Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10

Transkript

1 Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen respektive produkten av två polynom ett polynom Med division är det lite knepigare Kvoten mellan två heltal blir ibland ett heltal och ibland ett rationellt tal E : 6 9 5, men 6 6 6, som dock kan skrivas som 9 6 5, om vi vill hålla oss i heltalens värld Talet 9 kallas täljare, 6 nämnare, kvot och 5 rest På motsvarande sätt är det med polynom, men, med samma terminologi som för heltal vad gäller kvot, rest etc Att räkna med rationella uttryck gör man för övrigt enligt precis samma principer som för rationella tal E : [ MGN 6], och här saknar täljare och nämnare gemensam faktor så vi kan inte förkorta med något Eakt likadant gör vi med rationella uttryck Här kan det vara praktiskt att faktoruppdela nämnarna, så att det blir lite enklare att hitta MGN [ MGN ] I sådana här sammanhang dyker det också upp ekvationer, men här måste man vara lite försiktig Först tänker vi efter vad det är man gör när man löser ekvationer! Titta på följande uppgift E : Lös ekvationen Här blir man lite ställd eller? Vad är det då man ska göra när man ska lösa en ekvation? Jo, man ska hitta alla tal man kan ersätta den obekanta med så att ett sant påstående erhålls Då ser vi att det endast är talet som är rot till den givna ekvationen Betrakta nu ekvationen 6 Vid lösning av denna erhåller vi successivt ekvationerna 6 9 Vi har då en svit av ekvationer som är sådana att två på varandra följande

2 ekvationer har precis samma rötter Vi kan då skriva symbolen ekvivalens, läses är ekvivalent med mellan ekvationerna, och denna symbol betyder då att ekvationerna ifråga har eakt samma rötter Vi skulle alltså kunna skriva lite mer precist 6 9 Ibland är sambandet mella två ekvationer inte så enkelt Detta har ni sett eempel på i C-kursen rotekvationer och ekvationer innehållande logaritmer Svårigheterna beskrivna i eempel dyker också upp när vi löser ekvationer innehållande rationella uttryck E : Lös ekvationen Vi får successivt, där jag multiplicerar samtliga termer med MGN för att bli av med nämnarna, MGN, dvs ekvationen verkar ha roten Sätter vi nu in talet i den ursprungliga ekvationen, ser vi att ekvationens vänstra led inte ens är definierat om, så är inte rot till ekvationen, som saknar lösning Vad har då hänt? Ekvationerna och har samma rötter, men så behöver inte vara fallet med ekvationerna och De rationella uttrycken i ekvation är inte definierade för talen och, medan uttrycken i ekvation är definierade för alla tal, men utsagan är sann endast för Detta innebär att om ett tal är rot till ekvation, så är det också en rot till ekvation, men det omvända behöver inte gälla Ska vi använda symboler, skriver vi implikation, läses medför att mellan ekvationerna och, MGN,

3 Detta betyder att vi måste testa roten till ekvation för att se om denna också är rot till ekvation Det finns ett sätt, när det gäller den här typen av ekvationer, att undvika problemet, och det är att se direkt att uttrycken i ekvation inte inte är definierade för talen och Vi kan då skriva om problemet till, där och Med denna etraförutsättning gäller sedan ekvivalenser mellan ekvationerna E 5: Lös ekvationen Vi ser att de rationella uttrycken inte är definierade om, varför vi lägger till förutsättningen, och får så småningom att ekvationen har rötterna ½ och - Fler eempel på ekvationer av ovanstående typ hittar du i CD-matematikbokens kap Polynomdivision Vi noterade inledningsvis att divisioner mellan heltal respektive polynom ibland går jämnt upp och ibland inte Dessutom noterade vi att resultatet av en division kunde skrivas som a q b r där a är täljare, b nämnare, q kvot och r rest, och detta kan man göra både för polynom och heltal Ett viktigt resultat är divisionsalgoritmen, som inte inte är en algoritm dvs en metod att beräkna något utan ett teorem Divisionsalgoritmen: Låt a och b vara två heltal där b Då finns entydigt bestämda heltal q och r sådana att a q b r, där r < b Detta gäller även för polynom med modifieringen att storlek då är gradtal, så r < b ersätts med grad r < grad b Hur utförs då divisioner mellan heltal? Man kan arrangera uträkningarna på många sätt, och ett av de lämpligare är att använda den sk liggande stolen E 6: Beräkna 68

4 Vi kan då dra slutsatsen att, eller alternativt formulerat Vi gör precis likadant med polynom Tänk bara på att storlek här är gradtal och att vi håller på i uppställningen tills resten har lägre gradtal än nämnaren E : Beräkna 5 Vi får alltså att 5, som kan skrivas 5 E 8: Beräkna För att något minska risken för räknefel, och ha lite lättare koll på vad man gör kan det vara klokt att arrangera uträkningarna överskådligt och det innebär bland annat att termer med samma gradtal bör stå i samma kolumn se e ovan

5 Vi har alltså att 8, eller 8 E 9: Beräkna 5 5 Som synes har divisionen gått jämnt upp, dvs resten är, och vi kan alltså skriva 5, eller 5 Vi har alltså åstadkommit en faktoruppdelning av det givna tredjegradspolynomet En spännande grej med eempel 9 är att man kan veta i förväg om den här divisionen går jämnt upp eller inte Följande sats gäller nämligen Faktorsatsen: Talet a är nollställe till polynomet p, dvs a p, om och endast om p är jämnt delbart med a Detta kan vi ibland utnyttja om vi vill lösa ekvationer eller om vi vill faktoruppdela polynom E : Detta eempel anknyter till eempel 9 ovan Lös ekvationen 5 Vi ser att talet är rot till ekvationen, dvs är ett nollställe till polynomet i ekvationens vänstra led Då är polynomet delbart med Vi genomför sedan beräkningen i eempel 9 och kommer fram till att 5 Detta ger i sin tur att ekvationen 5 kan skrivas och vi får då att

6 eller Löser vi den första ekvationen får vi att ± 6 Den andra ekvationen har förstås den redan kända roten Vi har därmed kommit fram till att ekvationen har rötterna, 6 och 6 För att denna metod ska kunna användas måste vi kunna gissa en rot till ekvationen för att sedan dividera bort motsvarande faktor Om vi tittar på eempel, så är konstanttermen, och då gäller det att om ekvationen har en heltalsrot, så är talet jämnt delbar med denna rot, dvs möjliga heltalsrötter är, -, och - Allmänt gäller det att, n n om ekvationen an an K a a har heltalskoefficienter och r är en rot till ekvationen, så är a jämnt delbart med r Tänk bara på att det inte bara behöver vara positiva tal involverade i det hela Vad sedan gäller övningsuppgifter här, så är det enkelt att hitta på uppgifter för polynomdivision Det är ju bara att ta två polynom vilka som helst och dividera det med det större gradtalet med polynomet med det mindre gradtalet Dock följer några uppgifter med ekvationslösning enligt ovanstående idéer Övningar Lös följande ekvationer a/ b/ 5 8 c/ 6