MATEMATIK 5 veckotimmar

Transkript

1 EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 11 Juni 007 (förmiddag) SKRIVNINGSTID : 4 timmar (40 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Europaskolornas formelsamling En icke-programmerbar, icke-grafritande räknedosa SÄRSKILDA INSTRUKTIONER : Svara på alla fyra obligatoriska uppgifterna. Markera med kryss på det medföljande formuläret vilka två av de tre valbara uppgifterna som valts ut. Använd skilda svarspapper för varje uppgift. Sida 1/8

2 EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007: MATEMATIK 5 veckotimmar OBLIGATORISK UPPGIFT 1. ANALYS Sida 1 av 1 Poäng Följande funktion f är given f ( x) = x + 7x + 10 x + 1 a) Ange definitionsmängden till funktionen f. Bestäm ekvationerna för asymptoterna till grafen till f samt extrempunkternas koordinater. b) i. Rita grafen till f. poäng ii. Visa att funktionen g given av 1 g ( x) = x + 6x + 4ln x för x > 1 är en primitiv funktion till f. ( + 1) poäng iii. Beräkna arean av området som begränsas av grafen till f, koordinataxlarna samt linjen x = 4. poäng Sida /8

3 EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007: MATEMATIK 5 veckotimmar OBLIGATORISK UPPGIFT. ANALYS Sida 1 av 1 Poäng En bil färdas med en hastighet på 100 km/h. Vid tidpunkten t = 0 börjar bilen bromsa för att slutligen stanna. En student beskriver inbromsningen med differentialekvationen dv dt = k v, k > 0 där tiden t är i timmar och hastigheten v är i km/h. a) Bestäm, genom att lösa denna differentialekvation, hastigheten v som funktion av tiden t. b) Bilens hastighet efter en minut är 16 km/h. i. Visa att k = 70. ii. Vid vilken tidpunkt t har bilen stannat helt? Sida 3/8

4 EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007: MATEMATIK 5 veckotimmar OBLIGATORISK UPPGIFT 3. GEOMETRI Sida 1 av 1 Poäng I ett ortonormerat koordinatsystem är givet: punkterna A (1, 1,), B(4,5, 4) och C (6,3, 5), x 1 1 den räta linjen g : y = 1 + t 4, z 6 t R, samt planet E : x + y + z = 13. a) i. Visa att planet F som innehåller triangeln ABC är parallellt med planet E. 4 poäng ii. Bestäm koordinaterna för skärningspunkten mellan linjen g och planet E. b) Planen E och F är tangentplan till en sfär med medelpunkt på linjen g. Bestäm medelpunktens koordinater. Sida 4/8

5 EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007: MATEMATIK 5 veckotimmar OBLIGATORISK UPPGIFT 4. SANNOLIKHETSLÄRA Sida 1 av 1 Poäng En undersökning har funnit att 15% av utövarna av en viss sport tar ett specifikt dopningspreparat. a) På ett laboratorium har man ett test A, som ger positivt resultat för 99% av de som har tagit preparatet. Oturligt nog får även 3% av de som inte tagit preparatet ett positivt resultat. En utövare av denna sport väljs ut godtyckligt. i. Beräkna sannolikheten att denna utövare får ett positivt resultat på test A. 4 poäng ii. Beräkna sannolikheten att denna utövare verkligen har tagit preparatet om test A är positivt. b) För att upptäcka samma dopningspreparat använder sig ett annat laboratorium av test B som skiljer sig från test A så att 98% av de som verkligen tagit dopningspreparatet får ett positivt utslag på test B. 4% av de som inte tagit dopningspreparatet får ett positivt resultat på test B. i. Beräkna sannolikheten för att en idrottsutövare som har tagit dopningspreparatet får ett positivt resultat på både test A och test B. ii. Beräkna sannolikheten för att en idrottsutövare som inte har tagit dopningspreparatet får ett positivt resultat på både test A och test B. Sida 5/8

6 EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007: MATEMATIK 5 veckotimmar VALBAR UPPGIFT I. ANALYS Sida 1 av 1 Poäng Följande funktioner är givna f ( x) = x e x och g( x) = e x a) Bestäm koordinaterna till extrempunkterna på grafen till f och avgör vad för slags extrempunkter det rör sig om. 5 poäng b) Bestäm koordinaterna till inflektionspunkterna på grafen till f. c) Bestäm gränsvärdena för f (x) när x ±. d) Bestäm koordinaterna till skärningspunkterna mellan graferna till f och g. poäng e) Rita graferna till f och g. 4 poäng f) Beräkna arean av det slutna område S som begränsas av graferna till f och g. 4 poäng g) Beräkna längden på den längsta räta linje som kan ritas i området S och som är parallell med y-axeln. 4 poäng Sida 6/8

7 EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007: MATEMATIK 5 veckotimmar VALBAR UPPGIFT II. SANNOLIKHETSLÄRA Sida 1 av 1 Poäng I en fruktodling med äppelträd undersöks den årliga äppelskörden. Man finner att 10% av äpplena har en diameter som överstiger 70mm, och 15% av äpplena har en diameter som är mindre än 45mm. a) Fem äpplen väljs slumpmässigt ut från den årliga skörden. Beräkna sannolikheten att tre eller fler av dessa äpplen har en diameter som är mindre än 45mm. b) Om vi antar att äpplenas diameter följer normalfördelningen, beräkna medelvärdet och standardavvikelsen för fördelningen. 5 poäng Hela skörden packeteras i lådor som innehåller 00 äpplen. 14% av äpplena är smittade med någon sjukdom. c) Beräkna, med utförlig motivering av alla antaganden, sannolikheten att antalet smittade äpplen i en slumpmässigt utvald låda är i. 0 eller färre, 4 poäng ii. 40 eller fler. 4 poäng d) Det har visat sig att smittan inte är jämnt fördelad över hela fruktodlingen utan i den norra delen av fruktodlingen, som innehåller 60% av skörden, är risken för smitta 18%. Den södra delen fruktodlingen bidrar med de resterande 40% av skörden. Beräkna sannolikheten att ett äpple är smittat om det väljs ut slumpmässigt ur skörden som kommer från den södra delen av fruktodlingen. Sida 7/8

8 EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007: MATEMATIK 5 veckotimmar VALBAR UPPGIFT III. GEOMETRI Sida 1 av 1 Poäng I ett ortonormerat koordinatsystem är två plan π 1 och π givna genom ekvationerna: π 1 : 8 4y + z 81 = 0 och x π : x + y z 9 = 0. Det finns även en rät linje d och en punkt P där x 8 1 d : y = 5 + t 5, z 3 1 t R och P (10, 3, 4). a) Bestäm vinkeln mellan planen π 1 och π. b) Ange på parameterform ekvationen för skärningslinjen mellan planen π 1 och π. c) Låt g vara den räta linje som är vinkelrät mot linjen d och som går igenom punkten P. Bestäm skärningspunkten mellan g och d. d) Bestäm ekvationen för det plan som innehåller den räta linjen d och befinner sig på största möjliga avstånd från P. 4 poäng 5 poäng 4 poäng Givet är en familj av sfärer S a med ekvationerna S : ( x a) + ( y a) + z 81 = 0, a a R. e) Bestäm en ekvation för den räta linje m som innehåller medelpunkterna till alla sfärer S a och bestäm de värden på a för vilka S a har mer än en skärningspunkt med XZ-planet. 5 poäng f) Punkterna A (8, 4, 1) och B (4, 4, 7) ligger på sfären S 0 som har ekvationen x + y + z = poäng Låt C vara en cirkel med medelpunkt i origo som går igenom punkterna A och B. Bestäm en ekvation för tangenten till cirkeln C i punkten B. Sida 8/8