Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p."

Ann Lindström
för 7 år sedan
Visningar:

1 Karlstads universitet Leif Ruckman Summasymbolen. Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. I stället för att skriva en lång instruktion att vissa värden skall summeras brukar man använda variabler och symbolspråk. Summera talen 2, 1, 2, 3, 3, och 1 kan istället skrivas med summasymbolen. X betyder att vi ska summer värdena för variabeln X. Och skall vi summera en funktion av X blir skrivsättet med mycket enklare än att i ord beskriva vad som skall göras. Kvadrera först alla tal och summera dem sedan skrivs helt kort X 2. Dra bort 2 från varje tal och summera sedan kan skrivas (X-2). Med hjälp av parenteser kan vi tala om i vilken ordning vi ska göra saker. X 2 betyder kvadrera först och summera sedan, medan (X) 2 betyder summera först och kvadrera sedan. X X 2 (X-2) (X-2) X=12 X 2 =28 (X-2)=0 (X-2) 2 =4 (X) 2 = 12 2 = 144 Ibland är vi intresserade av att summera produkten av två variabler X och Y. XY betyder att vi först skall multiplicera X och Y och sedan summera, eftersom multiplikation har högre prioritet än addition. X Y XY X=12 Y=11 XY=24 1

2 Ekvationslösning. Ekvationer av typen a x b löses genom att dividera båda leden med a. Lös ekvationen 8 x x x x=1.5 8 Ekvationen a b löses genom att först multiplicera båda leden med x. x Du får då ekvationen a b x vilken löses enligt ovan x x 10 x x= Ekvationer med bråkstreck. x x x Lös ekvationen Multiplicera alla termer med minsta gemensamma nämnare och förkorta sedan bort nämnarna. Minsta gemensamma nämnare för 12, 15 och 20 får vi genom att dela upp i primtal och Minsta gemensamma nämnare är då x x x x 4 x 3 x x 60 x=5. Olikheter. En olikhet, som innehåller x, löser du ungefär som en ekvation. Du får flytta över termer och multiplicera eller dividera båda leden med positiva tal. Om du multiplicerar eller dividerar båda leden med ett negativt tal måst du samtidigt vända olikhetstecknet. 2

3 Om vi dividerar båda leden i olikheten -6<15 med det negativa talet -3 så får vi 6 15 kvoterna 2 respektive 5. Det gäller att 2>-5. Du får denna olikhet genom 3 3 att dividera båda leden i den givna olikheten med -3 och samtidigt vända på olikhetstecknet. Lös olikheten 6 2 x x 4 2 x x 2 x<1. Observera att olikhetstecknet vände när vi dividerade med -2. x 2 2 Absolutbelopp. Absolutbeloppet av x, skrivs x, och är lika med talet självt om det är positivt. Om talet är negativt så tar man bort minustecknet. Absolutbeloppet av något är alltså alltid positivt. 3 = 3-5 = = -3 = 3 Geometriskt kan x-a uppfattas som avståndet mellan punkterna x och a på tallinjen. Avståndet mellan 4 och 7 är 3, oavsett från vilket håll vi går. Därför måste 4-7 = 7-4 = kan vi se som avståndet mellan punkten -2 och punkten = -2 0 = 2. Ekvationen x-1 = 3 betyder alltså att avståndet mellan punkten x och punkten 1 är 3. Punkterna 4 och -2 ligger på avståndet 3 från punkten 1. Ekvationen har rötterna x 1 =4 och x 2 =-2. Vi kan också skriva x-1 =3 x-1 = ±3 x = ±3 + 1 x 1 = 3+1 = 4 x 2 = -3+1 = -2 Olikheten x+2 < 5 kan även skrivas -5 < x+2 < 5, dvs. -7 < x < 3. Fakultet. x!, utläses x-fakultet, betyder x x 1 x 21 4! ! Inom kombinatoriken stöter man ofta på uttryck av typen 52!. 5!47! 3

4 Både 52! och 47! är mycket stora tal men uttrycket kan ändå beräknas ganska enkelt även med handräkning om man tänker på att 52! ( ) (47!) 47! kan då förkortas bort. 52! 5!47! (47!) ! ! ! Man kan visa att detta uttrycker antalet sätt man kan dra 5 kort från en vanlig kortlek. Alltså så många olika pokerhänder du kan få på given. I litteraturen förekommer olika beteckningar för detta uttryck. 52! 5!47! C 5 Generellt C r n n r n! r! n r! Övningsuppgifter. 1. Beräkna: a. 7! b. 6! c. (15-7)! d f. 15 C 6 g. h ! 7!28! e. 12! 2!10! 2. Ange vilka av följande påståenden som är sanna: a. -7>-8 b. 7<8 c d e >-3 2 4

5 3. Para ihop olikheterna nedan med rätt text. Mer än en text kan passa! a. x 2 b. x > 2 c. x < 2 d. x 2 (i) avståndet mellan x och 0 är högst 2. (ii) avståndet mellan x och 0 är mindre än 2. (iii) avståndet mellan x och 0 är större än 2. (iv) avståndet mellan x och 0 är minst 2. (v) x är minst -2 och högst 2. (vi) x är mindre än -2 eller större än 2. (vii) x är större än -2 och mindre än 2. (viii) x är högst -2 eller minst Para ihop olikheterna med rätt text. a. x>15 b. x 15 c. x 15 d. x<15 (i) x är högst 15 (ii) x är större än 15 (iii) x är mindre än 15 (iv) x är minst Para ihop olikheterna med rätt text. Mer än en text kan passa. a. x-5 2 b. x-5 > 2 c. x-5 < 2 d. x-5 2 (i) avståndet mellan x och 5 är minst 2. (ii) avståndet mellan x och 5 är mindre än 2. (iii) avståndet mellan x och 5 är större än 2. (iv) avståndet mellan x och 5 är högst 2. (v) x är minst 3 och högst 7. (vi) x är större än 3 och mindre än 7. (vii) x är mindre än 3 eller större än 7. (viii) x är högst 3 eller minst X Beräkna a. X b. X 2 c. (X) 2 d. (X-2) e. (X-2) 2 7. Lös ekvationerna; 10X 4 a. 12 5X = -8 b. 4 X 5 c x 5

6 8. Lös ekvationerna; a. 5X 7 = 8 b. d. 5 2Y 8 2 Y 2 Y Y 1 c. 2(5X 2) 3X = 4(3X 3) 7 e. 7X + X(5 3) = 8 + 3(2X 1) f. 2 X X Svar till uppgifterna. 1a 5040 b 720 c d (Antal lottorader) 1e 66 f 5005 g h Alla är sanna 3a iv viii b iii vi c ii vii d i v 4a ii b iv c i d iii 5a i viii b iii vii c ii vi d iv v 6a 10 b 150 c 100 d 0 e 130 7a X = 4 b X = -4 c X = 100 8a X = 3 b Y = -2 c X = 3 d Y = -3 e X = 5/3 8f Två rötter; X 1 = 0, X 2 =