Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03"

Transkript

1 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version

2 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse för studier inom naturvetenskap, teknik och samhällsvetenskap. De begrepp som behandlas är kanske bekanta från gymnasiekursen. I MMA ställs dock högre krav på att självständigt kunna läsa in) matematisk text och då inte minst att kunna omsätta detta i en god räkneförmåga parad med en god matematisk förståelse. Undervisning Kursen är i sitt upplägg schemalagd med motsvarande 8 föreläsningar och 4 lektioner om vardera två-tre timmar, samt två tentamina om vardera tre timmar. Vid sidan om de schemalagda passen formeras kursen av 8 individuella inlämningsuppgifter i detta häfte) som ska lösas och lämnas in till berörd lektionslärare för bedömning. Specifikationen av vilka uppgifter en viss student ska lösa ges av den siffra i intervallet som han/hon tilldelas i början av kursen. Studenter har att lämna in lösningar till motsvarande i princip ett moment per vecka och då på en plats som meddelas i början av kursen. De ska kunna förvänta sig att färdigbedömda lösningar finns tillhanda på den lektion som följer en inlämning, förutsatt att inlämningen ifråga har skett senast kl. arbetsdagen innan lektionen ifråga. Generellt råd Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I kursboken och i studiehandledningen) finns därför relativt många övningsuppgifter att ta sig an. Kursbok Mot bättre vetande av Dunkels, Klefsjö, Nilsson, Näslund, :e uppl., ISBN , Studentlitteratur 00. Examination och betyg Examinationsmomentet INL De betygsgrader som används i examinationsmomentet INL, hp) är underkänd u) och godkänd g). För att under kursens gång bli godkänd i INL krävs att lösningar till i kursen ingående inlämningsuppgifter har inlämnats enligt angivna regler och sedan blivit godkända inom stipulerade tider. Varje enskild inlämningsuppgift godkänns när en nöjaktig, skriftlig redovisning har åstadkommits. Studenten ska därvidlag vara beredd på att kunna besvara frågor om den teori som en lösning baseras på. Ett godkännande ges sålunda när läraren har bedömt att studenten har förstått den berörda matematiken och kan kommunicera sin lösning på ett fullständigt sätt. Om en lösning inte blir godkänd skickas den i retur kanske med något tips) för att studenten ifråga ska ha en möjlighet att kunna göra nödvändiga korrigeringar för ett slutgiltigt godkännande. Detta förfarande fortsätter i cykler till dess uppgiften har blivit godkänd, dock med följande begränsningar i tid: Lösningar till uppgifterna i momenten måste vara godkända senast kl..00 dagen innan ordinarie tentamen TEN äger rum. Lösningar till uppgifterna i momenten 4 7 måste vara godkända senast på fredagen innan tentamensveckan. Därefter sker ingen restexamination. Examinationsmomenten TEN och TEN De betygsgrader som används i examinationsmomenten TEN och TEN, hp resp., hp) är underkänd u) och godkänd g). För att bli godkänd på något av momenten krävs betyget g på en motsvarande tentamen. Tentamina i TEN och TEN består vardera av nio 9) stycken uppgifter à p, och är baserade på innehållen i de tre första respektive de fyra övriga momenten i kursen. Ett godkänt betyg på en tentamen erhålls om en poängsumma om minst p uppnås. Skrivtid per enskild tentamen är tre ) timmar. Sammanfattningsbetyg De betygsgrader som används som sammanfattningsbetyg på en avklarad kurs är godkänd g) och väl godkänd vg). För betyget g krävs minst godkända betyg i alla de tre examinationsmoment som ingår i kursen. För betyget vg krävs dessutom antingen att S + S 6, där S och S är poängsummorna från TEN respektive TEN, eller en kombination av att S + S 6 har uppnåtts vid ordinarie kurstillfälle och att alla inlämningsuppgifter har blivit godkända innan den sista lektionen vid kurstillfället är till ända.

3 INL Moment Tal, uttryck, ekvationer, olikheter. Tal D., D.8.0 INL.a Förenkla framställningen av det rationella talet så mycket som möjligt, dvs skriv det på formen p/q där p och q är heltal som inte har några gemensamma primtalsfaktorer. ) ) 9) ) ) + ) ) 4 ) 4 8 ) ) ) ) ) 7 ) 8) ) ) ) + + 9) ) 4 + ) ) 4) 4 ) 7 ) ) ) 8 ) ) 4 + ) ) 6 + ) 4 4 ) 8 0) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 + ) ) ) ) + 7 ) ) ) + + 6) ) 4) ) INL.b Skriv talet... ) i 4-systemet 8) i -systemet ) 0 i 4-systemet ) 4 i 7-systemet ) 7 i -systemet 9) 0 i 6-systemet 6) 8 i 9-systemet ) 44 i 6-systemet ) 4 i 7-systemet 0) 4 i -systemet 7) 4 i -systemet 4) 4 7 i 4-systemet 4) 77 9 i 4-systemet ) 4 6 i 4-systemet 8) 4 i 6-systemet ) 8 9 i -systemet ) 4 6 i 8-systemet ) 0 i -systemet 9) 48 9 i 7-systemet 6) 4 8 i 4-systemet 6) 4 i 9-systemet ) 6 7 i 8-systemet 0) 0 i -systemet 7) i 4-systemet 7) 7 i 4-systemet 4) 6 i -systemet ) 4 7 i -systemet 8) 9 i 8-systemet

4 4 9) 67 8 i 6-systemet 0) 6 i 7-systemet ) 4 i 9-systemet ) 47 8 i 6-systemet INL.c Förklara direkt från det angivna talet varför det är rationellt. Skriv det sedan som ett bråktal på enklaste form, dvs på formen p/q där p och q inte har några gemensamma primtalsfaktorer. ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ), ), ),... 6) 0,... ) 0, ), ), ), ),... ), ), ) 0, ), ) 0, ) 0, ),... 6) 0, ) 0, ), ),... 7), ), ), ), ) 0,... 6), ), 7... ), INL.d Förenkla framställningen av uttrycket så mycket som möjligt är. ) ) 0 0 ) ) ) ) ) ) ) ) 67 4 ) ) ) ) ) ) ) ) + 6 9) 4 7 0) ) ) 8 8 ) ) ) ) ) ) ) ) + 6 ) ) INL.e Antag att x, y är reella) punkter på en tallinje. Förklara vad uttrycket x y anger geometriskt. Använd sedan denna insikt till att på en tallinje illustrera nedanstående villkor, samt till att omformulera desamma utan användning av solutbelopp. Var i illustrationen noga med att tydliggöra vilka punkter som satisfierar villkoren. ) x + < 6) > x 4 ) < x 6 6) > x + ) 4 x + 6 > 7) x + < 4 ) > x + 7) < x 4 ) x < 8) x + > ) x 4 < 4 8) x + < 4) 4 > x 9) < x 6 4) > x 9) 7 x 4 > ) < x + 4 0) 4 x + 4 > ) < x + 6 0) < x

5 .. TAL ) 4 x 6 > 4) < x 4 7) > x + 4 0) > x + 4 ) x + < ) 4 x + > 8) < x 4 ) < x 8 ) > x 7 6) x < 9) > x ) 6 x > INL.f Antag att talet p anger det belopp i SEK räknat) som finns i en plånbok, och att fördelningen över pengaslag är en bunt om n s stycken sedlar av valören s SEK, och n k stycken enkronor med n k < s. Detta kan, om associationerna till pengar utelämnas, uttryckas som att talet p har resten n k vid division med s. Hur många sedlar och hur många enkronor finns det i den stora plånbok som innehåller P SEK, om det förutsättes att alla eventuella hela sviter om s enkronor har blivit inväxlade mot sedlar? Utgå därvidlag från värdena s, n k, P ) =... ), 8, 4p + ) 9) 9, 8, p + 4) 7) 8, 8, 9p + 8) ) 6, 8, p + 7) ), 9, 9p + ) 0) 0, 9, 6p + 9) 8) 6, 9, 8p + ) 6), 9, 9p + 4) ) 6, 0, 8p + ) ) 7, 0, 8p + 4) 9), 0, 7p + ) 7) 8, 0, 8p + ) 4),, 7p + 4) ) 8,, 7p + 8) 0),, p + 8) 8) 9,, p + ) ) 9,, p + ) ) 7,, p + 6) ),, p + 4) 9) 0,, p + 6) 6) 8,, p + 6) 4) 6,, p + 9) ) 0,, 6p + ) 0),, 6p + ) 7) 7, 4, 7p + ) ), 4, 6p + ) ) 9, 4, 8p + 7) ), 4, 4p + ) 8) 8, 7, 0p + ) 6), 7, 4p + 6) 4) 7, 7, 7p + 6) ) 0, 7, p + ) INL.g Skriv det komplexa talet på den rektangulära) formen a + bi, där i är den imaginära enheten och där a, b är reella tal. ) i)i i) ) i i) + i) ) + i) + i) i) 4) + 4i) i)6 i) ) i) + i) i) 6) i)4i 4 i) 7) i + i) + 4i) 8) + 4i) i) i) 9) i i)4 i) 0) i) + i)4i ) + i)i i) ) + 4i) + 4i) i) ) 4i i)4 + i) 4) i + i) + i) ) + i) i)i) 6) i) i) + i) 7) 4i) i) i) 8) 4 + i) + i) i) 9) i4 + i) i) 0) i) 4i) i) ) i)4 + i)i ) i + i) i) ) + i)i + i) 4) 6i 7i) + i) ) + 4i) i) 6i) 6) i) i) i) 7) + i) i)i 8) i + i)4 + i) 9) 6i) i) 4i) 0) i)i 4 + i) ) i + i) i) ) + 4i) + i)i

6 6. Uttryck D., D., D.8. INL.a Utveckla polynomet och skriv det på formen a 0 + a x + a x a n x n. ) 8 7x) 8) 4x 6) ) x ) ) x ) 9) 7 8x) ) 6 8x) 9) x 4) 6) 6x) ) 8 x) 0) 6x ) ) 6x 9) 0) x) 7) 9x 8) 4) 7x ) ) 7 x) 4) 6 x) ) 4x ) 8) 7 x) ) 4 9x) ) 9x ) ) 9x ) ) 6 x) 9) 9 x) 6) 8x ) 6) 9 7x) ) 6x ) 0) 4x ) 7) 7 6x) 7) 7 6x) 4) 7 4x) ) 0 6x) 8) x 9) INL.b Använd kvadreringsformeln a + b) = a + + b, med a, b tagna som heltal ej nödvändigtvis positiva), till att för hand beräkna kvadraten. ) 47 ) 8 9) ) 49 7) 78 ) 68 ) 8 9) ) 6 6) 79 0) 97 4) 6 8) 48 ) 6) 77 0) 98 ) 8 7) 9 ) 88 ) 7 9) 9 ) 87 7) 9 ) 89 4) 6 8) 67 ) 7 6) 8 0) 9 4) 7 8) 69 ) 7 INL.c Utveckla polynomet och skriv det på formen a 0 + a x + a x a n x n. ) + x) 7x + 8) x )x ) 4x ) x) 4 6x)x 7) ) x )7 x) 8x ) + x) 4) 84 x) 4 x) x + 0x) ) 4 x)x + ) 4 x)x ) 6) x ) 0x7 + x) x) 7) 4 + x)x ) + 6 4x)6x ) 8) 4 + x) 4x) x6 x) 4x) 9) 44 x) + x x) 64 x) 0) 4x + ) x) 4x) x + ) ) 7x ) 4x7 x) 7 7x) x) ) 4x ) x) 4 x)x ) ) 47 x)x ) x9 4x) + 4 x) 4) 8 x) + x ) x) ) 4x + ) x) 6x) + 8x)x + ) 6) + 6x) + 4x)6x ) x) 7) x 7) 6x) 6 x)x ) 8) 4 + 7x)4 7x) + 7x x ) 7 x) 9) 4 x + 4x ) 4x) + 4x) 4x) 0) x) + 8x) 7x ) 4x) ) x) 9x + x) x) ) x ) + 4x) + x)x ) ) 4x ) 9x) 6xx + ) 4) x)x 9) 7 x)x ) ) 4 + x)4 x) 47x + ) x) 6) 4x) 4 7x) 6x + 8x) 7) x + ) + 6x) x)x + ) 8) x) + 0x)x 4 7x) 9) 4x 7) x) 4 x)x 9) 0) 8x) + x) + 4 x) ) 46 x) 6 x) x + 6x) ) 7x 4) + x) + 7x)x + )

7 .. UTTRYCK 7 INL.d Faktorisera polynomet på formen Ax a)x b) genom att bl.a. kvadratkomplettera. ) 7 x x 9) 6x + 6x 6 7) 6x + 0x 00 ) 00 + x x ) 9x + 6x 7 0) x x 8) x + x 80 6) 4x 6x 60 ) 60 + x + x ) 4x 44x ) 8x x 7) x + x 0 4) 7 + x 4x ) 0 x x 0) 8 9x 9x 8) 40 8x x ) 8x 40x 48 ) 7x x ) x 0x 9) x x 4 6) 7x 7x 4 4) 7x + x + 8 ) 96 8x 8x 0) 4x 8x 7) 6 7x 9x ) 8x 4x ) 9x + 7x + 8 ) 8 + x x 8) 8x + 7x 88 6) 04 7x 7x 4) 6x 4x 80 ) x + 6x 08 INL.e Förenkla så långt som möjligt framställningen av uttrycket. Ange speciellt för vilka a som förenklingen äger sin giltighet. ) /a)a a + 6a) 7a a )a 0) ) 98 a ) ) 8 6a a 6a a a 4 ) 08a a ) 4 6a 6)a + 4a + 7) a + 8 ) a 4) ) a a a 0 a a + a a ) ) a ) ) a 4a a 0a 6a a 6) 4 a ) a 9 a + a a )a + 4) 7) 00 a ) 0 + a ) a + 0a a 4a 8) ) 49a + 4a 4 + a a + a ) 96 4a ) 6a 4) 9) ) 9 + 6a + a 9a a ) a + 0) 79a 9a ) ) 4 a + 90a + 40)a 7a) a + 49a ) + 4a + a ) a/7 ) 49a + a ) 6a + 96a + 84) 9 a )6 + a) 8 ) a ) ) ) 98 8a + a a 0 0/a a + ) a a 4) ) 6a 4 4a ) + 6a a + 8a a 48a a + 6a + ) ) a ) + a) ) a ) a a ) 6) a /7) a + 49a 4a + 7) + 0 ) 0a + a ) a a ) a 0) 8) a + 6 a 4 ) a ) + a 9) 4/a + a/4) 4 a 0) ) ) ) 4) ) 6) 7) 8) a ) ) + 6a a + 8 a 6 a + a + )a + ) + a a + a 4 a + 6 a ) a a ) ) + a 9a 6a + a 9 a ) 7a + a a 4a + 48a + 44 a 8 ) 0a a a 7 4a + a 4 ) a a + ) a 0a + a a a)7 7a ) 64a ) 6a a ) 64a a 6a a + 8a + 7 ) a 8a + 6a ) a ) 6 6a 6a ) a + a a + 6

8 8 9) 0) a 4 + 4a a a 64 ) + a + 8 a a 0 4a ) a ) 0 8a 80a + 00 a + a ) ) a + 4 a a + a + ) ) a a 4 a a ) 6a ) + 8a + 6a + 4a 6a INL.f Bestäm realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet. ) i + i 7) 6 + 7i i ) 4 i i 9) + i i ) + i i ) + i i ) + 4i + i 8) 6 i + i 4) + i i 0) 4 + i + i 6) i i ) + i + i ) i i 9) + i i ) i + i ) 6i i 7) 4 + i + i 4) + i i 0) 4 i i 6) + 4i + i ) 4 + i i 8) 4 + i i ) + i + i ) + 4i + i 7) 4 + i i ) + i + i 9) i i 6) i + 4i ) + 4i i 8) i i 4) + i i 0) i + i. Ekvationer och olikheter D. INL.a Lös ekvationen. ) x 7)x + 4x + 49)x 4) x + x 4)x x 4) ) x 8)x + 8)x 6x + 64) x + x 7)x x 7) ) x + )x 6)x 6x + 9) x + 4x + )x 7x + )x + 4) ) x 6)x + x + )x ) x + x + )x x + 4) ) x + x + 6)x )x 6) x 4x )x + x 0) 4) x 49)x + 4)x 8x + 6) x x + 8)x + x + 8) ) x + 4x + 44)x 9)x ) x 9x 6)x + 9x 6) 6) x 9)x + )x 4x + 4) x x + )x + x + 6) 7) x + 6x + 64)x 8)x 69) x 64)x x 6) 4) x 0x + )x + )x 00) x + x + 0)x 4x ) ) x )x + 4x + 44)x ) x + 7x + 60)x 7x + 60) 6) x + )x 4)x 0x + ) x x 0)x + x ) 7) x + 4x + 4)x )x ) x x + )x + x + 6) 8) x 6)x + )x x + ) x + x 66)x x 66) 8) x 6x + 9)x + )x 64) x + x + 4)x x + 4) 9) x 9)x + 8x + 6)x 4) x + x )x x 8) 9) x + 4)x 8x + 6)x ) x + 7x 44)x 7x 44) 0) x + 4x + 4)x )x ) x + x + )x x + ) 0) x )x 6)x + 6x + 9) x x 6)x x ) ) x + 4)x 8x + 6)x ) x + x 0)x + )x x 0) ) x + x + )x 6)x ) x + x + 4)x )x x + 4) ) x )x 4)x + 0x + ) x 4x )x + x 0)

9 .. EKVATIONER OCH OLIKHETER 9 ) x 4x + 4)x )x + ) x )x + x + )x + x 0) 8) x )x 9)x + 4x + 4) x x 6)x + x 0) 4) x )x 4)x + 8x + 6) x + 9x + 0)x 9x + 0) 9) x x + 6)x 8)x + 6) x + x + 4)x x + 4) ) x + )x 96)x 0x + ) x + 9x 70)x + 6x + )x 4) 0) x 6)x )x + 6x + 9) x + 7x + )x 4x + ) 6) x + 4x + 4)x )x 49) x x 4)x + x 8) 7) x + )x 6x + 69)x 6) x + x )x 7x 78) ) x 9)x x + 6)x + 6) x x 8)x + 4x ) ) x + 4x + 4)x )x 9) x + x 0)x + x + 6) INL.b Lös ekvationen. ) x + x x = x x 4 x x + 6 ) x x 0 x x + 6 ) + 4 x x = + x x x + x + x x + x = x x + 4) x x x x 4 = x + x + + x 4 x 4 ) x + = x + x + 4 x + x x 6) x x x = x) x + x 7) x = x + + x + 9x 8) x + x + + 4x + 6x x x = x x 7) x x = x x 8) x x + + 4x + x = 6x + x + x x 6 9) 0) 7 49 x) = + x 9 4x 4 x x x x x x + 6 = 4 x ) 4 x + )x + ) = x x + 6 x x + ) x + x 4 + x + = x ) x x x x + x + x = x + x 4) x x 4 + x + 9x 9 x x 4 = x + x + 9) x x = x + x + x + x + ) x + + x x = x x + 0 4x 9 0) ) x 7 x x 4 = x x + + x x 4 x x + 7 x x = x x + 6) x 7 x 4 = x x + x x 4 + x x + 7) x x = 4 x x ) x + x x + x + + x + = x x + ) 4) x x = x x x x x 4 x x = x 9x ) x + x x 0x x = x + 6x 6 6) 7 x + x 4x + 9 = x) x 8) x x + = x + x + x x x x 6 9) x 4 x + 4x + = x x + x + 0) x + x + 4 x x = x + x x x + ) ) x + x x + = x + x + x = x 9 x 7 4x x + 4x

10 0 INL.c Vilka reella x uppfyller villkoret? ) 8x + = x + 7 ) x = 8x 9 ) 8 x = x + 4) x 6 = x 9 ) x = x 8 6) x + = 4x + 7) + 6x = + x 8) x = 6x + 7 9) 8x 4 = 4 x 0) x = 8 x ) 4 x = x + 4 ) x = x ) x = x 4) x / = 4x ) x 0 = x 6) x = x + 7 7) 6x + 9 = 4x + 8) x = x 9) x = x + 0) 4x = x 9 ) x = x ) x = 4x ) 8x = x 7 4) 4x 7 = 7 8x ) x + /4 = x + 6) x = 7 x 7) 6x = x 8) x = 7 6x 9) x = x + 0) x = x + ) x + = x ) 4x = 6 0x INL.d Vilka x satisfierar semi-olikheten? ) x x + x x + 9) x 4 x 7) x x x 7 ) x x + x + x ) 6 x x + x 0) 8x + x 6 x + 8) x x + x 4 x + 6) x + 4 x x + ) x + 4 x x x + ) x x x + x 9) x + 6 6x x 7) x x + 4 x + 4) x x + x ) x x + 0) x x 8) 6 x x + 4 ) 4 x + 7 x ) x + 6 x + ) x x 9) x x + 6) x x x + 7 4) x + 4 x ) x + x 0) x x x + x 7) x + 6 x + ) x x x x ) x + x + ) x 4 x + 7 8) x + x + x 6) x x + + x 4) x x 9 ) x + x INL.e Lös ekvationssystemet. ) x y = x + y = 4 ) 4x + y = x y = 7 9) x y = 0 4x y = 0 ) x y = x + y = 7 ) 4x + y = x + y = 6) 4x y = 8 x + y = 0) 7x + y = 6 x + y = 4) x 6y = 9 4x y = 9 ) x + y = x y = 7) x + y = x 4y = ) x + y = 6 4x 7y = ) x + y = 4 x y = 4) x + y = 7 4x + y = 8) x y = 4 x + y = ) x + 4y = x + 7y = 9 6) x + 0y = x + 7y = 8

11 .. EKVATIONER OCH OLIKHETER 7) x y = 8 x y = ) x + y = x + y = 4 ) x + y = 9 x y = 9) x + y = x 4y = 8 8) x y = 8 x + y = 7 ) x + 0y = x + y = 7 6) x + y = x + y = 4 0) x + y x + y = 9) x + y = 4 x + y = 8 ) x y = 7x y = 4 7) 4x 7y = x + y = ) x y = 9 x y = 8 0) 4x + y = x + 4y = 6 4) x + y = x y = 8 8) x + y = x + y = ) x y = 6 x + y = 4

12 INL Moment 4 7 Grafer och funktioner, trigonometri, potenser och logaritmer, derivator och integraler 4. Grafer och funktioner D., D. INL 4.a Bestäm algebraiskt ekvationen för, och skissa, den räta linje γ som går genom punkten P och som är parallell med linjen λ. ) P :, ), λ : x + y = ) P :, ), λ : x + y = 4 ) P :, ), λ : x 4y = 4) P : 4, ), λ : x + y = ) P :, ), λ : 4x y = 6) P :, ), λ : x y = 7) P :, ), λ : x + 4y = 8) P :, 4), λ : x y = 9) P : 4, ), λ : x + y = 0) P :, ), λ : 6x + y = ) P :, 4), λ : x y = ) P :, ), λ : 7x + 4y = ) P :, ), λ : 4x y = 4) P :, 4), λ : x + y = ) P :, ), λ : x + y = 6) P :, 4), λ : x y = 9 7) P : 4, ), λ : x + y = 8) P :, ), λ : x y = 9) P :, ), λ : x + y = 0) P : 4, ), λ : x + 4y = ) P :, ), λ : x + 6y = ) P :, 4), λ : x y = ) P : 6, ), λ : x + 4y = 4) P :, ), λ : x + y = ) P :, ), λ : x + y = 9 6) P :, ), λ : 4x y = 9 7) P : 4, ), λ : x + y = 8) P : 7, ), λ : x y = 9) P :, 6), λ : x + y = 0) P :, ), λ : x y = ) P : 7, 4), λ : x + y = ) P :, ), λ : x y = 4 INL 4.b Beräkna avståndet mellan punkterna som är angivna i ett ortonormerat koordinatsystem). ) P : 8, 4), P :, ) ) P : 4, 7), P :, 9) ) P : 7, 9), P :, ) 4) P :, 7), P : 6, ) ) P :, 6), P :, 4) 6) P :, 7), P :, 6) 7) P : 7, 8), P : 9, 6) 8) P : 7, 4), P : 0, 6) 9) P : 8, 7), P :, 9) 0) P : 9, ), P : 6, 7) ) P :, ), P :, 4) ) P :, 4), P :, 6) ) P :, 4), P :, ) 4) P :, ), P :, ) ) P : 4, ), P :, ) 6) P : 4, ), P :, ) 7) P :, ), P :, ) 8) P :, 4), P :, ) 9) P :, ), P :, ) 0) P :, ), P : 7, ) ) P :, ), P :, )

13 4.. GRAFER OCH FUNKTIONER ) P :, ), P :, ) ) P :, ), P :, ) 4) P : 4, 7), P :, 9) ) P : 6, ), P : 4, ) 6) P :, ), P :, ) 7) P :, 7), P : 4, ) 8) P :, ), P : 7, 4) 9) P :, 4), P :, ) 0) P :, 6), P :, 9) ) P :, 8), P :, 7) ) P :, ), P :, ) INL 4.c Gör en geometrisk tolkning av ekvationen och skissa resultatet. ) 4x + 4x + 4y = + 0y ) 6y + 4x + 4y = + x ) + x + 4x + 4y = 8y 4) + 4y + 4x + 4y = 4x ) + 8x + 4x + 4y = 4y 6) 8y + 4x + 4y = + x 7) 6 + 0y + 4x + 4y = 8x 8) 6x + 4x + 4y = 9 + 8y 9) x + 4x + 4y = 9 + 4y 0) + 6y + 4x + 4y x ) + 0y + 4x + 4y = x ) 8x + 4x + 4y = 9 + 4y ) 4 + 4x + 4y = 4x + 8y 4) + 4x + 4y = 8x + 0y ) + y + 4x + 4y x 6) x + 4y = 4x + 8y 7) 6 + 0y + 4x + 4y = 8x 8) 6x + 4x + 4y = + y 9) 4y + 4x + 4y = + 0x 0) x + 4x + 4y = 4y ) + x + 4x + 4y y ) 7 + 8y + 4x + 4y = 8x ) 4x + 4x + 4y = 9 + y 4) 7 + 0y + 4x + 4y = 6x ) + 4x + 4x + 4y = 8y 6) 9 + y + 4x + 4y = 4x 7) 0x + 4x + 4y = + y 8) 7 + 8x + 4x + 4y = 8y 9) 7 + 8x + 4x + 4y = y 0) 4 + 0y + 4x + 4y = 4x ) 6 + 0x + 4x + 4y = 8y ) 6y + 4x + 4y = + 8x INL 4.d Tolka ekvationen geometriskt utan hjälp av derivata-analys) och skissa resultatet. ) 8x = y + + x ) + y + x = 4x ) 8x + y = 7 + x 4) 4 + 4x + x = y ) x = x + y + 7 6) x + 8x + y + 9 7) x + y + = 4x 8) 8x + y = x + 0 9) + 4x + y + x 0) y + x + x ) x + y + 6 = 8x ) 0 + 6x + x + y ) x + y + 0 = 8x 4) x + y = 9 + x ) x + y + = 4x 6) y = 7 + x + x 7) x + 6x + y + 8) 8x + y = x + 9 9) + x + x = y 0) 4x + x + y + 4 ) x = x + y + 0 ) x + = 4x + y ) 8x = 7 + y + x 4) x + 4x + = y ) 6 + x + y + x 6) y + x + 9 = 8x 7) x + y + x 8) x + 9 = 8x + y 9) + 4x + y + x 0) x + x + 9 = y ) 8x + y = 7 + x ) x = 4x + y

14 4 INL 4.e Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f. ) 6 x + 7) fx) = + 4x x + x + xx ) 8) fx) = + x + xx ) + x + 6 ) fx) = x x + 4 x + x + x + 4 x + + x 9) fx) = x 400 x x + 0 ) fx) = x + x + + x + + x + x + ) fx) = x + x 9 x 9 4) fx) = x + 7 x + 7 ) fx) = x + x + x x x )9 x) x 4x x 8 x 8 0) fx) = 9 + x 9 x x 9 x + ) fx) = x + + x x + x 7 x 7 8 x 8 x x + 9 6) fx) = x + 9 7) fx) = + x + 8 x x + 7 x + 7 x )x 6)7 x) x )x 6)7 x) + x x 8) fx) = x 009 x x 00) + x 0 x 0 9) fx) = x )x 4) x + x )x 4) 0) fx) = + x 00 ) + x 0 ) x 00 x 0 ) fx) = ) fx) = x )x ) x x + x x ) fx) = x 4 x 4 + x + 4) fx) = x x + x x ) fx) = x + )x ) x + 4 6) fx) = x x 4 x 4 x + x + + x + x + x x 4 x x 4 ) fx) = x + 7) x) ) fx) = 4) fx) = ) fx) = 6) fx) = x + 7 x x + x + + x + x + x + ) x + x + x + x + x 4) x 4 7 x + 8 x x + 7 x x x 7) fx) = x + x 4 x 4 + x 9 x 9 x 4 x 6 8) fx) = + x x x 4 x 6 9) fx) = ) x x x 0) fx) = x x x 6 x 7 + x x x 8 x 9 ) fx) = x 6 x x 6 ) fx) = x x + 4 x 4 x + 7 x 7 x INL 4.f Förklara direkt från ekvationerna varför de två räta linjerna λ och λ skär varandra i precis en punkt. Bestäm sedan koordinaterna för denna punkt. ) λ : x + y =, λ : x + y = ) λ : x + y =, λ : x 4y = 8 ) λ : x + y, λ : x + y = 4) λ : x y = 9, λ : x y = 8 ) λ : x y = 6, λ : x + y = 4 6) λ : x y =, λ : x + y = 4 7) λ : 4x + y =, λ : x + y = 8) λ : x + y =, λ : x + y = 4 9) λ : x + 0y =, λ : x + y = 7 0) λ : x y =, λ : 7x y = 4

15 .. TRIGONOMETRI ) λ : x + 0y =, λ : x + 7y = 8 ) λ : x y = 8, λ : x y = ) λ : x y = 8, λ : x + y = 7 4) λ : x + y = 4, λ : x + y = 8 ) λ : 4x + y =, λ : x + 4y = 6 6) λ : x + y =, λ : x y = 8 7) λ : x + 4y =, λ : x + 7y = 9 8) λ : x y =, λ : x + y = 7 9) λ : x 6y = 9, λ : 4x y = 9 0) λ : x + y = 4, λ : x y = ) λ : x y = 4, λ : x + y = ) λ : x y = 0, λ : 4x y = 0 ) λ : 7x + y = 6, λ : x + y = 4) λ : x + y = 6, λ : 4x 7y = ) λ : x + y =, λ : x y = 6) λ : x + y = 7, λ : 4x + y = 7) λ : 4x + y =, λ : x y = 7 8) λ : 4x y = 8, λ : x + y = 9) λ : x + y =, λ : x 4y = 0) λ : x + y = 9, λ : x y = ) λ : x + y =, λ : x + y = 4 ) λ : 4x 7y =, λ : x + y =. Trigonometri D.4, D.8., D.8.4 INL.a Skissa, i en och samma figur, funktionskurvorna γ och γ. ) γ : y = sinx) γ : y = sin4x/) ) γ : y = cosx) γ : y = cos4x/7) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) ) γ : y = cosx) γ : y = cos6x/) ) γ : y = sinx) γ : y = sin7x/4) 4) γ : y = cosx) γ : y = 4 cosx/4) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/6) 4) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = sinx) γ : y = sin4x/) 4) γ : y = cosx) γ : y = cos7x/4) γ : y = sinx) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) γ : y = cosx) 6) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = sin4x/7) γ : y = cosx) 6) γ : y = 4 cos7x/4) γ : y = sinx) 7) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) 6) γ : y = cosx/6) γ : y = sinx) 7) γ : y = sin4x/7) γ : y = cosx) 8) γ : y = cosx) γ : y = cos4x/) 7) 8) γ : y = sin6x/) γ : y = cosx) γ : y = 4 cos4x/7) 8) 9) γ : y = cosx/) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) 9) γ : y = sinx) γ : y = sinx/4) γ : y = cosx) 9) γ : y = sinx) γ : y = sin7x/4) 0) γ : y = cosx) γ : y = cos4x/) 0) γ : y = cosx/) γ : y = sinx) 0) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/4) ) γ : y = sinx/) γ : y = cosx) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) ) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = 4 cosx/4)

16 6 INL.b Beräkna de två ej angivna funktionsvärdena i trippeln cosx), sinx), tanx). ) sinx) =, π < x < π ) tanx) = 4, π < x < π ) cosx) = 4, π < x < 7π 4) tanx) = 6, 7π < x < 4π ) sinx) =, π < x < π 6) tanx) =, π < x < π 7) cosx) =, π < x < π 8) tanx) =, π < x < π 9) sinx) =, π < x < 7π ) sinx) = 7, π < x < π ) tanx) =, π < x < π ) sinx) =, π < x < π 4) tanx) =, π < x < π ) cosx) = 4, π < x < π 6) tanx) =, π < x < π 7) sinx) = 4, π < x < 7π 8) tanx) = 6, 7π < x < 4π 9) cosx) =, π < x < π 0) tanx) =, π < x < π ) tanx) =, π < x < π ) cosx) =, π < x < 7π 4) tanx) =, 7π < x < 4π ) sinx) =, π < x < π 6) tanx) =, π < x < π 7) cosx) =, π < x < π 8) tanx) =, π < x < π 9) sinx) =, π < x < 7π 0) tanx) =, 7π < x < 4π ) cosx) =, π < x < π 0) tanx) =, 7π < x < 4π ) sinx) =, π < x < π ) tanx) =, π < x < π INL.c Beräkna funktionsvärdet utgående från funktionsvärdena sinx) och cosx) i uppgift INL.b. ) cosx π/4) 9) cosx π/) 7) cosx + π/4) ) cosx + π/) ) sinx + π/6) 0) sinx + π/) 8) sinx π/6) 6) sinx π/) ) cosx 7π/6) ) cosx π/4) 9) cosx + 7π/6) 7) cosx + π/4) 4) sinx + π/4) ) sinx + π/6) 0) sinx π/4) 8) sinx π/6) ) cosx π/4) ) cosx + π/6) ) cosx + π/4) 9) cosx π/6) 6) sinx + 7π/6) 4) sinx π/4) ) sinx 7π/6) 0) sinx + π/4) 7) cosx π/6) ) cosx + π/) ) cosx + π/6) ) cosx π/) 8) sinx + π/4) 6) sinx π/) 4) sinx π/4) ) sinx + π/) INL.d Lös ekvationen. ) sinx 4π ) = 9) sinx π 6 ) = 7) sinx π ) = ) sin π 4 x) = ) cos π 6 x) = 0) cos π x) = 8) cos π 4 x) = 6) cosx π 6 ) = ) sinx π 8 ) = ) sin π 4 x) = 9) sin π 4 x) = 7) sinx π ) = 4) cos π 4 x) = ) cosx π 6 ) = 0) cosx π ) = 8) cos π x) = ) sin4x π ) = ) sinx π ) = ) sinx π 8 ) = 9) sinx π ) = 6) cos π 6 x) = 4) cos π 6 4x) = ) cos π 4 x) = 0) cos π 4 x) = 7) sin π x) = ) sin π 4x) = ) sinx π 6 ) = ) sin π 6 x) = 8) cos4x π 6 ) = 6) cos4x π 4 ) = 4) cos π 4 4x) = ) cos4x π ) =

17 6.. POTENSER OCH LOGARITMER 7 INL.e Lös ekvationen för x R). ) cosx) + 4 sinx) = 7 + cos x) ) 6 cosx) + 6 sin x) = cosx) + ) cosx) + sinx) + ) = 4 cos x) 4) sinx) + sinx) ) 6 sin x) + cosx) + 0 cosx) + 6) cosx) + cos x) = 4 sinx) 7) 8 cosx) ) = 9 cosx) + 0 sin x) 8) cosx) + 0 sinx) + cos x) + 9) sin x) + 4 cosx) = + cosx) 0) 4 cosx) + = cosx) + 6 sin x) ) 4 cos x) = + 6 sinx) + cosx) ) cosx) + 6 sin x) = + 4 cosx) ) 4 cos x) + = 6 sinx) + cosx) 4) 6 sin x) = + 6 cosx) + cosx) ) + 6 sinx) + cosx) = 6 cos x) 6) 0 cos x) = 4 sinx) cosx) 7) cosx) = cosx) + 4 sin x) 8) cos x) + 4 sinx) + cosx) 9) 4 cosx) + cosx) + sin x) + 0) cosx) + 7 = 6 cos x) + 0 sinx) ) cos x) = cosx) ) sin x) + cosx) = 4 cosx) 7 ) 6 cos x) + 8 sinx) = cosx) 4) cosx) = 4 cosx) + sin x) ) 6 cos x) + cosx) = + 6 sinx) 6) cosx) + cosx) + sin x) = 7) cosx) + = cosx) + 4 sin x) 8) 4 cos x) + 0 sinx) = + cosx) 9) = cosx) + 6 cosx) + 4 sin x) 0) cos x) + 4 sinx) + = cosx) ) 4 cos x) = cosx) ) + sin x) cosx) + cosx) INL.f Skriv det komplexa talet på den polära) formen rcos θ + i sin θ) = re iθ, där i är den imaginära enheten, och där r och θ är solutbeloppet av respektive argumentet för talet. Illustrera sedan talet i det komplexa talplanet. ) i 9) + i 7) ) + i ) 0) i 8) 6 i 8 6) i ) + i ) + i 9) + i 7) i 4) + i ) i 0) + i 7 8) i ) i ) 7 + 7i ) i 9) + i 6) i 4) i ) 4 4i 0) + i 7) i ) i ) + i 6 ) i 8) i 6) + i 4) 6 6i ) i 6. Potenser och logaritmer D. INL 6.a Förenkla framställningen av uttrycket så mycket som möjligt är. Det antages att a, b > 0. ) ) ) ) 4 4 a b ) a b ). ) ) ) a b a ) b a b a. ) a b b a b a. 4) a b b. a4 b a b 4 a b

18 8 ) ) ) a4 b a 4 b 4. a b ) a ) ) b a b 4. a b 9) ) a4 b a b ). a b 6) ) ) 4 a b 4. 6) a b ) ) 4 a b. a b a b 4 ) ) 4 ) a b. 0) 4 a b ) b a b ). 7) ) ) 4. a b a b 7) ) a b 4 a ) b. a b 4) ) ). ) a4 b ) 4 ). 8) ) ) 4 a4 b a b. a b 8) ) 4 ) a. a4 b ) ) ) 4 a b a b. ) ) a b 4 ). a b 9) a b 4 a b ) a ) b. 9) 0) 8a b ) / ) a 4/ 7 b. a ) ) 4 a a. 6) 7) 4 a b ) ). ) ) a b 4. ) 4) b 4 a b ) a b ) a b ). a b ) 4 a b. a 0) ) a 4 b 4 a4 b a b ) ) 4. ) a b ). ) ) a 4 a ) 4. a b 8) a b 4 a b ) a a4 b ). ) ) 4 a b ). a b a4 b ) ) 4 4 a b ). a b a b INL 6.b Förenkla framställningen av uttrycket så mycket som möjligt är. ) log ee e) + log 8 ) + log /) ) log 4 7) + ln e) + /) lg/00) ) log ) + log 6 6) + log 6) 4) lg ) lg/ 8) + log / 6 6 6) ) ln e ) + log / 8) + log 7) 6) log 9 4) + log / ) + log ) 7) log ) + log 8 7) + lg/ 00) 8) log 8) log 4 7) log 4 8) 9) [lne 4 ) lne )]/[ lne )] + log 6) 0) log e e) + log / ) + log 4 9) ) log 7 8) + log /6) + log ) ) log 4) log 9 76) log 7 8) ) ln4) + ln/4) ln9)/ 4) log 8 4) log 8 /7) + log 4 ) + log 8) ) ln/9) ln 7) + ln8) 6) lg/) lg4)/ lg9/) 7) log 6 6) + log 7 7 /49) + log 8 ) 8) ln e) log 8) lg/ 000) 9) lg0 ) log 4 4 ) lne / ) 0) log 4 6) + log / 8) log 8 7) ) log ) log ) + ln/ e ) + log 9 7) ) lg 4 0) lne 7 ) + log 9 ) ) log 7) + log 8) log 8 ) 4) lg 4 000) ln e 4 ) + log 4 7 7) ) ln e ) + log 4) 4 lg0 ) 6) log 6 /4 ) + log ) + log 8 7) 7) ln/e ) + lg 7 00) log 6 8) 8) log 64 6) + lg 4 6 6) ln e ) 9) log 4 49) + log 6 6) + log ) log 64 ) 0) lne e) log 64 8) + log 7 79) ) log 4) log 4 6) ln e ) ) log 8 / ) + log ) + log 64)

19 6.. POTENSER OCH LOGARITMER 9 INL 6.c Lös ekvationen. TIPS: För lösandet av versionerna, 4, 0,, 6, 9,,, 8, 9,, kan det löna sig att överväga om ett polynom av typen at + bt + c med heltalskoefficienter a, b, c, men med ett otympligt stort värde på a, går att faktorisera som at + β)t + γ) där β och γ är heltal. ) + x = ) x ) 9 x + 6 x = ) x + 4 x+ = 4) ) x + 9 x = 4/ ) x+ + x = 6) x = x 7) x+ + 4 x = 8) 9 x+ + 8 x+ = 9 9) x+ + x+ = x + 0) x = 4 x ) x = 7 + x ) 8 x = x 7 ) ) x x = 4) 9 x = x + ) x + 4 x = 6) x x = 4 7) x = x 8) x = x 9) ) x+/ + 74 x = 0) x 4 = + 8 x ) + 4 x = 7 x ) 6 x = x ) 7 x + 4 x+ = 4) ) x + x ) x+ + x = 6) + x = x 7) x + = x 8) 9 x x = 9) 4 x+ + x = 0) x = 4 x + ) x+ + 7 = x ) x = + x INL 6.d Lös ekvationen. ) lnx) + lnx + e) = + ln) ) x lgx) ) log x) = log x ) + 8 4) lnx ) + lnx + ) = lnx + ) ) x lgx) 6 6) log 6 x + )) + log 6x + 4) = 7) lnx e) = ln/x) + 8) x lgx) 0x) 9) ln x) = lnx ) + 8 0) ln x )) + lnx 4) = ln) ) log x) + log x x/) ) lnx ) + lnx) = ln) ) 0x lgx) = x/0) 4) log x + ) log x) = ) ln) + ln x + ) = lnx) 6) x lgx) 0x 7) log x) log x + ) = 8) ln x) + ln x) = lnx ) 9) x +lgx) 0 0) log x + ) + log x ) = ) ln x) + ln/x) ) x lgx) 0/x ) log x) + 4 log 4x ) = 7 4) lnx) = + log x e ) ) x +lgx) = ) log x 8) + log x) = 7) lnx) = ln x) 8) x +lgx) = 0x) 9) log x) + log x ) = 0) 8 log x e) = lnx) + ) x +lgx) ) log x)/ log 4 x) =

20 0 7. Derivator och integraler D.6, D.7 INL 7.a Beräkna utifrån deriveringsregler, derivatan till funktionen f. ) fx) = cos/x) + ex x + + x x ) fx) = x + 7 x + x + sinlnx)) ) fx) = x 7/9 + x cosx) + e 9x 4) fx) = sin/ x) + x lnx + ) + x 4/ ) fx) = x + x + x9/4 + cosx ) 6) fx) = x 4 + x sinx) + lnx + ) 7) fx) = cos/ x) + x + x + x7 lnx) 8) fx) = lnx) x + x 9 + sin6x) 9) fx) = x / + x cosx) + e x 0) fx) = sinx ) + x lnx + ) + x 4/ ) fx) = 4x + x + x/7 + cosx ) ) fx) = x 7 + x sinx) + lnx + 7) ) fx) = cosx) + x + + x + ) lnx + ) 7x 4) fx) = lnx) x + x 8 + sinx) ) fx) = x 9/7 + x cosx) + e x 6) fx) = sinx ) + x lnx + ) + x 9/ 7) fx) = 7x x x7/7 + cosx + )) 8) fx) = x 9 + sinx) x + lnx ) 9) fx) = x + 4x + + x7/6 + sin x) 0) fx) = x + cosx ) + x lnx) ) fx) = sin/x) + ex x + + x x ) fx) = x x x + coslnx)) ) fx) = x 8/9 + x sinx) + e x 4) fx) = cos/ x) + x lnx + ) + x 7/ ) fx) = x x + + x9/4 + sinx ) 6) fx) = x + x cosx) + lnx 4 + ) 7) fx) = sin/ x) + x x + + x lnx) 8) fx) = lnx) x + x + cos7x) 9) fx) = x /7 + x sinx) + e x 0) fx) = cosx 4 ) + x lnx + ) + x / ) fx) = 4x + x + + x/6 + cos x) ) fx) = x 7 + sinx ) + x + ) lnx) INL 7.b Bestäm tangenten till kurvan Γ i punkten P. ) Γ : y = x, P : 4, ) ) Γ : y = x 4x +, P :, ) ) Γ : y = 4, P :, ) x 4) Γ : y = x +, P :, ) ) Γ : y =, P : 0, ) x + 6) Γ : y = x +, P :, ) 7) Γ : y = x 4x +, P :, ) 8) Γ : y = 6, P :, 4) x 9) Γ : y = x +, P :, ) 0) Γ : y =, P :, /) x + 4 ) Γ : y = x 4, P : 8, ) ) Γ : y =, P :, ) x + ) Γ : y = x, P :, ) 4) Γ : y = x x, P :, ) ) Γ : y = 4, P :, ) x

21 7.. DERIVATOR OCH INTEGRALER 6) Γ : y = x +, P :, ) 7) Γ : y =, P : 0, ) x 8) Γ : y = x +, P :, ) 9) Γ : y = x + x, P :, ) 0) Γ : y =, P :, ) x ) Γ : y = x, P :, /) ) Γ : y =, P :, ) x + ) Γ : y = x, P :, ) 4) Γ : y = x x, P :, 4) ) Γ : y = 9, P :, ) x 6) Γ : y = x +, P :, ) 7) Γ : y =, P :, ) x 8) Γ : y = x +, P :, ) 9) Γ : y = x + x +, P :, ) 0) Γ : y =, P :, ) x ) Γ : y = x +, P :, /) ) Γ : y =, P :, ) x INL 7.c Ange samtliga primitiver till funktionen f. ) fx) = x + + 8x + sin8x) ) fx) = x 7/ + cos6x) + e 4x ) fx) = 6x + + x/4 + sinx) 4) fx) = x /0 + cosx) + e x/4 ) fx) = 7x + 4x7 + sinx) 6) fx) = x 8/ + cos4x) + e x/ 7) fx) = 8x + + x9/4 + sinx) 8) fx) = x 8/ + cosx) + e x/ 9) fx) = 9x + + 0x + sin4x) 0) fx) = x /9 + cosx) + e x/ ) fx) = 7x + + x4/9 + sin8x) ) fx) = x /8 + cos7x) + e x/ ) fx) = 8x + 8x6 + sin9x) 4) fx) = x /6 + cos6x) + e x/ ) fx) = 9x x/6 + sin6x) 6) fx) = x 4/ + cos8x) + e x/4 7) fx) = 6x + + x4 + sin7x) 8) fx) = x 9/ + cos9x) + e x/ 9) fx) = x + + x/ + sin4x) 0) fx) = x /4 + cosx) + e x ) fx) = x + 7x6 + sinx) ) fx) = x / + cosx) + e x ) fx) = x x7/4 + sinx) 4) fx) = x 8/ + cosx) + e x ) fx) = 4x + + x + sinx) 6) fx) = x /8 + cos4x) + e 4x 7) fx) = x + + x4/ + sinx) 8) fx) = x /7 + cos7x) + e x 9) fx) = 4x + x4 + sin6x) 0) fx) = x /4 + cos8x) + e x ) fx) = x x/4 + sin7x) ) fx) = x / + cosx) + e x

22 INL 7.d Beräkna arean av den i x, y-planet begränsade region som innesluts av kurvorna γ och γ. Illustrera med en figur. ) γ : y = x, γ : y = x + 4 ) γ : y = x, γ : y = 7x + 78 ) γ : y = x, γ : y = 6 + x 4) γ : y = x, γ : y = 4 x ) γ : y = x, γ : y = 7x 6) γ : y = x, γ : y = x + 8 7) γ : y = x, γ : y = x 6 8) γ : y = x, γ : y = x + 9) γ : y = x, γ : y = 4 x 0) γ : y = x, γ : y = 7x + 8 ) γ : y = x, γ : y = x + 4 ) γ : y = x, γ : y = 6 9x ) γ : y = x, γ : y = 6 x 4) γ : y = x, γ : y 4 + x ) γ : y = x, γ : y = x 4 6) γ : y = x, γ : y = 44 7x 7) γ : y = x, γ : y = x + 8) γ : y = x, γ : y = x 4 9) γ : y = x, γ : y = x + 4 0) γ : y = x, γ : y = 7 x ) γ : y = x, γ : y x ) γ : y = x, γ : y = 60 7x ) γ : y = x, γ : y = x + 0 4) γ : y = x, γ : y = x ) γ : y = x, γ : y = x ) γ : y = x, γ : y = x 7) γ : y = x, γ : y = x 8) γ : y = x, γ : y = 9x 0 9) γ : y = x, γ : y = x + 0 0) γ : y = x, γ : y = 7x 0 ) γ : y = x, γ : y x ) γ : y = x, γ : y = 70 9x

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 mars 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 05-0-5

Läs mer

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 015-01-09

Läs mer

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 5 november 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 8 augusti Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015

TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015 TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015 Fredrik Andersson Mikael Langer Johan Thim All kursinformation finns också på courses.mai.liu.se/gu/tatm79 Innehåll 1 Kursinnehåll 2 1.1 Reella och komplexa

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

TATA79 Inledande matematisk analys (6hp)

TATA79 Inledande matematisk analys (6hp) Inledande matematisk analys (6hp) Kursinformation HT 2016 Examinator: David Rule Innehåll 1 Kursinnehåll 2 1.1 Grundlägande koncept och verktyg........................ 2 1.2 Geometri och reela tal...............................

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E. NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Kursboken innehåller uppgifter på tre nivåer, a,b och c, i stigande svårighetsgrad. Efter varje kapitel finns en bra sammanfattning,

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

Kursinformation, TNIU19 Matematisk grundkurs fo r byggnadsingenjo rer, 6 hp

Kursinformation, TNIU19 Matematisk grundkurs fo r byggnadsingenjo rer, 6 hp Kursinformation, TNIU19 Matematisk grundkurs fo r byggnadsingenjo rer, 6 hp Grundläggande matematik för ingenjörsstudenter vid Byggnadsteknisk utbildning en förberedande matematikkurs inför kursen Envariabelanalys

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

3.3. Symboliska matematikprogram

3.3. Symboliska matematikprogram 3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas

Läs mer

Kursinformation, ETE499 8 hp MATEMATIK H Högskoleförberedande matematik

Kursinformation, ETE499 8 hp MATEMATIK H Högskoleförberedande matematik Kursinformation, ETE499 8 hp MATEMATIK H Högskoleförberedande matematik Fristående matematikkurs vid ITN (Institutionen för Teknik och Naturvetenskap i Norrköping) en förberedande matematikkurs inför kurser

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

91MA11/7, 92MA11/7 Matematik 1 - Delkurs: Algebra, 7,5 hp Kurs-PM vt 2015

91MA11/7, 92MA11/7 Matematik 1 - Delkurs: Algebra, 7,5 hp Kurs-PM vt 2015 91MA11/7, 92MA11/7 Matematik 1 - Delkurs: Algebra, 7,5 hp Kurs-PM vt 2015 Johan Thim All kursinformation finns också på www.liu.se/utbildning/program/amneslarare-gy/student/termin-2/matematik-91ma11 www.liu.se/utbildning/program/amneslarare7-9/student/termin-2/matematik-91ma17

Läs mer

BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår

BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår BML131 ht 2013 1 BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår Syfte och organisation Matematiken på basåret läses i två obligatoriska kurser; under första halvan av hösten BML131 (Matematik

Läs mer

DOPmatematik. Ett dataprogram för lärare. som undervisar i matematik. (Lågstadiet) Mellanstadiet. Högstadiet. Gymnasiet. Vuxenutbildning.

DOPmatematik. Ett dataprogram för lärare. som undervisar i matematik. (Lågstadiet) Mellanstadiet. Högstadiet. Gymnasiet. Vuxenutbildning. DOPmatematik Ett dataprogram för lärare som undervisar i matematik (Lågstadiet) Mellanstadiet Högstadiet Gymnasiet Vuxenutbildning Folkhögskola m.fl. 1 Koefficienterna beräknade av DOP-programmet Graferna

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET

PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET 2012-04-25 PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET Fakultetsstyrelsen för tekniska fakulteten FSTdel 12/055 Dekanus Närvarande: Ulf Nilsson dekanus Ingela Wiklund föredragande Maria Boberg sekr 1 Kursplan för

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Matematisk analys, laboration II. Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola

Matematisk analys, laboration II. Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola Matematisk analys, laboration II Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola Viktig information om laborationerna I analyskursen ingår tre obligatoriska laborationer. Under laboration används Matlab/GNU

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Dagens tema Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Fasplan(-rum), trajektorier, fasporträtt ZC sid 340-1, ZC10.2 Definitioner: Lösningarna

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov.

Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov. Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov. (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C Kravgränser 110 minuter för Del B, C och Del D. Du får påbörja del D (och börja använda

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Gymnasiets nationella prov och KTHs förkunskapskrav en matematisk kulturklyfta?

Gymnasiets nationella prov och KTHs förkunskapskrav en matematisk kulturklyfta? Gymnasiets nationella prov och KTHs förkunskapskrav en matematisk kulturklyfta? Hans Thunberg, KTH Matematik thunberg@mathkthse Sammanfattning Det nationella provsystemet har bl a som uppgift att tydliggöra

Läs mer

MA/NK HT-2011. www.kunda.nu/dennis VUXENUTBILDNINGEN. 2011-09-08 ÄLVKARLEBY KOMMUN Dennis Jonsson

MA/NK HT-2011. www.kunda.nu/dennis VUXENUTBILDNINGEN. 2011-09-08 ÄLVKARLEBY KOMMUN Dennis Jonsson MA/NK HT-2011 VUXENUTBILDNINGEN 2011-09-08 ÄLVKARLEBY KOMMUN Dennis Jonsson www.kunda.nu/dennis S i d a 2 INNEHÅLL INNEHÅLL... 2 KURSLITTERATUR... 3 NÅGRA BOKHANDLARE PÅ INTERNET... 4 DENNIS... 5 MA/NK

Läs mer

MATEMATIK 5 veckotimmar

MATEMATIK 5 veckotimmar EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 11 Juni 007 (förmiddag) SKRIVNINGSTID : 4 timmar (40 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Europaskolornas formelsamling En icke-programmerbar, icke-grafritande

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet. Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en

Läs mer