Betygskriterier Matematik E MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Transkript

1 Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på Detta är vår skolas tolkning av dessa kriterier. Avsnitt Skriftliga kunskaper Mål/lokal tolkning visar sina tankar och förklaringar i skrift. Betygskriterier G VG MVG genomför matematiska resonemang använder matematiska termer och symboler som hör till området gör beräkningar som går att följa och förstå löser enklare typuppgifter använder grafritande miniräknare för att lösa problem deltager i skriftliga redovisningar och uppgifter genomför matematiska resonemang och beräkningar på ett korrekt sätt använder lämpliga matematiska termer och symboler som hör till området gör med säkerhet beräkningar som lätt går att följa och förstå inklusive figurer löser enklare uppgifter genom att delvis kombinera kunskaper och metoder från olika områden använder grafritande miniräknare för att lösa givna problemställningar deltager i skriftliga redovisningar och uppgifter använder kunskaper från olika delområden av matematiken genomför matematiska resonemang och beräkningar på ett korrekt sätt använder korrekta matematiska termer och symboler gör med säkerhet beräkningar som lätt går att följa och förstå inklusive tydliga och korrekta figurer löser uppgifter genom att kombinera kunskaper och metoder från flera områden använder grafritande miniräknare för att lösa nya problemställningar deltager i skriftliga redovisningar och uppgifter använder kunskaper från olika delområden av matematiken bedömer beräkningars och slutsatsers rimlighet och giltighet Lokal_kursplan_&_Betygskriterier_Ekurs.doc 1

2 Muntliga kunskaper Fördjupade kunskaper från tidigare kurser Derivator och integraler förklarar sina tankar och lösningar muntligt formulerar, analyserar och löser matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning visar fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i tidigare kurser analyserar, formulerar och löser problem som kräver bestämning av derivator och integraler beräknar volymer med hjälp av integraler deltager aktivt på lektioner försöker att förklara sina teorier deltager på muntliga redovisningar och uppgifter deltager aktivt på lektioner förklarar sina teorier deltager på muntliga redovisningar och uppgifter deltager aktivt på lektioner och bidrar aktivt för att höja gruppens förståelse förklarar med säkerhet sina teorier och utvecklar desamma deltager på muntliga redovisningar och uppgifter Se tidigare kurskriterier Se tidigare kurskriterier Se tidigare kurskriterier Derivator deriverar olika typer av funktioner och löser problemställningar som minoch maxproblem med dessa använder andraderivatan vid extremvärdesberäkning Integraler ställer upp och beräknar olika integraler tolkar integralers betydelse använder integraler vid Derivator deriverar alla typer av funktioner och löser mer avancerade problemställningar som min- och maxproblem med dessa använder och har insikt i andraderivatans betydelse vid extremvärdesberäkning beräknar förändringshastigheter med kedjeregeln Integraler ställer upp och beräknar alla typer av integraler tolkar mer komplexa integralers betydelse Derivator deriverar mer komplexa funktioner och löser avancerade problemställningar som min- och maxproblem med dessa använder och förstår andraderivatans betydelse inom funktionsområdet löser problem innehållande förändringshastigheter med kedjeregeln Integraler ställer upp och beräknar svårare integraler tolkar integralers betydelse i nya okända situationer och använder Lokal_kursplan_&_Betygskriterier_Ekurs.doc

3 Komplexa tal förklarar hur och motiverar varför talsystemet utvidgas till komplexa tal räknar med komplexa tal skrivna i olika former och löser enkla polynomekvationer med komplexa rötter även med hjälp av faktorsatsen problemlösning beräknar areor mellan kurvor beräknar enklare rotationsvolymer IG1, IG, IG3 Komplexa talplanet omvandlar mellan rektangulär och polär form använder addition, subtraktion, multiplikation, division och potenser i beräkningar av enklare komplexa tal i rektangulär och polär form ritar komplexa tal, resultat av enklare beräkningar och punktmängder i talplanet Ekvationer löser enklare potensekvationer med komplexa rötter faktoriserar polynom med hjälp av polynomdivision löser enklare polynomekvationer med komplexa rötter med hjälp av polynomdivision KG1, KG, KG3, KG4, KG5, KG6 använder integraler vid problemlösning beräknar areor mellan kurvor med flera integrationsgränser beräknar rotationsvolymer IVG1, IVG, IVG3 Komplexa talplanet omvandlar mellan rektangulär och polär form använder addition, subtraktion, multiplikation, division och potenser i beräkningar av komplexa tal i rektangulär och polär form ritar komplexa tal, resultat av beräkningar och punktmängder i talplanet Ekvationer löser potensekvationer med komplexa rötter faktoriserar polynom innehållande enkla komplexa koefficienter med hjälp av polynomdivision löser polynomekvationer med komplexa rötter med hjälp av polynomdivision KVG1, KVG, KVG3, KVG4 tolkningar vid problemlösning använder integraler vid problemlösning beräknar areor mellan kurvor med komplexa integrationsgränser beräknar mer avancerade rotationsvolymer och använder även andra metoder som skalmetod IMVG1, IMVG, IMVG3 Komplexa talplanet omvandlar mellan rektangulär och polär form använder addition, subtraktion, multiplikation, division och potenser i beräkningar av svårare komplexa tal i rektangulär och polär form ritar komplexa tal, resultat av mer avancerade beräkningar och punktmängder i talplanet Ekvationer löser mer avancerade potensekvationer med komplexa rötter faktoriserar polynom innehållande komplexa koefficienter med hjälp av polynomdivision löser olika typer av polynomekvationer med komplexa rötter med hjälp av flera metoder, exempelvis polynomdivision KMVG1, KMVG, KMVG3 Lokal_kursplan_&_Betygskriterier_Ekurs.doc 3

4 Differentialekvationer tolkar, förklarar och ställer upp differentialekvationer som modeller för verkliga situationer anger exakta lösningar till några enkla differentialekvationer och förklara tankegången bakom någon metod för numerisk lösning Ekvationen y =f(x), y =f(x) verifierar givna lösningar till enklare ekvationer av första och andra ordningen bestämmer fullständiga lösningar till enklare ekvationer av första och andra ordningen, eventuellt med begynnelsevillkor tolkar och ställer upp enklare differentialekvationer Homogena ekvationer löser enklare ekvationer av första och andra ordningen Inhomogena ekvationer löser homogen del och finner enklare partikulärlösningar Numeriska lösningsmetoder följer olika lösningskurvor i ett riktningsfält använder Eulers stegmetod på enklare ekvationer av första ordningen DG1,DG, DG3, DG4 Ekvationen y =f(x), y =f(x) verifierar givna lösningar till ekvationer av första och andra ordningen bestämmer fullständiga lösningar till ekvationer av första och andra ordningen med begynnelsevillkor tolkar och ställer upp differentialekvationer Homogena ekvationer löser ekvationer av första och andra ordningen med något mer avancerade begynnelsevillkor Inhomogena ekvationer löser homogen del och bestämmer även partikulärlösningar Separabla ekvationer löser enkla separabla ekvationer Numeriska lösningsmetoder följer och har förståelse för olika lösningskurvor i ett riktningsfält använder och förstår Eulers stegmetod på ekvationer av första ordningen DVG1,DVG, DVG3 Ekvationen y =f(x), y =f(x) bevisar lösningar till ekvationer av första och andra ordningen bestämmer fullständiga lösningar till ekvationer av första och andra ordningen med avancerade begynnelsevillkor tolkar och ställer upp mer komplexa differentialekvationer Homogena ekvationer löser ekvationer av första och andra ordningen med avancerade begynnelsevillkor Inhomogena ekvationer förstår problemet och löser homogen del och bestämmer lämplig partikulärlösning Separabla ekvationer löser separabla ekvationer Numeriska lösningsmetoder ritar egna riktningsfält för att visa lösningskurvor till olika differentialekvationer av första ordningen använder och kan härleda Eulers stegmetod på mer avancerade ekvationer av första ordningen DMVG1,DMVG, DMVG3 Lokal_kursplan_&_Betygskriterier_Ekurs.doc 4

5 Exempelsamling Ma 105 Derivator och Nivå G: IG1, IG, IG3 integraler Nivå VG: IVG1, IVG, IVG3 exempel på Nivå MVG: IMVG1, IMVG, IMVG3 IG1 Bestäm y då 4 3 y = ( 5x 3). IG Vid ett inbromsningsförsök med en bil mäts farten varannan sekund. Resultatet framgår av tabellen och diagrammet. tid i sekunder fart i m/s 18,0 11,14 6,89 4,6,64 1,47 1,01 0,70 v ms 18,0 16,0 14,0 1,0 10,0 8,0 6,0 4,0,0 0,0 0,0,0 4,0 6,0 8,0 10,0 1,0 14,0 a) Använd diagrammet för att uppskatta hur långt bilen rört sig under de 10 första sekunderna. 0,4t b) v( t) = 18 e ger en matematisk modell för bilens fart. Teckna med hjälp av modellen ett uttryck som beskriver hur långt bilen rört sig på de 10 första sekunderna. Beräkna därefter hur långt bilen rört sig under denna tid. t s IG3 Beräkna volymen av den rotationskropp som är ritad i figuren. Den kurva som roterar runt x-axeln är y= x 1 och gränserna är x = 1 och x = 5.. IVG1 Bestäm konstanten a i f ( x) = ax + 3x + 1så att f (5) = 0. Lokal_kursplan_&_Betygskriterier_Ekurs.doc 5

6 IVG En ballongförsäljare fyller sina ballonger med gas. Påfyllningen sker med hastigheten 1 dm 3 gas per sekund. Med vilken hastighet växer radien i en klotformad ballong, då radien är 1,5 dm? IVG3 Beräkna volymen av den rotationskropp som är ritad i figuren. Den kurva som roterar runt y-axeln är y = 9 x. Svara exakt. IMVG1 a) Bestäm y och y då y = sin x. sin x +1 b) Visa att andraderivatan kan skrivas y =. 4sin x sin x c) Visa med hjälp av derivata att funktionen har ett maximum för π x =. IMVG En doftkula har volymen 3,0 cm 3. På grund av avdunstning minskar kulans volym med tiden t månader på ett sådant sätt att volymändringen per tidsenhet är proportionell mot kulans area. Efter 1 månad är doftkulans volym,0 cm 3. a) Visa att förutsättningarna ovan leder till att d r = k dt där k är en konstant och r cm betecknar kulans radie efter t månader. b) Beräkna kulans volym efter 4 månader. IMVG3 En cylindrisk behållare med radien 1 cm är fylld med vatten. Behållaren roteras och så länge rotationshastigheten ökar rinner vatten över behållarens kant. Vid en viss rotationshastighet blir vattennivån i behållarens mitt lika med noll, se figur. I detta läge gäller sambandet y' = 00, x, där y' är vattenytans lutning på avståndet x cm från rotationsaxeln. a) Bestäm y som funktion av x b) Beräkna hur mycket vatten som runnit ut sedan rotationen startade. c) Rotationshastigheten ökas så att ett cirkelområde med radien 3,0 cm blir torrlagt i mitten av cylindern. I sambandet y'= kx, x 3 får k då ett nytt värde. Det vatten som finns kvar i cylindern kommer fortfarande att nå upp till kanten. Teckna ett uttryck för volymen av det vatten som nu finns kvar. (Du behöver inte beräkna volymen.) x y Lokal_kursplan_&_Betygskriterier_Ekurs.doc 6

7 Komplexa tal exempel på Nivå G: KG1, KG, KG3, KG4, KG5, KG6 Nivå VG: KVG1, KVG, KVG3, KVG4 Nivå MVG: KMVG1, KMVG, KMVG3 KG1 För vissa komplexa tal z ( z 0) gäller att Re z = 4 Im z Ge exempel på ett sådant tal. Im KG Det komplexa talet z är markerat i nedanstående figur. Markera talet 1 z. i Re 1 KG3 Skriv 1+ 3i 3+ i på formen a + bi där a och b är reella tal. z KG4 Skriv i polär form talet 3+ i 3. KG5 Lös ekvationen 8z z = 5. 3 KG6 Lös ekvationen x 4x + 13x = 0. KVG1 Bestäm två olika icke-reella tal vars produkt är + i. KVG För det komplexa talet z gäller att z = 3 Markera i ett komplext talplan alla tänkbara lägen för z och z. KVG3 Lös fullständigt ekvationen 8 3 z = i. Svara på formen a + bi KVG4 Ekvationen z + az+ b = 0där a och b är reella tal har en lösning z = 1 i. Bestäm konstanterna a och b. KMVG1 Bestäm det reella talet t så att uttrycket k π KMVG För vilka värden på k är e i + 1 = 0? 1 t + i 1+ i blir reellt. 4 3 KMVG3 Polynomet p ( x) = x 4x + ax + bx + 1 innehåller konstanter a och b. a) Bestäm konstanterna a och b så att polynomet p (x) är jämnt delbart med polynomet x 4x + 3. b) Lös ekvationen p ( x) = 0 fullständigt. De erhållna värdena på a och b skall användas. Lokal_kursplan_&_Betygskriterier_Ekurs.doc 7

8 Differentialekvationer på Nivå G: DG1, DG, DG3, DG4 Nivå VG: DVG1, DVG, DVG3 Nivå MVG: DMVG1, DMVG, DMVG3 DG1 Antalet havsörnsungar på den svenska ostkusten har ökat kraftigt sedan Om vi låter antalet havsörnsungar vara y(t), där t är tiden i år räknat från 1985, så kan ökningen beskrivas med differentialekvationen dy = 017, y, y( 0) = 19 dt Beskriv vad uttrycken i rutan ovan säger om antalet havsörnungar. DG Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y = e e x 05, x. DG3 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y 1y + 3y = 0 1 DG4 Man har differentialekvationen y = 1. x Beräkna med hjälp av Eulers stegmetod y( ) med två decimaler om y() 1 = och h = 05,. DVG1 Under ett kemiskt försök minskar mängden av ett ämne. Vid olika tidpunkter analyseras hur många procent av ämnet som finns kvar. Följande resultat erhålls: tid i min procent kvar 8,7 74,3 61,1 44,4 38,7 31,1 Om den återstående mängden av ämnet betecknas y % och tiden i minuter betecknas t så kan försöket beskrivas med differentialekvationen dy = ky dt Bestäm så noggrant du kan ett värde på proportionalitetskonstanten k DVG Bestäm den lösning till differentialekvationen y y = x + x+ 1, som uppfyller villkoret y( 0) =. DVG3 Man har differentialekvationen y y = x. a) Beräkna med hjälp av Eulers stegmetod y( 1 ) med en decimal om y( 0) = 1 och h= 05,. b) Bestäm med algebraisk metod den lösning som enligt ovan uppfyller villkoret att y( 0) = 1. Beräkna också y( 1 ) med en decimal. Lokal_kursplan_&_Betygskriterier_Ekurs.doc 8

9 DMVG1 Vid en fabrik tillverkas jäst i en tank, och omständigheterna är sådana att mängden jäst har en tillväxthastighet som är proportionell mot jästens massa y kg, med proportionalitetskonstanten 1 0,003 min. När processen startar finns 00 kg jäst i tanken. a) Teckna en differentialekvation som beskriver jästens tillväxthastighet. b) Hur mycket jäst bör det enligt modellen finnas i tanken efter fem timmar? c) Vid produktionen tar man ut ett konstant flöde av jästmassan. d) Teckna en differentialekvation som beskriver jästmassans förändring när man tar ut a kg jäst per minut ur tanken. e) Hur mycket jäst kan tappas ut per minut om jästmassan i tanken hela tiden skall vara 00 kg? DMVG Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + ysin x= 0. π Bestäm sedan den lösning som uppfyller villkoret y = e. DMVG3 Rita riktningsfältet till differentialekvationen y = xy, x, 1 y 5. Bestäm sedan algebraiskt ekvationen för lösningskurvan som går genom punkten ( 0, ). Lokal_kursplan_&_Betygskriterier_Ekurs.doc 9