Uppfriskande Sommarmatematik

Transkript

1 Uppfriskande Sommarmatematik Matematiklärarna på Bäckängsgymnasiet genom Johan Espenberg juni 206

2 Välkommen till Naturvetenskapsprogrammet GRATTIS till din plats på Naturvetenskapsprogrammet på Bäckängsgymnasiet! Hoppas du har ett härligt sommarlov och njuter av ledigheten. För att du ska få en så bra start som möjligt på din tid på Bäckäng så vill vi ge dig chansen att förbereda dig lite innan skolan startar. Av erfarenhet vet vi att elever som går i år på Naturvetenskapsprogrammet får ägna mycket tid åt matematikstudier. Första kursen studeras i högt tempo och ni ska klara av en 00-poängskurs på en termin. Det som brukar vara det största problemet är att de kunskaper som ni fått på högstadiet glömts av eller inte är tillräckligt aktuella. Därför har vi satt ihop ett repetitionshäfte med sådana avsnitt ur högstadiets matematikkurs som vi utgår ifrån att du kan när vi träffas i augusti. När du arbetar med detta häfte, gör du det inledande testet först. Alla uppgifter ska lösas utan miniräknare. Efter testet repeterar du de delar som du är osäker på och kommer då väl förberedd i augusti och därmed blir hela gymnasietiden lättare i matematik och i de andra naturvetenskapliga ämnena. Lägger du tid på matematiken redan nu blir det mer tid över till andra ämnen under höstterminen. LYCKA TILL OCH VARMT VÄLKOMMEN! Matematiklärarna på Bäckängsgymnasiet Häftet består av bidrag från Eva Hjelmgren, Johan Espenberg, Jörgen Glennåker, Lena Arvidsson, Maja Boger, Olga Helling och Per Nyström 2

3 Innehåll Inledande test 4 2 Prioriteringsregler 6 2. Övningar Potenser 8. Multiplikation och division av potenser Potenser av en potens Potenser av en produkt Övningar Enheter 0 4. Längdenheter och areaenheter Volymenheter Enheter för massa Övningar Bråkräkning 2 5. Addition och subtraktion av bråk Multiplikation och division av bråk Övningar Algebra 5 6. Uttryck och förenklingar Formler Övrningar Ekvationer 7 7. Övningar Svar till samtliga övningar 9 8. Inledande test Prioriteringsregler Potenser Enheter Bråkräkning Algebra Ekvationer

4 Inledande test Räkna igenom uppgifterna nedan utan miniräknare. Du hittar svaren längst bak i häftet. Öva extra mycket på de delar du känner dig osäker på.. Beräkna Beräkna + 6/2 +. Stämmer likheterna nedan? (a) = (2 + ) 2 (b) 8 + (9 4) = (c) 8 (9 4) = (d) + 6/2 + = (e) 40/2 5 = (f) 40/2 5 = Skriv som en potens med basen 5 (a) (c) /5 4 (b) (d) (5 ) 4 5. Skriv som potens utan parentes (a) (x) 2 (b) (2x ) 5 6. Omvandla till den enhet som står inom parentes (a) 25 cm (dm ) (b) 25 ml (dm ) (c) 25 cl (dm ) 7. Stämmer likheterna nedan? (a) 500 cm =, 5 (dm ) (b) 4000 cm 2 = 0, 4 (m 2 ) (c) 500 mg = 5 g 8. Beräkna och svara på enklaste form (a) (b) (c) / En smörgås kostar 2 kr och en banan 5 kr. Uttryck följande påståenden algebraiskt. (a) Kostnaden av att köpa s smörgåsar (b) Konstnaden av att köpa b bananer (c) Kostnaden att köpa s smörgåsar och b bananer. 4

5 0. Lös ut x ur nedanstående formler (a) y = 2x (b) y = x + 2 (c) y = x 5 (d) y = 4 x (e) y = 5 x + (f) y = 5 x +. Uttryck omkretsen O av följande figur med en formel. Figur : Uttryck omkretsen 2. Lös ekvationerna nedan (a) 5x + = 4 (b) 5x 9 = 4 (c) 2(x + ) = 5 (d) x 2 8 (e) x (f) x = = + x = 0 4 Du hittar lösningarna längst bak i häftet. 5

6 2 Prioriteringsregler I matematiken förekommer flera olika operationer. Några kända exempel är räknesätten addition, subraktion, multiplikation och division. Tabell : De fyra räknesätten Räknesätt Exempel Begrepp Addition + 5 = 8 term + term = summa Subtraktion 8 5 = term - term = differens Multiplikation 5 = 5 faktor faktor = produkt Division 5 5 = 5/5 = täljare nämnare = kvot När flera räknesätt förekommer i samma beräkning kommer resultatet bero på i vilken ordning dessa utförs. För att undvika förvirring finns det en uppsättning prioriteringsregler som talar om i vilken ordning olika operationer ska utföras.. Beräkna uttryck inom parenteser 2. Beräkna multiplikationer och divisioner. Beräkna additioner och subtraktioner Nedan följer fyra exempel som visar hur prioriteringseglerna fungerar. Exempel Beräkna Eftersom multiplikation går före addition blir det: = = 26 () Exempel 2 Beräkna (6 + 4) 5 Eftersom parenteser beräknas först blir det: (6 + 4) 5 = 0 5 = 50 (2) 6

7 Exempel Beräkna Eftersom division och multiplikation går före subtraktion blir det: = = 0 () Exempel 4 Beräkna Eftersom division och multiplikation går före subtraktion blir det: = = 0 (4) Exempel 5 Beräkna Om uttrycket, eller en del av det, är skrivet som ett bråk, så beräknas täljaren och nämnaren innan divisionen. Man kan se det som att det finns osynliga parenteser runt täljaren och nämnaren. Uttrycket blir: ( ) = (75 25) = = 2 2. Övningar. Beräkna följande uttrycks värden utan att använda räknare. (a) (b) (5 + 5) 4 (c) 5 2 (d) 5/ 2 (e) (f) (g) (h) 4 6 (i) 20/(2 5) (j) 20/2 5 (k) (l) / (m) 5/ (n) (o)

8 Potenser Ett tal i potensform består av en bas och en exponent enligt bas exponent, där exponenten talar om hur många gånger basen ska multipliceras med sig själv. Exempel 6 Uttrycket 4 betyder, alltså basen multiplicerad med sig själv 4 gånger. Varken bas eller exponent behöver vara heltal. Kanske vet du redan att x = x 0,5.. Multiplikation och division av potenser Det finns inga speciella regler för addition och subtraktion av potenser. Var noga med att inte använda regler för multiplikation av misstag! Vid multiplikation av potenser finns dock ett användbart samband. Exempel 7 Potensuttrycket 4 kan skrivas om utan potenser som. Vi får då multiplicerat med sig själv 4 + = 7 gånger. Vi kan alltså direkt se att 4 = 4+ = 7. Vid multiplikation av potenser med samma bas adderas alltså exponenterna. För två godtyckliga potenser med basen a gäller att a x a y = a x+y. Alltså är = 2 8, = 4 0 och x 2,5 x.7 = x 4.2. Vid division av potenser med samma bas är det också enkelt att se sambandet genom att skriva upp uttrycket utan potenser. Exempel 8 Talet kan skrivas om utan potenser som Vi kan sedan förkorta täljare och nämnare så långt det går och får då 4 4 = 4 2 = 4 5. Vid division av potenser gäller alltså 49 4 = = 4 5 och 2 2 = = 2 2. För två godtyckliga potenser med basen a gäller att ax = ax y. Dessa två räkneregler hör till de så kallade potenslagarna..2 Potenser av en potens Vi kan även multiplicera en potens med sig själv ett antal gånger. Följande multiplikation visar ett viktigt mönster. (5 2 ) = (5 2 ) = = 5 2 = 5 6. Vid potens av en potens multipliceras alltså exponenterna. Alltså är (8 5 ) 2 = 8 0 och (7, 4 ),5 = 7, 6. Generellt kan vi skriva: (a x ) y = a x y a y 8

9 . Potenser av en produkt Vid multiplikation så spelar faktorernas ordning ingen roll för värdet av produkten. Till exempel är 2 2 = 2 2. Exempel 9 Vi har (5 2) och kan då skriva uttrycket utan potens som = Nu kan vi skriva som potenser igen 5 2. Vi fick alltså (5 2) = 5 2. Potenser av en produkt kan utvecklas genom att exponenten läggs på varje faktor. Generellt kan vi skriva (a b) x = a x b x. Observera att detta inte stämmer vid potens av en addition. Detta är ett mycket vanligt fel. Exempel 0 Vi ska visa att (2+) 2 inte är samma sak som Det vänstra uttrycket blir: (2 + ) 2 = 5 2 = 25 medan det högra uttrycket blir =. Alltså har vi vi visat att reglerna för potens av en produkt inte kan användas vid potens av en summa..4 Övningar. Skriv en potens med basen 7 och exponenten. 2. Skriv i potensform (a) (b) z z z (c) Förenkla till en potens (a) 2 4 (b) 6, 5 6, 5 2 6, 5 4. Skriv utan parentes (c) (d) (e) (2 6 ) (f) (x 5 ) 2 (a) (7x) 2 (b) (2, 6y) 5 (c) (xy) 9

10 4 Enheter När vi anger hur långt, hur tungt eller kanske hur varmt något är så skriver vi detta med hjälp att ett tal som mutlipliceras med en enhet. En sträcka som är 4,5 m är lika lång som fyra och en halv meterstavar. En katt som väger 6,5 kg är lika tung som sex och en halv kilogramvikter. För att inte behöva använda onödigt stora tal för att ange mätvärden får många gånger ett prefix läggas till enheten. Exempel på prefix är milli, kilo och mega. Tabell 2: Några prefix Prefix Värde kilo 000 deci 0, = /0 centi 0,0 = /00 milli 0,00 = /000 I framförallt fysik och kemi är det viktigt att kunna byta mellan olika prfix för såväl längd-, area- och volymenheter. 4. Längdenheter och areaenheter Grundheten för längd är meter ( m). Andra varianter med prefix är exempelvis cm, km och dm. För längdenheter gäller prefixens värden rakt av. Alltså är till exempel km = 000 m och 00 cm = m. Grundenheten för area är m 2 som mostvarar ytan av en kvadrat med sidan m. Om vi jämför med arean av en kvadrat med sidan dm och därmed arean dm 2 så gäller inte längre prefixens värden rakt av. Detta beror på att vi beräknar area genom att multiplicera två längder och då multipliceras även prefixen. dm 2 = dm dm = 0, m 0, m = 0, 0 m 2 Kvadraten på enheten gäller även prefixet trots att man annars måste visa detta med en parentes i matematiken. Alltså gäller att. m 2 = 00 dm 2 = 0000 cm 2 = mm 2 dm 2 = 00 cm 2 cm 2 = 00 mm 2 Exempel Vi ska omvandla 25 dm 2 till m 2. Prefixet står egentligen för 0, 2 = 0, 0 så svaret blir 25 0, 0 m 2 = 0, 25 m 2 0

11 4.2 Volymenheter Grundenheten för volym är kubikmeter ( m ). Det motsvarar volymen av en kub med sidan m. Ofta används enheterna dm, cm och mm. Volym av flytande vätskor mäts ofta i liter (l), deciliter (dl) eller milliliter (ml). En liter motsvarar en kubikdecimeter. Precis som för areaaenheter gäller exponenten hos enheten även prefixet. m = 000 dm = cm = mm dm = 000 cm = l l = 0 dl = 00 cl = 000 ml Vi ser till exempel att ml = cm. Exempel 2 Vi ska uttrycka 7 l i m. 7 l = 7 dm = 7 0, m = 0, 07 m 4. Enheter för massa Grundheten för massa är kilogram (kg) och den enda grundenhet som från början innehåller ett prefix. Detta gör att man måste vara noggrann med att exempelvis mg inte är en tusendels, utan en miljondels kilogram. kg = 0 hg = 000 g = mg hg = 00 g ton = 000 kg 4.4 Övningar. Omvandla till den enhet som står inom parentes (a) 7 dm (m) (b) 0, 0 m (mm) (c) 5, 42 dm (cm) (d) 9200 m (km) (e) 0, 6 m (dm) (f) 0, 09 km (m) 2. Omvandla till den enhet som står inom parentes (a) 7, 8 dm 2 (cm 2 ) (c) 9800 mm 2 (m 2 ) (b) 0, 00m 2 (mm 2 ) (d) 899 cm 2 (dm 2 ) (e) 0, 082 km 2 (m 2 ) (f) 0 7 mm 2 (m 2 ). Omvandla till den enhet som står inom parentes (a) 2, 5 dl (cm ) (b) 0, 2 ml (mm ) (c) 200 l (m ) (d) 47 cm (dl) (e) 6 mm (cm ) (f), 2 cm (ml) 4. Omvandla till den enhet som står inom parentes (a) 2 ton (kg) (b) 9 hg (kg) (c) 700 g (kg) (d) 0, 5 kg (g) (e) 2 g (mg) (f) 4 mg (g)

12 5 Bråkräkning Bråkräkning är jätteviktigt! Det finns flera avsnitt i matematiken som blir svåra om man inte kan bråkräkning, man får då lägga tid på att kämpa med fel saker. Exempelvis blir ekvationslösning, sannolikhetslära, beräkningar utan miniräknare mycket enklare. Kan man bråkräkning så har man lättare för formelräkning inte minst i fysik och kemi. Bråkräkning är inte ett enskilt avsnitt som studeras för sig och fortast möjligt överges för decimaltal utan ett bra verktyg i sina fortsatta matematikstudier! Exempel Om man delar en pizza i fem lika stora delar och äter upp två av dem så har man ätit upp 2 av 5, vilket på matematiskt språk heter två femtedelar och skrivs 2 eller 2/5. 2:an heter täljare 5 och 5:an heter nämnare. 5. Addition och subtraktion av bråk För att kunna addera och subtrahera bråk måste de ha samma nämnare. Detta görs med en procedur som kallas förlängning. Exempel 4 Förläng 2 så att nämnaren blir 6. 2 = = 4 6 Bråkets värde har inte förändrats, bråket är anpassat. Exempel 5 Beräkna summan Vi måste få lika nämnare. Det räcker att förlänga det första bråket med = = 5 6 Exempel 6 Beräkna differensen 5 2. Vi måste få lika nämnare även här. Nu måste båda bråken förlängas till minsta gemensamma nämnare = = 7 6 2

13 5.2 Multiplikation och division av bråk Vid multiplikation eller division av bråk behövs inte någon omvandling till gemensam nämnare. Täljare och nämnare multipliceras var för sig. Exempel 7 Beräkna produkten 5 2. Multiplikationen kan beräknas direkt. 5 2 = 5 2 = 5 6 Ibland kan bråket behöva förkortas för att uttryckas på enklaste form. Denna gång saknar dock täljare och nämnare gemensamma faktorer. För att smidigt kunna dividera två bråk måste bråket i nämnaren inverteras. När ett bråk inverteras byter täljare och nämnare plats. Egentligen bildar man det bråk som vid multiplikation med orginalbråket ger produkten. Exempel 8 Invertera bråken 5 och 8. Vi byter helt enkelt plats på täljare och nämnare och får 5 och 8 = 8. Vi kan kontrollera att produkten mellan det ursprungliga och det inverterade bråket blir. 5 5 = 5 5 = 5 5 = Exempel 9 Beräkna kvoten 4 / 8. Vi inverterar bråket i nämnaren och får en multiplikation. / 4 8 = 4 8 Nu beräknas multiplikatonen som ovan. 4 8 = 8 4 = 24 4 = 6 En bra minnesregel är att om nämnaren är mindre än så blir kvoten större än täljaren. När vi beräknar divisionen förlänger vi egentligen det stora bråket med det inverterade bråket i nämnaren. Detta gör att det stora bråkets nämnare blir. 4 8 = = 4 8 = 4 8

14 5. Övningar. Beräkna summorna nedan (a) (b) (c) ) (d) ) 2. Beräkna differenserna eller summorna nedan (a) (b) (c) (d) Beräkna differenserna eller summorna nedan (a) (b) 7 2 (c) (d) Beräkna produkterna nedan (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2 (g) (h) Beräkna kvoterna nedan (a) (b) (c) (d) (e) (f)

15 6 Algebra Algebra betyder att man räknar med bokstäver som om de vore okända tal. Ofta används x, men de flesta bokstäver fungerar bra. Dock brukar sammanhanget ofta avgöra om något val av bokstav är speciellt lämpligt. I kemi och fysik förkortas flera storheter med en bokstav. Bokstäverna kallas för variabler om de kan anta många olika värden eller konstanter om de har ett bestämt, men kanske ej känt värde. Även termer som endast innehåller tal kallas för konstanter (eller konstanta termer), de behåller samma värde hela tiden. 6. Uttryck och förenklingar En styrka med algebra är att kunna ställa upp generella uttryck. Exempel 20 För att hyra en båt kostar det 200 kr i engångsavgift och sedan 25 kr per påbörjad timme. Utryck kostnaden med algebra om x står för antal påbörjade timmar. Vi ska multiplicera priset per timme med antal påbörjade timmar, x, och lägga till startavgiften på 200 kr. Uttrycket blir 25x När vi ställer upp ett uttryck måste det många gånger förenklas. Exempel 2 Låt kortsidan i en rektangel vara x och långsidan tre gånger så lång som kortsidan. Ställ upp och förenkla ett uttryck för rektangelns omkrets. Långsidan blir x och omkretsen blir då x + x + x + x. Alla termer i uttrycket innehåller enbart variabeln x utan någon potens och kan då skrivas som en enda term. Vi får x + x + x + x = 8x. Med hjälp av uttrycket kan vi snabbt beräkna vad rekangeln får för omkrets för olika värden på kortsidans längd. Ett uttryck behöver inte innehålla en enda typ av variabel olika bokstäver eller olika potenser av samma bokstav, till exempel x och x 2 räknas som olika symboler och kan vare sig adderas med varandra eller subtraheras från varandra. Exempel 22 En rektangel har kortsidan 2x och långsidan y+2. Ställ upp och förenkla ett uttryck för omkretsen. Vi får omkretsen 2x+2x+y +2+y +2. När uttrycket ska förenklas så har vi termer som innehåller endast x, termer som innehåller endast y och termer som inte innehåller någon okänd variabel. Vi måste addera dessa var för sig. Vi får 4x + 2y + 4 5

16 6.2 Formler Med algebra kan samband mellan två eller flera variabler uttryckas. Du vet sedan tidigare att hastigheten hos något som rör sig utan att accelerera beräknas genom att dividera den sträcka som färdats med den tid det tog. I fysiken brukar hastigheten betecknas med v, sträckan med s och tiden med t. Sambandet kan då skrivas v = s. Med hjälp av formeln kan vi t enkelt beräkna hastigheten så fort vi vet sträcka och tid. Formeln kan också omvandlas så att vi istället beräknar en tid om vi vet sträckan och hastigheten eller en sträcka om vi vet hastighet och tiden. Omvandlingen sker stegvis genom att, precis som då man löser ekvationer, utföra samma operation på både vänster- och högerled. Exempel 2 Lös ut t ur formeln v = s t. v t = s t Multiplicera båda led med t. t v t v t = s v = s v Dividera båda led med v. Vi är klara. 6. Övrningar. Förenkla uttrycken (a) a + a + b 2b (b) x 2 + x 2x + x 2 (c) 5z z (d) 4x 2x 2. Lös ut t ur formeln s = vt. Lös ut M ur formeln n = m M. 4. Lös ut m ur formeln ρ = m V. 5. Lös ut t ur formeln s = at Emma cyklar,2 km längre till skolan än Amed som cyklar x km. (a) Ställ upp ett uttryck för hur långt Emma cyklar till skolan. (b) Erik cyklar häften så långt som Amed. Ställ upp ett uttryck för hur långt Erik cyklar till skolan. (c) My cyklar en fjädedel så långt som Emma. Ställ upp och förenkla ett uttryck för hur långt My cyklar till skolan. 6

17 7 Ekvationer En ekvation är en likhet, en likhet mellan två uttryck. Uttrycket till vänster om likhetstecknet, som kallas för vänsterled (VL), är lika stort som uttrycket till höger, som kallas för högerled (HL). Minst det ena ledet innehåller en obekant variabel, som t.ex. x. Att lösa en ekvation handlar om att bestämma värdet på den obekanta variabeln genom att man löser ut den obekanta variabeln. Den obekanta variabeln skall till slut stå ensam kvar i det ena ledet. När man löser en ekvation måste man göra samma sak i båda leden. Vilket räknessätt man skall börja med avgörs av prioriteringsreglerna. Börja med de räknesätten som har lägst prioritet. Exempel 24 Vi ska lösa ekvationen 2x 7 =. VL är 2x - 7 och HL är. 2x 7+7 = +7 2x = 20 2x 2 = 20 2 x = 0 Vi adderar 7 till båda led. Vi delar båda led med 2 Nu har vi lösningen! Exempel 25 Vi ska lösa ekvationen x + 9 = 2 x + 9 = 2 Vi multiplicerar båda led med. x + 9 = 6 x = 6 9 Vi subtraherar båda led med 9 x = Nu har vi lösningen! 7

18 I nästa exempel ser du hur bråkräkning är viktigt för att hantera ekvationer. Exempel 26 Vi ska lösa ekvationen x + 5 = x x + 5 +x = x+x Vi adderar x till båda led. x x = x x = Vi förlänger x i VL med till x x x = Nu skriver vi VL på gemensamt bråkstreck och multiplicerar båda leden med 4x + 5 = 4x = 5 Vi subtraherar båda led med 5 4x 4 = 28 4 x = 7 Till slut dividerar vi båda led med 4 Nu har vi lösningen! 7. Övningar. Lös ekvationerna (a) 4x + 7 = 5 (b) = 2x 9 (c) x + 2 = x 2. Lös ekvationerna (a) x 5 = 4 (b) x + 4. Lös ekvationerna = 2x 9 (c) x + 2 = x (a) x = 0 + x 2 (b) x 2 x 4 = 5 (c) x 5 = 2x 2 4. Summan av tre tal som följer på varandra är 26. Vilka är de tre talen? 5. Differensen mellan ett tal och en femtedel av talet är 24. Vilket är talet? 6. I en rektangel är kortsidan fyra sjundedelar av långsidan. Rektangelns omkrets är 44 cm. Hur lång är kortsidan? 8

19 8 Svar till samtliga övningar 8. Inledande test Om likheterna stämmer (a) Nej (b) Ja (c) Nej (d) Nej (e) Nej (f) Ja 4. Talen som en potens med bas 5 blir (a) 5 4 (b) 5 0 (c) 5 5. Utan parentes blir det 6 (d) 5 2 (a) 9x 2 (b) (2 5 x 5 6. Enhetsomvandlingarna blir (a) 25 cm = 0, 025(dm ) (b) 25 ml = 0, 025(dm ) (c) 25 cl = 0, 25(dm ) 7. Stämmer likheterna nedan? (a) Ja (b) Ja (c) Nej 8. Beräkna och svara på enklaste form (a) = = 7 6 (b) = = 8 7 = 8 2 (c) / = = 5 7 = De algebraiska uttrycken blir (a) 2s (b) 5b (c) 2s + 5b 9

20 0. Formlerna blir (a) x = 2 y (b) x = y 2 (c) x = y + 5 (d) x = 4 y (e) x = 5 y (f) x = 5 y. O = 6a + 2b 2. Ekvationerna har lösningarna (a) x = 6 (b) x = 0 (c) x = 2 (d) x = 26 (e) x = 4 (f) x = 8.2 Prioriteringsregler. Uttryckens värden blir (a) 5 (b) 80 (c) 5 (d) (e) 4 (f) 2 (g) (h) 6 (i) 2 (j) 50 (k) 50 (l) 7 (m) 9 (n) 20 (o) 2 8. Potenser I potensform blir det (a) 4 (b) z (c) Efter förenkling får vi (a) 6 (b) 6, 5 6 (c) 0 5 (d) 5 2 = 5 2 (e) 2 8 (f) x 0 4. Utan parenteser blir det (a) 49x 2 (b) 2, 6 5 y 5 (c) 27x y 20

21 8.4 Enheter. Efter omvandling blir det (a), 7 m (b) mm (c) 54, 2 cm (d) 9, 2 km (e) 6, dm (f) 9 m 2. Efter omvandling blir det (a) 780 cm 2 (b) 00 mm 2 2 (c) 0, 0098 m (d) 8, 99 dm 2 2 (e) m (f) 0 m 2. Efter omvandling blir det (a) 250 cm (b) 200 mm (c), 2 m (d) 0, 47 dl (e) 0, 06 cm (f), 2 ml 4. Efter omvandling blir det (a) 2000 kg (b) 0, 9 kg 8.5 Bråkräkning. Summorna blir (c) 0, 700 kg (d) 500 g (e) 2000 mg (f) 0, 004 g (a) 4 (b) 5 8 (c) 7 0 (d) Summorna eller differenserna blir (a) 7 8 (b) 4 25 (c) 49 (d) 6. Summorna eller differenserna blir (a) 40 (b) 22 (c) 55 6 (d) 2 4. Produkterna blir (a) 2 5 (b) (c) 7 5 (d) 5 8 (e) (f) (g) (h) 2 5. Kvoterna blir (a) 4 5 (b) 5 6 (c) 2 (d) 4 (e) 9 2 (f) 20 2

22 8.6 Algebra. Uttrycken förenklas till (a) 4a b (b) 4x 2 + x (c) 2z (d) 2 2. t = s v. M = m n. 4. m = ρv. 2s 5. t = a. 6. Uttrycken blir (a) x +, 2 (b) x 2 (c) x + 0, Ekvationer. Ekvationerna har lösningarna (a) x = (b) x = 6 (c) x = 2 2. Ekvationerna har lösningarna (a) x = 70 (b) x = 7 (c) x =. Ekvationerna har lösningarna (a) x = 6 (b) x = 20 (c) x = 4. Talen är 7, 72 och 7. (Ekvationen blir x + (x + ) + (x + 2) = 26 och lösningen är x = 7.) 5. Talet är 0. Ekvationen blir x x 5 = Kortsidan ( är ) 4 cm. Ekvationen blir (om kortsidan är x cm) 4x 2x + 2 =