Sidor i boken , , 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
|
|
- Åsa Henriksson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Sidor i boken , Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett heltal större än 1, som inte kan skrivas som produkten av två heltal, båda större än 1. Exempel 1. Här har vi de 10 första primtalen. Vilka är de 10:e och 11:e primtalen? Svar: 9 och 31., 3, 5, 7, 11,13,17 19, 3 Exempel. Primtalsfaktorisera talen 0 och 900. Svar: 0 = = Exempel 3. 71, 93, 133. Ett av dessa tre tal är primtal, vilket? Svar: 71 är primtal. 93 = 3 31 och 133 = 7 19 När man ska ta reda på om ett heltal n är primtal eller inte behöver man inte testa divisioner av primtal över n. Till exempel [ kan man komma fram till att 51 är ett primtal genom att ingen av 51 ] divisionerna med primtal < = 3 går jämnt upp. Polynom i en variabel är en summa av termer. De termer som innehåller bokstavsbeteckningar (oftast x) kallas variabeltermer. Termer utan bokstav kallas konstanttermer. Variabeltermen är en produkt av en koefficient och en potens av variabeln med positiv heltalsexponent, som bestämmer termens grad. Poynomets grad avgörs av högsta graden hos polynomets termer. Några exempel på polynom x +3x+7 x x 3 +x x Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Ett polynom kan innehålla flera variabler. ab 3 + b 3a är ett polynom i två variabler a och b. Dess gradtal är, som bestäms av termen ab 3 genom 1+3 = Två polynom kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med varandra. Exempel. Utför i tur och ordning addition, subtraktion och multiplikation av två polynom (3x+)+(1+x) 7x+3 (x 3x) (3x 3x) x (3a+1)(+a) 6a+1a ++a 1a +10a+ Vi hoppar över polynomdivision som just nu är lite för komplicerat! Håkan Strömberg 1 KTH STH
2 Tre regler, som är ett måste att känna till, är de två kvadreringsreglerna och konjugatregeln (a+b) = a +ab+b (a b) = a ab+b (a+b)(a b) = a b Första kvadreringsregeln Andra kvadreringsregeln Konjugatregeln Det räcker inte med att man kan utveckla till exempel (3x+) = 9x +1x+ eller (x+)(x ) = x. Ibland måste man också kunna gå bakvägen. Man faktoriserar polynomet x +1x+9 till (x+3)(x+3) (x+3). Ett annan situation kallar vi för att bryta ut. Polynomet x +8x = x(x+) blir faktoriserat genom att bryta ut x. Någon kanske nöjer sig med att enbart bryta ut och få (x +x) eller enbart x och få x(x+8). En anledning till att man vill faktorisera ett polynom är att man vill förenkla ett uttryck, mest för att den fortsatta beräkningen ska bli enklare och kunna göras snabbare. Exempel 5. Förenkla uttrycket (a b )+(a+b) +(a b) a b +a +b +ab+a +b ab 3a +b Det är förstås enklare att räkna vidare med 3a +b än med det ursprungliga uttrycket. Exempel 6. Ser du mönstret för att skriva uttrycket som en ( + ) 9x +xy +16y Först ser vi att 9x (3x) och sedan 16y (y ). När vi sedan ser att 3x y = xy förstår vi att 9x +xy +16y (3x+y ) Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom till exempel Just detta uttryck kan man inte förenkla. 3x +y +x+y Exempel 7. Förenkla 1x+15 3(x+5) x Genom att bryta ut 3 kan vi därefter förkorta och vi får ett enklare uttryck Exempel 8. Förenkla Exempel 9. Förenkla 3x +6x 3x 3x(x+) 3x x+ a+8b a+b (a+b) a+b När vi bryter ut i täljaren visar det sig att polynomet i täljaren överensstämmer med det i nämnaren och vi kan förkorta Exempel 10. Förenkla (a+b)(b a) (a b) b a ab a +b ab (a ab+b ) b a 3ab 3a b a 3a(b a) b a 3a Som genom trolleri har vi förenklat det ursprungliga uttrycket till 3a Håkan Strömberg KTH STH
3 Med insättning i ett polynom menas ersättning av en bokstavsbeteckning med ett tal eller en annan bokstav. Ersätter man variabeln x med talet i uttrycket x x + får man uttryckets värde för x =. Normalt skriver man för p(x) = x x+, p() = + och får att p() =. Exempel 11. Bestäm p(x) = 3x +x 10 för x = 1 p(1) = p(1) = 3 Exempel 1. Bestäm f() f(0) då f(x) = 3x +5 f() f(0) (3 +5) (3 0 +5) = 1 Exempel 13. Givet polynomet f(x) = x 3 +x +x+1. Bestäm f(3) f() Först bestämmer vi f(3) = som ger f(3) = 0, sedan f() = som ger f() = 15. Vi får = 8 3 Problem 1. Beräkna 3( )+(3 )(+1)+100(3 ( 1))+( )( ) Svar: 1 3( )+(3 )(+1)+100(3 ( 1))+( )( ) 3 ( )+( 1) 3+100(3 3) Problem. Bestäm exakt För att kunna addera bråk måste en gemensam nämnare bestämmas. Helst den minsta gemensamma nämnare, MGN, (även om det inte det är nödvändigt). Den som är van ser direkt att den MGN= 1. Det gäller att finna ett tal som samtliga nämnare går jämnt upp i. Vi ser att så är fallet här. När vi bestämt en gemensam nämnare ska vi förlänga varje bråk så att det antar MGN. Vi får Vi kan nu skriva summan som Problem 3. Bestäm exakt Den här gången är det lite besvärligare att hitta MGN. Visserligen fungerar den långt ifrån minsta gemensamma nämnaren = , men här ska vi verkligen försöka hitta MGN. Håkan Strömberg 3 KTH STH
4 Vi startar med att primtalsfaktorisera nämnarna 36 = = = 30 = 3 5 Endast tre faktorer förekommer:, 3, 5. Vi plockar nu ut så många faktorer av dem som det finns i den faktorisering som innehåller flest. Detta ger = 360 MGN=360, betydligt mindre än När vi nu ska förlänga de fyra bråken håller vi över De faktorer som ingår i respektive nämnare och multiplicerar övriga faktorer. Detta tal förlänger vi så bråket med Så jobbigt kan det vara! i sista steget faktoriserade vi 75 = och fick = 5 3 = 5 Problem. Bestäm Detta kallas för dubbelbråk. Så här hanterar man det a b c d a d b c Man multiplicerar bråket i täljaren med det inverterade värdet av bråket i nämnaren. Vi får Problem 5. Bestäm exakt Vi behandlar täljare och nämnare för sig, så att vi får ett bråk i täljaren och ett i nämnaren Problem 6. Skriv uttrycket som ett rationellt uttryck 1 x x 1 Minsta gemensamma nämnaren är denna gång MGN= (x + 1)(x 1) Precis som i aritmetiken fortsätter vi: 1(x 1) (x+1)(x 1) + 1(x+1) (x+1)(x 1) x 1+x+1 (x+1)(x 1) = x x 1 Håkan Strömberg KTH STH
5 Ett rationellt uttryck är alltså division av två polynom. Problem 7. Är det någon skillnad på värdet mellan 3 +5 och 5+3? Svar: Nej eftersom multiplikation går före addition har båda uttrycken värdet 17. Observera att det finns dåliga räknedosor som inte klarar detta. Problem 8. a) Man tänker multiplicera 1 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet? b) Man tänker multiplicera 15 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet? Svar: a) Resultatet blir positivt, > 0. b) Resultatet blir negativt, < 0. Problem 9. Givet polynomet f(x) = 10x 3 1x +5x+101 Du ska beräkna ett av dessa värden: p(0), p(1) och p(). Du får välja vilket som helst. Vad väljer du (om du är lite lat)? Svar: Den som är latast väljer p(0) = 101. Den som inte är riktigt så lat väljer p(1) = = 10. Den som gillar att räkna kanske väljer p() = = 13. Problem 10. Vad ska det stå istället för för att uttrycket ska kunna faktoriseras med en kvadreringsregel? x +8x+ Svar: = Problem 11. Faktorisera med kvadreringsreglerna a) x 6x+9 b) 16x +8x+1 a) Här måste det handla om andra kvadreringsregeln x 6x+9 (x 3) Om man är osäker på om det är rätt kan man utföra multiplikationen av termerna. Ett krav är att två av termerna måste vara kvadrater. Det ser man ganska enkelt. Dubbla produkten ser man sedan om den kommer stämma. Tecknet framför dubbla produkten avgör om det är första eller andra kvadreringsregeln. b) 16x +8x+1 = (x+1) Problem 1. Utveckla Lösning: (x+1) 3 (x+1) 3 (x+1)(x+1) (x+1)(x +x+1) x 3 +3x +x+x +x+1 x 3 +3x +3x+1 Håkan Strömberg 5 KTH STH
6 Problem 13. Med hjälp av konjugatregeln kan man ibland utföra en del multiplikationer i huvudet. Hur kan man förenkla 38 Lösning: 38 (0 )(0+) Problem 1. Använd första kvadreringsregeln på ett smart sätt för att bestämma 5 Lösning: 5 (50+) Problem 15. Förenkla 5t(t t 1) t (t 3)+t 3 Lösning: 5t(t t 1) t (t 3)+t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t )+t 3 5t 3 10t 5t t 3 +3t +t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna framför parenteserna. Behåll parenteserna då det finns ett minustecken strax framför. Utför inte fler steg på en gång än du klarar av! Problem 16. Bollens höjd y(x) över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln y(x) =.15+.1x 0.1x där x m från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y(.5) y(.0) Lösning: Givet y(x) =.15+.1x 0.1x Vi har fått i uppgift att bestämma y(.5) y(.0). y(.5) = =.8375 y() = =.71 y(.5) y() = = Kommentarer: Sätt in (substituera) x med respektive.5 och och låt räknedosan göra resten. Som extra bonus får du här funktionen plottad. Eftersom det handlar om basket är det inte förvånande att det här visar sig vara en kastparabel, en andragradsfunktion med negativ x -term. Figur 1: Håkan Strömberg 6 KTH STH
7 Utkastet sker antagligen från x = 0. Det verkar ju troligt att då spelaren står med händerna över huvudet så befinner sig bollen mer än meter över golvet (x-axeln). När bollen har nått x-koordinaten har bollen nästan nått sin högsta punkt. Om x =.5 verkligen är det x-värde då bollen nått maximal höjd kommer vi att kunna avgöra senare i kursen. Det vi fått som svar anger hur mycket bollen stigit från golvet sedan senaste avläsningen, x =. Problem 17. En 79 meter lång väg ska var färdig efter 10 dagar. Under 6 dagar arbetar 5 man och hinner med 135 meter. Hur många arbetare måste ytterligare anställas för att vägen skall bli bli färdig i rätt tid? Lösning: Antag att man behöver anställa ytterligare x arbetare. 5 man arbetar i 6 som ger 30 mandagar. Detta betyder att 1 man klarar = 9 meter/dag. Eftersom det återstår = 1 meter kommer det att behövas 9 (10 6) (x+5) = 1 som ger x = 3. Svar: Det behövs 3 extra arbetare. Problem 18. Förenkla ( ) p+1 ( p 1 ) Lösning: ( p+1 ) ( ) p 1 (p+1) (p 1) (p +p+1) (p p+1) p +p+1 p +p 1 p p Problem 19. Ett bilmärke ökade sin marknadsandel från 1.% till 15.5%. Hur stor var ökningen i a) procentenheter b) procent Lösning: a) Antalet procentenheter är = 3.1 b) Antag att det såldes 1000 bilar ena året. Då var = 1 stycken av vårt märke. Nästa år såldes det åter 1000 bilaroch då var = 155 av vårt märke. Antag att tillväxtfaktorn är x. x 1 = 155, som ger x = 1.5, vilket betyder att andelen steg med 5%. Svar: 3.1% respektive 5%. Men du behöver mer träning... Läxa 1. Förenkla så långt möjligt (x+h) 7(x+h) (x 7x ) Håkan Strömberg 7 KTH STH
8 Läxa. Faktorisera med kvadreringsreglerna a) 50a +0a+8 b) x 1xy+36y Läxa 3. Lös ekvationen 5x (x+1)(x 3) = 3(x+)(x ) Läxa. Beräkna exakt Läxa 5. Förenkla så långt möjligt 5x x 3x x Läxa 6. Förenkla så långt möjligt (3x+3y) 9 (x y) (x+y) Läxa Lösning 1. (x+h) 7(x+h) (x 7x ) (x+h) 7(x +h +hx) (x 7x ) x+h (7x +7h +1hx) x+7x x+h 7x 7h 1hx x+7x h 7h 1hx Kommentarer: Vilka bokstäver man använder spelar förstås ingen roll. Det går lika bra om man byter ut y mot h, som när man på lågstadiet byter äpplen mot päron. Kom nu ihåg att det är bäst att behålla parenteserna så länge! Har man flera bokstavsfaktorer i en term brukar det vara vanligt att ordna dem i bokstavsordning skriv hellre hx än xh. Läxa Lösning. a) Vi ska alltså använda kvadreringsreglerna baklänges. 50a +0a+8 (5a +0a+) (5a+) Kommentarer: Varken 50 eller 8 är heltalskvadrater. Därför kan vi inte tillämpa någon av reglerna direkt. Men om vi bryter ut ser det bättre ut. Det är alltså första kvadreringsregeln som kommer till användning här. b) x 1xy+36y x 1xy+(6y) (x 6y) Minustecknet framför dubbla produkten anger att det handlar om andra kvadreringsregeln. Håkan Strömberg 8 KTH STH
9 Läxa Lösning 3. Här dyker det plötsligt upp en ekvation, trots att vi ännu inte pratat om det! 5x (x+1)(x 3) = 3(x+)(x ) 5x (x 6x+x 3) = 3(x x+x 16) 5x x +5x+3 = 3x 8 5x x 3x +5x = 8 3 x = 51 5 Kommentarer: Starta med att utveckla parenteserna, men behåll dem. I andra steget tar vi bort parentesen på vänster sida och observerar samtidigt att det finns en minustecken framför den på vänstra sidan. På högra sidan kan vi multiplicera in 3 och samtidigt ta bort parentesen. Samla nu alla x och x -termer på vänster sida. Vilken tur att x -termerna försvann vi har ju inte talat om andragradsekvationer ännu! Resultatet 51/5 är lika med 10.. Läxa Lösning Först måste vi bestämma en gemensam nämnare och vi siktar in oss på MGN. 3 = 3 9 = = 3 16 = MGN= 3 3 = 1 Nu är det dags att förlänga I nästa steg får vi Svar: Summan är Läxa Lösning 5. Läxa Lösning x+15 + x 3x 5 x 5(x+3) + x(x 3) 5 x (x+3)+(x 3) x (3x+3y) 9 (x y) (x+y) 9x +18xy+9y 9 x 8xy+y (x +xy+y ) 9(x +xy+y ) 9 (x xy+y ) x xy y x +xy+y (x xy+y ) x xy y x +xy+y x +xy y x xy y x +xy y (x xy+y ) (x y) Håkan Strömberg 9 KTH STH
10 I varje uppgift du kommer att lösa under denna kurs ingår mer eller mindre manipulerande av uttryck, kallat algebra. Därför är det speciellt viktigt att du kan hantera denna disciplin. Problem 0. Förenkla Svar: x 3 x +3x Problem 1. Förenkla Svar: 3x 3y+z Problem. Förenkla Svar: x 7x+1 3x x +5x+3x +x 3 +x 6x x 3 3x x+y+3z+(x y z) (y 3x+x) (x+3y x) (x+1)(x+3) (x+)(x+3)+(x )(x 1) Problem 3. Förenkla (x 3 +x) (x 3 x) +(x 3 +x)(x 3 x) Svar: x 6 +x x Håkan Strömberg 10 KTH STH
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merLektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1
Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790
Läs merAlgebra, kvadreringsregler och konjugatregeln
Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy
Läs merAlgebra och rationella uttryck
Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr Förenkla x0 y 6 z 5 25 y 2 Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 ab b 5a - a² 9a där a 0. där b 0. Uppgift nr 4 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + 2x 3 ) Uppgift nr
Läs merALGEBRA OCH FUNKTIONER
ALGEBRA OCH FUNKTIONER Centralt innehåll Hantering av algebraiska uttrck och ekvationer. Generalisering av aritmetikens lagar. Begreppen polnom och rationellt uttrck. Kontinuerlig och diskret funktion.
Läs merFÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1
FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs merJavisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.
8-2 Förenkling av uttryck. Namn: eller Konsten att räkna algebra och göra livet lite enklare för sig. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad ett matematiskt uttryck är för någonting och hur man
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merHar du förstått? I De här talen är primtal a) 29,49 och 61 b) 97, 83 och 89 c) 0, 2 och 3.
PASS 5. FAKTORISERING AV POLYNOM 5. Nyttan av faktorisering och faktorisering av heltal Har vi nytta av att kunna faktorisera polynom? Ja det har vi. Bra kunskaper i faktorisering av polynom möjliggör
Läs merPASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa
PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA 4.1 Kvadreringsreglerna Kvadraten på en summa Den finländska modellfamiljen med mamma, pappa och två barn äger ett kvadratformat hus. Här nedan i figur 4 har vi en planritning
Läs merlena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur
lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs merDE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING
DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merManipulationer av algebraiska uttryck
Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..
Läs merAlgebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs merSammanfattningar Matematikboken Z
Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform
Läs mer8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn:
8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn: Inledning I kapitlet med matematiska uttryck lärde du dig hur man förenklade ett uttryck med en faktor framför en parentes genom att multiplicera varje
Läs merÖvning log, algebra, potenser med mera
Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs merLathund algebra och funktioner åk 9
Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merMatematik 3000 kurs B
Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs B Innehåll Kursöversikt...4 Så här jobbar du med boken...5 Studieenhet Sannolikhetslära...6 Studieenhet Linjära modeller...8 Studieenhet Icke-linjära
Läs merMatematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d)
1. b) c) d) a) Multiplikation med 100 kan förenklas med att flytta decimalerna lika många stg som antlet nollor. 00> svar 306 b) Använd kort division. Resultatet ger igen rest. Svar 108 c) Att multiplicera
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merRöd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA
Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merTal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merFria matteboken: Matematik 2b och 2c
Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons
Läs merTal Räknelagar Prioriteringsregler
Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.
Läs merEkvationssystem - Övningar
Ekvationssystem - Övningar Uppgift nr 1 y = 5x x + y = 54 Uppgift nr 2 y = 2x x + y = 12 Uppgift nr 3 y = 3x + 7 4x + y = 35 Uppgift nr 4 y = 4x - 18 3x + y = 38 Uppgift nr 5 2x - 2y = -4 x - 3y = 4 Uppgift
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar
Läs merSnabbslumpade uppgifter från flera moment.
Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva
Läs merRepetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.
Karlstads universitet Leif Ruckman Summasymbolen. Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. I stället för att skriva en lång instruktion att vissa värden skall summeras brukar man använda
Läs merLokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning
Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet
Läs merANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL. Matematikens grunder. för lärare. Anders Månsson
ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL Matematikens grunder för lärare Anders Månsson Extramaterial till boken Matematikens grunder för lärare (art.nr. 38994), Anders Månsson. Till Tallära-kapitlet: Andra
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merGaussiska primtal. Christer Kiselman. Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet
195 Gaussiska primtal Christer Kiselman Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet 1. Beskrivning av uppgiften. De förslag som presenteras här kan behandlas på flera olika sätt. Ett första syfte är
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar
Läs merEn ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning.
F5 LE1460 Analog elektronik 2005-11-23 kl 08.15 12.00 Alfa En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning. ( Impedans är inte samma sak som resistans. Impedans
Läs merRepetitionskurs i. elementär algebra, matematik. för DAI1 och EI1 ht 2014
Repetitionskurs i elementär algebra, matematik för DAI och EI ht 04 Chalmers Tekniska Högskola Reimond Emanuelsson II August 5, 04 Förord Detta kompendium är tänkt som en repetition av elementär algebra
Läs merI addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1
BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs mer8-1 Formler och uttryck. Namn:.
8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merLektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram
Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik 2.1.1 Potensfunktioner xmxn xm n x x x x 3 4 34 7 x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1
Läs mer7 Använd siffrorna 0, 2, 4, 6, 7 och 9, och bilda ett sexsiffrigt tal som ligger så nära 700 000 som möjligt.
Steg 9 10 Numerisk räkning Godkänd 1 Beräkna. 15 + 5 3 Beräkna. ( 7) ( 13) 3 En januarimorgon var temperaturen. Under dagen steg temperaturen med fyra grader och till kvällen sjönk temperaturen med sex
Läs merGrunderna i stegkodsprogrammering
Kapitel 1 Grunderna i stegkodsprogrammering Följande bilaga innehåller grunderna i stegkodsprogrammering i den form som används under kursen. Vi kommer att kort diskutera olika datatyper, villkor, operationer
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merSommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper
Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1
Läs merKonsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Läs merLösningsförslag Cadet 2014
Kängurutävlingen 2014 Cadet svar och korta lösningar Lösningsförslag Cadet 2014 1. A 0 2014 2014 2014 2014 = 0 2. D 21 mars Det blir torsdag senast om månaden börjar med en fredag. Då är det torsdag dag
Läs merMATMAT01b (Matematik 1b)
Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en
Läs merPOLYNOM OCH EKVATIONER. Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen
POLYNOM OCH EKVATIONER Torbjörn Tambour Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen Postadress Matematiska institutionen Stockholms universitet
Läs merFör att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2
Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merLite om räkning med rationella uttryck, 23/10
Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen
Läs merMatematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 digitala övningar med TI-82 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel
Läs merAlgebraiska räkningar
Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:
Läs merMatematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 2 digitala övningar med TI 82 Stat, TI 84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel
Läs merGYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER
2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4
Läs merLokala mål i matematik
Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merFöreläsningsanteckningar till Matematik D
Olof Bergvall Föreläsningsanteckningar till Matematik D Matematiska Institutionen Stockholms Universitet, Stockholm E-mail: olofberg@math.su.se Innehåll 1 Algebra......................................................
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs mer