Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03"

Transkript

1 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version

2 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse för studier inom naturvetenskap, teknik och samhällsvetenskap. De begrepp som behandlas är kanske bekanta från gymnasiekursen. I MMA ställs dock högre krav på att självständigt kunna läsa in) matematisk text och då inte minst att kunna omsätta detta i en god räkneförmåga parad med en god matematisk förståelse. Undervisning Kursen är i sitt upplägg schemalagd med motsvarande 8 föreläsningar och 4 lektioner om vardera två-tre timmar, samt två tentamina om vardera tre timmar. Vid sidan om de schemalagda passen formeras kursen av 8 individuella inlämningsuppgifter i detta häfte) som ska lösas och lämnas in till berörd lektionslärare för bedömning. Specifikationen av vilka uppgifter en viss student ska lösa ges av den siffra i intervallet som han/hon tilldelas i början av kursen. Studenter har att lämna in lösningar till motsvarande i princip ett moment per vecka och då på en plats som meddelas i början av kursen. De ska kunna förvänta sig att färdigbedömda lösningar finns tillhanda på den lektion som följer en inlämning, förutsatt att inlämningen ifråga har skett senast kl. arbetsdagen innan lektionen ifråga. Generellt råd Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I kursboken och i studiehandledningen) finns därför relativt många övningsuppgifter att ta sig an. Kursbok Mot bättre vetande av Dunkels, Klefsjö, Nilsson, Näslund, :e uppl., ISBN , Studentlitteratur 00. Examination och betyg Examinationsmomentet INL De betygsgrader som används i examinationsmomentet INL, hp) är underkänd u) och godkänd g). För att under kursens gång bli godkänd i INL krävs att lösningar till i kursen ingående inlämningsuppgifter har inlämnats enligt angivna regler och sedan blivit godkända inom stipulerade tider. Varje enskild inlämningsuppgift godkänns när en nöjaktig, skriftlig redovisning har åstadkommits. Studenten ska därvidlag vara beredd på att kunna besvara frågor om den teori som en lösning baseras på. Ett godkännande ges sålunda när läraren har bedömt att studenten har förstått den berörda matematiken och kan kommunicera sin lösning på ett fullständigt sätt. Om en lösning inte blir godkänd skickas den i retur kanske med något tips) för att studenten ifråga ska ha en möjlighet att kunna göra nödvändiga korrigeringar för ett slutgiltigt godkännande. Detta förfarande fortsätter i cykler till dess uppgiften har blivit godkänd, dock med följande begränsningar i tid: Lösningar till uppgifterna i momenten måste vara godkända senast kl..00 dagen innan ordinarie tentamen TEN äger rum. Lösningar till uppgifterna i momenten 4 7 måste vara godkända senast på fredagen innan tentamensveckan. Därefter sker ingen restexamination. Examinationsmomenten TEN och TEN De betygsgrader som används i examinationsmomenten TEN och TEN, hp resp., hp) är underkänd u) och godkänd g). För att bli godkänd på något av momenten krävs betyget g på en motsvarande tentamen. Tentamina i TEN och TEN består vardera av nio 9) stycken uppgifter à p, och är baserade på innehållen i de tre första respektive de fyra övriga momenten i kursen. Ett godkänt betyg på en tentamen erhålls om en poängsumma om minst p uppnås. Skrivtid per enskild tentamen är tre ) timmar. Sammanfattningsbetyg De betygsgrader som används som sammanfattningsbetyg på en avklarad kurs är godkänd g) och väl godkänd vg). För betyget g krävs minst godkända betyg i alla de tre examinationsmoment som ingår i kursen. För betyget vg krävs dessutom antingen att S + S 6, där S och S är poängsummorna från TEN respektive TEN, eller en kombination av att S + S 6 har uppnåtts vid ordinarie kurstillfälle och att alla inlämningsuppgifter har blivit godkända innan den sista lektionen vid kurstillfället är till ända.

3 INL Moment Tal, uttryck, ekvationer, olikheter. Tal D., D.8.0 INL.a Förenkla framställningen av det rationella talet så mycket som möjligt, dvs skriv det på formen p/q där p och q är heltal som inte har några gemensamma primtalsfaktorer. ) ) 9) ) ) + ) ) 4 ) 4 8 ) ) ) ) ) 7 ) 8) ) ) ) + + 9) ) 4 + ) ) 4) 4 ) 7 ) ) ) 8 ) ) 4 + ) ) 6 + ) 4 4 ) 8 0) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 + ) ) ) ) + 7 ) ) ) + + 6) ) 4) ) INL.b Skriv talet... ) i 4-systemet 8) i -systemet ) 0 i 4-systemet ) 4 i 7-systemet ) 7 i -systemet 9) 0 i 6-systemet 6) 8 i 9-systemet ) 44 i 6-systemet ) 4 i 7-systemet 0) 4 i -systemet 7) 4 i -systemet 4) 4 7 i 4-systemet 4) 77 9 i 4-systemet ) 4 6 i 4-systemet 8) 4 i 6-systemet ) 8 9 i -systemet ) 4 6 i 8-systemet ) 0 i -systemet 9) 48 9 i 7-systemet 6) 4 8 i 4-systemet 6) 4 i 9-systemet ) 6 7 i 8-systemet 0) 0 i -systemet 7) i 4-systemet 7) 7 i 4-systemet 4) 6 i -systemet ) 4 7 i -systemet 8) 9 i 8-systemet

4 4 9) 67 8 i 6-systemet 0) 6 i 7-systemet ) 4 i 9-systemet ) 47 8 i 6-systemet INL.c Förklara direkt från det angivna talet varför det är rationellt. Skriv det sedan som ett bråktal på enklaste form, dvs på formen p/q där p och q inte har några gemensamma primtalsfaktorer. ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ), ), ),... 6) 0,... ) 0, ), ), ), ),... ), ), ) 0, ), ) 0, ) 0, ),... 6) 0, ) 0, ), ),... 7), ), ), ), ) 0,... 6), ), 7... ), INL.d Förenkla framställningen av uttrycket så mycket som möjligt är. ) ) 0 0 ) ) ) ) ) ) ) ) 67 4 ) ) ) ) ) ) ) ) + 6 9) 4 7 0) ) ) 8 8 ) ) ) ) ) ) ) ) + 6 ) ) INL.e Antag att x, y är reella) punkter på en tallinje. Förklara vad uttrycket x y anger geometriskt. Använd sedan denna insikt till att på en tallinje illustrera nedanstående villkor, samt till att omformulera desamma utan användning av solutbelopp. Var i illustrationen noga med att tydliggöra vilka punkter som satisfierar villkoren. ) x + < 6) > x 4 ) < x 6 6) > x + ) 4 x + 6 > 7) x + < 4 ) > x + 7) < x 4 ) x < 8) x + > ) x 4 < 4 8) x + < 4) 4 > x 9) < x 6 4) > x 9) 7 x 4 > ) < x + 4 0) 4 x + 4 > ) < x + 6 0) < x

5 .. TAL ) 4 x 6 > 4) < x 4 7) > x + 4 0) > x + 4 ) x + < ) 4 x + > 8) < x 4 ) < x 8 ) > x 7 6) x < 9) > x ) 6 x > INL.f Antag att talet p anger det belopp i SEK räknat) som finns i en plånbok, och att fördelningen över pengaslag är en bunt om n s stycken sedlar av valören s SEK, och n k stycken enkronor med n k < s. Detta kan, om associationerna till pengar utelämnas, uttryckas som att talet p har resten n k vid division med s. Hur många sedlar och hur många enkronor finns det i den stora plånbok som innehåller P SEK, om det förutsättes att alla eventuella hela sviter om s enkronor har blivit inväxlade mot sedlar? Utgå därvidlag från värdena s, n k, P ) =... ), 8, 4p + ) 9) 9, 8, p + 4) 7) 8, 8, 9p + 8) ) 6, 8, p + 7) ), 9, 9p + ) 0) 0, 9, 6p + 9) 8) 6, 9, 8p + ) 6), 9, 9p + 4) ) 6, 0, 8p + ) ) 7, 0, 8p + 4) 9), 0, 7p + ) 7) 8, 0, 8p + ) 4),, 7p + 4) ) 8,, 7p + 8) 0),, p + 8) 8) 9,, p + ) ) 9,, p + ) ) 7,, p + 6) ),, p + 4) 9) 0,, p + 6) 6) 8,, p + 6) 4) 6,, p + 9) ) 0,, 6p + ) 0),, 6p + ) 7) 7, 4, 7p + ) ), 4, 6p + ) ) 9, 4, 8p + 7) ), 4, 4p + ) 8) 8, 7, 0p + ) 6), 7, 4p + 6) 4) 7, 7, 7p + 6) ) 0, 7, p + ) INL.g Skriv det komplexa talet på den rektangulära) formen a + bi, där i är den imaginära enheten och där a, b är reella tal. ) i)i i) ) i i) + i) ) + i) + i) i) 4) + 4i) i)6 i) ) i) + i) i) 6) i)4i 4 i) 7) i + i) + 4i) 8) + 4i) i) i) 9) i i)4 i) 0) i) + i)4i ) + i)i i) ) + 4i) + 4i) i) ) 4i i)4 + i) 4) i + i) + i) ) + i) i)i) 6) i) i) + i) 7) 4i) i) i) 8) 4 + i) + i) i) 9) i4 + i) i) 0) i) 4i) i) ) i)4 + i)i ) i + i) i) ) + i)i + i) 4) 6i 7i) + i) ) + 4i) i) 6i) 6) i) i) i) 7) + i) i)i 8) i + i)4 + i) 9) 6i) i) 4i) 0) i)i 4 + i) ) i + i) i) ) + 4i) + i)i

6 6. Uttryck D., D., D.8. INL.a Utveckla polynomet och skriv det på formen a 0 + a x + a x a n x n. ) 8 7x) 8) 4x 6) ) x ) ) x ) 9) 7 8x) ) 6 8x) 9) x 4) 6) 6x) ) 8 x) 0) 6x ) ) 6x 9) 0) x) 7) 9x 8) 4) 7x ) ) 7 x) 4) 6 x) ) 4x ) 8) 7 x) ) 4 9x) ) 9x ) ) 9x ) ) 6 x) 9) 9 x) 6) 8x ) 6) 9 7x) ) 6x ) 0) 4x ) 7) 7 6x) 7) 7 6x) 4) 7 4x) ) 0 6x) 8) x 9) INL.b Använd kvadreringsformeln a + b) = a + + b, med a, b tagna som heltal ej nödvändigtvis positiva), till att för hand beräkna kvadraten. ) 47 ) 8 9) ) 49 7) 78 ) 68 ) 8 9) ) 6 6) 79 0) 97 4) 6 8) 48 ) 6) 77 0) 98 ) 8 7) 9 ) 88 ) 7 9) 9 ) 87 7) 9 ) 89 4) 6 8) 67 ) 7 6) 8 0) 9 4) 7 8) 69 ) 7 INL.c Utveckla polynomet och skriv det på formen a 0 + a x + a x a n x n. ) + x) 7x + 8) x )x ) 4x ) x) 4 6x)x 7) ) x )7 x) 8x ) + x) 4) 84 x) 4 x) x + 0x) ) 4 x)x + ) 4 x)x ) 6) x ) 0x7 + x) x) 7) 4 + x)x ) + 6 4x)6x ) 8) 4 + x) 4x) x6 x) 4x) 9) 44 x) + x x) 64 x) 0) 4x + ) x) 4x) x + ) ) 7x ) 4x7 x) 7 7x) x) ) 4x ) x) 4 x)x ) ) 47 x)x ) x9 4x) + 4 x) 4) 8 x) + x ) x) ) 4x + ) x) 6x) + 8x)x + ) 6) + 6x) + 4x)6x ) x) 7) x 7) 6x) 6 x)x ) 8) 4 + 7x)4 7x) + 7x x ) 7 x) 9) 4 x + 4x ) 4x) + 4x) 4x) 0) x) + 8x) 7x ) 4x) ) x) 9x + x) x) ) x ) + 4x) + x)x ) ) 4x ) 9x) 6xx + ) 4) x)x 9) 7 x)x ) ) 4 + x)4 x) 47x + ) x) 6) 4x) 4 7x) 6x + 8x) 7) x + ) + 6x) x)x + ) 8) x) + 0x)x 4 7x) 9) 4x 7) x) 4 x)x 9) 0) 8x) + x) + 4 x) ) 46 x) 6 x) x + 6x) ) 7x 4) + x) + 7x)x + )

7 .. UTTRYCK 7 INL.d Faktorisera polynomet på formen Ax a)x b) genom att bl.a. kvadratkomplettera. ) 7 x x 9) 6x + 6x 6 7) 6x + 0x 00 ) 00 + x x ) 9x + 6x 7 0) x x 8) x + x 80 6) 4x 6x 60 ) 60 + x + x ) 4x 44x ) 8x x 7) x + x 0 4) 7 + x 4x ) 0 x x 0) 8 9x 9x 8) 40 8x x ) 8x 40x 48 ) 7x x ) x 0x 9) x x 4 6) 7x 7x 4 4) 7x + x + 8 ) 96 8x 8x 0) 4x 8x 7) 6 7x 9x ) 8x 4x ) 9x + 7x + 8 ) 8 + x x 8) 8x + 7x 88 6) 04 7x 7x 4) 6x 4x 80 ) x + 6x 08 INL.e Förenkla så långt som möjligt framställningen av uttrycket. Ange speciellt för vilka a som förenklingen äger sin giltighet. ) /a)a a + 6a) 7a a )a 0) ) 98 a ) ) 8 6a a 6a a a 4 ) 08a a ) 4 6a 6)a + 4a + 7) a + 8 ) a 4) ) a a a 0 a a + a a ) ) a ) ) a 4a a 0a 6a a 6) 4 a ) a 9 a + a a )a + 4) 7) 00 a ) 0 + a ) a + 0a a 4a 8) ) 49a + 4a 4 + a a + a ) 96 4a ) 6a 4) 9) ) 9 + 6a + a 9a a ) a + 0) 79a 9a ) ) 4 a + 90a + 40)a 7a) a + 49a ) + 4a + a ) a/7 ) 49a + a ) 6a + 96a + 84) 9 a )6 + a) 8 ) a ) ) ) 98 8a + a a 0 0/a a + ) a a 4) ) 6a 4 4a ) + 6a a + 8a a 48a a + 6a + ) ) a ) + a) ) a ) a a ) 6) a /7) a + 49a 4a + 7) + 0 ) 0a + a ) a a ) a 0) 8) a + 6 a 4 ) a ) + a 9) 4/a + a/4) 4 a 0) ) ) ) 4) ) 6) 7) 8) a ) ) + 6a a + 8 a 6 a + a + )a + ) + a a + a 4 a + 6 a ) a a ) ) + a 9a 6a + a 9 a ) 7a + a a 4a + 48a + 44 a 8 ) 0a a a 7 4a + a 4 ) a a + ) a 0a + a a a)7 7a ) 64a ) 6a a ) 64a a 6a a + 8a + 7 ) a 8a + 6a ) a ) 6 6a 6a ) a + a a + 6

8 8 9) 0) a 4 + 4a a a 64 ) + a + 8 a a 0 4a ) a ) 0 8a 80a + 00 a + a ) ) a + 4 a a + a + ) ) a a 4 a a ) 6a ) + 8a + 6a + 4a 6a INL.f Bestäm realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet. ) i + i 7) 6 + 7i i ) 4 i i 9) + i i ) + i i ) + i i ) + 4i + i 8) 6 i + i 4) + i i 0) 4 + i + i 6) i i ) + i + i ) i i 9) + i i ) i + i ) 6i i 7) 4 + i + i 4) + i i 0) 4 i i 6) + 4i + i ) 4 + i i 8) 4 + i i ) + i + i ) + 4i + i 7) 4 + i i ) + i + i 9) i i 6) i + 4i ) + 4i i 8) i i 4) + i i 0) i + i. Ekvationer och olikheter D. INL.a Lös ekvationen. ) x 7)x + 4x + 49)x 4) x + x 4)x x 4) ) x 8)x + 8)x 6x + 64) x + x 7)x x 7) ) x + )x 6)x 6x + 9) x + 4x + )x 7x + )x + 4) ) x 6)x + x + )x ) x + x + )x x + 4) ) x + x + 6)x )x 6) x 4x )x + x 0) 4) x 49)x + 4)x 8x + 6) x x + 8)x + x + 8) ) x + 4x + 44)x 9)x ) x 9x 6)x + 9x 6) 6) x 9)x + )x 4x + 4) x x + )x + x + 6) 7) x + 6x + 64)x 8)x 69) x 64)x x 6) 4) x 0x + )x + )x 00) x + x + 0)x 4x ) ) x )x + 4x + 44)x ) x + 7x + 60)x 7x + 60) 6) x + )x 4)x 0x + ) x x 0)x + x ) 7) x + 4x + 4)x )x ) x x + )x + x + 6) 8) x 6)x + )x x + ) x + x 66)x x 66) 8) x 6x + 9)x + )x 64) x + x + 4)x x + 4) 9) x 9)x + 8x + 6)x 4) x + x )x x 8) 9) x + 4)x 8x + 6)x ) x + 7x 44)x 7x 44) 0) x + 4x + 4)x )x ) x + x + )x x + ) 0) x )x 6)x + 6x + 9) x x 6)x x ) ) x + 4)x 8x + 6)x ) x + x 0)x + )x x 0) ) x + x + )x 6)x ) x + x + 4)x )x x + 4) ) x )x 4)x + 0x + ) x 4x )x + x 0)

9 .. EKVATIONER OCH OLIKHETER 9 ) x 4x + 4)x )x + ) x )x + x + )x + x 0) 8) x )x 9)x + 4x + 4) x x 6)x + x 0) 4) x )x 4)x + 8x + 6) x + 9x + 0)x 9x + 0) 9) x x + 6)x 8)x + 6) x + x + 4)x x + 4) ) x + )x 96)x 0x + ) x + 9x 70)x + 6x + )x 4) 0) x 6)x )x + 6x + 9) x + 7x + )x 4x + ) 6) x + 4x + 4)x )x 49) x x 4)x + x 8) 7) x + )x 6x + 69)x 6) x + x )x 7x 78) ) x 9)x x + 6)x + 6) x x 8)x + 4x ) ) x + 4x + 4)x )x 9) x + x 0)x + x + 6) INL.b Lös ekvationen. ) x + x x = x x 4 x x + 6 ) x x 0 x x + 6 ) + 4 x x = + x x x + x + x x + x = x x + 4) x x x x 4 = x + x + + x 4 x 4 ) x + = x + x + 4 x + x x 6) x x x = x) x + x 7) x = x + + x + 9x 8) x + x + + 4x + 6x x x = x x 7) x x = x x 8) x x + + 4x + x = 6x + x + x x 6 9) 0) 7 49 x) = + x 9 4x 4 x x x x x x + 6 = 4 x ) 4 x + )x + ) = x x + 6 x x + ) x + x 4 + x + = x ) x x x x + x + x = x + x 4) x x 4 + x + 9x 9 x x 4 = x + x + 9) x x = x + x + x + x + ) x + + x x = x x + 0 4x 9 0) ) x 7 x x 4 = x x + + x x 4 x x + 7 x x = x x + 6) x 7 x 4 = x x + x x 4 + x x + 7) x x = 4 x x ) x + x x + x + + x + = x x + ) 4) x x = x x x x x 4 x x = x 9x ) x + x x 0x x = x + 6x 6 6) 7 x + x 4x + 9 = x) x 8) x x + = x + x + x x x x 6 9) x 4 x + 4x + = x x + x + 0) x + x + 4 x x = x + x x x + ) ) x + x x + = x + x + x = x 9 x 7 4x x + 4x

10 0 INL.c Vilka reella x uppfyller villkoret? ) 8x + = x + 7 ) x = 8x 9 ) 8 x = x + 4) x 6 = x 9 ) x = x 8 6) x + = 4x + 7) + 6x = + x 8) x = 6x + 7 9) 8x 4 = 4 x 0) x = 8 x ) 4 x = x + 4 ) x = x ) x = x 4) x / = 4x ) x 0 = x 6) x = x + 7 7) 6x + 9 = 4x + 8) x = x 9) x = x + 0) 4x = x 9 ) x = x ) x = 4x ) 8x = x 7 4) 4x 7 = 7 8x ) x + /4 = x + 6) x = 7 x 7) 6x = x 8) x = 7 6x 9) x = x + 0) x = x + ) x + = x ) 4x = 6 0x INL.d Vilka x satisfierar semi-olikheten? ) x x + x x + 9) x 4 x 7) x x x 7 ) x x + x + x ) 6 x x + x 0) 8x + x 6 x + 8) x x + x 4 x + 6) x + 4 x x + ) x + 4 x x x + ) x x x + x 9) x + 6 6x x 7) x x + 4 x + 4) x x + x ) x x + 0) x x 8) 6 x x + 4 ) 4 x + 7 x ) x + 6 x + ) x x 9) x x + 6) x x x + 7 4) x + 4 x ) x + x 0) x x x + x 7) x + 6 x + ) x x x x ) x + x + ) x 4 x + 7 8) x + x + x 6) x x + + x 4) x x 9 ) x + x INL.e Lös ekvationssystemet. ) x y = x + y = 4 ) 4x + y = x y = 7 9) x y = 0 4x y = 0 ) x y = x + y = 7 ) 4x + y = x + y = 6) 4x y = 8 x + y = 0) 7x + y = 6 x + y = 4) x 6y = 9 4x y = 9 ) x + y = x y = 7) x + y = x 4y = ) x + y = 6 4x 7y = ) x + y = 4 x y = 4) x + y = 7 4x + y = 8) x y = 4 x + y = ) x + 4y = x + 7y = 9 6) x + 0y = x + 7y = 8

11 .. EKVATIONER OCH OLIKHETER 7) x y = 8 x y = ) x + y = x + y = 4 ) x + y = 9 x y = 9) x + y = x 4y = 8 8) x y = 8 x + y = 7 ) x + 0y = x + y = 7 6) x + y = x + y = 4 0) x + y x + y = 9) x + y = 4 x + y = 8 ) x y = 7x y = 4 7) 4x 7y = x + y = ) x y = 9 x y = 8 0) 4x + y = x + 4y = 6 4) x + y = x y = 8 8) x + y = x + y = ) x y = 6 x + y = 4

12 INL Moment 4 7 Grafer och funktioner, trigonometri, potenser och logaritmer, derivator och integraler 4. Grafer och funktioner D., D. INL 4.a Bestäm algebraiskt ekvationen för, och skissa, den räta linje γ som går genom punkten P och som är parallell med linjen λ. ) P :, ), λ : x + y = ) P :, ), λ : x + y = 4 ) P :, ), λ : x 4y = 4) P : 4, ), λ : x + y = ) P :, ), λ : 4x y = 6) P :, ), λ : x y = 7) P :, ), λ : x + 4y = 8) P :, 4), λ : x y = 9) P : 4, ), λ : x + y = 0) P :, ), λ : 6x + y = ) P :, 4), λ : x y = ) P :, ), λ : 7x + 4y = ) P :, ), λ : 4x y = 4) P :, 4), λ : x + y = ) P :, ), λ : x + y = 6) P :, 4), λ : x y = 9 7) P : 4, ), λ : x + y = 8) P :, ), λ : x y = 9) P :, ), λ : x + y = 0) P : 4, ), λ : x + 4y = ) P :, ), λ : x + 6y = ) P :, 4), λ : x y = ) P : 6, ), λ : x + 4y = 4) P :, ), λ : x + y = ) P :, ), λ : x + y = 9 6) P :, ), λ : 4x y = 9 7) P : 4, ), λ : x + y = 8) P : 7, ), λ : x y = 9) P :, 6), λ : x + y = 0) P :, ), λ : x y = ) P : 7, 4), λ : x + y = ) P :, ), λ : x y = 4 INL 4.b Beräkna avståndet mellan punkterna som är angivna i ett ortonormerat koordinatsystem). ) P : 8, 4), P :, ) ) P : 4, 7), P :, 9) ) P : 7, 9), P :, ) 4) P :, 7), P : 6, ) ) P :, 6), P :, 4) 6) P :, 7), P :, 6) 7) P : 7, 8), P : 9, 6) 8) P : 7, 4), P : 0, 6) 9) P : 8, 7), P :, 9) 0) P : 9, ), P : 6, 7) ) P :, ), P :, 4) ) P :, 4), P :, 6) ) P :, 4), P :, ) 4) P :, ), P :, ) ) P : 4, ), P :, ) 6) P : 4, ), P :, ) 7) P :, ), P :, ) 8) P :, 4), P :, ) 9) P :, ), P :, ) 0) P :, ), P : 7, ) ) P :, ), P :, )

13 4.. GRAFER OCH FUNKTIONER ) P :, ), P :, ) ) P :, ), P :, ) 4) P : 4, 7), P :, 9) ) P : 6, ), P : 4, ) 6) P :, ), P :, ) 7) P :, 7), P : 4, ) 8) P :, ), P : 7, 4) 9) P :, 4), P :, ) 0) P :, 6), P :, 9) ) P :, 8), P :, 7) ) P :, ), P :, ) INL 4.c Gör en geometrisk tolkning av ekvationen och skissa resultatet. ) 4x + 4x + 4y = + 0y ) 6y + 4x + 4y = + x ) + x + 4x + 4y = 8y 4) + 4y + 4x + 4y = 4x ) + 8x + 4x + 4y = 4y 6) 8y + 4x + 4y = + x 7) 6 + 0y + 4x + 4y = 8x 8) 6x + 4x + 4y = 9 + 8y 9) x + 4x + 4y = 9 + 4y 0) + 6y + 4x + 4y x ) + 0y + 4x + 4y = x ) 8x + 4x + 4y = 9 + 4y ) 4 + 4x + 4y = 4x + 8y 4) + 4x + 4y = 8x + 0y ) + y + 4x + 4y x 6) x + 4y = 4x + 8y 7) 6 + 0y + 4x + 4y = 8x 8) 6x + 4x + 4y = + y 9) 4y + 4x + 4y = + 0x 0) x + 4x + 4y = 4y ) + x + 4x + 4y y ) 7 + 8y + 4x + 4y = 8x ) 4x + 4x + 4y = 9 + y 4) 7 + 0y + 4x + 4y = 6x ) + 4x + 4x + 4y = 8y 6) 9 + y + 4x + 4y = 4x 7) 0x + 4x + 4y = + y 8) 7 + 8x + 4x + 4y = 8y 9) 7 + 8x + 4x + 4y = y 0) 4 + 0y + 4x + 4y = 4x ) 6 + 0x + 4x + 4y = 8y ) 6y + 4x + 4y = + 8x INL 4.d Tolka ekvationen geometriskt utan hjälp av derivata-analys) och skissa resultatet. ) 8x = y + + x ) + y + x = 4x ) 8x + y = 7 + x 4) 4 + 4x + x = y ) x = x + y + 7 6) x + 8x + y + 9 7) x + y + = 4x 8) 8x + y = x + 0 9) + 4x + y + x 0) y + x + x ) x + y + 6 = 8x ) 0 + 6x + x + y ) x + y + 0 = 8x 4) x + y = 9 + x ) x + y + = 4x 6) y = 7 + x + x 7) x + 6x + y + 8) 8x + y = x + 9 9) + x + x = y 0) 4x + x + y + 4 ) x = x + y + 0 ) x + = 4x + y ) 8x = 7 + y + x 4) x + 4x + = y ) 6 + x + y + x 6) y + x + 9 = 8x 7) x + y + x 8) x + 9 = 8x + y 9) + 4x + y + x 0) x + x + 9 = y ) 8x + y = 7 + x ) x = 4x + y

14 4 INL 4.e Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f. ) 6 x + 7) fx) = + 4x x + x + xx ) 8) fx) = + x + xx ) + x + 6 ) fx) = x x + 4 x + x + x + 4 x + + x 9) fx) = x 400 x x + 0 ) fx) = x + x + + x + + x + x + ) fx) = x + x 9 x 9 4) fx) = x + 7 x + 7 ) fx) = x + x + x x x )9 x) x 4x x 8 x 8 0) fx) = 9 + x 9 x x 9 x + ) fx) = x + + x x + x 7 x 7 8 x 8 x x + 9 6) fx) = x + 9 7) fx) = + x + 8 x x + 7 x + 7 x )x 6)7 x) x )x 6)7 x) + x x 8) fx) = x 009 x x 00) + x 0 x 0 9) fx) = x )x 4) x + x )x 4) 0) fx) = + x 00 ) + x 0 ) x 00 x 0 ) fx) = ) fx) = x )x ) x x + x x ) fx) = x 4 x 4 + x + 4) fx) = x x + x x ) fx) = x + )x ) x + 4 6) fx) = x x 4 x 4 x + x + + x + x + x x 4 x x 4 ) fx) = x + 7) x) ) fx) = 4) fx) = ) fx) = 6) fx) = x + 7 x x + x + + x + x + x + ) x + x + x + x + x 4) x 4 7 x + 8 x x + 7 x x x 7) fx) = x + x 4 x 4 + x 9 x 9 x 4 x 6 8) fx) = + x x x 4 x 6 9) fx) = ) x x x 0) fx) = x x x 6 x 7 + x x x 8 x 9 ) fx) = x 6 x x 6 ) fx) = x x + 4 x 4 x + 7 x 7 x INL 4.f Förklara direkt från ekvationerna varför de två räta linjerna λ och λ skär varandra i precis en punkt. Bestäm sedan koordinaterna för denna punkt. ) λ : x + y =, λ : x + y = ) λ : x + y =, λ : x 4y = 8 ) λ : x + y, λ : x + y = 4) λ : x y = 9, λ : x y = 8 ) λ : x y = 6, λ : x + y = 4 6) λ : x y =, λ : x + y = 4 7) λ : 4x + y =, λ : x + y = 8) λ : x + y =, λ : x + y = 4 9) λ : x + 0y =, λ : x + y = 7 0) λ : x y =, λ : 7x y = 4

15 .. TRIGONOMETRI ) λ : x + 0y =, λ : x + 7y = 8 ) λ : x y = 8, λ : x y = ) λ : x y = 8, λ : x + y = 7 4) λ : x + y = 4, λ : x + y = 8 ) λ : 4x + y =, λ : x + 4y = 6 6) λ : x + y =, λ : x y = 8 7) λ : x + 4y =, λ : x + 7y = 9 8) λ : x y =, λ : x + y = 7 9) λ : x 6y = 9, λ : 4x y = 9 0) λ : x + y = 4, λ : x y = ) λ : x y = 4, λ : x + y = ) λ : x y = 0, λ : 4x y = 0 ) λ : 7x + y = 6, λ : x + y = 4) λ : x + y = 6, λ : 4x 7y = ) λ : x + y =, λ : x y = 6) λ : x + y = 7, λ : 4x + y = 7) λ : 4x + y =, λ : x y = 7 8) λ : 4x y = 8, λ : x + y = 9) λ : x + y =, λ : x 4y = 0) λ : x + y = 9, λ : x y = ) λ : x + y =, λ : x + y = 4 ) λ : 4x 7y =, λ : x + y =. Trigonometri D.4, D.8., D.8.4 INL.a Skissa, i en och samma figur, funktionskurvorna γ och γ. ) γ : y = sinx) γ : y = sin4x/) ) γ : y = cosx) γ : y = cos4x/7) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) ) γ : y = cosx) γ : y = cos6x/) ) γ : y = sinx) γ : y = sin7x/4) 4) γ : y = cosx) γ : y = 4 cosx/4) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/6) 4) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = sinx) γ : y = sin4x/) 4) γ : y = cosx) γ : y = cos7x/4) γ : y = sinx) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) γ : y = cosx) 6) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = sin4x/7) γ : y = cosx) 6) γ : y = 4 cos7x/4) γ : y = sinx) 7) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) 6) γ : y = cosx/6) γ : y = sinx) 7) γ : y = sin4x/7) γ : y = cosx) 8) γ : y = cosx) γ : y = cos4x/) 7) 8) γ : y = sin6x/) γ : y = cosx) γ : y = 4 cos4x/7) 8) 9) γ : y = cosx/) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) 9) γ : y = sinx) γ : y = sinx/4) γ : y = cosx) 9) γ : y = sinx) γ : y = sin7x/4) 0) γ : y = cosx) γ : y = cos4x/) 0) γ : y = cosx/) γ : y = sinx) 0) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/4) ) γ : y = sinx/) γ : y = cosx) ) γ : y = sinx) γ : y = sinx/) ) γ : y = cosx) γ : y = cosx/) ) γ : y = 4 cosx/4)

16 6 INL.b Beräkna de två ej angivna funktionsvärdena i trippeln cosx), sinx), tanx). ) sinx) =, π < x < π ) tanx) = 4, π < x < π ) cosx) = 4, π < x < 7π 4) tanx) = 6, 7π < x < 4π ) sinx) =, π < x < π 6) tanx) =, π < x < π 7) cosx) =, π < x < π 8) tanx) =, π < x < π 9) sinx) =, π < x < 7π ) sinx) = 7, π < x < π ) tanx) =, π < x < π ) sinx) =, π < x < π 4) tanx) =, π < x < π ) cosx) = 4, π < x < π 6) tanx) =, π < x < π 7) sinx) = 4, π < x < 7π 8) tanx) = 6, 7π < x < 4π 9) cosx) =, π < x < π 0) tanx) =, π < x < π ) tanx) =, π < x < π ) cosx) =, π < x < 7π 4) tanx) =, 7π < x < 4π ) sinx) =, π < x < π 6) tanx) =, π < x < π 7) cosx) =, π < x < π 8) tanx) =, π < x < π 9) sinx) =, π < x < 7π 0) tanx) =, 7π < x < 4π ) cosx) =, π < x < π 0) tanx) =, 7π < x < 4π ) sinx) =, π < x < π ) tanx) =, π < x < π INL.c Beräkna funktionsvärdet utgående från funktionsvärdena sinx) och cosx) i uppgift INL.b. ) cosx π/4) 9) cosx π/) 7) cosx + π/4) ) cosx + π/) ) sinx + π/6) 0) sinx + π/) 8) sinx π/6) 6) sinx π/) ) cosx 7π/6) ) cosx π/4) 9) cosx + 7π/6) 7) cosx + π/4) 4) sinx + π/4) ) sinx + π/6) 0) sinx π/4) 8) sinx π/6) ) cosx π/4) ) cosx + π/6) ) cosx + π/4) 9) cosx π/6) 6) sinx + 7π/6) 4) sinx π/4) ) sinx 7π/6) 0) sinx + π/4) 7) cosx π/6) ) cosx + π/) ) cosx + π/6) ) cosx π/) 8) sinx + π/4) 6) sinx π/) 4) sinx π/4) ) sinx + π/) INL.d Lös ekvationen. ) sinx 4π ) = 9) sinx π 6 ) = 7) sinx π ) = ) sin π 4 x) = ) cos π 6 x) = 0) cos π x) = 8) cos π 4 x) = 6) cosx π 6 ) = ) sinx π 8 ) = ) sin π 4 x) = 9) sin π 4 x) = 7) sinx π ) = 4) cos π 4 x) = ) cosx π 6 ) = 0) cosx π ) = 8) cos π x) = ) sin4x π ) = ) sinx π ) = ) sinx π 8 ) = 9) sinx π ) = 6) cos π 6 x) = 4) cos π 6 4x) = ) cos π 4 x) = 0) cos π 4 x) = 7) sin π x) = ) sin π 4x) = ) sinx π 6 ) = ) sin π 6 x) = 8) cos4x π 6 ) = 6) cos4x π 4 ) = 4) cos π 4 4x) = ) cos4x π ) =

17 6.. POTENSER OCH LOGARITMER 7 INL.e Lös ekvationen för x R). ) cosx) + 4 sinx) = 7 + cos x) ) 6 cosx) + 6 sin x) = cosx) + ) cosx) + sinx) + ) = 4 cos x) 4) sinx) + sinx) ) 6 sin x) + cosx) + 0 cosx) + 6) cosx) + cos x) = 4 sinx) 7) 8 cosx) ) = 9 cosx) + 0 sin x) 8) cosx) + 0 sinx) + cos x) + 9) sin x) + 4 cosx) = + cosx) 0) 4 cosx) + = cosx) + 6 sin x) ) 4 cos x) = + 6 sinx) + cosx) ) cosx) + 6 sin x) = + 4 cosx) ) 4 cos x) + = 6 sinx) + cosx) 4) 6 sin x) = + 6 cosx) + cosx) ) + 6 sinx) + cosx) = 6 cos x) 6) 0 cos x) = 4 sinx) cosx) 7) cosx) = cosx) + 4 sin x) 8) cos x) + 4 sinx) + cosx) 9) 4 cosx) + cosx) + sin x) + 0) cosx) + 7 = 6 cos x) + 0 sinx) ) cos x) = cosx) ) sin x) + cosx) = 4 cosx) 7 ) 6 cos x) + 8 sinx) = cosx) 4) cosx) = 4 cosx) + sin x) ) 6 cos x) + cosx) = + 6 sinx) 6) cosx) + cosx) + sin x) = 7) cosx) + = cosx) + 4 sin x) 8) 4 cos x) + 0 sinx) = + cosx) 9) = cosx) + 6 cosx) + 4 sin x) 0) cos x) + 4 sinx) + = cosx) ) 4 cos x) = cosx) ) + sin x) cosx) + cosx) INL.f Skriv det komplexa talet på den polära) formen rcos θ + i sin θ) = re iθ, där i är den imaginära enheten, och där r och θ är solutbeloppet av respektive argumentet för talet. Illustrera sedan talet i det komplexa talplanet. ) i 9) + i 7) ) + i ) 0) i 8) 6 i 8 6) i ) + i ) + i 9) + i 7) i 4) + i ) i 0) + i 7 8) i ) i ) 7 + 7i ) i 9) + i 6) i 4) i ) 4 4i 0) + i 7) i ) i ) + i 6 ) i 8) i 6) + i 4) 6 6i ) i 6. Potenser och logaritmer D. INL 6.a Förenkla framställningen av uttrycket så mycket som möjligt är. Det antages att a, b > 0. ) ) ) ) 4 4 a b ) a b ). ) ) ) a b a ) b a b a. ) a b b a b a. 4) a b b. a4 b a b 4 a b

18 8 ) ) ) a4 b a 4 b 4. a b ) a ) ) b a b 4. a b 9) ) a4 b a b ). a b 6) ) ) 4 a b 4. 6) a b ) ) 4 a b. a b a b 4 ) ) 4 ) a b. 0) 4 a b ) b a b ). 7) ) ) 4. a b a b 7) ) a b 4 a ) b. a b 4) ) ). ) a4 b ) 4 ). 8) ) ) 4 a4 b a b. a b 8) ) 4 ) a. a4 b ) ) ) 4 a b a b. ) ) a b 4 ). a b 9) a b 4 a b ) a ) b. 9) 0) 8a b ) / ) a 4/ 7 b. a ) ) 4 a a. 6) 7) 4 a b ) ). ) ) a b 4. ) 4) b 4 a b ) a b ) a b ). a b ) 4 a b. a 0) ) a 4 b 4 a4 b a b ) ) 4. ) a b ). ) ) a 4 a ) 4. a b 8) a b 4 a b ) a a4 b ). ) ) 4 a b ). a b a4 b ) ) 4 4 a b ). a b a b INL 6.b Förenkla framställningen av uttrycket så mycket som möjligt är. ) log ee e) + log 8 ) + log /) ) log 4 7) + ln e) + /) lg/00) ) log ) + log 6 6) + log 6) 4) lg ) lg/ 8) + log / 6 6 6) ) ln e ) + log / 8) + log 7) 6) log 9 4) + log / ) + log ) 7) log ) + log 8 7) + lg/ 00) 8) log 8) log 4 7) log 4 8) 9) [lne 4 ) lne )]/[ lne )] + log 6) 0) log e e) + log / ) + log 4 9) ) log 7 8) + log /6) + log ) ) log 4) log 9 76) log 7 8) ) ln4) + ln/4) ln9)/ 4) log 8 4) log 8 /7) + log 4 ) + log 8) ) ln/9) ln 7) + ln8) 6) lg/) lg4)/ lg9/) 7) log 6 6) + log 7 7 /49) + log 8 ) 8) ln e) log 8) lg/ 000) 9) lg0 ) log 4 4 ) lne / ) 0) log 4 6) + log / 8) log 8 7) ) log ) log ) + ln/ e ) + log 9 7) ) lg 4 0) lne 7 ) + log 9 ) ) log 7) + log 8) log 8 ) 4) lg 4 000) ln e 4 ) + log 4 7 7) ) ln e ) + log 4) 4 lg0 ) 6) log 6 /4 ) + log ) + log 8 7) 7) ln/e ) + lg 7 00) log 6 8) 8) log 64 6) + lg 4 6 6) ln e ) 9) log 4 49) + log 6 6) + log ) log 64 ) 0) lne e) log 64 8) + log 7 79) ) log 4) log 4 6) ln e ) ) log 8 / ) + log ) + log 64)

19 6.. POTENSER OCH LOGARITMER 9 INL 6.c Lös ekvationen. TIPS: För lösandet av versionerna, 4, 0,, 6, 9,,, 8, 9,, kan det löna sig att överväga om ett polynom av typen at + bt + c med heltalskoefficienter a, b, c, men med ett otympligt stort värde på a, går att faktorisera som at + β)t + γ) där β och γ är heltal. ) + x = ) x ) 9 x + 6 x = ) x + 4 x+ = 4) ) x + 9 x = 4/ ) x+ + x = 6) x = x 7) x+ + 4 x = 8) 9 x+ + 8 x+ = 9 9) x+ + x+ = x + 0) x = 4 x ) x = 7 + x ) 8 x = x 7 ) ) x x = 4) 9 x = x + ) x + 4 x = 6) x x = 4 7) x = x 8) x = x 9) ) x+/ + 74 x = 0) x 4 = + 8 x ) + 4 x = 7 x ) 6 x = x ) 7 x + 4 x+ = 4) ) x + x ) x+ + x = 6) + x = x 7) x + = x 8) 9 x x = 9) 4 x+ + x = 0) x = 4 x + ) x+ + 7 = x ) x = + x INL 6.d Lös ekvationen. ) lnx) + lnx + e) = + ln) ) x lgx) ) log x) = log x ) + 8 4) lnx ) + lnx + ) = lnx + ) ) x lgx) 6 6) log 6 x + )) + log 6x + 4) = 7) lnx e) = ln/x) + 8) x lgx) 0x) 9) ln x) = lnx ) + 8 0) ln x )) + lnx 4) = ln) ) log x) + log x x/) ) lnx ) + lnx) = ln) ) 0x lgx) = x/0) 4) log x + ) log x) = ) ln) + ln x + ) = lnx) 6) x lgx) 0x 7) log x) log x + ) = 8) ln x) + ln x) = lnx ) 9) x +lgx) 0 0) log x + ) + log x ) = ) ln x) + ln/x) ) x lgx) 0/x ) log x) + 4 log 4x ) = 7 4) lnx) = + log x e ) ) x +lgx) = ) log x 8) + log x) = 7) lnx) = ln x) 8) x +lgx) = 0x) 9) log x) + log x ) = 0) 8 log x e) = lnx) + ) x +lgx) ) log x)/ log 4 x) =

20 0 7. Derivator och integraler D.6, D.7 INL 7.a Beräkna utifrån deriveringsregler, derivatan till funktionen f. ) fx) = cos/x) + ex x + + x x ) fx) = x + 7 x + x + sinlnx)) ) fx) = x 7/9 + x cosx) + e 9x 4) fx) = sin/ x) + x lnx + ) + x 4/ ) fx) = x + x + x9/4 + cosx ) 6) fx) = x 4 + x sinx) + lnx + ) 7) fx) = cos/ x) + x + x + x7 lnx) 8) fx) = lnx) x + x 9 + sin6x) 9) fx) = x / + x cosx) + e x 0) fx) = sinx ) + x lnx + ) + x 4/ ) fx) = 4x + x + x/7 + cosx ) ) fx) = x 7 + x sinx) + lnx + 7) ) fx) = cosx) + x + + x + ) lnx + ) 7x 4) fx) = lnx) x + x 8 + sinx) ) fx) = x 9/7 + x cosx) + e x 6) fx) = sinx ) + x lnx + ) + x 9/ 7) fx) = 7x x x7/7 + cosx + )) 8) fx) = x 9 + sinx) x + lnx ) 9) fx) = x + 4x + + x7/6 + sin x) 0) fx) = x + cosx ) + x lnx) ) fx) = sin/x) + ex x + + x x ) fx) = x x x + coslnx)) ) fx) = x 8/9 + x sinx) + e x 4) fx) = cos/ x) + x lnx + ) + x 7/ ) fx) = x x + + x9/4 + sinx ) 6) fx) = x + x cosx) + lnx 4 + ) 7) fx) = sin/ x) + x x + + x lnx) 8) fx) = lnx) x + x + cos7x) 9) fx) = x /7 + x sinx) + e x 0) fx) = cosx 4 ) + x lnx + ) + x / ) fx) = 4x + x + + x/6 + cos x) ) fx) = x 7 + sinx ) + x + ) lnx) INL 7.b Bestäm tangenten till kurvan Γ i punkten P. ) Γ : y = x, P : 4, ) ) Γ : y = x 4x +, P :, ) ) Γ : y = 4, P :, ) x 4) Γ : y = x +, P :, ) ) Γ : y =, P : 0, ) x + 6) Γ : y = x +, P :, ) 7) Γ : y = x 4x +, P :, ) 8) Γ : y = 6, P :, 4) x 9) Γ : y = x +, P :, ) 0) Γ : y =, P :, /) x + 4 ) Γ : y = x 4, P : 8, ) ) Γ : y =, P :, ) x + ) Γ : y = x, P :, ) 4) Γ : y = x x, P :, ) ) Γ : y = 4, P :, ) x

21 7.. DERIVATOR OCH INTEGRALER 6) Γ : y = x +, P :, ) 7) Γ : y =, P : 0, ) x 8) Γ : y = x +, P :, ) 9) Γ : y = x + x, P :, ) 0) Γ : y =, P :, ) x ) Γ : y = x, P :, /) ) Γ : y =, P :, ) x + ) Γ : y = x, P :, ) 4) Γ : y = x x, P :, 4) ) Γ : y = 9, P :, ) x 6) Γ : y = x +, P :, ) 7) Γ : y =, P :, ) x 8) Γ : y = x +, P :, ) 9) Γ : y = x + x +, P :, ) 0) Γ : y =, P :, ) x ) Γ : y = x +, P :, /) ) Γ : y =, P :, ) x INL 7.c Ange samtliga primitiver till funktionen f. ) fx) = x + + 8x + sin8x) ) fx) = x 7/ + cos6x) + e 4x ) fx) = 6x + + x/4 + sinx) 4) fx) = x /0 + cosx) + e x/4 ) fx) = 7x + 4x7 + sinx) 6) fx) = x 8/ + cos4x) + e x/ 7) fx) = 8x + + x9/4 + sinx) 8) fx) = x 8/ + cosx) + e x/ 9) fx) = 9x + + 0x + sin4x) 0) fx) = x /9 + cosx) + e x/ ) fx) = 7x + + x4/9 + sin8x) ) fx) = x /8 + cos7x) + e x/ ) fx) = 8x + 8x6 + sin9x) 4) fx) = x /6 + cos6x) + e x/ ) fx) = 9x x/6 + sin6x) 6) fx) = x 4/ + cos8x) + e x/4 7) fx) = 6x + + x4 + sin7x) 8) fx) = x 9/ + cos9x) + e x/ 9) fx) = x + + x/ + sin4x) 0) fx) = x /4 + cosx) + e x ) fx) = x + 7x6 + sinx) ) fx) = x / + cosx) + e x ) fx) = x x7/4 + sinx) 4) fx) = x 8/ + cosx) + e x ) fx) = 4x + + x + sinx) 6) fx) = x /8 + cos4x) + e 4x 7) fx) = x + + x4/ + sinx) 8) fx) = x /7 + cos7x) + e x 9) fx) = 4x + x4 + sin6x) 0) fx) = x /4 + cos8x) + e x ) fx) = x x/4 + sin7x) ) fx) = x / + cosx) + e x

22 INL 7.d Beräkna arean av den i x, y-planet begränsade region som innesluts av kurvorna γ och γ. Illustrera med en figur. ) γ : y = x, γ : y = x + 4 ) γ : y = x, γ : y = 7x + 78 ) γ : y = x, γ : y = 6 + x 4) γ : y = x, γ : y = 4 x ) γ : y = x, γ : y = 7x 6) γ : y = x, γ : y = x + 8 7) γ : y = x, γ : y = x 6 8) γ : y = x, γ : y = x + 9) γ : y = x, γ : y = 4 x 0) γ : y = x, γ : y = 7x + 8 ) γ : y = x, γ : y = x + 4 ) γ : y = x, γ : y = 6 9x ) γ : y = x, γ : y = 6 x 4) γ : y = x, γ : y 4 + x ) γ : y = x, γ : y = x 4 6) γ : y = x, γ : y = 44 7x 7) γ : y = x, γ : y = x + 8) γ : y = x, γ : y = x 4 9) γ : y = x, γ : y = x + 4 0) γ : y = x, γ : y = 7 x ) γ : y = x, γ : y x ) γ : y = x, γ : y = 60 7x ) γ : y = x, γ : y = x + 0 4) γ : y = x, γ : y = x ) γ : y = x, γ : y = x ) γ : y = x, γ : y = x 7) γ : y = x, γ : y = x 8) γ : y = x, γ : y = 9x 0 9) γ : y = x, γ : y = x + 0 0) γ : y = x, γ : y = 7x 0 ) γ : y = x, γ : y x ) γ : y = x, γ : y = 70 9x

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1. MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 1 januari 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 mars 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 05-0-5

Läs mer

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) , MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 015-06-01

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 015-01-09

Läs mer

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 5 november 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 15 augusti 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015

TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015 TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015 Fredrik Andersson Mikael Langer Johan Thim All kursinformation finns också på courses.mai.liu.se/gu/tatm79 Innehåll 1 Kursinnehåll 2 1.1 Reella och komplexa

Läs mer

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 8 augusti Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

2. Skissa minst en period av funktionskurvan y 1 = 2 sin(4x/3). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

2. Skissa minst en period av funktionskurvan y 1 = 2 sin(4x/3). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan. MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 14 januari 11 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

x 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld?

x 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld? MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Örjan Dillner TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN1 Datum: 7 september

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej

Läs mer

TATA79 Inledande matematisk analys (6hp)

TATA79 Inledande matematisk analys (6hp) Inledande matematisk analys (6hp) Kursinformation HT 2016 Examinator: David Rule Innehåll 1 Kursinnehåll 2 1.1 Grundlägande koncept och verktyg........................ 2 1.2 Geometri och reela tal...............................

Läs mer

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar

Läs mer

3.3. Symboliska matematikprogram

3.3. Symboliska matematikprogram 3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E. NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.

Läs mer

Planering för Matematik kurs D

Planering för Matematik kurs D Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar.

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Dagens tema Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Fasplan(-rum), trajektorier, fasporträtt ZC sid 340-1, ZC10.2 Definitioner: Lösningarna

Läs mer

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder

Läs mer

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Kursboken innehåller uppgifter på tre nivåer, a,b och c, i stigande svårighetsgrad. Efter varje kapitel finns en bra sammanfattning,

Läs mer

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Kursboken innehåller uppgifter på tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad. Efter varje kapitel finns en bra sammanfattning,

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

Kursinformation, TNIU19 Matematisk grundkurs fo r byggnadsingenjo rer, 6 hp

Kursinformation, TNIU19 Matematisk grundkurs fo r byggnadsingenjo rer, 6 hp Kursinformation, TNIU19 Matematisk grundkurs fo r byggnadsingenjo rer, 6 hp Grundläggande matematik för ingenjörsstudenter vid Byggnadsteknisk utbildning en förberedande matematikkurs inför kursen Envariabelanalys

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov.

Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov. Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov. (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C Kravgränser 110 minuter för Del B, C och Del D. Du får påbörja del D (och börja använda

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Calmers tekniska ögskola Datum: 1015 kl. 0.0 12.0 Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 07 607040 LMA222a Matematik DAI1 oc EI1 Tentan rättas oc bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

MATEMATIK 5 veckotimmar

MATEMATIK 5 veckotimmar EUROPEISK STUDENTEXAMEN 007 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 11 Juni 007 (förmiddag) SKRIVNINGSTID : 4 timmar (40 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Europaskolornas formelsamling En icke-programmerbar, icke-grafritande

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra TEN3 Datum:

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet. Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Gymnasiets nationella prov och KTHs förkunskapskrav en matematisk kulturklyfta?

Gymnasiets nationella prov och KTHs förkunskapskrav en matematisk kulturklyfta? Gymnasiets nationella prov och KTHs förkunskapskrav en matematisk kulturklyfta? Hans Thunberg, KTH Matematik thunberg@mathkthse Sammanfattning Det nationella provsystemet har bl a som uppgift att tydliggöra

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Analys 2 M0024M, Lp

Analys 2 M0024M, Lp Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 Lektion 1 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet 4 april 2013 Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 1 / 17 Kursinformation m.m. Examinator: Lennart

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln

Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln Bastermin HT, Matematik Högskolan i Halmstad Version 00-08-0/0-08-5 Bertil Nilsson/Mats Gunnarsson Häfte A Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln. Förenkla

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0 Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Namn: Företagsekonomi Styrning och Strategi (SOS) Högskolepoäng: 7,5 hp. Datum: 2015-11-02 till 2016-01-16

Namn: Företagsekonomi Styrning och Strategi (SOS) Högskolepoäng: 7,5 hp. Datum: 2015-11-02 till 2016-01-16 STOCKHOLMS UNIVERSITET FÖRETAGSEKONOMISKA INSTITUTIONEN DANILO BROZOVIC 2015-08-19 Studieanvisning SAFFK FE1626 Namn: Företagsekonomi Styrning och Strategi (SOS) Högskolepoäng: 7,5 hp Datum: 2015-11-02

Läs mer

Kursinformation, ETE499 8 hp MATEMATIK H Högskoleförberedande matematik

Kursinformation, ETE499 8 hp MATEMATIK H Högskoleförberedande matematik Kursinformation, ETE499 8 hp MATEMATIK H Högskoleförberedande matematik Fristående matematikkurs vid ITN (Institutionen för Teknik och Naturvetenskap i Norrköping) en förberedande matematikkurs inför kurser

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

DOPmatematik. Ett dataprogram för lärare. som undervisar i matematik. (Lågstadiet) Mellanstadiet. Högstadiet. Gymnasiet. Vuxenutbildning.

DOPmatematik. Ett dataprogram för lärare. som undervisar i matematik. (Lågstadiet) Mellanstadiet. Högstadiet. Gymnasiet. Vuxenutbildning. DOPmatematik Ett dataprogram för lärare som undervisar i matematik (Lågstadiet) Mellanstadiet Högstadiet Gymnasiet Vuxenutbildning Folkhögskola m.fl. 1 Koefficienterna beräknade av DOP-programmet Graferna

Läs mer

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5) Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4

Läs mer

BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår

BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår BML131 ht 2013 1 BML131, Matematik I för tekniskt/naturvetenskapligt basår Syfte och organisation Matematiken på basåret läses i två obligatoriska kurser; under första halvan av hösten BML131 (Matematik

Läs mer