x + y, enligt sats 1.12, alltså i z (som ju är lika med x + y). Om istället n x och n z, så följer det av samma sats att n (z x), alltså att n y. Om vi till sist antar att n y och n z, så följer det att n (z y), alltså att n x. 3 Den alternerande siffersumman beräknar man genom att addera siffrorna i n med varandra, men med minustecken före varannan siffra. Det ska vara + på entalssiffran, - på tiotalssiffran, + på 100-talssiffran osv.

7 Divisionsalgoritmen Divisionsalgoritmen är ett recept som givet två heltal a och b med a 0 och b > 0 producerar två tal q och r sådana att a = bq + r, och 0 r < b. Man kan föreställa sig att a är ett antal äpplen och att b är ett antal personer som ska dela på de a äpplena. För att ta reda på hur många äpplen var och en får, dividerar man a med b med kvot och rest, till exempel med liggande stolen. Talen q och r är då kvoten respektive resten. Observera kravet på resten, att den ska vara ett icke-negativt tal och att den ska vara strikt mindre än b (antalet personer). Genom att studera följande exempel kan man inse att detta villkor på resten alltid kan uppfyllas. Exempel Säg att vi vill stoppa in talen a = 17 och b = 3 i divisionsalgoritmen. Det skulle alltså motsvara att vi har 17 äpplen och 3 personer. Om vi delar ut 4 äpplen till var och en av de tre personerna så blir det = 5 äpplen över. Detta motsvarar q = 4 och r = 5. Observera att dessa val av q och r gör att a = bq + r. Men, villkoret 0 r < b är inte uppfyllt! Det beror på att när personerna har fått 4 äpplen vardera så återstår det 5 stycken, dvs. det återstår fler äpplen en antalet personer. Alltså kan man ge alla personer ytterligare ett äpple. Det ökar kvoten q med ett, och det minskar resten r med 3 (antalet personer). Nu blir r = 2, och det går inte att dela ut fler äpplen. Slutsats: om vi sätter in talen a = 17 och b = 3 i divisionsalgoritmen så får vi ut talen q = 5 och r = 2. Lägg märke till att a = bq + r och att 0 r < b. Denna rest, alltså den minsta möjliga som är icke-negativ, kallas för den principala resten vid divisionsion av a med b. Kontrollera att du vet hur man utför en heltalsdivision med kvot och rest liggande stolen är ett bra sätt. Vad blir kvoten och resten då divideras med 41? (Svar: q = 250 och r = 39). Divisionsalgoritmen fungerar även för icke-positiva heltal a: även om a 0 så finns det entydigt bestämda heltal q och r sådana att a = bq + r med 0 r < b. Euklides algoritm Euklides algoritm är en algoritm där man upprepar divisionsalgoritmen flera gånger, och den används för att beräkna den största gemensamma delaren till två tal a och b. Först dividerar man a med b med kvot och rest. Därefter divideras b med resten. Därefter divideras den första resten med den andra resten. Den andra resten med den tredje resten. Den tredje resten med den fjärde och så vidare tills en division går jämnt upp och resten därmed blir noll. Den sista nollskilda resten är lika med SGD(a, b). Exempel Vi utför Euklides algoritm på talen a = 315 och b = = = = = = Som synes blev de successiva resterna 35, 21, 14, 7 respektive 0. Den sista nollskilda resten blev 7, och därför gäller det att SGD(315, 56) = 7.

8 Exempel Om vi väljer a = 114 och b = 96 så får vi. 114 = = = De successiva resterna blev 18, 6 och 0, så SGD(114, 96) = 6. Man kan även beräkna största gemensamma delare med hjälp av primtalsfaktorisering (det bygger på aritmetikens fundamentalsats) genom att primfaktorisera de fyra tal som ingick i exemplen ovan, och helt enkelt se efter vad den största gemensamma delaren är. 315 = = = = Det syns tydligt att Euklides algoritm gav rätt resultat i båda exemplen. Förutom att bestämma den största gemensamma delaren till två tal, ger Euklides algoritm ytterligare lite information vi återkommer till den, och dess uppnystning nästa vecka. Det används även till att lösa Diofantiska ekvationer, som vi ska göra vecka 19. Referenser [Vre06] A. Vretblad och K. Ekstig. Algebra och geometri. Gleerup, 2006.

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I, 5 hp Sammanfattning av föreläsning 9. Kongruenser Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att

Läs mer

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2. Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar

Läs mer

Kapitel 2: De hela talen

Kapitel 2: De hela talen Kapitel 2: De hela talen Divisionsalgoritmen ( a a Z, d Z\{0} q, r Z : d = q + r ) d, 0 r d c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad där q kallas kvoten och r kallas principala resten vid heltalsdivision.

Läs mer

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Föreläsning 3 Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Mängder Induktion behöver inte börja från 1, Grundsteget kan vara P (n 0 ) för vilket heltal n 0 som

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden

Läs mer

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

KTHs Matematiska Cirkel. Talteori. Andreas Enblom Alan Sola

KTHs Matematiska Cirkel. Talteori. Andreas Enblom Alan Sola KTHs Matematiska Cirkel Talteori Andreas Enblom Alan Sola Institutionen för matematik, 2008 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 0 Mängdlära 1 0.1 Mängder...............................

Läs mer

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012)

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) T4.4-T4.7, 4.3, 4.7,T4.13-T4.14 S: Jag har svårt för visa-uppgifter. i kapitel 4 Talteori. Kan du

Läs mer

Grupper och RSA-kryptering

Grupper och RSA-kryptering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar

Läs mer

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Tal Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper: Naturliga tal, N De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N =

Läs mer

PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER

PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER Explorativ övning 4 PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. De viktigaste begreppen är Aritmetikens fundamentalsats

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Logik och kontrollstrukturer

Logik och kontrollstrukturer Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Diskret matematik: Övningstentamen 4 Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter

Läs mer

Diskret matematik. Gunnar Bergström

Diskret matematik. Gunnar Bergström Diskret matematik Gunnar Bergström 20 september 2005 ii INNEHÅLL iii Innehåll 1 Logik och mängdlära 1 1.1 Satslogik........................... 1 1.1.1 Utsagor....................... 1 1.1.2 Konnektiv......................

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 1. Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att 31n + 13 är delbart

Läs mer

LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER

LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILL MMA121 MATEMATISK GRUNDKURS VÅRTERMINEN 2014 ERIK DARPÖ 1. Utsagor, implikation och ekvivalens En utsaga är en påstående, formulerat med

Läs mer

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p. HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som

Läs mer

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1 1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a +

Läs mer

TALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL

TALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL Explorativ övning 3 TALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL Syftet med detta avsnitt är att titta närmare på positionssystemet och på heltalens multiplikativa struktur. De viktigaste begreppen är presentation

Läs mer

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta 1 Talteori DELKAPITEL 1.1 Kongruensräkning 1. Talföljder och induktionsbevis FÖRKUNSKAPER Faktorisering av tal Algebraiska förenklingar Formler Direkta och indirekta bevis CENTRALT INNEHÅLL Begreppet kongruens

Läs mer

När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel.

När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel. Logik och bevis II 3. föring Detta avsnitt handlar om olika metoder för att bevisa påståenden, och hur man kan konstruera ett bevis. I varje avsnitt finns en allmän beskrivning av metoden, varför den fungerar

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Mängder och kardinalitet

Mängder och kardinalitet UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen

Läs mer

1. MYSTERIER BLAND HELTALEN.

1. MYSTERIER BLAND HELTALEN. 1. MYSTERIER BLAND HELTALEN. Inledning. Om jämna tal och udda tal, delare, kvot och rest. Ett av kursens viktigaste syften är att ge träning i konsten att läsa matematik. Det är nödvändigt att lära sig

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas: FTEA12:2 Föreläsning 2 Grundläggande argumentationsanalys II Repetition: Vid förra tillfället började vi se närmre på vad som utmärker filosofisk argumentationsanalys. Vi tittade närmre på ett arguments

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element

Läs mer

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går

Läs mer

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Diskret matematik: Övningstentamen 1 Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som

Läs mer

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1. UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1

Läs mer

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets

Läs mer

NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1

NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1 Kapitel 1 NÅGOT OM KRYPTERING Behovet av att skydda information har funnits mycket länge, men först i samband med utvecklingen av datatekniken har det blivit ett allmänt problem för alla moderna samhällen.

Läs mer

1 Föreläsning Implikationer, om och endast om

1 Föreläsning Implikationer, om och endast om 1 Föreläsning 1 Temat för dagen, och för dessa anteckningar, är att introducera lite matematisk terminologi och notation, vissa grundkoncept som kommer att vara genomgående i kursen. I grundskolan presenteras

Läs mer

Lite om bevis i matematiken

Lite om bevis i matematiken Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis

Läs mer

1 Suddig logik och gitter

1 Suddig logik och gitter UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Palmgren Kompletterande material Algebra DV2 ht-2000 1 Suddig logik och gitter Suddig logik (engelska: fuzzy logic) är en utvidgning av vanlig boolesk

Läs mer

Anteckningar i. Inledande Matematik

Anteckningar i. Inledande Matematik Anteckningar i Inledande Matematik Anders Logg Chalmers tekniska högskola (Utkast, version 3 oktober 2016) Copyright 2016 Anders Logg Förord och läsanvisningar Dessa anteckningar är avsedda att användas

Läs mer

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 Diskret matematik handlar om diskreta strukturer. I denna lektion kommer vi att behandla den mest elementära diskreta strukturen, som alla andra diskreta strukturer bygger på: mängden.

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski och Jan Stevens

TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski och Jan Stevens TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER Juliusz Brzezinski och Jan Stevens MATEMATIK CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2001 FÖRORD Termen Diskret matematik täcker ett mycket brett spektrum

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012 Sommarmatte Matematiska Vetenskaper 1 mars 01 Innehåll 1 Aritmetik och algebra 5 1.1 Räkning med naturliga tal och heltal.................. 5 1.1.1 Naturliga tal.......................... 5 1.1. Negativa

Läs mer

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare, lock till miniräknare

Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare, lock till miniräknare Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Introduktion till och matematisk statistik diskret matematik Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare,

Läs mer

Likhetstecknets innebörd

Likhetstecknets innebörd Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner (2012) översatta och bearbetade text bygger på boken: Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking

Läs mer

Logik: sanning, konsekvens, bevis

Logik: sanning, konsekvens, bevis Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

ALGEBRAISKA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski

ALGEBRAISKA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski ALGEBRAISKA STRUKTURER Juliusz Brzezinski MATEMATISKA VETENSKAPER CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2005 FÖRORD Detta kompendium täcker innehållet i kursen Algebraiska strukturer,

Läs mer

Den matematiska analysens grunder

Den matematiska analysens grunder KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande

Läs mer

Primtalen och aritmetikens fundamentalsats

Primtalen och aritmetikens fundamentalsats Primtalen och aritmetikens fundamentalsats Tomas Malm Bokförlaget Bärarna c 2015 Tomas Malm & Bokförlaget Bärarna Version av texten: 15 november 2016 Redigering/bearbetning av text & bild: Tomas Malm Detta

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper

Läs mer

Likhetstecknets innebörd

Likhetstecknets innebörd Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner översatta och bearbetade text bygger på boken: arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann Elever i åk 1 6 fick följande uppgift:

Läs mer

.I Minkowskis gitterpunktssats

.I Minkowskis gitterpunktssats 1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Högstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag

Högstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag Högstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Låt oss först titta på den sista siffran i 2 0 1 7. Ett tal som är delbart med 2 och 5 är då också

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

En introduktion till logik

En introduktion till logik rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda och bearbeta dessa ljusbilder. Vad är logik? Slogan: Logik undersöker vilka argument

Läs mer

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen

Läs mer

RSA-kryptografi för gymnasiet. Jonas Gustafsson & Isac Olofsson

RSA-kryptografi för gymnasiet. Jonas Gustafsson & Isac Olofsson RSA-kryptografi för gymnasiet Jonas Gustafsson & Isac Olofsson HT 2010 Innehåll 1 Grundläggande beräkningsmetoder och begrepp 5 1.1 Mängder.............................. 5 1.2 Kvot och rest...........................

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori

Läs mer

Algoritmer i Treviso-aritmetiken.

Algoritmer i Treviso-aritmetiken. Algoritmer i Treviso-aritmetiken. Staffan Rodhe 7 november 2006 1 Larte de labbacho I Västerlandet trycktes de första böckerna i mitten på 1400-talet. Matematiska texter kunde nog anses vara besvärligare

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

KOMBINATORIK. Exempel 1. Motivera att det bland 11 naturliga tal finns minst två som slutar på samma

KOMBINATORIK. Exempel 1. Motivera att det bland 11 naturliga tal finns minst två som slutar på samma Explorativ övning 14 KOMBINATORIK Kombinatoriken används ofta för att räkna ut antalet möjligheter i situationer som leder till många olika utfall. Den används också för att visa att ett önskat utfall

Läs mer

Matematikhistoria 2.0. Med talteori. Johan Wild

Matematikhistoria 2.0. Med talteori. Johan Wild Matematikhistoria 2.0 Med talteori Johan Wild 12 januari 2011 c Johan Wild 2009 johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 12 januari 2011 Innehåll 1

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla

Läs mer

DELBARHET OCH PRIMTAL. Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen.

DELBARHET OCH PRIMTAL. Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. Explorativ övning 3 DELBARHET OCH PRIMTAL Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. De viktigaste begreppen är delbarhet och divisionsalgoritmen största gemensamma

Läs mer

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Mängder Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Operationer på mängder: Union och snitt Differens och komplement

Läs mer

formler Centralt innehåll

formler Centralt innehåll Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 21 oktober 2008, kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden.

Läs mer

Elementär logik och mängdlära

Elementär logik och mängdlära Elementär logik och mängdlära Mängd En mängd är en ihopsamling av noll eller flera saker, där ordningen mellan de ihopsamlade sakerna är oväsentlig. Sakerna kallas för mängdens element. EXEMPEL {1, 2,

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 4 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet

Läs mer

Pythagoreiska trianglar

Pythagoreiska trianglar 173 Pythagoreiska trianglar Sten Kaijser Uppsala Universitet Kort beskrivning av specialarbetet. Pythagoreiska trianglar har varit kända i minst 4000 år och kanske ännu längre. De utgör därmed ett av de

Läs mer

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element

Läs mer

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet Svar och lösningar 1: D 200 9 Ett tal är jämnt om entalssiffran är jämn. Det enda talet som uppfyller det villkoret är 200 9 = 1800 2: C 18 cm Stjärnans yttre består av 12 lika långa sidor med sammanlagd

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer