Planering för Matematik kurs E

Transkript

1 Planering för Matematik kurs E Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs E Antal timmar: 60 (0 + 0) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att E-kursen studeras på 60 klocktimmar. Av dessa timmar avsätts 0 timmar till prov, repetition inför NP, grafritarövningar mm. Resterande 0 timmar används till bokens tre kapitel, inklusive fördjupningar och repetitioner. Vi har här uppskattat hur lång tid som behövs till varje moment i en normalklass. Det är givetvis viktigt att tidsplanen anpassas till klassens nivå och kursens timtilldelning. Komplea tal sidor i boken antal timmar Räkning med komplea tal - 9 Division av komplea tal 9-0 Ekvationer - 4 Mer om absolutbelopp 4-6 Polynomdivision 7-8 Ekvationer med en känd reell rot 8-0, Polär form 0-3 Multiplikation och division i polär form 4-8, de Moivres formel 9-30, Ekvationen z = 8i 3, Funktionen y = e z 3-34 Blandade uppgifter och Test summa 8 timmar Derivator och integraler Deriveringsregler 44 - Derivatan av sammansatt funktion mm - 3 Integraler 4-6 Areaberäkning 7-9 Volymberäkning med integral Ihåliga rotationskroppar Rotation kring y-aeln Skalmetoden vid volymberäkning 69-7 Maimi- och minimiproblem 7-73 Numerisk lösning av integraler Blandade uppgifter och Test 79-8 summa 6 timmar

2 3 Differentialekvationer Primitiva funktioner Verifiering av lösningar 90-9 y + ay = , Tillämpningar 9-98 y + ky = f() Tillämpningar med partikulärlösning 0-07, Två olika reella rötter 08 -, Dubbelrot - 3 Två komplea rötter 4-6, Riktningsfält och Eulers stegmetod 7 -, Blandade uppgifter och Test 4-9, summa 6 timmar Övrigt Prov, repetition inför NP, grafritare mm 0 timmar Summa totalt 60 timmar

3 Övningsprov i Matematik kurs E Provet kan lämpligen göras efter de två första kapitlen i Holmström/Smedhamres E-bok. Tid: ca timmar Hjälpmedel: Formelblad samt till del även räknare. Del Följande uppgifter ska göras utan räknare. π För det komplea talet z gäller att z = 4 och arg z = -. Skriv z på formen a + bi. Förenkla det komplea talet w = (i + )(i ) + i Beräkna sedan a) Re w b) w 3 Bestäm y till funktionerna a) y = sin + b) y = 4 Lös ekvationen 3z 4= iz Beräkna 3 d 4 6 Lös ekvationen z 3 = i Svara på polär form. 7 Ett område begränsas av -aeln och kurvan y = c. Teckna, med hjälp av en integral, volymen av rotationskroppen som bildas då området roterar kring a) -aeln b) y-aeln 8 Ekvationen z 4 z 3 + 6z z + = 0 har två rötter z = i och z = i. Bestäm ekvationens övriga rötter.

4 Del Till följande uppgifter får räknare användas. 9 Kurvan y = 3sin har en tangent då = 0,π. Bestäm tangentens ekvation. 0 En bil har hastigheten m/s, dvs. 90 km/h, då den börjar en inbromsning enligt diagrammet nedan. m/s y s Använd grafen y = f() och lös följande uppgifter: a) Bestäm f (0) b) Hur lång sträcka rör sig bilen de första sekunderna? c) Antag att bilens hastighet y (m/s) beskrivs av funktionen y = e a där är tiden i sekunder och a är en konstant. Bestäm konstanten a med två värdesiffror så att bilen rör sig 80 m de första sekunderna. Utgå från funktionen f() = e 0,4. 7sin a) Beräkna f (3) med tre värdesiffror. b) Hur många rötter har ekvationen f() = 4? För vilka värden på den reella konstanten c är uttrycket nedan reellt? ci + i

5 Lösningar och tips till övningsprov kurs E Rita gärna figur. z = 4 och arg z = 0,π z = 4i w = (i + )(i ) + i = i 4i + i + i. i 4 = = 4i + i + i = 4 i Svar: a) Re w = 4 b) w = ( 4) + ( ) = 7 3 a) y = + = ( + ) 0, y = 0,( + ) 0,. ( + ) sin b) y = y = cos sin z 4 = iz Sätt z = a + bi z = a bi 3(a bi) 4 = i(a + bi) 3a 3bi 4 = ai + bi Identifiera realdel 3a 4 = b Identifiera imaginärdel 3bi = ai dvs a = 3b 3( 3b) 4 = b b = 0, a = 3. ( 0,) =, Svar: z =, 0,i 3 = 3 ( 3 ) = 8 + = z = r(cos v + i sin v) och i = (cos 90 o + i sin 90 o ) z 3 = i r 3 (cos 3v + i sin 3v) = (cos 90 o + i sin 90 o ) Detta ger r = samt 3v = 90 o + n 360 o v = 30 o + n. 0 o Svar: z = (cos 30 o + i sin 30 o ) z = (cos 0 o + i sin 0 o ) z 3 = (cos 70 o + i sin 70 o ) 7 a) Rotation kring -aeln V = b) Rotation kring y-aeln V = c 0 c c π ( ) c d π ( c y) dy

6 8 Dividera (z 4 z 3 + 6z z + ) med (z i)(z + i) dvs. med (z i ) = (z + ) z z z z z ( ) = z z + z z + = 0 har rötterna z = ± i Svar: z 3 = + i och z 4 = i 9 = 0,π ger y = 3 sin(. 0,π) = 0 Tangeringspunkten = (0,π ; 0) y = 6 cos y (0,π) = 6 cos(. 0,π) = 6 dvs k = 6 Tangentens ekvation y = k + m 0 = ( 6). 0,π + m m = 3π Svar : y = 6 + 3π 0 a) f (0) Avläs grafens lutning då = 0. b) Sträckan motsvaras av arean under grafen, från = 0 till =. Arean består av ca 6 rutor. (räkna rutorna!) Varje ruta har arean, vilket betyder m. Svar: ca 80 m c) Hastigheten y = e a där är tiden i sekunder och a en konstant. Bestäm a så att sträckan på sekunder blir 80 m 80 = a a e e e a d= = + e a = 3,a a 0 a a 0 Ekvationen löses med grafräknare a = 0,9 f() = e 0,4. 7sin f ( ) = 0,4e 0,4. 7 sin + e 0,4. 4 cos a) f (3) = 0,4e,. 7 sin 6 + e,. 4 cos 6 = 4,8 b) Rita med grafräknare y = 4 och y = e 0,4. 7 sin. Bilden visar att det finns oändligt många skärningspunkter (två av dessa har positiva -koordinater). Svar: Ekvationen har oändligt många rötter. Förläng ci med ( + ci) och + i med ( i). + ci Nu blir båda nämnarna reella och vi får i + c Sätt på gemensamt bråkstreck täljaren blir ( + ci) ( + c )( i) Dvs täljaren = + ci c + i + c i (imaginärdelen är understruken) Imaginärdelen = 0 c + + c = 0 c =, ± 0,7 Svar: c = eller c = 0,