Studieplanering till Kurs 1b Grön lärobok

Transkript

1 Studieplanering till Kurs 1b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad genomgång som visar hur du kan lösa en viss uppgift. Genomgångarna hittar du på Elevwebben på Börja med att läsa igenom den korta sammanfattningen så att du får en snabbrepetition av avsnittet. Efter sammanfattningen finns en tabell med förslag på grundläggande uppgifter som du kan börja med att räkna. När du har räknat klart en uppgift stryker du över den i tabellen (så att du håller reda på vilka uppgifter du har räknat). Behöver du anteckna något så finns det tomma rader bredvid. Under tabellen finns en rad med tomma rutor. Där kan t.ex. din lärare fylla i fler uppgifter som du kan fortsätta med. I slutet av varje kapitel får du ytterligare förslag på uppgifter som hjälper dig att repetera kapitlets innehåll. Kapitel 1 Aritmetik Om tal Avsnitt Egna anteckningar Positiva tal En siffras placering avgör dess värde. I talet har siffran 7 värdet och siffran 2 värdet miljon = miljard = Räknesätt Addition = 17 term + term = summa Subtraktion 17 3 = 14 term term = differens Multiplikation 6 3 = 18 faktor faktor = produkt Division 18/3 = 6 täljare/nämnare = kvot Räkneordning I uttryck med flera räknesätt beräknar man 1 först parenteser 2 sedan potenser 3 därefter multiplikationer och divisioner 4 sist additioner och subtraktioner 40 4(5 2) 2 = = = = 4 1 Aritmetik Om tal 1

2 Primtal Alla positiva heltal större än 1 är antingen primtal eller sammansatta tal. Primtal är bara delbara med 1 och sig själv. Sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer. 41 är ett primtal 42 är ett sammansatt tal 42 = Tal i decimalform 0,3 = 3 tiondelar 0,06 = 6 hundradelar 0,002 = 2 tusendelar 0,17 kan utläsas 17 hundradelar eller 1 tiondel och 7 hundradelar Multiplikation och division med 100 och 0,01 3,2 100 = 320 3,2 0,01 = 0,032 3,2 3,2 = 0,032 = , Aritmetik Om tal 2

3 Negativa tal Jämförelser Med ord Med olikhetstecken 2 är större än 3 2 > 3 9 är mindre än 7 9 < 7 Beräkningar = = 2 Addition och subtraktion 12 + ( 3) = 12 3 = 9 12 ( 3) = = 15 Multiplikation och division Lika tecken ger positivt resultat. ( 12) ( 3) = 36 Olika tecken ger negativt resultat ( 3) = 36 3 = 4 12 ( 12) 3 = 36 = Tal i bråkform Förkortning (med 7) Förlängning (med 7) = / = / 7 9 = = 63 Med förhållandet mellan två tal menas kvoten av talen. Förhållandet mellan 150 och 200 är = Förhållandet 3/4 skrivs ofta 3: Addition och subtraktion Bråken förlängs så de får samma nämnare = = = Aritmetik Om tal 3

4 Multiplikation = = = = = 3 28 Division Att dividera med ett bråk ger samma resultat som att multiplicera med bråkets inverterade tal = = = Potenser 2 5 kallas en potens med basen 2 och exponenten = ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8 Potenslagar Definitioner = = = 54 2 = = (5 3 ) 7 = = = 1 (5 r) 2 = 5 2 r 2 = 25r Aritmetik Om tal 4

5 Grundpotensform Talet skrivs på formen a 10 n. a är ett tal i decimalform, mindre än 10 och större än eller lika med 1. 1 a < = 7, , = 2, Några prefix T tera c centi 10 2 G giga 10 9 m milli 10 3 M mega 10 6 μ mikro 10 6 k kilo 10 3 n nano 10 9 h hekto 10 2 p piko d deci 10 1 f femto T ex 4 GB = B 5 μm = m Talsystem med olika baser 304 fem = ( ) tio = = ( ) tio = 79 tio två = ( ) tio = = ( ) tio = = 18 tio 1 Aritmetik Om tal 5

6 Titta och lyssna gärna på följande länkar: s. 54 Talsystem med olika baser s. 56 Uppgift Problemlösning Många matematiska problem kan lösas med följande strategi: 1 Förstå problemet. (Vad ska beräknas?) 2 Gör upp en plan. (Hur, och i vilken ordning, ska beräkningarna ske?) 3 Genomför planen. (Utför och redovisa beräkningarna. Ska svaret avrundas?) 4 Värdera resultatet. (Är svaret rimligt? Finns det även andra lösningar?) Avrundning Om första siffran efter avrundningssiffran är 0, 1, 2, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran. Om första siffran efter avrundningssiffran är 5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran. 374,3 374 (avrundat till heltal) 63,148 63,15 (avrundat till hundradelar) Överslagsräkning Vid överslagsräkning byter man ut de givna talen mot närliggande tal som gör att beräkningarna blir lättare att göra i huvudet = , = Aritmetik Om tal 6

7 Diagnos 1 Gör Diagnos 1 på sidan 73 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 1 I Blandade övningar kapitel 1 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 349. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 1 Aritmetik Om tal 7

8 Kapitel 2 Procent Avsnitt Egna anteckningar Procent, promille och ppm 1 1 procent = 1 % = 1 hundradel = = 0, promille = 1 = 1 tusendel = = 0, ppm = 1 miljondel = = 0, Andelen, delen och det hela 15 % av 200 kr = 30 kr andelen det hela delen Vi söker delen 15 % av 200 kr = 0, kr = 30 kr Vi söker andelen delen andelen = det hela 30 kr = = 0,15 = 15 % 200 kr Vi söker det hela 15 % av ett tal är % av talet är = % av talet är = Procent 8

9 Förändringsfaktor Förändringsfaktorn 1,25 anger en ökning med 25 %. 0,92 anger en minskning med 8 %. nya värdet Förändringsfaktorn = gamla värdet Effekten minskar från 360 W till 315W Förändringsfaktorn = 315 = 0, Minskningen är 100% 87,5% = 12,5% Nya värdet = förändringsfaktorn gamla värdet Priset 400 kr ökar med 25 % : Nya priset = 1, kr = 500 kr Priset 400 kr minskar med 8 % : Nya priset = 0, kr = 368 kr Upprepade förändringar Om ett värde först ökar med 40 % och sedan minskar med 20 %, blir den totala förändringsfaktorn 1,4 0,8 = 1,12. Den totala ökningen är 12 % Procent 9

10 Procentenheter En ökning från 4 % till 6 % är en ökning med 2 procentenheter en ökning med 50 % Lån, ränta och amortering Att låna pengar kostar. Ränta är en kostnad som anges med en räntesats i procent, vanligen årsvis. En månadsränta på 10 % motsvarar en enkel årsränta på 120 %. Om kr på ett bankkonto växer med 5 % per år, blir behållningen efter 4 år ,05 4 kr. När vi betalar tillbaka lånet betalar vi ränta samt amorterar, dvs betalar av på själva lånet. Utöver ränta kan också olika avgifter finnas, t ex uppläggningsavgift och aviseringsavgift. Effektiv ränta är ett jämförpris på krediter. I den är ränta och avgifter omvandlade till en genomsnittlig årsränta Index Index är ett jämförelsetal som visar procentuell förändring i förhållande till basårets index, som är 100. Titta och lyssna gärna på följande länkar: s. 116 Index s. 119 Uppgift Procent 10

11 Diagnos 2 Gör Diagnos 2 på sidan 123 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 2 I Blandade övningar kapitel 2 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 1 2 på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 350. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 2 Procent 11

12 Kapitel 3 Algebra Avsnitt Egna anteckningar Uttryck x kallas för ett uttryck. Värdet på talet x kan variera och x kallas för en variabel. Uttryckets värde när x = 3 är = = 36 Förenkla uttryck Föra samman termer av samma slag 5x x 2 x + 3 = x 2 + 4x + 10 Ta bort parenteser 9 + (x 3) = 9 + x 3 = 6 + x 9 (x 3) = 9 x + 3 = 12 x Multiplicera in 5(x 2) = 5x 10 Förkorta 3x + 6 3x 6 = + = x Om variabeln i ett uttryck ersätts av ett tal så ska uttryckets värde före och efter förenkling vara lika Ekvationer En ekvation är en likhet där ett (eller flera) tal är okänt, t ex x + 4 = 19, där x står för det okända talet. En lösning eller rot till ekvationen är ett värde på x som gör att vänster led = höger led (VL = HL) I ekvationen ovan är x = 15 en lösning. Allmänna metoder När man löser en ekvation får man addera samma tal till ekvationens båda led subtrahera samma tal från ekvationens båda led multiplicera ekvationens båda led med samma tal dividera ekvationens båda led med samma tal. Vid division får talet i nämnaren inte vara lika med noll. Ex: 2x 3 = 11 2x = x = 14 2 x 14 = 2 2 x = 7 3 Algebra 12

13 Prövning Du kan pröva ditt svar när du löst en ekvation. Om VL = HL har du hittat en korrekt lösning Kvadrater och kvadratrötter 9 2 = 9 9 = 81 (uttalas nio i kvadrat ) 9 = 3 (uttalas kvadratroten ur nio ) Potensekvationer x 2 = 25 har lösningen x 1 = 25 = 5 och x 2 = 25 = 5 x 5 = 30 har lösningen (x 5 ) 1/5 = 30 1/5 x = 30 1/5 1, /5 5 är detsamma som Algebra 13

14 Formler b h A = 2 En formel beskriver ett samband. Ofta skrivs en formel med en variabel i det vänstra ledet och ett uttryck i det högra ledet Linjära olikheter Räkning med olikheter följer, frånsett ett undantag, samma regler som räkning med likheter (ekvationer). Undantag: Då båda leden multipliceras eller divideras med ett negativt tal måste olikhetstecknet vändas. Titta och lyssna gärna på följande länkar: s. 169 Uttryck och ekvationer med parenteser s. 170 Uppgift Algebra 14

15 Diagnos 3 Gör Diagnos 3 på sidan 181 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 3 I Blandade övningar kapitel 3 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 1 3 på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 351. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 3 Algebra 15

16 Kapitel 4 Geometri Avsnitt Egna anteckningar Area, omkrets och volym Parallellogram Area = bh Specialfall: Rektangel (räta vinklar) och kvadrat (även alla sidor lika). Parallelltrapets a h Triangel h b b h b b Area = ha ( + b) 2 Cirkel Omkrets = π d = 2πr 2 Area = π r πd = 4 2 Area = b 2 h r d Prisma Volym = Bh Specialfall: Rätblock (6 rektanglar som begränsningsytor) och kub (6 kvadrater som begränsningsytor). B h Geometri 16

17 Enhetsomvandlingar 1 m 2 = 100 dm 2 = cm 2 = mm 2 1 m 3 = dm 3 = cm 3 = 10 9 mm Area, omkrets och volym Rak cirkulär cylinder Volym = B h = πrh 2 Mantelarean = 2 πrh Totalarean = 2πrh+ 2πr 2 = B r h Pyramid Volym = B 3 h h B Rak cirkulär kon 2 Volym = Bh π r h 3 = 3 B h r s Klot Volym = 4 πr 3 3 r Area = 4πr Geometri 17

18 Vinklar v v Spetsig vinkel Trubbig vinkel 0 < v < < v < 180 Likbent triangel Liksidig triangel Basvinklarna lika Alla vinklar 60 Sidovinklar u + v = 180 Vertikalvinklar x = v y x u v L L 1 2 L 1 och L 2 är parallella x = y (alternatvinklar) b b c a c a d Triangel Fyrhörning a + b + c = 180 a+ b + c + d = Logiska symboler Dubbelpilen är en ekvivalenspil. Den utläses om och endast om. Enkelpilen är en implikationspil. Den utläses medför. Titta och lyssna gärna på följande länkar: s. 218 Implikation och ekvivalens s. 219 Uppgift Geometri 18

19 Pythagoras sats a c b Triangeln är rätvinklig c 2 = a 2 + b Skala En modell i skalan 1:40 (eller 1/40) betyder att modellen är en förminskning alla verkliga mått har dividerats med 40. En modell i skalan 5:1 (eller 5) betyder att modellen är en förstoring alla verkliga mått har multiplicerats med 5. Symmetrier En figur har linjesymmetri om den kan delas i två halvor av en linje, där halvorna är varandras spegelbilder. En figur har rotationssymmetri om man kan få en identisk bild av figuren när man vrider den runt mittpunkten. 4 Geometri 19

20 Diagnos 4 Gör Diagnos 4 på sidan 239 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 4 I Blandade övningar kapitel 4 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 1 4 på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 352. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 4 Geometri 20

21 Kapitel 5 Sannolikhetslära och statistik Avsnitt Egna anteckningar Enkla slumpförsök Om alla utfall har samma chans att inträffa gäller antalet gynnsamma utfall Sannolikhet = antalet möjliga utfall Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1. Exempel: Sannolikheten att dra en grön kula är 3 gynnsamma utfall av 7 möjliga utfall. P (grön) = 3 7 P (vit) = Frekvenstabell Ska du övningsköra när du fyller 16 år? Svar Avprickning Frekvens (antal) Relativ frekvens (%) Ja //// //// // 12 12/20 = 0,60 = 60 % Nej //// 5 5/20 = 0,25 = 25 % Vet inte /// 3 3/20 = 0,15 = 15 % Summa % Slumpförsök i flera steg En skytt skjuter två skott mot en tavla. I båda skotten gäller: P (träff) = 0,7 P (bom) = 0,3 Försöket kan beskrivas med ett träddiagram: träff 0,7 0,3 bom 0,7 0,3 0,7 0,3 träff bom träff bom 0,49 0,21 0,21 0,09 5 Sannolikhetslära och statistik 21

22 Sannolikheten för en gren = produkten av sannolikheterna längs grenen Beroende händelser Exempel: Skålen innehåller 3 röda och 2 vita kulor. Vi drar två kulor utan återläggning. Färgen på den första kulan påverkar sannolikheten för färgen på den andra. P (olika färg) = P (röd, vit) + P (vit, röd) = = = 3 5 B Statistik Några olika typer av diagram: Stapeldiagram Linjediagram % 40 Andel dagligrökare i åldern år liter/min 4, ,5 3,0 2,5 2,0 1,5 Män Kvinnor 0 Män Kvinnor 1,0 0, År Stolpdiagram Cirkeldiagram 6 Frekvens Portugal Grekland 4 2 Spanien Italien Storlek Frankrike Histogram används när materialet består av många olika tal som har delats in i klasser. Båda axlarna graderas med tal. 5 Sannolikhetslära och statistik 22

23 Lägesmått summan av talen Medelvärde = antalet tal Typvärde = det eller de värden som är vanligast förekommande Medianen är talet i mitten när talen står i storleksordning. Om två tal står i mitten, beräknas medelvärdet av dessa Diagnos 5 Gör Diagnos 5 på sidan 291 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 5 I Blandade övningar kapitel 5 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 1 5 på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 353. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 5 Sannolikhetslära och statistik 23

24 Kapitel 6 Grafer och funktioner Avsnitt Egna anteckningar Koordinatsystem I punkten (5, 2) är x = 5 och y = 2. Om vi sammanbinder flera punkter i ett koordinatsystem får vi en graf. Rita en graf till en formel för hand 1 Välj några x-värden och gör en värdetabell med tillhörande y-värden. 2 Gör ett koordinatsystem där axlarna är graderade på lämpligt sätt och pricka in dina punkter (x, y). 3 Sammanbind punkterna till en graf Proportionalitet En proportionalitet kan skrivas y = kx. Om x fördubblas så fördubblas även y. Grafen är en rät linje genom origo Funktionsbegreppet Om sambandet mellan två variabler x och y är sådant att varje x-värde ger ett (och bara ett) y-värde så är y en funktion av x. Funktionsregeln kan ges med ord, med en formel, med en tabell eller med en graf. En formel är en ekvation med flera variabler, t ex y = 2x + 5. Om funktionsregeln kallas f så är f (x) det y-värde som hör till talet x. T ex: f (x) = 70x ger att f (3) = 210 vilket innebär att grafen går genom punkten (3, 210). 6 Grafer och funktioner 24

25 Titta och lyssna gärna på följande länkar: s. 316 Funktioner s. 319 Uppgift Linjära funktioner En linjär funktion kan skrivas y = kx + m. m ger skärningen med y-axeln ( startvärdet ) k visar linjens lutning (hur snabbt y ändras) k = (ändring i y) /(ändring i x) y = 2x 1 y k = 2 y stiger med 2 m = 1 1 x för varje x. m = 1 1 k = 1 y faller med 1 för varje x. y = x Exponentialfunktioner Funktionen y = C a x där C och a är konstanter (a > 0, a 1) kallas exponentialfunktion. C ger skärningen med y-axeln ( startvärdet ). a kan ses som en förändringsfaktor. C = 10 C = y 2 y = 5 1,5 x y = 10 0,6 x 4 x a > 1 funktionen växer. a < 1 funktionen avtar Grafer och funktioner 25

26 Potensfunktioner Funktionen y = C x a där C och a är konstanter är en potensfunktion Olika matematiska modeller En proportionalitet eller en linjär funktion kan användas som matematisk modell för förlopp där förändringshastigheten är konstant. Om förändringen i procent är densamma hela tiden är en exponentialfunktion en lämplig modell Diagnos 6 Gör Diagnos 6 på sidan 343 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 6 I Blandade övningar kapitel 6 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 1 6 på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 355. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 6 Grafer och funktioner 26