Matematik B (MA1202)

Transkript

1 Matematik B (MA10) 50 p Betygskriterier med exempeluppgifter Värmdö Gymnasium

2 Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg. Eleven genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. Eleven deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken. Eleven ger exempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. Kriterier för betyget Mycket väl godkänd Eleven formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk. Eleven analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang. Eleven deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis. Eleven värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. Eleven redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. (13)

3 Lokal tolkning av betygskriterierna, Värmdö Gymnasium GODKÄND Du skall kunna lösa enklare typuppgifter. Du skall, med visst stöd, kunna redovisa lösningar så att andra kan följa din tankegång. Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra matematiska beräkningar och funktionsritningar. VÄL GODKÄND Du skall kunna lösa enklare typuppgifter samt kunna kombinera kunskaper och metoder från flera olika områden för att lösa uppgifter där detta krävs. Du skall kunna redovisa din tankegång så tydligt att en oinsatt skall kunna följa den, samt använda nödvändiga och tydligt ritade figurer. Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra matematiska beräkningar och funktionsritningar. MYCKET VÄL GODKÄND Du skall kunna lösa enklare typuppgifter samt kunna kombinera kunskaper och metoder från flera olika områden för att lösa uppgifter där detta krävs. Du skall även kunna lösa uppgifter som kräver att du generaliserar tidigare kunskaper på nya problem. Du skall kunna göra självständiga iakttagelser, tolka och värdera dina erhållna resultat och dessutom dra egna, relevanta slutsatser från dina resultat. Du skall kunna redovisa din tankegång så tydligt att en oinsatt skall kunna följa den, samt använda nödvändiga och tydligt ritade figurer. Du skall även konsekvent kunna använda de korrekta matematiska begreppen och det matematiska språket i sitt rätta sammanhang. Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra matematiska beräkningar och funktionsritningar. 3 (13)

4 Algebra Efter avslutad kurs skall eleven tolka, förenkla och omforma uttryck av andra graden samt lösa andragradsekvationer och tillämpa kunskaperna vid problemlösning lösa linjära olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder Exempel på uppgifter på olika betygsnivåer GODKÄND 1. Förenkla så långt som möjligt: ( x + 3) ( x 4)( x + 4). Faktorisera så långt som möjligt: x 16x 3. Lös ekvationen x( x) + = 0 4. Lös ekvationen x + 5x + 4=0 5. Lös ekvationen 4x + 1x + 13= 0 6. Lös olikheten 5x + 7 7x 7. Lös ekvationssystemet grafiskt: 8. Lös ekvationssystemet y= x 1 y= x 5 x + 3y= 1 3x + y= 11 med valfri algebraisk metod. VÄL GODKÄND 1. Lös ekvationen = x x + 5 x. I en rektangel är den ena sidan 7,00 cm längre än den andra. Arean är 411 cm. Bestäm rektangelns omkrets. Svara med tre gällande siffror. 3. En gasfylld ballong släpps iväg men på grund av en läcka stiger inte ballongen så högt. Dess höjd (i meter) kan beräknas med hjälp av formeln h= 1+ 14, t 001, t där t är tiden i sekunder efter start. Efter hur lång tid befinner sig ballongen på höjden 40 meter? 4 (13)

5 4. a) Använd triangeln och ställ upp olikheten Omkretsen är större än 85 meter. b) Lös olikheten. 5. Lös ekvationssystemet x y 10 = 0 3 x y + 11 = 0 3 med valfri algebraisk metod. 6. Hos biluthyrningsfirman A får man betala en fast avgift på 600 kr och 0 kr/mil när man hyr en bil. Motsvarande kostnader hos firma B är 440 kr i fast avgift och 4 kr/mil. Hur långt måste man köra med en bil för att det ska löna sig att hyra hos firma A? MYCKET VÄL GODKÄND 1. För vilket värde på a har ekvationen x 10x + a = 0 en dubbelrot?. En rektangulär grusgård har måtten 15 m 3 m. Dess storlek minskas genom att en över allt lika bred strimma grävs bort runt om grusgården. Bestäm strimmans bredd så att grusgårdens area halveras. Svara med två gällande siffror. 3. En mataffär erbjöds att köpa äpplen för 5,40 kr/kg. Om mer än 170 kg köptes skulle den del som översteg 170 kg säljas för 4,90 kr/kg. Ställ upp en olikhet och ta reda på för vilka köp kostnaden understeg 1300 kr? 4. Fabian träningssimmar i en ström. Han simmar 100 meter mot strömmen på minuter och 5 sekunder. När han vänder och simmar 100 meter med strömmen tar det bara 40 sekunder. Hur snabbt skulle Fabian simma utan ström? Svara i m/s. 5. Lös ekvationssystemet a 3b= a b = 1 5 (13)

6 Funktionslära Efter avslutad kurs skall eleven kunna förklara vad som kännetecknar en funktion samt kunna ställa upp, tolka och använda några icke-linjära funktioner som modeller för verkliga förlopp och i samband därmed kunna arbeta både med och utan dator och grafritande hjälpmedel kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former samt lösa linjära olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder Exempel på uppgifter på olika betygsnivåer GODKÄND 1. Bestäm linjens ekvation.. Vilka av följande räta linjer är parallella? a) y = x 4 b) y = x + 3 c) y = x + 3 d) y = x 4 3. Att hyra en bil hos en viss biluthyrningsfirma kostar y = 4x kronor, där x = antalet körda mil. a) Bestäm grundavgiften. b) Bestäm den rörliga kostnaden. 4. Bestäm var linjen y = 1 x skär koordinataxlarna. 5. Nedan finns grafen till f ( x). Lös följande problem grafiskt. a) Bestäm f ( ) b) Lös ekvationen f ( x)= 0 6 (13)

7 6. Vilken eller vilka av följande andragradsfunktioner har en maximipunkt? a) y = x x b) y = x x c) y = x + 18 d) y = 1 4x 7. Nedan finns grafen till f ( x). Lös följande problem grafiskt. a) Bestäm funktionens nollställen b) Bestäm f ( 0) c) Bestäm minimipunkten VÄL GODKÄND Observera att detta exempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa. 1. Familjen Svensson planerar att ha en bassäng på sin tomt. Familjefadern, en matematiker, ritar in ett koordinatsystem på tomtritningen (ett steg = en meter). Han tänker sig att bassängen ska begränsas av linjerna x =, y = 1, y = 4 och en rät linje mellan punkterna (; 34 ) och ( 7; 1). Hur många liter vatten kommer bassängen att rymma om den är två meter djup?. För att få tillträde till en simhall måste man först köpa ett medlemskort i simklubben och därefter betala en entréavgift för varje besök. Ofelia besökte simhallen 13 gånger och fick betala totalt 305 kronor. Julia fick för besök betala 440 kronor. Hur stor var entréavgiften? 3. Bestäm algebraiskt talet b så att linjerna x+ by 3= 0och 5x 7y + 8= 0 blir parallella. 4. En rät linje L går genom punkten ( 6 3) ; och är parallell med linjen 15, x y + 13= 0. Linjen L och koordinataxlarna bildar en triangel. Bestäm triangelns area. Lös uppgiften algebraiskt och svara exakt. 5. För vilka värden på a har funktionen y = ( a 3) x ( a + 5) x + a = 0 en minimipunkt? 6. En andragradsfunktion skär y-axeln där y =. Den går också genom punkterna ( 8 ; och ) (8 ;. Bestäm funktionen och rita dess graf. ) MYCKET VÄL GODKÄND Observera att detta exempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa. 1. Bestäm k och m för linjen ( a 6a + 9) x ( a 3) y ( a 9) = 0 7 (13)

8 . Bestäm den linjära funktionen f ( x) om f () 5 f () = 18 och f () 3 + f () 6 = En andragradsfunktion går genom punkterna ( 4; 5), ( ; 3) och ( 1 4) Bestäm funktionen och rita dess graf. ;. 4. För vilka värden på konstanten d ( d 0) saknar funktionen nollställen? Svara exakt. 3 f ( x)= dx + d x + d d Geometri Efter avslutad kurs skall eleven kunna förklara, bevisa och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri Exempel på uppgifter på olika betygsnivåer GODKÄND 1. Bestäm vinkeln x.. Bestäm vinkeln x. 3. Bestäm vinkeln x. 8 (13)

9 4. Triangeln ABC är likformig med triangeln DEF. Beräkna sidan DF. 5. Beräkna sträckan x om linjen inuti triangeln är en parallelltransversal. VÄL GODKÄND 1. Bestäm triangelns minsta vinkel.. Skriv en formel för att räkna ut y då man känner till x. 3. Bestäm vinkeln x. 4. För att uppskatta höjden hos ett kyrktorn lägger sig Cordelia på marken och låter blicken bilda en rät linje via toppen på en vertikal grindstolpe till toppen på kyrktornet. Därefter mäter hon det horisontella avståndet mellan den plats där hon låg och grindstolpen (visade sig vara 3,10 meter) och avståndet mellan grindstolpen och kyrktornet (var 59,0 meter). Bestäm kyrktornets höjd om grindstolpen var 1,0 meter hög. 9 (13)

10 MYCKET VÄL GODKÄND 1. Skriv en formel för att räkna ut y då man känner till x i rektangeln nedan.. Bestäm sträckorna a och b. 3. Bevisa Pythagoras sats (t ex med hjälp av likformighet). Rita en tydlig figur och redovisa noga alla införda beteckningar. Sannolikhetslära Efter avslutad kurs skall eleven kunna beräkna sannolikheter vid enkla slumpförsök och slumpförsök i flera steg samt kunna uppskatta sannolikheter genom att studera relativa frekvenser Exempel på uppgifter på olika betygsnivåer GODKÄND 1. Bestäm sannolikheten för att man vid ett tärningskast får en trea eller fyra. Svara exakt.. I en byrålåda finns det fem svarta, tre gröna och sju vita strumpor. Bertil tar upp en svart strumpa ur lådan. Hur stor är sannolikheten att han på måfå lyckas ta upp ytterligare en svart strumpa ur lådan? 3. Hur många gånger kan man förvänta sig att en tärning visar fem eller sex prickar om den kastas 750 gånger? 4. Vid en fabrik kontrollerades nya miniräknare. Det visade sig att 154 st. var defekta. Bestäm sannolikheten för att en slumpvis vald räknare var hel. 5. En lerduveskytt träffar med 80% sannolikhet. Hur stor är sannolikheten att skytten träffar två gånger i rad? 10 (13)

11 VÄL GODKÄND 1. Bestäm sannolikheten för att ett slumpmässigt valt kort ur en kortlek är hjärter eller en fyra. Svara exakt.. Lyckohjulet nedan snurras två gånger. Bestäm sannolikheten för att poängsumman blir fyra. 3. I en hink finns det elva grå och sex bruna bollar. På måfå tar man upp en boll och därefter ytterligare en boll ur hinken. Hur stor är sannolikheten att den första bollen är grå och den andra brun? Svara exakt. MYCKET VÄL GODKÄND 1. Tre tärningar kastas. Bestäm P(poängsumman>5). Svara både exakt och i procentform med två gällande siffror.. I ett träd finns det elva fågelbon. På grund av att fågelmammorna letar mat, befinner de sig i boet i genomsnitt endast 13 minuter per timme under dagtid. Hur stor är sannolikheten att få se åtminstone en fågelmamma i trädet när man kommer dit under dagtid? Svara både exakt och i procentform med fyra gällande siffror. Statistik Efter genomgången kurs skall eleven med omdöme använda olika lägesmått för statistiska material och kunna förklara skillnaden mellan dem samt känna till och tolka några spridningsmått kunna planera, genomföra och rapportera en statistisk undersökning och i detta sammanhang kunna diskutera olika typer av fel, samt värdera resultatet Exempel på uppgifter på olika betygsnivåer GODKÄND 1. Nio anställda i ett litet företag hade följande månadslöner: kr kr kr kr kronor kr kr kr kr a) Bestäm lägesmåtten medelvärde, median och typvärde. b) Vilket av lägesmåtten medelvärde, median och typvärde är lämpligast att använda? 11 (13)

12 . Sju anställda i ett företag har följande månadslöner: kr kr kr kronor kr kr 1000 kr Variationsbredden är 7000 kr och standardavvikelsen är ca 400 kr. Vilket av dessa spridningsmått visar hela det statistiska materialets spridning bäst? VÄL GODKÄND 1. Elva spelare i ett fotbollslag vägdes. Följande värden bestämdes: medelvärde: median: typvärde: 78,0 kg 76,5 kg 81,0 kg Lagets lättaste spelare, som vägde 69,0 kg, byttes ut mot en spelare som vägde 64,0 kg. Bestäm medelvärde, median och typvärde efter spelarbytet.. Två bågskyttar tävlar om att bli uttagna till svenska landslaget. Här följer deras resultat: Adam: Bertil: Eftersom båda har samma totalpoäng, väljer lagledningen den av skyttarna som har det jämnaste resultatet. Bestäm, med hjälp av standardavvikelse, vem som blir uttagen. MYCKET VÄL GODKÄND 1. De åtta snabbaste löparna i ett maratonlopp hade följande sluttider (timmar: minuter: sekunder): : 14: 0 : 14: 30 : 15: 0 : 15: 04 : 16: 0 : 16: 39 : 18: 03 : 19: 59 a) Bestäm kvartilavståndet. b) Bestäm standardavvikelsen Att göra en statistik undersökning Dessa begrepp är centrala i sammanhanget: Population Totalundersökning Stickprov Urval (finns flera metoder) Systematiskt och slumpmässigt fel Bortfall 1 (13)

13 Fundera på de tre uppgifterna 1-3. Välj sedan en av uppgifterna A-C och beskriv hur en statistisk undersökning skulle kunna genomföras. 1. I en undersökning fick ett stickprov på 100 personer svara ja eller nej på en fråga. 70 personer svarar på frågan, 30 säger nej och 40 säger ja. Går det att med ledning av detta besvara vad hela populationen skulle tycka? Inom vilka gränser kan andelen nej-sägare variera.. En statistiker ville undersöka familjer med barn i skolåldern och ville därför ta ett stickprov med sådana. Eftersom han inte hade någon lista över dessa familjer tog han slumpmässigt ut ett antal skolbarn istället och kontaktade deras familjer. Kan det finnas något problem med urvalsmetoden? 3. I en församling ingicks under ett år 100 äktenskap och under samma år skedde 46 skilsmässor. Man skrev att skilsmässofrekvensen var 46%, är detta rimligt? Välj nu en av dessa uppgifter och beskriv hur en undersökning skulle kunna se ut. A. Lönestatistik: SVT har beställt lönestatistik för databranschen Man vill undersöka olika grupper som har dataanvändning som huvudsysselsättning. Designa undersökningen och ett frågeformulär. Tänk på: Vem/vilka ska tillfrågas om löneuppgifterna (arbetstagare/givare), spelar det någon roll vem ni frågar? Vilken typ av sannolikhetsurval ska göras? Vilka undergrupper skall undersökas? Hur ska ni göra urvalet så att alla grupper representeras på ett korrekt sätt? Hur ska frågorna distribueras? Vilket bortfall kan tänkas? Systematiska fel?kan bortfallet kompenseras? Konstruera ett frågeformulär som inte kan missförstås. B. Alkoholkonsumtion: Hur mycket alkohol dricks i Sverige? Varifrån kan man få alkohol? Hur ska man ta reda på konsumtionen: Vilka ska tillfrågas (producenter/konsumenter)? Hur ska urvalet göras (några speciella grupper som behöver lyftas fram)? På vilket sätt ska man fråga och vilka frågor? Bortfall: Kan det bli bortfall och hur påverkar det undersökningen. Kan man räkna med uppriktiga svar? C. Potatisskörden: Sommaren 98 var ovanligt regnig och stora delar av potatisskörden gick förlorad. Priset på Potatis ligger nu på det dubbla mot det vanliga. För att uppskatta den storleken på förlusten ska den totala skördeskadade arealen i Sverige bestämmas. Vilket undersökning ska göras (total eller något av urvalsmetoderna) Systematiska fel? Hur ska man kunna kompensera för bortfall? Hur ska frågeformuläret se ut? 13 (13)