4. Bestäm alla trippler n 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal. 5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo 4.

Transkript

1 Uppvärmningsproblem. Hur kan man se på ett heltal om det är delbart med, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 respektive? Varför? 2. (a) Tänk på ett tresiffrigt tal abc, a 0. Bilda abcabc genom att skriva talet två gånger efter varandra. Jag påstår att det så bildade talet blir delbart med 7, och 3. Varför är det så? (b) Vilka primtal kommer talet abcdabcd att bli jämnt delbara med? 3. (a) Vad är definitionen av primtal? (b) Skriv upp de 20 första primtalen. 4. Bestäm alla trippler n 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal. 5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo Bevisa att det finns oändligt många primtal (ett av matematikens klassiska resultat).

2 Från Skolornas matematiktävling. Är det möjligt att något av heltalen x och y är delbart med 3 om x 2 y 2 = 995? (k/995) 2. Bestäm de två sista siffrorna i (k2/977) 3. Antag att det femsiffriga talet ABCDE är delbart med 27. Visa att då även BCDEA (erhålls genom att första siffran flyttas sist) är delbart med 27. (k2/975) 4. Bestäm heltalet t och hundratalssiffran a så att (3(230 + t)) 2 = 492a04. (k/989) 5. Visa att + n(n + )(n + 2)(n + 3) är ett heltal för varje heltal n. (k2/99) 6. För vilka heltal a, b och c, där a b c, gäller att abc = 84 och (a + )(b + )(c + ) = 80? (k2/2000) 7. Bestäm alla positiva heltal x och y sådana att x 2 3xy = (k2/2002) 8. Visa att om p är ett primtal, p 5, så är p 2 +2 inte ett primtal. (k3/977) 9. Man bildar talet 980! = Med hur många nollor slutar detta tal? (k2/980) 0. Visa att om n är ett udda tal så är n 2 n 8 n 4 + delbart med 2 9. (k2/984). Vilka sexsiffriga tal av formen abccba är jämnt delbara med 33? (k2/990) 2. Försök finna en snabb metod för att beräkna och utför beräkningen. (k2/96) 3. Visa att för varje primtal p 5 är p 2 jämnt delbart med 24. (k2/963) 4. Vilken rest ger talet vid division med 2? (f3/963) 5. Talen a, a 2,..., a n är talen, 2, 3,..., n skrivna i annan ordning. Visa att om n är udda så är (a )(a 2 2)... (a n n) jämnt. (k2/964) 6. Summan av ett visst antal på varandra följande naturliga tal n, n +,..., n + m är 000. Bestäm alla möjliga sådana följder. (f2/964) 7. Bestäm alla par av naturliga tal x och y sådana att x 3 y 3 = 999. (f2/965) 2

3 8. Visa att det inte finns fyra heltal x, y, z och k sådana att x 2 + y 2 + z 2 = 8k + 7. (f3/966-67) 9. I ett fyrsiffrigt positivt heltal är entalssiffran och tiotalssiffran inbördes lika medan hundratalssiffran är densamma som tusentalssiffran. Talet är dessutom en jämn kvadrat. Bestäm talet. (k2/996) 20. Primtalet 997 minskat med ger ett tal som är delbart med 4. Enligt en sats av Fermat kan då 997 skrivas som en summa av två heltalskvadrater. Bestäm alla positiva heltal x och y sådana att 997 = x 2 + y 2. (k2/997) 2. Visa att den näst sista siffran i talet 3 n, där n är ett positivt heltal 3, alltid är jämn. (k2/998) 22. Bestäm alla positiva heltal m och n sådana att (f/99) m + n mn = Är ( )/90 ett naturligt tal? (f/992) 24. Heltalet x är sådant att 3x har samma siffersumma som x. Visa att talet x är delbart med 9. (f/993) 25. Bestäm alla naturliga tal x, y, z sådana att (f/998) (8x 5y) 2 + (3y 2z) 2 + (3z 7x) 2 = Lös ekvationen 5 x + 6 y + 7 z + u = 999 i icke-negativa heltal x, y, z, u. (f3/999) 27. Finns det heltal n och m sådana att n 2 + (n + ) 2 + (n + 2) 2 = m 2? (f3/2000) 28. I ett land finns mynt av valörerna, 2, 3, 4 och 5. Nisse har valt ett par skor. När han ska betala berättar han för försäljaren att han har en påse med 00 mynt, men att han inte vet exakt hur många han har av varje valör. - Vad bra, då har du jämna pengar, säger försäljaren. Hur mycket kostade skorna, och hur kunde försäljaren vara säker på att Nisse hade jämna pengar? (f2/2004) 3

4 29. Bestäm det minsta heltal 3 med egenskapen att man kan välja två av talen, 2,..., n på ett sådant sätt att deras produkt är lika med summan av övriga n 2 talen. Vilka är de två talen? (f2/2008) 30. Bestäm alla positiva heltalslösningar till (k4/2009) x + y = Dela in de elva talen 7, 9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 53 och 73 i två grupper så att summan av talen i den ena gruppen är jämnt delbar med summan i den andra. (k2/2003) 32. Visa att n 4 + n 2 + inte kan vara kvadrat på ett heltal om n är ett heltal och n 0. (k/972) 33. Idag är det onsdagen 7 oktober 962. På vilken veckodag infaller den 7 oktober år 3000? Skottår inträffar om årtalet är jämnt delbart med 4 med det undantaget att år som är jämnt delbara med 00 endast är skottår om de är jämnt delbara med 400. (k2/962) 34. Visa att varje heltal n 0 på precis ett sätt kan framställas på formen n = a! + a 2 2! + a 3 3! +... där a, a 2, a 3,... är heltal som uppfyller 0 a, 0 a 2 2, 0 a 3 3, osv. (k2/967) 35. Låt n vara ett positivt heltal. Visa att talen n 2 (n 2 + 2) 2 och n 4 (n 2 + 2) 2 i basen n 2 + skrivs med samma siffror fast i motsatt ordning. (f/989) 36. Antag att de positiva heltalen a och b har 99 respektive 0 olika positiva delare ( och talet självt inräknade). Kan produkten ab ha 50 olika positiva delare? (f/2006) 37. Finns det ett positivt heltal vars kub har formen ababab i talsystemet med basen 0, där siffran a är skild från 0? (k6/200) 38. Visa att bland 8 konsekutiva (dvs på varandra följande) tresiffriga tal finns ett som är delbart med sin siffersumma. (k5/999) 39. Bestäm alla par (x, y) av heltal x och y som satisfierar ekvationen y 2 3xy + x y = 0. (f3/962) 40. Visa att det endast finns ändligt många uppsättningar (x, y, z) av positiva heltal som satisfierar x + y + z = 000. (f3/967) 4

5 4. Visa att man för varje heltal n kan finna positiva heltal x och y sådana att x 2 + nxy + y 2 är ett heltal. (k6/988) 42. Talen a, a 2,..., a n är vardera lika med eller. Vidare gäller a a 2 + a 2 a a n a = 0. Visa att n måste vara delbart med 4. (k4/997) 43. För vilka positiva heltal n är n 3 8n 2 +5n 39 kuben på ett positivt heltal? (f3/989) 44. Antag att a och b är heltal. Visa att ekvationen a 2 + b 2 + x 2 = y 2 har heltalslösning x, y om och endast om produkten ab är jämn. (f3/993) 45. Bestäm alla par (x, y) av heltal som satisfierar ekvationen 2y 3 x 3 = xy 2 +. (f4/994) 46. Bestäm det minsta naturliga talet sådant att om talets första siffra (talet är skrivet i decimalform) placeras sist, så blir det nya talet 7/2 gånger större än det ursprungliga talet. (f3/985) 47. Låt k och n vara naturliga tal < k < n. Givet är n tal sådana att medelvärdet av k av dem, vilka som helst, är ett heltal. Visa att alla n talen är heltal. (k4/2004) 48. Bestäm alla heltalslösningar x och y till ekvationen (x + y 2 )(x 2 + y) = (x + y) 3. (f/2005) 49. Bestäm alla positiva heltal a, b och c sådana att a bc = (b a ) c. (f6/2006) (Tips: den enda lösningen jag kunde komma på blandar in derivator. Finns elementärare lösning?) 50. Bestäm alla heltalslösningar till ekvationen x + x 3 = 5y 2. (f4/2009) 5