Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok

Transkript

1 Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad genomgång som visar hur du kan lösa en viss uppgift. Genomgångarna hittar du på Elevwebben på Börja med att läsa igenom den korta sammanfattningen så att du får en snabbrepetition av avsnittet. Efter sammanfattningen finns en tabell med förslag på grundläggande uppgifter som du kan börja med att räkna. När du har räknat klart en uppgift stryker du över den i tabellen (så att du håller reda på vilka uppgifter du har räknat). Behöver du anteckna något så finns det tomma rader bredvid. Under tabellen finns en rad med tomma rutor. Där kan t.ex. din lärare fylla i fler uppgifter som du kan fortsätta med. I slutet av varje kapitel får du ytterligare förslag på uppgifter som hjälper dig att repetera kapitlets innehåll. Kapitel Algebra och linjära modeller Avsnitt Egna anteckningar Repetition av kurs b Uppgifter: Algebra och linjära modeller

2 Räta linjens ekvation Räta linjens ekvation kan skrivas y = k x + m där k anger lutningen och m anger var linjen skär y-axeln. Linjen y = 2 x 7 skär y-axeln i punkten (0, 7). Bestämning av k ur en graf y y y = 3 x = 2 x x = y = 3 x y k = x = 3 2 = y 5, k = x = 3 = 3 k > 0, linjen stiger k < 0, linjen faller En horisontell linje har k = 0 och en ekvation av typen y = 3 En vertikal linje saknar k-värde och har en ekvation av typen x = 3 Formeln för k förändringen i y-led k = förändringen i x-led = y x = y y 2 x 2 x där x 2 x Algebra och linjära modeller 2

3 Parallella linjer och vinkelräta linjer Två icke-vertikala linjer med riktningskoefficienter k och k 2 är parallella om och endast om k = k 2 (har samma k-värde) vinkelräta om och endast om k k 2 = Olika former av räta linjens ekvation k-formen y = kx + m enpunktsformen y y = k(x x ) allmänna formen ax + by + c = 0 Att ställa upp ekvationen för en linje Linjen har k = 3 och går genom punkten ( 2, ). Metod Metod 2 ( k-formen) (Enpunktsformen) y = kx + m y y = k(x x ) y = 3x + m y = 3(x + 2) x = 2 och y = ger y = 3x + 7 = 6 + m y = 3x Algebra och linjära modeller 3

4 Linjära ekvationssystem Varje ekvation i ett linjärt ekvationssystem med två obekanta x och y betyder grafiskt en rät linje. Att lösa ett ekvationssystem innebär att vi söker ett x och ett y som satisfierar båda ekvationerna. Grafisk lösning Grafisk lösning innebär att vi avläser skärningspunkten mellan linjerna. Det finns tre möjliga fall: y y 3 x x En lösning. Linjerna skär varandra i en punkt. 2 Ingen lösning. Linjerna är parallella (samma k-värde, olika m-värden). 3 Obegränsat antal lösningar. Linjerna sammanfaller (samma k-värde, samma m-värde) Algebraisk lösning Metod (substitutionsmetoden) Lös ut x eller y ur den ena ekvationen och sätt in i den andra ekvationen. Metod 2 (additionsmetoden) Multiplicera ekvationerna med lämpliga tal, så att x eller y försvinner då ekvationerna adderas ledvis. Titta och lyssna gärna på följande länkar: s. 68 Tillämpningar och problemlösning s. 70 Uppgift Algebra och linjära modeller 4

5 Diagnos Gör Diagnos på sidan 77 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel I Blandade övningar kapitel kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 272. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. Algebra och linjära modeller 5

6 Kapitel 2 Algebra och ickelinjära modeller Avsnitt Egna anteckningar Polynom Några begrepp Uttrycket 2 x 3 4 x + 5 är ett polynom. Konstanttermen är 5. Variabeltermerna är 2 x 3 och 4 x. Talen 2 och 4 kallas koefficienter. Termen 2 x 3 anger att vi har ett tredjegradspolynom. Multiplikation x(3 x ) = 3 x x 2 ( x 4)(2 x 5) = 2 x 2 5 x 8 x + 20 = 2 x 2 3 x + 20 Titta och lyssna gärna på följande länk: s. 86 Vad är ett polynom? Konjugatregeln och kvadreringsreglerna (a + b) (a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a a b + b 2 (a b) 2 = a 2 2 a b + b 2 Exempel: (2 x + 5)(2 x 5) = 4x 2 25 (3 + 2y ) 2 = y + 4 y 2 (3x 4) 2 = 9 x 2 24x + 6 Titta och lyssna gärna på följande länk: s. 92 Uppgift Algebra och ickelinjära modeller 6

7 Faktorisera Bryta ut är motsatsen till att multiplicera in. Bryta ut 5x 2 x = x(5x ) Multiplicera in Andragradsekvationer Kvadratrotsmetoden x 2 5 = 0 x 2 = 5 har rötterna x = ± 5 Nollproduktmetoden x x = 0 x( x + 0) = 0 x = 0 eller x + 0 = 0 x = 0 x 2 = 0 En andragradsekvation med kända rötter kan skrivas med hjälp av omvändningen av nollproduktmetoden. Exempel: x = 2 och x 2 = 8 är rötter till ekvationen (x 2)(x + 8) = 0 dvs x 2 + 6x 6 = Lösningsformeln x 2 + p x + q = 0 x = p 2 ± ( p 2 ) 2 q Exempel: x x 5 = 0 har lösningarna x = 2 ± 4+5 x = 2 ± 3 x = x 2 = 5 Om vi får ett negativt tal under rottecknet, saknar ekvationen reella rötter. 2 Algebra och ickelinjära modeller 7

8 Komplexa tal Det imaginära talet i har egenskapen att i 2 =. Ekvationen z 2 2z + 5 = 0 har komplexa rötter z = ± 4 z = ± 2i z = + 2i z 2 = 2i Andragradsfunktioner En andragradsfunktion kan skrivas y = a x 2 + b x + c, där a 0 Grafen har en maximipunkt om a < 0 har en minimipunkt om a > 0 skär y-axeln i (0, c) är symmetrisk kring symmetrilinjen har nollställen om ekvationen y = 0 har reella lösningar. Exempel: y = 2x 2 8x Symmetrilinje x = 2 6 x = och x = 3 är nollställen Minimipunkt 2 0 (2, 2) 2 Funktionens minsta värde är 2. 2 Algebra och ickelinjära modeller 8

9 Potenser och potensekvationer 2 5 kallas en potens med basen 2 och exponenten 5. Potenslagar Definitioner = = = = = 5 2 (5 3 ) 7 = = = (5r) 2 = 5 2 r 2 = 25r Potensekvation x 2 = 3, x > 0 har den positiva roten x = 3 /2, Algebra och ickelinjära modeller 9

10 Exponentialfunktioner och logaritmer Potensfunktion y = C x a (C och a är konstanter) Exponentialfunktion y = C a x (C och a är konstanter, a > 0, a ) Logaritmer 0 x = y x = lg y (y > 0) x = 0-logaritmen för y. Logaritmlag lg x p = p lg x Exponentialekvation Exempel utan räknare 0 x = 000 x = lg 000 = 3 0 x = 0,00 x = lg 0,00 = 3 Exempel med räknare 0 x = 40 x = lg 40,60 Exempel algebraisk lösning: 8 3 x = 5 3 x = 5/8 lg 3 x = lg (5/8) x lg 3 = lg (5/8) lg (5/8) x = 0,572 lg 3 Exempel grafisk lösning: 00,02 x = 60 Rita grafen till y = 00,02 x och y = 60. Avläs x-värdet i skärningspunkten Algebra och ickelinjära modeller 0

11 Diagnos 2 Gör Diagnos 2 på sidan 55 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 2 I Blandade övningar kapitel 2 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 2 på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 274. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 2 Algebra och ickelinjära modeller

12 Kapitel 3 Geometri Avsnitt Egna anteckningar Vinklar Några definitioner Sidovinklar u + v = 80 Vertikalvinklar x = v y x u v L L 2 L och L 2 är parallella x = y (alternatvinklar) L och L 2 är parallella v = y (likbelägna vinklar) En bisektris är en stråle som delar en vinkel mitt itu Yttervinkelsatsen y = a + b a b c y Randvinkelsatsen x v z u u x = v = z u = 2 v 80 En randvinkel på en halvcirkelbåge är 90. För en fyrhörning inskriven i en cirkel gäller u + v = 80 v Geometri 2

13 Likformighet I likformiga geometriska figurer gäller att motsvarande vinklar är lika stora och att förhållandet mellan motsvarande sidor är lika Topptriangel- och transversalsatsen C Om DE är parallell med AB gäller D E A B = C D A C = C E B C D E C D A D = C E A B B E Titta & lyssna gärna på följande länk: s. 78 Topptriangelsatsen och transversalsatsen Kongruens Två geometriska figurer är kongruenta om de har exakt samma storlek och form. Titta och lyssna gärna på följande länk: s. 84 Uppgift Skala Areaskalan = (Längdskalan) 2 Volymskalan = (Längdskalan) Geometri 3

14 Bisektrissatsen Kordasatsen a b a d c b x x y = a b y a b = c d Koordinatgeometri Pythagoras sats a c b Triangeln är rätvinklig c 2 = a 2 + b Avståndsformeln Avståndet mellan punkterna ( x, y ) och ( x 2, y 2 ) är d = ( x 2 x ) 2 + ( y 2 y ) Mittpunktens koordinater Mittpunkten på sträckan mellan punkterna ( x, y ) och ( x 2, y 2 ) är ( x + x 2 2, y + y 2 2 ) Geometri 4

15 Diagnos 3 Gör Diagnos 3 på sidan 203 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 3 I Blandade övningar kapitel 3 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 3 på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 275. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 3 Geometri 5

16 Kapitel 4 Statistik Avsnitt Egna anteckningar Statistiska metoder Population och stickprov Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population. En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population. Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, dvs man gör ett stickprov. Urval och felkällor Om man väljer ett slumpmässigt urval från populationen, kan resultatet från stickprovet (med vissa felmarginaler) överföras till hela populationen. Bortfall, mätfel och urvalsfel är olika exempel på felkällor i statistiska undersökningar Läges- och spridningsmått Lägesmått I en datamängd är Typvärdet det vanligast förekommande värdet. Medianen det mittersta värdet då värdena är storleksordnade. summan av värdena Medelvärde: x = antalet värden Statistik 6

17 Spridningsmått Variationsbredd = största värdet minsta värdet Kvartilavstånd = övre kvartil nedre kvartil Nedre kvartilen Q, medianen Q 2 och övre kvartilen Q 3 delar datamaterialet i fjärdedelar. Ett lådagram visar detta grafiskt: Min Nedre kvartil Median Övre kvartil Max Standardavvikelse Spridningsmåttet standardavvikelse utgår från hur de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medelvärdet. För ett stickprov med n stycken värden x, x 2, x 3,..., x n och medelvärde x ges standardavvikelsen s av formeln s = (x x ) 2 +(x 2 x ) 2 +(x 3 x ) (x n x ) 2 n Uttrycket under rottecknet kallas variansen Normalfördelning En normalfördelad population med medelvärdet µ och standardavvikelse σ fördelar sig enligt följande diagram: 34,% 34,% 2,3% 3,6% 3,6% ,2% 95,4% 2,3% Normalfördelningskurvan (den gröna ovan) är alltid symmetrisk kring medelvärdet Statistik 7

18 Modellering Matematisk modell När vi använder matematik för att lösa ett problem utifrån en verklig situation så gör vi en matematisk modell. Korrelation Negativ Ingen Positiv korrelation korrelation korrelation Regression Att anpassa funktioner till observerade data kallas regressionsanalys. Titta och lyssna gärna på följande länkar: s. 248 Korrelation s. 252 Uppgift Diagnos 4 Gör Diagnos 4 på sidan 265 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 4 I Blandade övningar kapitel 4 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 4 på sidorna Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 277. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 4 Statistik 8