Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)"

Maria Viklund
för 7 år sedan
Visningar:

1 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används för att beskriva olika mängder samt grundläggande regler inom algebran. Några viktiga ord översatta till svenska. Set Element Natural numbers Whole numbers Integers Variables Empty set Set-builder notation Integers Property Rational numbers Irrational numbers Real numbers Absolute value Inequality Mängd Element De naturliga talen Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Variabler Tomma mängden Mängdbyggartecken Egenskap Rationella tal ( tal som går att skriva som bråk) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) Reella tal (både rationella och irrationella tal) Absolutbelopp olikhet Några kommentarer Mängdbyggartecken skrivs som ett lodrätt streck och används när man vill beskriva mängden utan att lista alla element. I exempel 1a (sid 2) kan man läsa ut mängden av x sådana att x är ett heltal och mindre än 4. Dvs mängdbyggartecknet ersätts med sådana att och därefter kommer en beskrivning av elementen i mängden. Figur 4 (sid 4) är en bra bild över de olika talmängderna. Man ser att de naturliga talen och heltalen är delmängder av de rationella talen. Däremot så är de irrationella talen något annat än de rationella talen. Dessa två mängder tillsammans bildar mängden av reella tal. Exempel på irrationella tal är π och 2. I sverige brukar vi enbart tala om de naturliga talen (alla positiva heltal) och de hela talen eller heltalen (det boken kallar Integers, dsv alla heltal, negativa som positiva). I boken inför man begreppet additiv invers. Den additiva inversen till ett tal är det tal summerat med det givna talet vars summa är noll. Tex så är -6 additiv invers till 6. Begreppet invers återkommer vi till många gånger under kurserna men i olika sammanhang.

2 Absolutbeloppet (sid 6) kan betraktas som ett sätt att beskriva avståndet från ett tal på tallinjen till origo (noll). Tex så är avståndet mellan talet 7 och origo detsamma som talet -7 och origo, dvs 7 = 7 =7. Olikheter (sid 7-9) Ett antal symboler införs här. Visar nedan med några exempel språkbruket. 4>3 Fyra större än tre större än eller likamed är skilt från 7. Lämpliga övningar: Alla övningar i marginalen, Sid 11-14: 5,7,9,11,13,15,17,19,25,29,31,35,37,39,41,47,51,55,59,65,67,79,81,89,97 Avsnitt 1.2 Räkneoperationer på de reella talen I detta avsnitt behandlar räkneoperationerna, addition, subtraktion, multiplikation och division på de reella talen. Mycket kommer att fokuseras till hur vi räknar med negativa tal Vi bedömer att ni redan behärskar detta men vi vill ändå kommentera några detaljer. Addition av negativa tal kan förklaras med modellen skuld och tillgångar. 3000(tillgång)+(-4000)(skuld) = (-1000)(skuld) Subtraktion kan visas med uppgifter som innehåller skalor med både negativa och positiva värden, tex termometern. Hur stor är temperaturskillnaden mellan +12 C och 7 C? Jo 12 " ("7) = =19 grader. Tallinjemodellen är bra för att förstå addition och subtraktion. Differensen mellan två tal kan ses som avståndet mellan talen med tecken. Om ett större tal dras från ett mindre så är differensen. Tex "3 ( ) "6 = ("3) + ("6) = ("9 ) Om du däremot sätter absolutbelopp kring subtraktionen fås direkt avståndet mellan talen. Tex "3 ( ) " 6 = ("3)+ ("6) = "9 = 9 är avståndet mellan talet (-3) och 6 men ( ) = = 9 = 9 är också avståndet mellan 6 och (-3). 6 " "3 Multiplikation av negativa tal är inte så lätt att förklara. Ett sätt är att se på strukturen. Skillnaden mellan produkterna är = = = = = = = = = = = = = = = = 8

3 Reglerna som minus gånger minus är plus osv är konsekvenser av att de negativa talen är en del av talsystemet och att räknelagarna skall gälla för alla tal. På svenska blir reciprocal invers (eller multiplikativ invers). Inversen till a är 1/a ty produkten av dessa tal är 1 (a " 1 =1). Ettan kallas identitetselement (vid a multiplikation) därför att 1" a = a. Boken definierar division (blå ruta sid 20) som multiplikationen av a och inversen till talet b. Detta innebär att b 0. Det finns ju ingen invers till talet 0. Inom matematiken har man en egenhet att man gärna vill skriva allt så kortfattat som möjligt. Man byter gärna till något annat som är ekvivalent (lika). I den blå rutan på sid 21 (Equivalent Forms of Fractions). Där har du exempel på bråk (fraction på engelska) som är ekvivalenta. Jag sammanfattar nedan namnen för de olika operationerna. Man adderar termer och resultatet är en summa. Man subtraherar termer och resultatet är en differens. Man multiplicerar faktorer och resultatet är en produkt. Man dividerar Täljaren med nämnaren och resultatet är en kvot. Den första divisionstanken hos barn är delningsdivision. Problem som Kalle, Lisa och Anna har 15 kolor och skall dela lika. Hur många kolor får var och en? En mer utvecklad divisionstanke är innehållsdivision vilken behövs för att lösa problem av typen Kalle har 34 kronor och vill köpa samlarbilder. Varje paket kostar 7 kr. Hur många paket kan han köpa? Här fungerar inte delningstanken. Hur många 7 kronor innehåller 34 kr. Har man bara delningsdivisionstanken kan man aldrig förstå en division med en nämnare som ej är ett heltal. 1 Med innehållsdivisionstanken är det inget problem att förstå att 2 1 är 2. 4 En halv innehåller två fjärdedelar. Detta är något som behandlas i didaktikdelen. Övningar: sid 21-24: 1,3,5,7,9,11,13,15,25,27,35,37,41, 49,51,57,61,63,67,75,77,83,85,93,95,99 Avsnitt 1.3 Exponenter, rötter och prioriteringsregler

4 Avsnittet behandlar exponenter, ett sätt att skriva upprepade multiplikationer på ett kortfattat sätt. Tex 2 6 = 2 "2 " 2 "2 " 2 "2. Faktorn 2 kallas bas och 6:an exponent. Ett vanligt fel hos elever är att de säger att "3 4 är detsamma som "3 Men "3 4 = "(3# 3# 3# 3) = "81 och "3 ( ) 4 = ("3) #("3) #("3) #("3) = 81 ( ) 4. Det andra begreppet är kvadratrötter (square roots). Se exempel 4 sidan 26. OBS! Du kan bara dra roten ur positiva tal och en kvadratrot är alltid större än eller lika med noll. Sist behandlas ordningen utav operationer. När vi skriver ner beräkningar vill vi ju att det bara skall gå att läsa ut på endast ett sätt. Tex om vi skriver Vad menar vi med det? Skall 5-2 beräknas och sedan 3+7? Eller är det 2+7 och sedan 5-9? Vi får helt olika resultat. Därför har vi vissa prioriteringsregler för att få ett sätt att skriva ner beräkningar med samma standard över hela världen. Se blå ruta sid 28 och efterföljande exempel sid Grundregeln är att räkna från vänster till höger men den bryts av punkt 1-3 i rutan. Övningar: Sid 29-31: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,21,27,31,33,37,41,47 49,55,57,59,61,63,67,71,77,83,91,93 Avsnitt 1.4 Egenskaper hos de reella talen Distributiva lagen finner du i blå rutan sidan 33. En bra förklaring till lagen hittar du i figur 10 sid 35. Man kan beräkna arean på två olika sätt. Den blå ytan plus den röda ytans area eller såberäknar man totala arean direkt. De två andra lagarna är kommutativa lagen och associativa lagen vilken gäller för addition och multiplikation. Se blå rutan sidan 36. Dessa lagar kan slarvigt formuleras som att ordningen spelar ingen roll det blir ändå samma resultat. På sida 35 återkommer man till inverserna. Man inför identitetselement. Det är 0 för addition och 1 för multiplikation, dvs a + 0 = a och a "1= a. Se hur detta är kopplat till inverserna i blå rutan ovanför. Övningar:sid 41-42: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,21,23,25,27,31,35,39,41,43,45,47,53

Relevanta dokument

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen