A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla sig till studiet av dessa brukar benämnas (matematisk) logik. Avsnitt 1.3 till 1.6 i [Vre06] handlar om utsagor och om olika sätt att kombinera sådana till nya utsagor. Utsagor Vid redovisning av matematiska tankegångar behöver man ett språk, det byggs upp av utsagor: En utsaga är en fullständig mening, ett påstående, som har ett sanningsvärde. Exempel 1.1. Vad är klockan? är inte någon utsaga, eftersom sanningsvärde saknas. En utsaga kan vara sann, falsk, eller öppen. En öppen utsaga är sann ibland, vilket kan illustreras med utsagan x + y = z som är sann exempelvis om x = y = z = 0, men falsk om x = 1, y = z = 2. Konjunktion och disjunktion Konjunktion är ett sätt att kombinera två utsagor till en ny utsaga. Samma sak med disjunktion. Konjunktionen av två utsagor A och B betecknas A B och utläses A och B. Disjunktionen betecknas A B och utläses A eller B. För att definiera de två utsagorna A B, och A B kan man använda sanningsvärdestabeller, som på s. 33 i [Vre06]. A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F I tabellen, betecknas sann med S och falsk med F, och på rad tre, kan vi till exempel läsa att om A är en falsk utsaga och B är en sann utsaga, så är A B en falsk utsaga medan A B är en sann utsaga. Negation och motsats; kvantorer Motsatsen till en utsaga A betecknas A, och det är en utsaga som är falsk då A är sann och sann då A är falsk. Uttrycken för varje och det existerar en/ett förekommer ofta i utsagor av matematisk natur, och istället för att skriva ut dessa uttryck igen och igen har man infört symbolerna respektive för dem. Ett bra sätt att komma ihåg vilken som är vilken, är att och påminner om de första bokstäverna i de engelska orden all respektive exists.

2 Implikation och ekvivalens Om en utsaga B följer av en annan utsaga A, säger vi att A implicerar B. Det betecknas A B, och sanningsvärdestabellen som används för att definiera utsagan A B finns på sid. 37 i [Vre06]. Exempel 1.2. a) (x = 2 y = 3) x + y = 5. b) Låt A vara utsagan: (Alla litteraturvetare är läskunniga) (Horace Engdahl är en litteraturvetare). Låt B vara utsagan: (Horace Engdahl är läskunnig). Då gäller det uppenbarligen att A B. Utsagan A B anses alltid vara sann ifall A är falsk oavsett sanningsvärdet på utsagan B. Detta kan tyckas märkligt vid första anblicken, men det har visat sig lämpligt, och bereder inte några svårigheter i praktiken. Exempel 1.3. Pelle ska ut och handla och säger till sin fru: Om äpplena kostar högst 5 kr styck så köper jag äpplen. Det Pelle säger är implikationen A B, av de två utsagorna A: Äpplena kostar högst 5 kr styck och B: Jag köper äpplen. Säg nu att äpplena kostar 7 kr styck, så att utsaga A är falsk. Då köper Pelle inte några äpplen, så att även utsaga B är falsk. Nu är frågan: Har Pelle ljugit eller talat sanning när han kommer hem utan äpplen? Alltså: Är utsagan A B falsk eller sann? Visst verkar det ganska naturligt att säga att Pelle har talat sanning? Detta förklarar varför utsagan A B betraktas som en sann utsaga ifall A är falsk. Enda gången som vi skulle säga att Pelle faktiskt har ljugit, är ju ifall A är sann, men B är falsk, och det är också den enda situationen då utsagan A B är falsk. Utsagan A B kan även skrivas B A, och utsagan (A B) (A B) brukar vanligtvis skrivas A B. Den senare utläses A är ekvivalent med B. Utsagan A B är ekvivalent med utsagan B A dessa två är alltså utbytbara mot varandra, och det kommer vi att ha nytta av många gånger under kursens gång. Man kan visa, till exempel genom att rita en sanningsvärdestabell, att utsagan (A B) är ekvivalent med utsagan A ( B). Lägg också märke till att utsagorna ( A) och A är ekvivalenta med varandra. Detta används i motsägelsebevis som kommer nästa vecka. Antag att vi vill bevisa en utsaga A. Den logiska strukturen för ett motsägelsebevis, är att man visar utsagan A F, där F är en falsk utsaga (en motsägelse). Men den enda möjligheten för utsagan A F att vara sann, där F är en falsk utsaga, är att A är falsk. Alltså gäller ( A), det vill säga A. Som sagt, vi återkommer till detta under nästa vecka. I [Vre06, 1.7] används begreppen implikation och ekvivalens vid ekvationslösning. Ekvationslösning När man redovisar sin lösning av en ekvation, är det viktigt att man inte slarvar med logiken, och använder begreppen vi infört hittills på ett felaktigt sätt. Man ska bara skriva ett likhetstecken när det verkligen handlar om likhet, implikationspil när det handlar om implikation, ekvivalenspil ( ) när det handlar om två ekvivalenta utsagor, och så vidare. När man gör en algebraisk operation är det alltid bra att fråga sig om den är reversibel, dvs. om den går att göra baklänges. Ekvationen 2x + 4 = x är ekvivalent med ekvationen x + 4 = 0, eftersom addition med ( x) kan omintetgöras genom addition med x. Vi kan alltså fritt gå fram och tillbaka mellan de två ekvationerna, de är ekvivalenta: 2x + 4 = x x + 4 = 0.

3 Däremot är ekvationerna x = 6 x och x 2 = 6 x inte ekvivalenta. Förvisso medför den första ekvationen den andra, eftersom om två tal är lika så kommer även deras kvadrater att vara lika. Däremot visar exemplet 3 2 = ( 3) 2 att kvadraten av två tal kan vara lika utan att talen själva är lika. Kvadrering är alltså inte en reversibel operation. Vi kan inte dra roten ur för att omintetgöra den. Den rätta implikationspilen i det här fallet är alltså: x = 6 x x 2 = 6 x. En relativt vanlig felkälla vid ekvationslösning är att man förkortar alltför vårdslöst, helt utan att bekymra sig för nolldivision. Vad är anledningen att följande två ekvationer inte är ekvivalenta? (x + 2)(x + 1) = 2x(x + 1) och x + 2 = 2x. Medför någon av dem den andra? I [Vre06, 1.8] handlar det om mängdlära. Mängder En mängd är en samling av objekt. Dessa objekt kallas för mängdens element. Låt M vara en mängd, och x ett element i M. Det skrivs x M, och utläses x är ett element i M. En mängd bestäms entydigt av sina element, det vill säga två mängder A och B är lika, A = B, om och endast om följande utsaga är sann: x A x B. Mängder kan beskrivas på olika sätt, till exempel genom uppräkning av dess element. Så är till exempel M = {1, 2, 3, 4, 5} mängden av alla heltal mellan ett och fem. En del mängder är så vanliga att de har fått egna symboler, till exempel mängden av naturliga tal N, mängden av heltal Z, mängden av rationella tal Q, och mängden av reella tal R. Ett annat sätt att ange mängden M ovan, skulle vara att beskriva den som alla heltal som ligger mellan ett och fem: M = {x N 1 x 5}. Man anger alltså en delmängd av den kända mängden N genom att välja ut alla element som uppfyller en viss utvald egenskap som man specifiserar (egenskapen är 1 x 5 i det här fallet). En mängd A kallas för en delmängd till en annan mängd B, det skrivs A B, ifall följande utsaga är sann: x A x B. Under tiden man lär sig mängdlära kan det vara till nytta att föreställa sig en mängd som en bärkasse (till exempel en sådan som man kan få i mataffären att ta hem sina varor i) där man kan stoppa i olika objekt (element). En bärkasse kan försås vara tom, om man inte har lagt något i den, och på samma sätt kan en mängd vara tom: Den tomma mängden är {}, och även den har fått en egen symbol:. Precis som man kan lägga en bärkasse i en annan bärkasse, kan en mängd vara ett element i en annan mängd: Exempel 1.4. Betrakta mängden A = {1, 2, {34, {41}}, {}, {11, 3, 7}}. Dess element är 1, 2, {34, {41}}, {} och {11, 3, 7}, fem stycken till antalet. De första två elementen är enkla att förstå. Det tredje elementet kan vi tänka på så här: vi tar en påse och lägger 41 i den. Sedan lägger vi hela påsen i en annan påse där 34 ligger. Det fjärde elementet är den tomma mängden (man kan lägga en tom påse i en annan påse, och en tom mängd kan

4 vara ett element i en annan mängd). Det sista elementet i B är en mängd (påse) som innehåller 11, 3, och 7. Om vi låter B = {2, {11, 3, 7}} så gäller det att B A, eftersom alla element i B också finns i A. Den tomma mängden är en delmängd till varje mängd, och det kan verifieras med hjälp av definitionen för delmängd som angavs ovan på följande vis: Låt A vara en mängd. Per definition gäller det att A om och endast om följande utsaga är sann: x x A. Utsagan x är uppenbarligen falsk just eftersom inte innehåller några element, och därmed är implikationen x x A sann! Motsatsen vore ju att det finns ett element x sådant att (x ) (x / A), vilket uppenbarligen är falskt den tomma mängden innehåller ju inte något element överhuvudtaget! Det är viktigt att notera skillnaden i hur symbolerna och används. Den första används för att beskriva att ett visst element tillhör en viss mängd. Den andra används för att beskriva att en viss mängd är en delmängd av en viss mängd. Helt olika saker alltså! Mängdoperationer Hittills har vi sett att vi kan göra operationer (konjunktion, disjunktion, negation, implikation) på utsagor för att erhålla nya utsagor. På liknande sätt finns det vissa mängdoperationer som kan utföras på mängder och som resulterar i nya mängder. Givet två mängder A och B skriver vi A B, för A:s skärning med B (eller snittet av A och B), A B för unionen av A och B, och A \ B, för mängddifferensen mellan A och B. Dessa definieras av följande egenskaper: x A B (x A) (x B) x A B (x A) (x B) x A \ B (x A) (x / B). Två mängder A och B kallas för disjunkta ifall A B =, alltså om de inte har några gemensamma element. Alla dessa begrepp illustreras väl av så kallade Venn-diagram, se [Vre06, sid 48]. Om X är en mängd, och A X, så kan man prata om A:s komplement i mängden X. Det betecknas med A c, och består av alla element i X som inte ligger i A. Med andra ord: A och A c är disjunkta mängder, och A A c = X. Talteori Introduktion Kapitel 2 i [Vre06] handlar om talteori, alltså teorin för heltal. Ett grundläggande begrepp inom talteorin är delbarhet, och det definieras som följer. Låt a och b vara heltal. Vi skriver b a (det utläses b delar a eller b är en delare i a ) om det finns ett heltal c sådant att a = bc. Exempel 1.5. (a) (b) ( 5) 75. (c) För varje heltal b gäller att b 0.

5 Alla heltal a har ±1 och ±a som delare, och dessa fyra kallas för triviala delare. Ibland kan det finnas fler delare än de triviala, till exempel har talet 6 följande delare: ±1, ±2, ±3, ±6 (±2 och ±3 kallas för icke-triviala delare eftersom de inte är triviala). Förkortningen SGD utläses största gemensamma delare, och det betyder precis vad man tror att det betyder 1. Exempel 1.6. Ett sätt att beräkna SGD(12, 30) är att skriva upp samtliga delare till 12 respektive 30. Delarna till 12 är ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 och delarna till 30 är ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30. Den största gemensamma delaren till 12 och 30 är uppenbarligen 6, och då skriver vi SGD(12,30)=6. Ett mycket effektivare sätt att beräkna SGD(m, n) för två heltal m och n är att använda Euklides algoritm. Ett heltal a 2 som inte har några icke-triviala delare kallas för ett primtal. Ett av våra huvudsakliga mål i talteoridelen är att bevisa följande (välkända) resultat. Sats 1.7 (Aritmetikens fundamentalsats). Varje heltal som är större än eller lika med 2 kan skrivas som en produkt av primtal, och så när som på omordning av faktorerna är en sådan faktorisering entydig. Exempel 1.8. Talet 12 kan faktoriseras i primtal på följande vis: 12 = = = Dessa tre faktoriseringar är lika så när som på omordning av faktorerna. Antalet primfaktorer i 12 är således tre: 2, 2, och 3. Skrivsättet skulle kunna uppfattas som en produkt av två faktorer (2 2 och 3), men i själva verket är det bara ett annat skrivsätt för så antalet faktorer är fortfarande tre. För att kunna utföra en primtalsfaktorisering i praktiken är det bra att veta några enkla delbarhetsregler. Följande sats bevisas enkelt med hjälp av kongruensräkning vi kommer att se det under vecka 19. Sats 1.9. Låt n vara ett positivt heltal a) 2 n n slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8. b) 3 n n:s siffersumma 2 är delbar med 3. c) 4 n de två sista siffrorna i n utgör ett tal som är delbart med 4. d) 5 n n slutar på 0 eller 5. e) 6 n n är delbart med både 2 och 3. f) 8 n n de tre sista siffrorna i n utgör ett tal som är delbart med 8. g) 9 n n:s siffersumman är delbar med 9. 1 Om minst ett av talen a och b är nollskilt, är SGD(a, b) lika med det största heltalet som är en delare i både a och b. Däremot om a = b = 0, så blir definitionen problematisk eftersom det finns oändligt många gemensamma delare till a och b (varje heltal är ju en delare i noll). Alltså finns det inte någon största bland dem. Vi definierar det speciella fallet separat, så att SGD(0, 0) = 0 per definition. 2 Siffersumman är det tal som man får om man adderar alla siffror i n med varandra.

6 h) 10 n n är delbart med både 2 och 5. i) 11 n n:s alternerande siffersumman 3 är delbar med 11. Exempel Den alternerande siffersumman av är =4, och eftersom 4 inte är delbart med 11 så är inte heller det. Två tal a och b kallas för relativt prima om SGD(a, b) = 1. Exempel: 4 och 15 är relativt prima (fast inget av dem är ett primtal). Lägg märke till delbarhetsregeln för 6: den fungerar bara på grund av att 2 och 3 är relativt prima. Samma sak med regeln för division med 10, den fungerar bara på grund av att 2 och 5 är relativt prima. Exempel Hur kan det komma sig att att 36 inte är delbart med 4 6 = 24 trots att 36 är delbart med både 4 och 6? (Svar: det beror på att SGD(4, 6) 1). Delbarhet Vi säger alltså att ett heltal a är delbart med ett heltal b om det finns ett heltal c sådant att a = bc. Det viktigaste med definitionen för delbarhet är att formalisera det begreppet, trots att de flesta troligen redan har en känsla för vad det betyder att ett heltal är delbart med ett annat. Definitionen ska man kunna utantill (och inte bara veta på ett ungefär vad den innebär) anledningen är att det behövs om man vill bevisa någon sats som har med delbarhet att göra. Den första satsen som vi bevisar är en bra övning i logik och bevisföring det är det som är själva svårigheten med satsen. Lägg gärna bort kursboken och försök att bevisa följande sats på egen hand! Sats Låt a, b, c, x och y vara heltal. a) a b a c a (b + c). b) a b a bc. c) a b a c a (xb + yc). d) a b a c a (b + c). Ett annat resultat om delbarhet som man ofta får nytta av är följande: Följdsats Låt x, y och z vara heltal sådana att x + y = z, och n ett heltal som delar två av de tre. Då delar n även det tredje. Bevis. Antag att n x och n y. Då är n en delare i x + y, enligt sats 1.12, alltså i z (som ju är lika med x + y). Om istället n x och n z, så följer det av samma sats att n (z x), alltså att n y. Om vi till sist antar att n y och n z, så följer det att n (z y), alltså att n x. 3 Den alternerande siffersumman beräknar man genom att addera siffrorna i n med varandra, men med minustecken före varannan siffra. Det ska vara + på entalssiffran, - på tiotalssiffran, + på 100-talssiffran osv.

7 Divisionsalgoritmen Divisionsalgoritmen är ett recept som givet två heltal a och b med a 0 och b > 0 producerar två tal q och r sådana att a = bq + r, och 0 r < b. Man kan föreställa sig att a är ett antal äpplen och att b är ett antal personer som ska dela på de a äpplena. För att ta reda på hur många äpplen var och en får, dividerar man a med b med kvot och rest, till exempel med liggande stolen. Talen q och r är då kvoten respektive resten. Observera kravet på resten, att den ska vara ett icke-negativt tal och att den ska vara strikt mindre än b (antalet personer). Genom att studera följande exempel kan man inse att detta villkor på resten alltid kan uppfyllas. Exempel Säg att vi vill stoppa in talen a = 17 och b = 3 i divisionsalgoritmen. Det skulle alltså motsvara att vi har 17 äpplen och 3 personer. Om vi delar ut 4 äpplen till var och en av de tre personerna så blir det = 5 äpplen över. Detta motsvarar q = 4 och r = 5. Observera att dessa val av q och r gör att a = bq + r. Men, villkoret 0 r < b är inte uppfyllt! Det beror på att när personerna har fått 4 äpplen vardera så återstår det 5 stycken, dvs. det återstår fler äpplen en antalet personer. Alltså kan man ge alla personer ytterligare ett äpple. Det ökar kvoten q med ett, och det minskar resten r med 3 (antalet personer). Nu blir r = 2, och det går inte att dela ut fler äpplen. Slutsats: om vi sätter in talen a = 17 och b = 3 i divisionsalgoritmen så får vi ut talen q = 5 och r = 2. Lägg märke till att a = bq + r och att 0 r < b. Denna rest, alltså den minsta möjliga som är icke-negativ, kallas för den principala resten vid divisionsion av a med b. Kontrollera att du vet hur man utför en heltalsdivision med kvot och rest liggande stolen är ett bra sätt. Vad blir kvoten och resten då divideras med 41? (Svar: q = 250 och r = 39). Divisionsalgoritmen fungerar även för icke-positiva heltal a: även om a 0 så finns det entydigt bestämda heltal q och r sådana att a = bq + r med 0 r < b. Euklides algoritm Euklides algoritm är en algoritm där man upprepar divisionsalgoritmen flera gånger, och den används för att beräkna den största gemensamma delaren till två tal a och b. Först dividerar man a med b med kvot och rest. Därefter divideras b med resten. Därefter divideras den första resten med den andra resten. Den andra resten med den tredje resten. Den tredje resten med den fjärde och så vidare tills en division går jämnt upp och resten därmed blir noll. Den sista nollskilda resten är lika med SGD(a, b). Exempel Vi utför Euklides algoritm på talen a = 315 och b = = = = = = Som synes blev de successiva resterna 35, 21, 14, 7 respektive 0. Den sista nollskilda resten blev 7, och därför gäller det att SGD(315, 56) = 7.

8 Exempel Om vi väljer a = 114 och b = 96 så får vi. 114 = = = De successiva resterna blev 18, 6 och 0, så SGD(114, 96) = 6. Man kan även beräkna största gemensamma delare med hjälp av primtalsfaktorisering (det bygger på aritmetikens fundamentalsats) genom att primfaktorisera de fyra tal som ingick i exemplen ovan, och helt enkelt se efter vad den största gemensamma delaren är. 315 = = = = Det syns tydligt att Euklides algoritm gav rätt resultat i båda exemplen. Förutom att bestämma den största gemensamma delaren till två tal, ger Euklides algoritm ytterligare lite information vi återkommer till den, och dess uppnystning nästa vecka. Det används även till att lösa Diofantiska ekvationer, som vi ska göra vecka 19. Referenser [Vre06] A. Vretblad och K. Ekstig. Algebra och geometri. Gleerup, 2006.