Välkommen till studier i Matematik kurs B

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Välkommen till studier i Matematik kurs B"

Transkript

1 Innehåll Välkommen till studier Matematik kurs B...4 Studietips...5 Kursens uppläggning och mål...8 Examination...8 Kursmaterial...9 Webbtips...10 Litteraturtips...10 Övrigt om kursen...11 Problemlösning...12 Studieenhet Sannolikhetslära...14 Studieenhet Linjära modeller...17 Studieenhet Icke-linjära modeller...22 Studieenhet Geometri...25 Studieenhet Statistik...28

2 Välkommen till studier i Matematik kurs B Matematik kurs B är ett karaktärsämne inom gymnasieskolan och förutsätter matematikkunskaper från grundskolan och gymnasiets A-kurs. För dig som inte varit kontakt med gymnasiematematiken på ett tag rekommenderar vi att du försöker repetera lite innan du sätter igång med kursen. Låna gärna någon lärobok på biblioteket. Matematik är roligt och tränar logiskt tänkande som man har nytta av inom vardagsliv och yrkesliv. Alla kan lära sig bli bra i matematik men det kräver förstås en del arbete och det finns inga genvägar. Matematik kräver tid för arbete och matematik kräver tid för eftertanke. Arbeta metodiskt, noggrant och målmedvetet, det lönar sig. Du utvecklas som tänkande människa och om du tänker studera mer matematik lönar det sig än mer. Lycka till önskar matematiklärarna på Nationellt centrum för flexibelt lärande 4

3 Studietips Innan du börjar titta på närmare på kursen vill vi att du läser om och reflekterar runt studieteknik, lärande och räknande. Om man läser helt eller delvis på distans är det extra viktigt att man har en studieteknik som fungerar. Därför vill vi poängtera några saker. Din tid är viktig, det gäller att vara "ekonomisk" med tiden och utnyttja den på bästa sätt. Just nu kan det kännas att vägen till kursens slut är lång men du kan göra mycket för att underlätta ditt arbete för att nå dit. Ja, du anar säkert vart vi vill komma? Just det. Man kan planera. Allmänna tips Skaffa en översikt. Gå igenom läroboken och annat som behövs i de olika momenten i denna kurs. Titta i innehållsförteckningen. Bläddra igenom några kapitel för att se hur de är uppbyggda. Läs skolverkets kursmål och betygskriterier. Formulera målet med dina studier. Varför vill du lära dig detta? Försök att motivera dig själv på så många olika sätt som möjligt. Reflektera över dina egna strategier för att lära dig detta ämne. Förlita dig på dina egna resurser och det du faktiskt redan kan! Vilket sätt att lära dig föredrar du till exempel? Lär du dig främst genom att se? Kanske genom att höra eller göra? Eller möjligen kombinationer av dessa? Det kanske t o m är olika för olika ämnesområden. Gör en plan. Lägg upp det hela som ett veckoschema, där du har speciella, fasta tider olika dagar i veckan då du studerar, ingenting annat. Dina studier måste nämligen få ta tid. Det är en sysselsättning att studera, precis som att jobba. Om man exempelvis vill bli en duktig simmare, så måste man naturligtvis träna. Det gäller samma sak när man studerar. Försök också att planera när du kan vara ledig. Om man inte har någon studieplan är det lätt hänt att man blir så fixerad vid att plugga att man alltid har det över sig som ett dåligt samvete. Till sist har man knappt någon fritid och studierna fungera inte heller. Man är mycket aktivare om man tar ett par timmar i taget. Sedan kan man känna att man gjort sitt och kan syssla med något annat. 5

4 Dela in ditt mål i konkreta delmål. Bestäm dig till exempel för att du tills på fredag ska ha gjort två delkapitel i boken. Belöna dig själv när du nått ett delmål. Film, en bra bok, umgås med vänner, ett varmt bad, en fisketur? Använd gärna tankekarta. Rita in bilder och egna associationer. Använd olika färger. Allt som underlättar för minnet är bra. Originella associationer är speciellt effektiva. Använd helst stolpar, tänk dig att du ska göra sammanfattande rubriker på det du läser. Skapa en god studiemiljö. En bra studieplats är trivsam och hjälper dig att vara effektiv. När du väljer plats för dina studier är det bra om du kan stänga dörren om dig och vara ifred och koncentrera dig, du har plats för och ordning på dina böcker, miniräknare, formelsamling med mera, så att du inte behöver ödsla tid på att leta saker, du har bra belysning så att du inte blir så trött i ögonen en bra stol och ett lagom högt bord, du inreder så att det känns inbjudande att gå dit. Var positiv. Gläd dig åt det du faktiskt gjort. Repetera! Vad var det du övade nyss? Sitter dina nyvunna kunskaper från förra veckan kvar? Försök att hitta någon som du kan studera tillsammans med och bolla idéer och tankar med. 6

5 Matematiktips Rita och skriv upp det du känner (vet) i uppgiften på ett papper så klarnar ofta bilden av vad du skall räkna ut. Stryk under dina delresultat och ditt slutresultat. Redovisa till sist svaret separat. På proven bedömer vi inte bara svaren utan också hur figurer ritas, hur du tänker, motiverar och räknar uppgifterna. När du löser problem - använd dig av dina förkunskaper för att förstå sammanhanget. Gör upp en plan för hur du skall lösa problemet. Följ din plan. Kontrollera att din lösning verkar rimlig. Är den inte det börjar du om med en ny plan. Bli vän med din miniräknare. Att sitta på ett prov med en räknare som man inte är van att använda kan ge dig oväntade problem. Nya kunskaper innebär ofta nya sätt att tänka. Träna därför främst förståelse, inte en massa "lösryckta regler". Våga testa dina kunskaper genom att delta i diskussioner. Försök att hitta tillämpningar av dina nya kunskaper i ditt vardagsliv. Att lära sig nya saker är att glänta på porten till en ny kultur! Var nyfiken, ta del av det nya och släng eventuella fördomar om matematik Traggla inte i timtal om du kör fast på någon uppgift. Lägg bort den ett tag och gör en annan uppgift i stället. Gå till den besvärliga uppgiften vid ett senare tillfälle. Till sist: Gör små pauser eftersom för långa pass gör dig trött. Ät och drick gärna lite mellan varven; hjärnan arbetar när du tänker. En tur i motionsspåret, en promenad eller annan fysisk aktivitet är också bra avbrott. Kroppen behöver röra på sig och det du läst, skrivit eller räknat faller på plats under tiden. 7

6 Kursens uppläggning och mål Kursen består av 5 studieenheter. Två av dessa avslutas med diagnostiska test och tre avslutas med studiearbeten. Studiearbetena är obligatoriska och skall skickas till din lärare för bedömning och kommentarer. De är till för din individuella handledning i kursen och är inte betygsgrundande. Studieenhet Handlar om Att göra Sannolikhetslära Enkla slumpförsök, försök med flera föremål, flerstegsförsök och komplementhändelse Diagnostiskt test Linjära modeller Icke-linjära modeller Geometri Räta linjens ekvation, ekvationssystem och linjära olikheter Andragradsfunktioner, andragradsekvationer och icke-linjära olikheter Vinklar, yttervinkelsatsen och randvinkelsatsen, likformighet, transversalsatsen, Pythagoras sats och koordinatgeometri Studiearbetet Sannolikheter och linjära modeller Studiearbetet Icke-linjära modeller Diagnostiskt test Anmäl dig till examinationen Statistik Lägesmått, spridningsmått och statistiska undersökningar Studiearbetet Geometri och statistik Examination I kursen ingår ett eller flera skriftliga och eller muntliga prov. Din lärare talar om för dig vad som gäller för just dig. Tips inför ett prov Börja repetera i god tid. Du har väl tid avsatt för repetition i din studieplanering? Räkna igenom uppgifter du hoppat över tidigare. Träna gärna på några gamla prov. När du går till ett prov tar 8

7 du med giltig legitimation, pennor, suddgummi, miniräknare och linjal. Om det är ett skriftligt prov skall du 1. Fylla i personuppgifterna och läsa instruktionerna på försättsbladet. 2. Läsa igenom alla uppgifter noga så du vet vad provet innehåller och kan disponera tiden väl. 3. Först lösa de uppgifter du tycker är lättast, sedan de svårare uppgifterna. 4. Kontrollera dina lösningar och renskriv dem ifall det behövs. Märka alla papper du lämnar in med namn, personnummer och kurs. Ta gärna med dig lite att äta och dricka till provet. Hjärnan gör av med mycket energi vid tankearbete, detta är ett tillfälle då choklad och godis faktiskt är relativt nyttigt att äta. Kursmaterial Läromedel Matematik 3000 Kurs B för Komvux från Natur och Kultur (ISBN ) är en bok vi rekommenderar. I den finns studietips för matematik, en studiehandledning, lösningsförslag till många av bokens uppgifter och i flera fall även ledtrådar till hur man skall komma igång med uppgifterna. Där finns även flera tester där man själv kan prova hur bra man har förstått olika avsnitt. Till denna bok har Nationellt centrum för flexibelt lärande utarbetat kompletterande lösningsförslag som finns på kursens webbsidor. Hör efter med din lärare vilken bok han eller hon rekommenderar. Grafritande räknare Du behöver en grafritande räknare av någon sort, till exempel Casio fx-9750g. Köp inte någon "värsting", om du bara tänker läsa mer matematik än kurs B, ftsik eller kemi. Du kan också ha nytta av gratisdataprogrammet Graphmatica. I slutet av denna kursguide finns en bilaga med ett litet instruktionsblad till detta program. Kalkylprogram Något kalkylprogram, t ex Excel, är nödvändigt när du skall göra diagram i den statistik som ingår i kursen. Det kan använ- 9

8 das även vid grafisk lösning av matematiska problem. Graphmatica är dock bättre till sådant. Graphmatica laddar du med fördel hem från kursens webbsidor. Formelsamling Det formelblad som används på det nationella provet i Matematik kurs ABC räcker bra. På provet kommer du att få en likadan eller snarlik. Övrigt Du behöver även linjal, gradskiva och passare samt naturligtvis papper och penna. Webbtips Inför Matematik kurs A: (bra repetition för alla!) Fråga Lund om matematik: Nationella prov i matematik: Gamla högskoleprov: Litteraturtips Ibland kan det vara en fördel att se saker förklarade på andra sätt eller mer ingående. Nedan följer några tips på böcker att låna och läsa. Läromedel Räkna med Vux Kurs B, Danielsson m fl, Gleerups Förlag. Formelsamling.Tabeller och formler, Ekbom, L., Lillieborg, S. och Bergström, L., Liber AB, Böcker om matematik och matematiker Matematikhistoria ingår i kursmålen. Matematikens kulturhistoria, John McLeish, Forum Människorna bakom matematiken, Jan Unenge, Studentlitteratur Om mått och män, Sten von Friesen, Bra Böcker Liten guide för matematiska problemlösare, Bengt Ulin, Natur och Kultur 10

9 Matematik med kalkylprogram, D. Sjöstrand och P. Melander, YD Science&Arts Matematiska nedslag i historien, Stig Olsson, Ekelunds Förlag AB Matematiska nedslag i talens värld, Stig Olsson, Ekelunds Förlag AB Att känna till något om hur dagens matematiska kunskap växt fram i olika kulturer och veta lite om de människor som bidragit till detta är dessutom både intressant och allmänbildande. Låna gärna böcker på biblioteket eller stöd en lokal bokhandel ifall du vill köpa böcker. Om de inte har boken hemma kan de beställa hem den. Du kan även beställa själv direkt från förlag. Prova gärna prisjämförelsetjänsten på Nätbokhandel Akademibokhandeln Internetbokhandeln , Förlag Ekelunds Förlag AB Forum Gleerups AB Natur och Kultur Studentlitteratur , , , , , Övrigt om kursen Din lärare Din lärare är en av de viktigaste personerna för dina studier. Du är alltid välkommen att kontakta med din lärare. Det gäller både om du vill ha hjälp med enstaka uppgifter eller om det är större avsnitt som känns svåra. Telefonnummer och epost-adress finns på välkomstbrevet från din lärare. Är din lärare inte tillgänglig och hjälpbehovet är stort kan du ringa till dagtid och be att få prata med en annan lärare. Studievägledning och studiestödsinformation Har du funderingar kring studietakt, studieupplägg med mera tar du kontakt med en studievägledare. 11

10 Problemlösning Att bli bra i matematik handlar mycket om att ha en bra tanketeknik. Därför är det bra att börja med några tips om hur man angriper ett matematiskt problem. Om du har boken Matematik 3000 kurs A kan du läsa de första sidorna i kapitel 5.6 som handlar om problemlösning och studera exemplen där. 1. Förstå problemet. Vad söker man? Vad är givet? Verkar problemet rimligt? Rita en figur om det går. Inför lämpliga beteckningar. 2. Gör upp en plan. Har du sett detta tidigare? Har du sett eller löst något liknande förut? Kan du dela in i delproblem? Kan du lösa eventuella delproblem? Vilka fakta saknas? Var får du tag på fakta som saknas? 3. Genomför planen. Kontrollera varje steg. Fungerar det inte gör du upp en ny plan. 4. Se tillbaka. Glöm inte detta steg! Är resultatet rimligt? Kan man lösa problemet på ett annat sätt? Är resultatet eller metoden användbar i andra sammanhang? Ovanstående tips är användbara inom fler ämnesområden än matematik. Läs dem noga och fundera på hur du själv brukar göra när du löser problem. 12

11 Studieenheter På de följande sidorna presenteras kursen studieenheter lite mer ingående. Öva du så mycket du behöver på motsvarande avsnitt i läroboken, Därefter gör du det studiearbete som hör till och skickar det till din lärare. Följ de anvisningar som finns på försättsbladet på studiearbetet. Ett tips är att jobba med studiearbetet som om det är ett prov: lägg undan läroboken, ta fram formelsamling, papper, penna, miniräknare med mera och lös uppgifterna. Du behöver inte ha rätt på alla uppgifter för att skicka in studiearbetet men du bör ha försökt lösa dem. Du kommer väl ihåg detta? Gällande siffror: Med hur många siffrors noggrannhet kan man ange ett svar egentligen? Det beror på hur många siffrors noggrannhet man har i talen man arbetar med. Till vardags arbetar vi ofta med närmevärden, inte med exakta tal. De tumregler som gäller är: Addition och subtraktion: Lika många decimaler i svaret som termen med minst antal decimaler. EX 1, ,4431 = 15, ,46 Multiplikation och division: Lika många gällande siffror i svaret som i talet med det minst antal gällande siffror EX 4,2 13,63 = 57, Ha med så många siffror som möjligt i dina beräkningar. Avrunda till ett lämpligt antal gällande siffror i svaret. Hur vet man hur många gällande siffror det är i ett tal? Närmevärde Gällande siffror Kommentar 23,6 3 Alla siffror gäller 3, Nollor inuti gäller 0, Nollor i början gäller ej 0, Decimalnollor i slutet gäller 13

12 Studieenhet Sannolikhetslära Denna studieenhet handlar om enkla sannolikheter, försök med flera föremål, flerstegsförsök och komplementhändelser. På kursens webbplats finns en förtest som du kan göra innan du börjar lösa uppgifterna i boken, några interaktiva övningar att jobba med allt eftersom du arbetar dig framåt i avsnittet och ett diagnostiskt test att göra innan du börjar med nästa avsnitt. Mål för avsnittet: Kunna beräkna sannolikheter vid enkla slumpförsök och slumpförsök i flera steg samt uppskatta sannolikheter genom att studera relativa frekvenser Exempel på frågeställningar och uppgifter Du singlar slant, hur stor är sannolikheten att få krona? Du kastar en tärning, hur stor är sannolikheten att få en fyra? Du kastar två tärningar samtidigt, hur stor är chansen att få en femma och en etta? I källaren finns 5 burkar hallonsylt och 3 burkar blåbärssylt. Din syster går ner och hämtar en burk sylt som hon lämnar på köksbordet. Sedan går även du ner och hämtar en burk sylt, utan att kolla vilken sort du tar. Hur stor chans är det att ni tagit en burk av varje sort? Sannolikheten för att vinna i ett visst lotteri är 0,08. Hur stor är chansen att inte vinna? Enkla sannolikheter Se till att Du uppfattar betydelsen av begreppen slumpförsök, utfallsrum, händelse och sannolikhet ordentligt. För beräkningarna av sannolikheter är det viktigt att Du håller ordning på vilka utfall som är gynnsamma i den aktuella situationen. Det är naturligtvis viktigt att ha klart för sig vilka utfall som är möjliga också. Vad som här behandlas är likformig sannolikhetsfördelning, vilket innebär att alla utfall (händelser) har samma sannolikhet eller med andra ord är lika troliga. 14

13 Försök med flera föremål och flerstegsförsök Den klassiska introduktionen till försök i flera steg är kast med två tärningar. Utfallsrummet kommer här att bestå av 36 element, nämligen alla kombinationer av vad tärningarna kan visa. Oberoende av vad tärning nummer 1 visar kan ju tärning nummer 2 visa 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Träddiagram är en smidig metod att grafiskt avbilda ett händelseförlopp om det inte är alltför mångförgrenat. Hur skulle Du rita ett träddiagram för kast med två tärningar? Komplementhändelser Komplementhändelse är som namnet anger komplementet till en händelse, d.v.s. att händelsen inte inträffar. Betrakta som ett enkelt exempel att Du skjuter att skott med ett eldhandvapen. Det finns då en viss sannolikhet för träff, P(träff) och en viss sannolikhet för bom, P(bom). Det måste ju med naturnödvändighet bli antingen eller, vilket medför att P(träff) + P(bom) = 1. Detta kan, som Du säker inser, i vårt exempel utvecklas till P(träff) = 1 - P(bom), eller språkligt uttryckt : Sannolikheten för en händelse är lika med 1 minus sannolikheten för komplementhändelsen. Om du har tillgång till Internet skall du göra diagnostiskt test på sannolikhet som finns på kursens webbplats. I annat fall tar du kontakt med din lärare så skickar hon eller han ett motsvarande test till dig. Förklara med egna ord Utfallsrum... Händelse... Sannolikhet... Träddiagram... Komplementhändelse

14 Reflektera över vad du lärt dig, hur du lärt dig, vad som var svårt och så vidare i detta avsnitt. Skriv gärna ner det på raderna här under. Kontakta din lärare om du vill diskutera något. 16

15 Studieenhet Linjära modeller Denna studieenhet handlar om räta linjens ekvation, att lösa ekvationssystem och linjära olikheter. På kursens webbplats finns en förtest som du kan göra innan du börjar lösa uppgifterna i boken, några interaktiva övningar att jobba med allt eftersom du arbetar dig framåt i avsnittet. När du arbetat klart med avsnittet gör du studiearbete 1 och skickar det till din lärare. Mål för avsnittet: Kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former samt lösa linjära olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder Exempel på frågeställningar och uppgifter I. Var skär linjen y=2x-10 y-axeln respektive x-axeln? II. Vilken lutning (riktningskoefficient) har en linje som går genom punkterna (2, 7) och (5, 19)? III. Att hyra en viss bil och köra 30 mil kostar 450 kr och kör man 45 mil kostar det 615 kr. Skriv en ekvation för kostnaden y kr om man kör x mil. IV. Vad är x och y i ekvationssystemet V. Att köpa två liter mjölk och fem kg potatis kostar 39 kr, att köpa fyra liter mjölk och tre kg potatis kostar 43 kr. Vad kostar det att köpa fem liter mjölk och fyra kg potatis? VI. För vilka x är 3x + 5 > 8x - 9? VII. Ett visst företag ABC har telefonabbonemang med månadsavgift 80 kr och samtalsavgift 2 kr/min. Konkurrenten KLM har månadsavgiften 110 kr och samtalsavgiften 1,50 kr/min. Hur mycket skall man ringa för per månad för att KLM-alternativet skall bli billigare? 17

16 De flesta problemställningar du möter i detta avsnitt kan lösas både grafiskt eller algebraiskt. En grafisk lösning innebär att du ritar grafer i koordinatsystem och avläser skärningspunkter. Det är en snabb metod, i synnerhet om du använder dig av en grafritande räknare eller något datorprogram, men ger ofta inte tillräckligt noggranna svar. En algebraisk (analytisk) lösning innebär att du räknar dig fram till svaret. Denna metod kan vara lite arbetsammare men ger mer noggranna svar. Gör gärna en grafisk lösning på din miniräknare för att kolla om du har räknat rätt. Om du löser ett ekvationssystem algebraiskt och den första variabeln blir ett bråktal så måste du använda detta bråktal då du skall lösa ut den andra variabeln. Gör du inte utan sätter in ett avrundat värde, t ex 0,33 istället för bråktalet 1/3, blir den andra variabeln fel. Det avrundade talet är ju behäftat med ett litet fel och detta fel kommer att följa med i de fortsatta beräkningarna. Träna därför på att använda bråktal istället för decimaltal. Funktionsbegreppet Se till att du uppfattar betydelsen av begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd ordentligt. Att y är en funktion av x brukar man uttrycka som y = f(x), och ofta skriver man f(x) i stället för y i funktionsuttrycken. Man talar om oberoende och beroende variabler. Den oberoende variabeln, som ofta betecknas med x, förfogar man över fritt frånsett eventuella begränsningar till intervall. Ett valt värde på den oberoende variabeln ger direkt ett värde på den beroende, och det värdet (funktionsvärdet) räkna man fram med hjälp av funktionsuttrycket. En graf ( kurva ) är en bild av en funktion och visar hur funktionsvärdena varierar med värdena för den oberoende variabeln. Tänk på att beteckningen x för den oberoende variabeln inte är självklar. Många andra beteckningar är vanliga i tillämpade sammanhang, t.ex. t för tider. Räta linjens ekvation Det vanligaste sättet att ange en linjär funktion är den s.k. k -formen, d.v.s.: y = kx+ m, men lägg märke till en linjär funktion kan anges även på annat sätt, t.ex.: ax + by + c = 0. 18

17 Säkert inser du att två parallella linjer måste ha samma k-värde. Det är ju k-värdet som anger lutningen. För linjer som är vinkelräta mot varandra måste rimligen gälla att om den ena är stigande så måste ju den andra vara fallande, eller m.a.o. ha negativ lutning. Om kvoten y-skillnad/x-skillnad för den ena linjen är lika med 4 så måste motsvarande kvot för den andra linjen vara lika med 1/4. Här har bara längdmåtten angivits utan hänsyn till tecken. Mycket som Du stöter på i vardagslivet kan beskrivas med en linjär funktion. El-räkningen till exempel innehåller ju en fast avgiftsdel (som motsvarar m) och pris per kwh (som motsvarar k). Antalet använda kilowattimmar motsvarar x, och totalkostnaden kan då beräknas med ett uttryck av typen y = kx+ m Telefonräkningen och taxiresor är ju också prissatta på motsvarande sätt. I många situationer måste man komma ihåg att funktionens definitionsmängd i praktiken är begränsad. Ett drastiskt exempel: Anders tänker banta inför sommaren och gör följande studie av utvecklingen under ett antal veckor : Vecka Vikt (kg) Om den här utvecklingen fortsätter linjärt kommer Anders att helt försvinna, vilket knappast inte är hans målsättning. Ekvationssystem Det förekommer att man ibland har två okända variabler att lösa ut. För att lyckas med det måste man i så fall ha två ekvationer. Har man två eller fler ekvationer som hör ihop bildar dessa ett ekvationssystem. När man löser dessa kan man välja att göra det grafiskt (med hjälp av grafer) eller analytiskt (med hjälp av beräkningar). Grafisk lösning: Rita graferna till de ekvationer du har och avläs skärningspunkten. Det skall också nämnas att det inte nödvändigtvis måste vara räta linjer (förstagradsekvationer) det handlar om. Även ekvationer av högre grad kan lösas grafiskt mera om detta längre fram i kursen. Den grafiska lösningsmetoden är snabb Du behöver ju bara två punkter för att rita en rät linje, men den är i praktiken ofta inte exakt. För att göra en grafisk lösning med tillräckligt hög precision kan man rita i flera steg. Först en grov lösning som visar ungefär var den sökta skärningspunkten ligger. Därefter ritar man en förstorad bild av det området med en skala t.ex. 1 dm = 19

18 1 enhet. Det här medför ju att 1 mm på pappret motsvarar 0,01. Förstoringen kan naturligtvis drivas ännu längre om det är nödvändigt. Analytiska metoder: Det handlar om substitutionsmetoden och additionsmetoden. Hur det fungerar förklaras bra i läroböckerna. Substitutionsmetoden fungerar bra med två olika ekvationer inblandade och kan väl i de flesta fall vara hanterbar även med tre ekvationer. Med efterhand fler och fler ekvationer tenderar den här metoden att ge väldigt komplicerade och svåröverskådliga uttryck. Så man kan med viss generalisering säga att ju större ekvationssystem man har desto säkrare ska man använda additionsmetoden. Linjära olikheter Olikheter kan i stort sätt lösas på samma sätt som ekvationer om man håller tungan rätt i mun. Vad man behöver komma ihåg är att ifall man multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal måste man byta olikhetstecken. Från > till < eller tvärtom beroende på uppgiften. Nu är det dags att göra studiearbete 1, Sannolikheter och linjära modeller, och skicka till din lärare. Förklara med egna ord k-värde... Räta linjens ekvation på k-form... Räta linjens ekvation på allmän form... Substitutionsmetoden... Additionsmetoden... 20

19 Reflektera över vad du lärt dig, hur du lärt dig, vad som var svårt och så vidare i detta avsnitt. Skriv gärna ner det på raderna här under. Kontakta din lärare om du vill diskutera något. 21

20 Studieenhet Icke-linjära modeller Denna studieenhet handlar främst om andragradsfunktioner, andragradsekvationer och icke-linjära olikheter. På kursens webbplats finns en förtest som du kan göra innan du börjar lösa uppgifterna i boken, några interaktiva övningar att jobba med allt eftersom du arbetar dig framåt i avsnittet. När du arbetat klart med avsnittet gör du studiearbete 2 och skickar det till din lärare. Mål för avsnittet: Kunna tolka, förenkla och omforma uttryck av andra graden samt lösa andragradsekvationer och tillämpa kunskaperna vid problemlösning. Kunna förklara vad som kännetecknar en funktion samt kunna ställa upp, tolka och använda några icke-linjära funktioner som modeller för verkliga förlopp och i samband därmed kunna arbeta både med och utan dator och grafritande hjälpmedel Exempel på frågeställningar och uppgifter 2 I. Lös ekvationen ( x+ 4)( x 36) = 0 2 II. Låt f( x) = 3x + 2. Förenkla uttrycket f ( x+ h) f( x) så långt som möjligt. 14 III. För vilket värde på x är inte y = definierad? 2 x IV. Lös ekvationen x 2 + 4x 21= 0. V. Banan för en fotboll kan beskrivas med funktionen y=0,75x-0,020x 2 där y m är fotbollens höjd över marken och x m är avståndet i x-led från utsparken. Hur högt når bollen och hur långt från utsparkspunkten slår den ner? VI. För vilka x är 3x 2 + 6> 6x + 15? VII. Pia tjänar kr i år. Hon skall nu välja mellan två alternativ till löneförhöjning. Alt 1: 4800 kr/år under en följd av år. Alt 2: 3% per år under en följd av år. Hur många år skall det nya löneavtalet gälla för att alternativ 2 skall vara förmånligare? 22

21 Lär Dig begreppen polynom, variabelterm, konstantterm, koefficient, exponent och gradtal mycket noga. Det är oerhört viktigt att Du är klar över deras betydelse, då Du annars inte behärskar det matematiska språket i fortsättningen. Andragradsfunktioner 2 En andragradsfunktion kan skrivas som f ( x) = ax + bx+ c där a inte får vara noll. Rita några grafer med olika värden på a, b och c och se hur grafernas utseende ändras. Vad händer när c blir större? Vad händer när a byter tecken?.. Använd gärna din grafritande miniräknare till detta eller dataprogrammet Graphmatica som kan hämtas gratis från kursens webbplats. Världens enklaste andragradsfunktion ser ut så här : y = x 2. Som Du ser kommer x-värdet 0 att ge funktionsvärdet 0. Alla andra funktionsvärden blir > 0 eftersom x 2 = (-x) 2. Grafen blir symmetrisk kring y-axeln av samma skäl. Polynommultiplikation Avsnittet behandlar multiplikation av polynom, eller som det också kallas, multiplikation av parentesuttryck. Det handlar också om tre av de viktigaste reglerna som du stöter på i kursen, nämligen kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Andragradsekvationer En andragradsekvation brukar kallas fullständig om den innehåller x 2 -termer, x-termer och siffertermer. Om x-termer eller siffertermer saknas talar man om en ofullständig andragradsekvation. Ofullständiga 2 I) ax + c = 0 II) ax 2 Fullständig 2 + bx = 0 III) ax + bx + c = 0 Lösningsmetoder Vilken lösningsmetod man väljer beror på vilken andragradsekvation man har, se tabellen ovan. FallI I) Variabeltermen är noll ( x-termen saknas ) är enklast 2 Ex: 5x 80= 0 2 5x = 80 2 x = 16 x = ± 16 =± 4 1,2 23

22 Fall II) Konstanttermen är noll ( siffertermen saknas ), löses problemet med lättast med hjälp av faktorisering. 2 Ex 3x 12x= 0 3 xx ( 4) = 0 x1 = 0 x2 = 4 Om en produkt är 0 är minst en faktor = 0. x och (x a) kan inte vara 0 samtidigt eftersom (x a) alltid är a enheter mindre än a. Därför är både x1 och x 2 lösningar. Fall III) En fullständig andragradsekvation löser man enklas genom att tillämpa den så kallade pq-formeln. Läs om den i din lärobok. Icke-linjära olikheter Det gäller samma sak för icke-linjära olikheter som för linjära olikheter: Att tänka sig för när det gäller tecknen. Det är till stor hjälp att rita graferna till funktionerna när man skall lösa olikheterna. Varför? Nu är det dags att göra det andra studiearbetet, Icke-linjära modeller, och skicka till din lärare. Förklara med egna ord Polynom... Konjugatregeln Kvadratkommplettering pq-formel Reflektera över vad du lärt dig, hur du lärt dig, vad som var svårt och så vidare i detta avsnitt. Kontakta din lärare om du vill diskutera något. 24

23 Studieenhet Geometri Denna studieenhet handlar om vinklar, några geometriska satser och koordinatgeometri. På kursens webbplats finns en förtest som du kan göra innan du börjar lösa uppgifterna i boken, några interaktiva övningar att jobba med allt eftersom du arbetar dig framåt i avsnittet och ett diagnostiskt test att göra innan du börjar med nästa avsnitt. Mål för avsnittet: Kunna förklara, bevisa och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri Exempel på frågeställningar och uppgifter I. Medelpunktsvinkeln är 50 grader. Hur stor är randvinkeln? II. I en likbent triangel är en vinkel 30 grader. Hur stora är de andra vinklarna? (Det finns två fall) III. Triangeln T1 har sidlängderna 14 cm, 28 cm och 36 cm och i triangeln T2 är sidlängderna 2 m, 4 m och 5 m. Är trianglarna likformiga? IV. Är en triangel med sidorna 8 m, 11 m och 17 m rätvinklig? V. Punkten A ligger i (2, 19) och punkten B i (-3, 7). Hur långt är det mellan punkterna A och B? VI. Var ligger mittpunkten på den linje som går mellan (8, 9) och (2, 11)? När du skall lösa geometriproblem är det extra viktigt att rita figurer till de uppgifter du skall lösa och att som vanligt införa lämpliga beteckningar för det du skall räkna ut. Att vinkelsumman i en triangel är 180 vet du säkert redan. I det här sammanhanget bör kanske nämnas att vinkelenheten grader ( ) inte på något sätt är av naturen given. Att dela upp varvet i 360 är människors påfund och det finns även andra vinkelenheter, t.ex. s.k. nygrader ( c ) där varvet delas upp i 400 c. 25

Välkommen till studier i Matematik kurs C

Välkommen till studier i Matematik kurs C Innehåll Välkommen till studier Matematik kurs C...2 Studietips...2 Kursens uppläggning och mål...5 Examination...6 Kursmaterial...7 Webbtips...8 Litteraturtips...8 Övrigt om kursen...10 Problemlösning...11

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Matematik 3000 kurs A

Matematik 3000 kurs A Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs A Innehåll Kursöversikt...4 Vad skall du kunna efter Matematik kurs A?...5 Så här jobbar du med boken...6 Studieenhet Arbeta med tal...7 Studieenhet Procent...12

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Studiehandledning för Matematik 1a

Studiehandledning för Matematik 1a Studiehandledning för Matematik 1a Innehåll Studiehandledning för Matematik 1a... 1 Inledning och Syfte... 2 Ämne - Matematik... 3 Ämnets syfte... 3 Matematik 1a... 4 Centralt innehåll... 4 Kunskapskrav...

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

Matematik 1A 4 Potenser

Matematik 1A 4 Potenser Matematik 1A 4 Potenser förklara begrepp t ex. potens, bas, exponent och grundpotensform (Nivå E C) tolka, skriva och räkna med tal i grundpotensform (Nivå E A) helst kunna redogöra för räkneregler för

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Förord. Innehåll. 1 Tal 4. 4 Algebra 42. 2 Bråk och procent 18. 5 Statistik och sannolikhet 54. 6 Tid, hastighet och skala 60.

Förord. Innehåll. 1 Tal 4. 4 Algebra 42. 2 Bråk och procent 18. 5 Statistik och sannolikhet 54. 6 Tid, hastighet och skala 60. Förord Det här häftet är tänkt som ett komplement till kapitel 5, Genrepet, i läroboken Matte Direkt år 9. Häftet vänder sig främst till de elever som har svårigheter att klara Genrepets nivå i boken och

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 1. Procent och statistik Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder

Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder Matematik Elever skall i samtliga årskurser ges tillfälle till regelbunden träning i muntliga och skriftliga räknemetoder Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av år 5 enligt nationella kursplanen

Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av år 5 enligt nationella kursplanen MATEMATIK Mål att sträva mot enligt nationella kursplanen Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den

Läs mer

Matematik är ingenjörskonstens, naturvetenskapens och ekonomins språk. Därför är matematik ett viktigt skolämne.

Matematik är ingenjörskonstens, naturvetenskapens och ekonomins språk. Därför är matematik ett viktigt skolämne. Ma2 version 2013-05-22 1(112) Förord Matematik är ingenjörskonstens, naturvetenskapens och ekonomins språk. Därför är matematik ett viktigt skolämne. Detta kompendium är en sammanställning av publicerade

Läs mer

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erion hans heikne Matematik 5000 Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur NATUR & KULTUR Bo 27 323, 02 54 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion:

Läs mer

Välkommen till Borgar!

Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Högskoleprovet Så presterar du bättre

Högskoleprovet Så presterar du bättre Högskoleprovet Så presterar du bättre I det här lilla häftet kommer du att få information om hur högskoleprovet går till rent praktiskt, vad du skall tänka på under själva provdagen och tips för att du

Läs mer

Bedömning av muntliga prestationer

Bedömning av muntliga prestationer Bedömningsstöd i matematik på gymnasial nivå Bedömning av muntliga prestationer Materialet har framställts under 2013 av PRIM-gruppen vid Stockholms universitet i samarbete med Institutionen för tillämpad

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK 5 F-KLASS TALUPPFATTNING ALGEBRA Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Matematiska likheter och likhetstecknets

Läs mer

Matematik 5000 Kurs 1a röd lärobok eller motsvarande., ISBN 978-91-27-42156-1. Prövningen är skriftlig, eventuellt kompletterad med en muntlig del

Matematik 5000 Kurs 1a röd lärobok eller motsvarande., ISBN 978-91-27-42156-1. Prövningen är skriftlig, eventuellt kompletterad med en muntlig del prövning matematik 1a Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövningen avser Kurskod Matematik 1a MATMAT01a Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prövningsutformning Bifogas Matematik 5000

Läs mer

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v.

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v. TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det nionde skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa

Läs mer

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 I ämnesplanen för grundskolans matematik har tidigare ering markerats om det är Matematik eller en högre kurs eller momentet

Läs mer

NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN MATEMATIK GRUNDSKOLAN

NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN MATEMATIK GRUNDSKOLAN NYA KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN Den 17 mars 1994 fastställde regeringen KURSPLANER FÖR GRUNDSKOLAN att gälla i årskurserna 1 7 från läsåret 1995/96, i årskurs 8 läsåret 1996/97 och i årskurs 9 läsåret 1997/98.

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 75 poäng varav 28 E-, 23 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 75 poäng varav 28 E-, 23 C- och 24 A-poäng. Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Sammanfattning: Matematik 1b

Sammanfattning: Matematik 1b Sammanfattning: Matematik 1b Ma1c kräver kompletterande delar om vektorer samt trigonometri 1. Kapitel 1: Aritmetik Centrala delar i kapitlet: - Räkneordning - Tal i bråkform och decimalform - Tal i potensform

Läs mer

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A Detta är en något omarbetad version av Studiehandledningen som användes i tryckta kursen på SSVN. Sidhänvisningar hänför sig till Quanta A 2000, ISBN 91-27-60500-0 Där det har varit möjligt har motsvarande

Läs mer

Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9

Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9 Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9 Många skolor har lagt ner mycket tid på att omforma de mål som anges på nationell nivå till undervisningsmål på den egna skolan. Tanken är att vi nu ska kunna

Läs mer

Målstyrd, elevaktiv undervisning och examination

Målstyrd, elevaktiv undervisning och examination Östersund 2007-06-08 Målstyrd, elevaktiv undervisning och examination Författare: Carina Svedholm Marianne Forss Innehållsförteckning Inledning... 3 Bakgrund... 3 Frågeställningar... 3 Beskrivning av vårt

Läs mer

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att:

Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: Matematik Målet med undervisningen är att eleverna ges förutsättningar att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

NpMa2c vt 2015. Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 20 C- och 17 A-poäng.

NpMa2c vt 2015. Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 20 C- och 17 A-poäng. Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-17. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012 Till eleven - Information inför den muntliga provdelen Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK

KRAVNIVÅER. Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK KRAVNIVÅER Åtvidabergs kommuns grundskolor MATEMATIK Reviderade april 2009 Förord Välkommen att ta del av Åtvidabergs kommuns kravnivåer och bedömningskriterier för grundskolan. Materialet har tagits fram

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500

sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen 6 000 000 520 000 > 50 200 40 000 500 > 40 000 050 5 505 050 < 5 505 500 Namn: Förstå och använda stora tal som miljoner och miljarder Skriv talen med siffror. sex miljoner tre miljarder femton miljoner trehundratusen Läs talen först. Använd sedan > eller > < Vilket tal

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Provlektion till Uppdrag: Matte 9

Provlektion till Uppdrag: Matte 9 Provlektion till Uppdrag: Matte 9 Linjära funktioner En resa i biljettdjungeln I läromedlet Uppdrag: Matte arbetar eleverna med två spår, Uppdrag eller Räkna på. Här kommer ett prov på en lektion där uppdraget

Läs mer

V.A.T lärstilstest och studieteknik

V.A.T lärstilstest och studieteknik Namn Mål och syfte V.A.T lärstilstest och studieteknik o Ökad motivation till skolarbete. o Ökad självinsikt o Ökad kunskap om studieteknik o Ökad insikt om egna behov för bäst lärande. Förslag till ämne

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9

Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Undervisning Funktioner, Algebra och Ekvationer År 9 Mål att uppnå i år 9, ur Lpo 94 Utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och

Läs mer

Klassrumshantering Av: Jonas Hall. Högstadiet. Material: TI-82/83/84

Klassrumshantering Av: Jonas Hall. Högstadiet. Material: TI-82/83/84 Inledning Det som är viktigt att förstå när det gäller grafräknare, och TI s grafräknare i synnerhet, är att de inte bara är räknare, dvs beräkningsmaskiner som underlättar beräkningar, utan att de framför

Läs mer

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt Lokal pedagogisk planering Matematik år 2 Syfte Undervisningen i matematikämnet ska syfta till att eleverna ska utveckla kunskaper om matematik och visa intresse och tilltro till sin förmåga att använda

Läs mer

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10 Namn: Hela och halva tusental till 00 000 Addera och subtrahera. 000+ 000= 000 000+ 00 = 00 000-000= 000 000-00 = 00 Skriv talen i fallande ordningsföljd. 000 0 00 0 00 0 00 00 0 000 0 00 0 00 0 00 0 00

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 75 poäng varav 28 E-, 23 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 75 poäng varav 28 E-, 23 C- och 24 A-poäng. Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 1997. Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 1997. Tidsbunden del Np MaA vt 1997 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av april 1998.

Läs mer

1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik

1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik 1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik Beskriver några projekt, laborationer och alternativa arbetsformer som gett goda resultat. Diskussion om tillvägagångssätt

Läs mer

Detaljplanering. Matematik 1A LÅ 2013/2014. Jonas Bengtsson

Detaljplanering. Matematik 1A LÅ 2013/2014. Jonas Bengtsson Detaljplanering Matematik 1A Jonas Bengtsson Läromedel: Matematik 00 1a, Natur & Kultur Information Detta är en detaljplan i kursen Matematik 1A för läsåret 2013/2014. Varje vecka innehåller 3 st lektionspass

Läs mer

VÄLKOMMEN TILL CVL/SÄRVUX

VÄLKOMMEN TILL CVL/SÄRVUX VÄLKOMMEN TILL CVL/SÄRVUX (Centrum för Vuxnas Lärande, f.d. Komvux) vänder sig till Dig som är över 20 år och som saknar, behöver förbättra eller komplettera Din utbildning. Särvux är en del av CVL som

Läs mer

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Fö relä sning 1, Kö system 2015 Fö relä sning 1, Kö system 2015 Här följer en kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Kolla kursens hemsida minst en gång per vecka. Övningar kommer att läggas ut där, skriv ut dem och ha

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun

Prata matematik. Bengt Drath. Stöpenskolan i Skövde kommun Prata matematik Bengt Drath Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Matematikkunnande Vad ingår i begreppet matematikkunnande? eller som elever skulle tänka: Hur skall en duktig elev i matte vara?

Läs mer

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter.

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Kurskod: MATMAT02a Kursen matematik 2a omfattar punkterna 1 7 under rubriken Ämnets syfte. Centralt innehåll Kommentar Begrepp i kursen matematik 2a Metoder för beräkningar vid budgetering. Budgetering

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS A (100 poäng) Kurskod: MA1201

Undervisningsplanering i Matematik KURS A (100 poäng) Kurskod: MA1201 Undervisningsplanering i Matematik KURS A (100 poäng) Kurskod: MA1201 Styrdokument: Kursplan i kärnämnet matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år

Läs mer

Bedömningsexempel. Matematik kurs 2b och 2c

Bedömningsexempel. Matematik kurs 2b och 2c Bedömningsexempel Matematik kurs b och c Innehåll Inledning... Allmänna riktlinjer för bedömning... Bedömningsanvisningar... 3 Bedömning av skriftlig kommunikativ förmåga... 3 Provsammanställning... 4

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:...

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:... DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA Namn:... Klass/Grupp:... Del I 1. Bestäm värdet av 25 3x om x = 2 Svar: (1/0/0) 2. Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska stämma? 2 3 + + 1 =1 Svar: (1/0/0) 9

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Nationellt kursprov i MATEMATIK KURS A Våren 2005. Del I

Nationellt kursprov i MATEMATIK KURS A Våren 2005. Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med 10 juni 2005. Nationellt kursprov i MATEMATIK

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 2002. Del I

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 2002. Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av juni månad 2002. NATIONELLT

Läs mer

Bengt Drath. Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun

Bengt Drath. Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Prata matematik Bengt Drath Högskolan i Skövde Stöpenskolan i Skövde kommun Matematikkunnande tikk Vad ingår i begreppet matematikkunnande? eller som elever skulle tänka: Hur skall en duktig elev i matte

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Uppsala Universitet Instutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Matematik 2, Ht 2014 Tilde Henriksson, Hannah Kling, Linn Kristell

Uppsala Universitet Instutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Matematik 2, Ht 2014 Tilde Henriksson, Hannah Kling, Linn Kristell Del 1: Pedagogisk planering a) Vi har gjort två lektionsplaneringar med fokus på tvådimensionella geometriska figurer för årskurs 1-3. Utifrån det centrala innehållet i Lgr11 för årskurs 1-3 ska eleverna

Läs mer