Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tentamensuppgifter, Matematik 1 α"

Transkript

1 Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345, b) 4941 och 463 Mat 1 α, aug 01:1. a) Förkorta bråket så långt som möjligt. b) Hur vet man att ekvationen y = 161 saknar heltalslösningar (,y)? Mat 1 α, april 0:1 3. Avgör om följande diofantiska ekvationer har lösningar och ange i så fall samtliga lösningar. a) y = 1. b) 5 + 9y = Lös den diofantiska ekvationen 5. Lös den diofantiska ekvationen 6. Lös den diofantiska ekvationen y = y = y = 34. Mat 1 α, mars 00: Mat 1 α, dec 98:1 Mat 1 α, aug 99: Mat 1 α, nov 00:4 1

2 7. Lös den diofantiska ekvationen y = 47. Ange särskilt de lösningar (,y), för vilka > 0 och y > 0. Mat 1 α, okt 01: 8. Bestäm alla heltal och y som uppfyller y = Bestäm alla par (,y) av heltal sådana att 10. Finn alla heltalslösningar till systemet y = { + 17y 11z = 8 + 4y + z = Ange det minsta positiva heltal c, för vilket den diofantiska ekvationen y = 7 93c Alg 1, nov 95:7 Mat 1 α, nov 03:6 Alg 1, april 91:6 har en lösning (,y). Ange för detta värde på c samtliga lösningar (,y). Mat 1 α, aug 00:7 Induktion och kombinatorik 1. Visa att 1 + ( ) + ( + ) ( n 1 + (n 1) ) = ( n (n 1) ) för n =,3,... Mat 1 A, okt 97:3 13. Visa att n 3 n = (n 1) 3n för varje positivt heltal n. Mat 1 β, dec 99: 14. Visa att n n = + n n för varje positivt heltal n. Mat 1 β, jan 00: 15. Visa att n k=1 k(k + ) = 3 1 n n +, n = 1,,3,.... Mat 1 β, aug 03:1

3 16. Visa att n k=1 1 k(k + 1)(k + ) = n(n + 3) 4(n + 1)(n + ), n = 1,,3,.... Mat 1 β, jun 03:1 17. Visa att ( 3 3 ) + ( 4 3 ) ( ) ( n ) = ( n 4 ) för n = 4,5,6,.... Mat 1 A, mar 97:3 18. Bevisa att ( ) + ( 3 ) ( 4 + ) ( n ) > n3 6 för n = 1,,3,.... Mat 1 A, apr 97:4 19. Visa att n k=1 ( m + k 1 k k ) ( m + n = m n 1 för alla positiva heltal m och n. Mat 1 β, maj 01:6 0. Hur många tal mellan och finns det som, utskrivna på vanligt sätt, dvs. i tiosystemet, innehåller eakt fyra 4-or? Mat 1 A, mar 98: Komplea tal 1. a) Rita mängden av komplea tal z som uppfyller olikheten z + i z 1. b) Ange absolutbeloppet av det komplea talet ( 3 + i) 13 (1 i) 7. c) Ange argumentet av det komplea talet ( 3 + i) 13 (1 i) 7. ) Alg 1, jan 9:. Bestäm realdelen av ( 3 + i) 100. Mat 1 α, nov 00:1 3. Rita i det komplea talplanet mängden M av alla komplea tal z sådana att z och Re z. Ange alla värden arg z antar då z M. Mat 1 α, okt 98: 4. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z + i 1. Ange också det största värdet av z då z M. Mat 1 α, mars 00:1 3

4 5. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z + och Re z = 3. Ange också vilka värden arg z antar då z M. Mat 1 α, nov 99:3 6. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z i < och Im z = 1. Ange också vilka värden arg z antar då z M. Mat 1 α, nov 99:3 7. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z + 1 i 1. Ange också vilka värden argumentet av z antar då z M. Mat 1 α, okt 0:1 8. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z 1 + i 1. Ange också vilka värden z antar då z M. Mat 1 α, nov 0:1 9. Rita i det komplea talplanet mängden M av alla komplea tal z sådana att z 1 1 och z 1 i 1. Ange alla värden Im z antar då z M. Mat 1 α, dec 98:5 30. Ange vilka värden arg z antar då det komplea talet z är sådant att z = och Im z = 1. Ange också värdet av tan π 1. Mat 1 A, nov 98:6 31. Skriv det komplea talet 1 + i i på formen a + ib samt ange dess argument i grader. Använd detta för att visa att 3. Låt θ vara ett godtyckligt reellt tal. tan 15 = 3. Alg 1, aug 89:5 a) Visa att cos 5θ = 16cos 5 θ 0cos 3 θ + 5cos θ. b) Använd resultatet ovan för att bestämma cos π 10. Alg 1, apr 95:8 33. Låt z, w vara två komplea tal som uppfyller w = (z i)/(z +i). Visa att Im z > 0 om och endast om w < 1. Alg 1, jan 97:8 34. Visa att z 1+z < 1 om och endast om Re z > 1 4. Alg 1, nov 94:8 35. Visa att z + 4 z är reellt om z är ett komplet tal, sådant att z =. Mat 1 α, mar 99:6 4

5 36. För vilka komplea tal z är z + 1 z rent imaginärt? Alg 1, maj 9:3 37. Antag att Re z 4 z = 0, där z är ett komplet tal 0. Visa att då gäller z = eller Re z = 0. Alg 1, jan 95:5 38. Visa att mängden M = {z; z z (1 i)z (1 + i) z + = 0} är en cirkel i det komplea talplanet. Ange cirkelns medelpunkt och radie. Alg 1, apr 90:7 39. Vi identifierar de komplea talen med punkter i planet på vanligt sätt. Visa att de punkter, vilkas avstånd till i är dubbelt så stort som deras avstånd till i, är precis de punkter, vilkas avstånd till 3i är lika med. Alg 1, apr 9:7 Polynom och deras nollställen 40. Bestäm på formen a + ib lösningarna till ekvationen z (3 + i)z i = 0. Mat 1 α, aug 03: 41. Lös ekvationen ( + i)z + (8 11i)z 5 5i = 0. Alg 1, maj 91:4 4. Bestäm det komplea talet A så att ekvationen z 4z + A = 0 får roten 1 + i. Bestäm sedan också den andra roten till ekvationen. Mat 1 α, nov 99:1 43. Lös ekvationen z 3 = 1 i 1 + i. Alg 1, aug 90:4 44. För vilka komplea tal z och w är z + (4 4i)z 16i = 0 och w 8 + (4 4i)w 4 16i = 0? Svaren skall anges på polär form. Mat 1 α, okt 98:4 45. För vilka komplea tal z är z 4 8iz 5 = 0? Mat 1 A, nov 97:3 46. Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Mat 1 α, okt 04:1 5

6 47. Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Mat 1 α, aug 04:3 48. Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Mat 1 α, mar 01:1 Mat 1 α, apr 01:1 50. Låt P() var ett polynom som vid division med ( 1) ger resten 5 och vid division med ( + 1) ger resten 3. Vilken rest ger P() vid division med ( 1)? Mat 1 A, apr 98:6 51. Polynomet P() ger vid division med ( 1) resten 1, vid division med ( ) resten och vid division med ( 3) resten 3. Vilken rest ger P() vid division med ( 1)( )( 3)? Mat 1 α, apr 03:6 5. Resten vid division av polynomet p() med z 3 + z + z + 1 är z z + 1. Vidare är p(1) =. Bestäm resten vid division av p(z) med z 4 1. Mat 1 α, apr 00:6 53. Polynomet p(z) ger resten z+3 vid division med z 1 och resten z 1 vid division med z + 1. Ange resten vid division av p(z) med z 4 1. Mat 1 α, nov 03:6 54. Bestäm resten vid polynomdivision av z z med a) z 1, b) z 4 1. Mat 1 α, mar 00:6 55. För vilka positiva heltal n är polynomet 3n n + n 1 delbart med polynomet 3 + 1? Mat 1 α, aug 0:6 56. Polynomen f(z) = z z och g(z) = z 5 z 4 + z 4z har ett gemensamt nolställe. Lös ekvationen g(z) = 0. Alg 1, apr 90:5 57. De två ekvationerna z 4 + z 3 + 5z + 4z + 4 = 0 och z 4 + z 3 + 3z + z + = 0 har minst en gemensam rot. Lös bägge ekvationerna fullständigt. Mat 1 α, nov 00:5 58. Visa att z = 1 är en rot till ekvationen z 3 + (1 4i)z (13 6i)z + 11 i = 0. Lös ekvationen fullständigt. Alg 1, nov 90:4 6

7 59. Visa att i är en rot till ekvationen z 3 + ( 3 + i)z + (3 i)z 1 + 3i = 0, samt bestäm de övriga rötterna på formen a + bi. Mat 1 α, mar 0:5 60. Verifiera att ekvationen z 4 (3 + i)z 3 + ( + 3i)z (3 + i)z i = 0 har rötterna ±i samt bestäm därefter de övriga rötterna på formen a + bi. Mat 1 α, apr 0:5 61. Visa att z = i är en dubbelrot till ekvationen z 4 ( + 4i)z 3 + ( i)z + ( + i)z 10i. Lös sedan ekvationen fullständigt. Alg 1, apr 93:5 6. Talet i är ett nollställe till polynomet p(z) = z 4 (6 + i)z 3 + (11 + 6i)z (6 + 11i)z + 6i. Lös ekvationen p(z) = 0. Alg 1, aug 95:1 63. Ekvationen z 4 z 14z 10 = 0 har roten z = 1 + i. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, mar 99:1 64. Ekvationen z 4 8z z 98z = 0 har roten z = 3 + 5i. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 A, mar 98:3 65. Ekvationen z 4 6z z 18z + 10 = 0 har roten z = 1 + i. Visa att detta är sant samt lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, aug 99:4 66. Ekvationen z 5 7z 4 + 9z 3 57z + 60z 6 = 0 har rötterna z = 1 och z = 1 + i. Bestäm övriga rötter. Mat 1 α, nov 03: 67. Ekvationen z 3 (5 3i)z 15iz i = 0 har en reell rot. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, okt 01:5 68. Ekvationen z 3 + (3 + 5i)z + 15iz i = 0 har en rent imaginär rot z = iy, där y är reellt. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, nov 01:5 69. Lös ekvationen z 4 z 3 8iz + 8i = 0. Mat 1 α, dec 98:3 7

8 70. Visa att om z 4 + 3z 3 z + 3z + 1 = 0 och w = z + 1 z så är w + 3w 4 = 0. Använd detta för att lösa den första ekvationen. Mat 1 α, okt 0:4 71. Lös z 4 3z 3 z 3z + 1 = 0 t e genom att först multiplicera ekvationen med z och sedan införa w = z + z 1. Mat 1 α, nov 0:4 7. Visa att om z 4 6z 3 + 6z + 6z + 1 = 0 och w = z z 1 så är w 6w + 8 = 0. Använd detta för att lösa den första ekvationen. Mat 1 α, aug 01:4 73. Lös ekvationen 74. Visa först att om z 10 + z 8 + z 6 + z 4 + z + = 0. p(z) = z 4 + 3z = (z az + b)(z + az + c) Alg 1 aug 89:7 så är a 6 + 8a 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0. Mat 1 A, mar 97:5 75. Visa först att om p(z) = z 4 + 4z + 3z + 4 = (z az + b)(z + az + c) så är a 6 + 8a 4 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0. Mat 1 A, apr 97:5 76. Visa att om t = ( 5 + ) 1/3 ( 5 ) 1/3 så är t 3 = 4 3t. Använd detta för att bestämma värdet av t. Mat 1 α, okt 04:6 77. Visa att om z = ( 1 + i 3 ) ( ) 1/3 + ( 1 i 3) (10 108) 1/3 så är z 3 = 0 6z. Använd detta för att bestämma värdet av z. Mat 1 α, nov 99:7 Enkla olikheter 78. För vilka reella tal är +1 > +1? Mat 1 A, okt 97:1 79. För vilka reella tal är +1 > +1? Mat 1 A, nov 97:1 80. För vilka reella är 81. För vilka reella är För vilka reella tal är För vilka reella tal är? Mat 1 α, okt 04:? Mat 1 α, nov 04: > 1? Mat 1 α, okt 98:1 1 1? Mat 1 α, nov 98: 8

9 84. Lös olikheten < Mat 1 α, nov 99: 85. Lös olikheten < Mat 1 α, nov 99: Enkla gränsvärden 86. Beräkna 87. Beräkna 88. Beräkna lim sin. lim 0 lim ln(1 + sin 3) Mat 1 A, mar 96: Mat 1 α, nov 00:3 Mat 1 A, apr 96: 89. Beräkna lim 0 e e. Mat 1 A, aug 96: 90. Beräkna gränsvärdet av ( + 1) både då och då 0. Mat 1 A, mar 97: 91. Beräkna gränsvärdet av ( + 1) både då och då 0. Mat 1 A, apr 97: 9. Sätt f() = ln 1 + då > 0. a) Hur skall f(0) definieras för att f() skall bli kontinuerlig då 0? b) Beräkna högerderivatan f + (0) av funktionen f. Mat 1 α, okt 0:6 93. Sätt f() = ( ln ) 1 + då > 0. 9

10 a) Hur skall f(0) definieras för att f() skall bli kontinuerlig då 0? b) Beräkna högerderivatan f +(0). c) Undersök om derivatan f () är kontinuerlig då 0 < 1. d) Är f() deriverbar då = 1? 94. Funktionen f defineras på R genom f(0) = 0 och Mat 1 α, nov 0:7 f() = 1 cos för 0. För 0 är f uppenbarligen deriverbar, såsom kvot av elementära funktioner. Visa att f är deriverbar även i origo, och att derivatan f är kontinuerlig där. Mat 1 A, apr 98:7 95. Bestäm den sneda asymptoten då ± till funktionen f() = Bestäm också de för vilka kurvan y = f() ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, mar 04: 96. Bestäm den sneda asymptoten då ± till funktionen f() = Bestäm också de för vilka kurvan y = f() ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, apr 04: 97. Bestäm den sneda asymptoten då ± till funktionen f() = Bestäm också de för vilka kurvan y = f() ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, aug 04: 98. Visa att kurvan y = har en asymptot då och ange en ekvation för den. Mat 1 α, mar 00:3 99. Visa att kurvan y = 3 + har en asymptot då och ange en ekvation för den. Mat 1 α, apr 00: Ange samtliga asymptoter till kurvan y = sin. Mat 1 α, aug 00:5 10

11 101. Visa att talföljden (a n ) n=1 är konvergent och beräkna dess gränsvärde, då a n = n k=n+1 n 4 + k 4n 5 + k. Mat 1 A, mar 98:6 10. En talföljd (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 och a n+1 = 3a n för n 0. Visa att följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde. Mat 1 A, apr 98: Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a b. Definiera talföljderna (a n ) 0 och (b n ) 0 genom a 0 = a, b 0 = b och Visa först att för n = 0,1,,... är a n+1 = a nb n och b n+1 = a n + b n. a n + b n 0 < a n b n, b n+1 b n, a n b n = ab och a n+1 a n och sedan att talföljderna båda konvergerar mot det gemensamma gränsvärdet ab. Mat 1α, okt 04: Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a b. Definiera talföljderna (a n ) 0 och (b n ) 0 genom a 0 = a, b 0 = b och Visa att för n = 0,1,,... är a n+1 = a nb n och b n+1 = a n + b n. a n + b n a n = ab 1 qn 1 + q n och b n = ab 1 + qn 1 q n med 0 < q < b a b + a < 1, och därmed att talföljderna (a n ) 0 och (b n) 0 båda konvergerar mot ab. Visa sedan att ab = an + e n där 0 < e n < abq n. Anm. Speciellt ger detta med startvärdena a = 1/5, b = 1/4 att ab = 5/10 = an + e n där 0 < e n < 1 17 n < 1 10 n. Som eempel, för n = 5 innebär detta att a 5 underskattar 5/10 med ett fel e 5 < Alltså ger a 5 en approimation av 5/10 med minst 3 korrekta decimaler. Nästa värde a 6 ger minst 64 korrekta decimaler (så kallas kvadratisk konvergens!). Mat 1α, nov 04:6 Användning av derivator 105. Låt f() = arctan 1 arctan 1 1. a) Beräkna f (). b) Bestäm lim 1+ f() respektive lim 1 f() 11

12 c) Vad är f() då < 1, 1 < < 1 respektive > 1? Analys 1, dec 94: Visa att arctan 1 = arctan + C då > 0 där C är en konstant. Bestäm också konstantens värde. Analys 1, aug 89: Visa att den kontinuerliga funktionen f() = arctan( + 1) + arcsin 1 är konstant då 1 genom att beräkna derivatan f () då > 1. Bestäm sedan det konstanta värdet och ange slutligen det eakta värdet av arctan( + 3). Mat 1 α, mar 04: Visa att den kontinuerliga funktionen f() = arctan( 1) + arctan 1 är konstant då 1 genom att beräkna derivatan f () då > 1. Bestäm sedan det konstanta värdet och ange slutligen det eakta värdet av arctan( 3). Mat 1 α, apr 04: Bestäm först en ekvation för tangenten till kurvan y = i punkten (a,a ) och därefter en ekvation för tangenten till kurvan y = 1 i punkten (b, 1 b ), b 0. Bestäm sedan värden på a och b så att de betraktade tangenterna sammanfaller och ange en ekvation för den linje som tangerar de båda kurvorna. Mat 1 α, mar 03: Kurvorna y = 3 och y = 4 3 har förutom -aeln ytterligare en gemensam tangent. Bestäm dennas ekvation. Mat 1 A, aug 98: Det finns en linje som tangerar kurvan y = + 4 i två olika punkter. Bestäm en ekvation för denna linje. Mat 1 α, apr 03:7 11. Rita kurvan 113. Undersök funktionen y = 11arctan + 3ln 1 +. Analys 1, aug 96:4 f() = ln(1 + ), R med avseende på lokala etrempunkter samt skissera dess graf. Mat 1 A, apr 96: Rita grafen till funktionen f() = /3 på intervallet [ 1,]. Ange samtliga lokala etrempunkter, samt var funktionen är konve eller konkav på intervallet. Mat 1 α, dec 98:4 1

13 115. Rita kurvan y = 3 arctan. 1 + Ange eventuella asymptoter, lokala etremvärden och intervall där kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, okt 98: Rita kurvan y = 3arctan + ln(1 + ). Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala etremvärden samt var kurvan är konve och var den är konkav. Mat 1 α, mar 99: Rita kurvan y = Ange särskilt eventuella asymptoter, lokal etremvärden och infleionspunkter. Mat 1 α, nov 98: Rita kurvan y = e e +. Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala etrempunkter. Mat 1 α, nov 03: Skissera grafen till funktionen f() = +. Ange särskilt lokala etrempunkter, ungefärliga skärningar med -aeln samt eventuella asymptoter. Analys 1, jan 96:7 10. Rita kurvan y = 1 ln( + 1) + arctan 1 1. Ange särskilt eventuella lokala etrempunkter och asymptoter. Analys 1, maj 95:5 11. Rita kurvan y = f() = = genom att i tur och ordning visa att = g(), a) y-aeln är lodrät asymptot, b) f() är strängt väande då < 0, c) g(), och därmed f(), har precis ett nollställe mellan och 1, d) f () = ( 1)h() 3, där h() = > 0 då > 0, e) f() har ett lokalt minimum lika med 0 då = Rita kurvan y = f() = = , genom att i tur och ordning visa att a) y-aeln är lodrät asymptot, b) y = är sned asymptot då ±, Mat 1 α, okt 0:5 13

14 c) f() är strängt väande då < 0, d) f() har ett lokalt minimum då =, e) f() är konve då < 0 och då > 0 Mat 1 α, nov 0:5 13. a) Rita kurvan y = f() = b) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a,f(a)) till kurvan. c) Bestäm alla skärningspunkter mellan tangenten och kurvan. d) För vilka a är tangenten också normal till kurvan? Mat 1 α, mar 01:6 14. a) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a,f(a)) till kurvan y = f() = b) Visa att -koordinaten för eventuella skärningar, förutom = a, mellan denna tangent och kurvan ges av + a + 3a 8 = 0. c) Bestäm för alla reella a antalet skärningspunkter mellan tangenten i (a, f(a)) och kurvan y = f(). Mat 1 α, apr 01:7 15. a) Visa att y = är en sned asymptot till den udda funktionen f() = , 0 både då och då. b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = och kurvan y = f(). Mat 1 α, okt 04:4 16. a) Visa att den jämna funktionen g() = = ( 6 = 1 ) för 0 har derivatan g () = (4 1)( 4 + 3) 7. g() b) Rita kurvan y = g() med angivande av samtliga asymptoter. Mat 1 α, okt 04:5 17. a) Visa att y = + 1 är en sned asymptot till funktionen f() = , 0 både då och då. 14

15 b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = + 1 och kurvan y = f(). Mat 1 α, nov 04:4 18. a) Visa att g() = = = för 0 har derivatan g () = (3 1)( + 1) 3. g() b) Rita kurvan y = g() med angivande av samtliga asymptoter. Mat 1 α, nov 04:5 19. En talföljd (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 och a n+1 = 3a n 1 + a n för n = 0,1,,.... Visa att följden är konvergent och bestäm lim n a n. Analys 1, dec 91: Talföljden (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 och a n+1 = 1 + a n n = 0,1,,.... Visa att följden är konvergent och bestäm lim n a n. Analys 1, jun 9: Låt funktionen f vara kontinuerlig i det kompakta intervallet [a,b] och sådan att Definiera talföljden (a n ) n=0 genom Visa att a < f() < då a < b. a 0 = b och a n+1 = f(a n ) för n = 0,1,, a n konvergerar mot a då n.. 0 < a n+1 a k(a n a) då a n a δ, om f dessutom är deriverbar och f () k då a a + δ för något δ > 0 med a + δ b. Analys 1, dec 93:8 13. Talföljden (a n ) n=0 definieras av a 0 = 0 och a n+1 = 7 + a n 1 för n = 0,1,,.... Visa att följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde. Analys 1,dec 9: a) Talföljden (a n ) 1 ges av a n+1 = + a n, a 1 = 1 9. Visa att följden konvergerar och bestäm gränsvärdet. 15

16 b) Vad händer om vi istället väljer a 1 = 9? Analys 1, dec 88: Definiera talföljden (a n ) n=0 genom a 0 = 1, och a n+1 = a n a n + b då n = 0,1,,..., där b är en konstant, b < 1. Visa att talföljden konvergerar och bestäm dess gränsvärde. Analys 1, jun 91: Visa att talföljden (a n ) 0, definierad genom a 0 = 1, och a n+1 = 1 + a n 4a n n = 0,1,,..., är konvergent och bestäm gränsvärdet. (Studera a n för udda och för jämna n.) Analys 1, aug 94: Visa att + 18ln + 11 > 1 då > 1. Analys 1, nov 96: För vilka värden på den reella konstanten a gäller att a för alla 0? Analys 1, nov 96: 138. Visa att > e 1 e + 1 då > 0. Analys 1, aug 94: Visa att ln då 1. Mat 1 α, apr 99: Visa att ln(1 + ) + (1 + ) då 0. Mat 1 α, aug 99: Visa att sin + tan > då 0 < < π. Mat 1 α, apr 0:6 14. Visa att arctan > 1 + /3 för > 0. Analys 1, maj 94: 16

17 143. Visa att sintan + ln cos > 0 då 0 < < π. Analys 1, dec 93: Visa att tan + ln(cos ) > 0 då 0 < < π Visa att e < e 1 för > 0. Analys 1, dec 90:4 Analys 1, dec 90: Visa att < arctan 1 < + 1 då > 0. Analys 1, jun 88: Visa att funktionen ( ln ) ( + 1 ) 1 är avtagande för > 0 och att e < ( ) + 1, då > 0. Analys 1, jan 85: Visa att funktionen ( ( + ) 1/ ln ) är strängt avtagande för > 0 och att ( ) + < e. Analys 1, dec 86: Visa att e < ( ) ++1/1 då > Visa att om > 0 så är ln( + 1) ln = 1 + θ där 0 < θ < 1. Analys 1, jan 87:8 Analys 1, jan 83: För vilka värden på den reella konstanten a gäller för något δ > 0 olikheten (1 + ) a > när 0 < < δ? Analys 1, jan 94:8 17

18 15. Bestäm värdemängden till funktionen f() = arctan ln(1 + ), R. Mat 1 A, aug 98: Bestäm värdemängden till funktionen f() = π 1 arctan, 0. Mat 1 A, mar 98: Bestäm värdemängden till funktionen f() = ( )e R Vilka värden antar 156. Vilka värden antar y = ( 3 + 3)e då 1? y = ( )e då 1? Mat 1 α, mar 01: Mat 1 α, apr 01: Mat 1 α, aug 01: 157. Vilka värden antar y = ( 3 + 3)e då 3? Mat 1 α, nov 04: Vilka värden antar y = + 81 då 0 < < 9? Mat 1 A, apr 97: Bestäm största och minsta värde av funktionen f() = 3 3 på intervallet [0,3] Mat 1 A, mar 98: En rektangel har ena sidan på -aeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Bestäm största möjliga värde på rektangelns area. Mat 1 A, nov 96: 161. En rektangel har ena sidan på -aeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Vilka värden kan rektangelns omkrets antaga? Mat 1 A, mar 97:4 16. Tangenten till kurvan y = e + 1, i en punkt P på kurvan, avgränsar tillsammans med -aeln och den lodräta linjen genom P ett triangulärt område. Bestäm P så att arean av detta område blir så liten som möjligt. Mat 1 α, apr 99:7 18

19 163. Normalen till kurvan y = 1 cosh i den punkt (,y) på kurvan där = a, linjen = a och -aeln avgränsar tillsammans ett triangulärt område. Ange a > 0 så att detta får största möjliga area. Vi påminner om att cosh = e + e, sinh = e e. Analys 1, maj 96: Låt a och b vara positiva tal. Bestäm längden av den kortaste sträcka som går genom origo och har sin ena ändpunkt på linjen = a och sin andra på linjen y = b. Mat 1 α, okt 01: Bestäm längden av den kortaste sträcka som går genom origo och har sin ena ändpunkt på linjen y = och sin andra på linjen = 3. Mat 1 α, nov 01: I ett koordinatsystem är A = (0,1) och B = (0,). Var på positiva -aeln ska punkten P ligga för att vinkeln APB ska bli maimal? Analys 1, maj 9: Bestäm antalet reella rötter till ekvationen 1 arctan + ( + 1) = 4. Analys 1, jun 91: Bestäm antalet reella rötter till ekvationen arctan = 1. Mat 1 α, okt 01: Ange antalet reella rötter till ekvationen arctan = 4 5. Mat 1 α, apr 00: Ange antalet reella rötter till ekvationen ln 1 = 0. Mat 1 A, aug 96: Hur många gemensamma punkter har kurvan y = med parabeln y =? Analys 1, dec 86:4 17. Bestäm antalet lösningar till ekvationen e 3 +4 = a både då a = 1 18 och då a = Mat 1 A, okt 97:4 19

20 173. För vilka värden på den reella konstanten a saknar ekvationen 3 4 ln = a reella lösningar? Mat 1 A, nov 97: Låt p() vara ett reellt polynom av grad n. Visa att ekvationerna p() = ln, > 0 och p() = ln, 0 har högst n + 1 respektive n + reella rötter. Analys 1, jan 96: Hur många lösningar har ekvationen e + e = k för olika val av den reella konstanten k? Analys 1, jan 83: 176. Bestäm antalet rella rötter till ekvationen e = + a för alla reella värden på konstanten a. Mat 1 α, nov 00: Bestäm för varje värde på det reella talet a antalet lösningar till ekvationen ln = a, > 0. Mat 1 α, apr 03: Hur många lösningar har ekvationen 4 k = 0 för olika k-värden? Analys 1, dec 89: Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet skärningspunkter mellan kurvan y = och parabeln y = a. Analys 1, maj 90: Rita kurvan y = f() = Ange också i vilka intervall kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, mar 04: För vilka reella a är funktionen y = f() = a. + 1 väande på hela reella aeln? Mat 1 α, mar 04:7 18. Rita kurvan y = f() = Ange också i vilka intervall kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, apr 04:5 0

21 183. För vilka reella a är funktionen y = f() = a. + 1 väande på hela reella aeln? Mat 1 α, apr 04: Rita kurvan y = f() = Ange också i vilka intervall kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, aug 04: För vilka positiva a är funktionen y = f() = a väande på hela reella aeln? Mat 1 α, aug 04: För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen f() = + a + 1 konve på hela reella aeln? Mat 1 A, mar 97: För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen f() = + a + 1 konve på hela reella aeln? Mat 1 A, apr 97: Ange för varje värde på den positiva konstanten a antalet punkter på kurvan y = 4ln 3 som har avståndet a till origo i ett ortonormerat koordinatsystem. Analys 1, jun 93: Hur många lokala etrempunkter har funktionen f() = + a + 1, 0 för olika val av den reella konstanten a? Analys 1, jan 85: Bestäm för varje värde på konstanten a antalet lokala etremvärden till kurvan y = ( + 1)arctan + a a) Ange tangenten till kurvan y = i den punkt på kurvan där = a. Analys 1, maj 89:8 1

22 b) För vilka värden på b skär en tangent till kurvan y-aeln i den punkt där b = 0? Analys 1, aug 89:6 19. Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet tangenter till kurvan y = e som skär -aeln då = a. Analys 1, jun 90: Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet linjer som går genom punkten (0,a) och tangerar kurvan y = ln( + ) i någon punkt. Mat 1 α, nov 03: Genom vilka punkter på y-aeln går det precis en tangent till kurvan y = ln? Mat 1 α, aug 03: Genom vilka punkter på -aeln går det precis två tangenter till kurvan y = e? Mat 1 α, nov 98: a) Rita kurvan y = ln, > 0. b) Ange normalen till kurvan i punkten (a,aln a), a > 0. c) Bestäm för varje punkt (k,0) på -aeln antalet normaler som går genom denna punkt. Analys 1, maj 88: Genom vilken punkt på y-aeln går precis tre normaler till kurvan y = 4? Analys 1, aug 96: Låt f vara en konve funktion, definierad för 0, och antag att f(0) 0. Visa att om funktionen g definieras för > 0 genom g() = f() så är g väande för > 0.

23 Svar 1. a) 3, b) 3.. a) 53 74, b) 47 delar inte a) Lösning saknas. b) = 4 + 9n, y = 11 5n där n Z. 4. = 117 3n, y = n där n Z. 5. = n, y = n där n Z. 6. = n, y = n där n Z. 7. = n, y = n där n Z. Den enda positiva lösningen är (,y) = (3,1). 8. Lösningarna är (8, ), ( 8, ), (8, ), ( 8, ), (4, 5), ( 4, 5), (4, 5) och ( 4, 5). 9. Lösningarna är (9,11), ( 9,11), (9, 11), ( 9, 11), (1,8), ( 1,8), (1, 8) och ( 1, 8). 10. = n, y = 10 13n, z = 5 + 7n, n Z. 11. c = 14. Lösningarna är (,y) = ( n, 7n), n Z stycken. 1. a) Halvplanet ovanför och på linjen Re z + Im z = 0. b) 33. c) 5π Högra halvan av den slutna cirkelskivan med medelpunkt och radie. arg z varierar i intervallet [ π 4, π 4 ]. 4. Sluten cirkelskiva med medelpunkt i och radie 1. Största värdet av z är Sluten sträcka med ändpunkter 3 i 3 och 3 + i 3. 5π 6 arg z 7π Öppen sträcka med ändpunkter 3 + i och 3 + i. π 6 < arg z < 5π Sluten cirkelskiva med medelpunkt 1 + i och radie 1. π arg z π. 8. Sluten cirkelskiva med medelpunkt 1 i och radie 1. 1 z Im z arg z = π 1 eller 5π 1. tan π 1 = i 3 1. Argumentet är cos π 10 =

24 36. Uttrycket är rent imaginärt om och endast om Re z = Im z. 38. Medelpunkt 1 + i, radie Rötterna är + i och 1 + i. 41. Rötterna är + i och 1 + 5i. 4. A = 4 + i. Rötterna är 3 i och 1 + i 43. Rötterna är i och ± 3 i. 44. w = e i( π 8 +k π ) eller w = e i( π 4 +k π ), k = 0,1,,3. z = 4i eller z = 4 = 4e iπ. 45. ±( + i) och ±(1 + i) (z3 + 5z 3z + 5). 53. z + z a) 3. b) z ,3,4,5,7,8,9,11,1, 13,15,..., dvs för alla positiva heltal som inte är av formen 4k Rötterna är 0, och 3 e i (k+1)π 3, k = 0,1,. 57. Den första ekvationen har dubbelrötterna 1 ± 7 1 ± 7 i och ±i. 58. Rötterna är 1, + i och 4 + 3i. 59. z 1 = i, z = i, z 3 = 1 + i. 60. Övriga rötter är + i och 1 + i. 61. De två övriga rötterna är 1 + 3i och 3 i. 6. Rötterna är 1,, 3 och i. 63. Rötterna är 1 ± i och 1 ± Rötterna är 3 + 5i, 3 5i, 1 + i och 1 i 65. Rötterna är 1 ± i och ± i. 66. Rötterna är 1, 1 ± i och ± 3i. i, den andra har enkelrötterna 4

25 67. Rötterna är 4, i och 1 i. 68. Rötterna är 4i, 1 i och + i. 69. Rötterna är 1 och e ( π 6 +nπ 3 ), n = 0,1,. 70. z 1, = ± 3, z 3,4 = 1±i z 1, = ± 3, z 3,4 = 1±i z 1, = 1 ±, z 3,4 = ± Rötterna är ±i och 8 e i(±3π 16 +k π ), k = o,1,, Nollställena till p är 1±i 7 och 1± Nollställena till p är 1±i 15 och 1±i t = z har värdet 1 + 3i. 78. > 1 och < 1 eller > < eller 1 < eller < 0 eller < > 1 eller 1 < < < 1 eller > > 1 eller 1 < < > 1 eller < Gränsvärdet är då och 1 då Gränsvärdet är 1 då och då f(0) = 0, f +(0) = a) f(0) = 0 b) f + (0) = 0 c) f är kontinuerlig på [0,1). d) f är inte deriverbar i Asymptot y = + då ±. Grafen ligger ovanför asymptoten då > Asymptot y = + då ±. Grafen ligger ovanför asymptoten då > 1. 5

26 97. Asymptot y = då ±. Grafen ligger ovanför asymptoten då > y = y = y = + och = lim n a n = lim n a n = a) 0. b) π 4 resp. 3π 4. c) π 4, 3π 4 resp π C = π f() π, arctan( + 3) = 5π f() π, arctan( 3) = π a =, b = y = y = Lokal minimipunkt (1, 1 ln ), lokal maimipunkt (0,0) Lokala minimipunkter ( 1, ) och ( 8 7, 4 7 ). Lokala maimipunkter (0,0) och (, /3 ), funktionen är konve i [ 1,0] och i [0,] Lokal minimipunkt (1, π 1 π 1 ). Lokal maimipunkt ( 1, ). Asymptoter y = π då och y = + π då Lokalt minimum i ( 3 4, 3arctan ln 16 ). Funktionen är konkav i (, ] och i [ 1, ), konve i [, 1 ]. Asymptoter saknas y = 1 är asymptot då, y = 3 1 är asymptot då. Lokalt minimum (, ). Infleionspunkter saknas, kurvan är konve Asymptoter är linjerna y = 1 och y = 1. Maimum i (0,1) och lokalt minimum i (, e 4 e +4 ). 4 (e ln ) 119. Lokalt minimum 1 då = 0, lokalt maimum då = 4+(e ln ) ln. Tre skärningar med -aeln: 1 = 4, = och 3 mellan 1 och 0. Asymptoter y = 1 då och y = 1 då. 10. Lokalt minimivärde π 4 då = 1 asymptoter saknas. 13. b) y = a a + (3a 4 3 )( a). c) Skärningspunkterna är (a, f(a)) och ( a, f( a)). d) För a = ± a) y = f(a) + f (a)( a). c) En skärningspunkt då a >, två då a = eller a = 3, tre för övrigt. 6

27 15. b) Fyra skärningspunkter. 16. b) Asymptoter y = då och y = då. Minimipunkter (±1,1) Kurvan skär asymptoterna då = ±1 och då =. 17. b) Inga skärningspunkter. 18. b) Asymptoter y = + 1 då och y = 1. Vidare är = 0 lodrät asymptot. Kurvan skär inte någon av asymptoterna. Lokala minimipunkter är ( 1,1) och (1,3). 19. lim n a n = lim n a n =. 13. lim n a n = a) lim n a n = 4 (följden är väande). b) lim n a n = 4 (följden är avtagande) lim n a n = 1 b lim n a n = a a f() π ln f() < 0 eller f() > π f() > y 7 e. (Observera att 7 e < e, ty e > (,7) = 7,9 > 7.) < y < y 3 4 e3/. (Observera att 3 4 e3/ > 3 e 3/ > 4 e 3 > 16 vilket är sant eftersom e 3 > 7e > 7,5 = 17,5 > 16) < y resp < omkretsen P = (ln,) a = 1 ln (a /3 + b /3 ) 3/ =. 7

28 167. Två Två Tre En En. 17. Två då a = 1 18 och fyra då a = a < Två om 1 < k < k 1, en om 1 < k 1 eller k = k 1, ingen om k 1 eller k > k 1, där k 1 = e+1 e Inga om a < 1, en om a = 1 och två om a > Ingen lösning om a > 1 e, en lösning om a = 1 e 0 < a < 1 e. eller om a 0, två lösningar om 178. Två då k > k 1 eller k < k, tre då k = k 1 eller k och fyra då k < k < k 1. Här är k 1 = 14 3 och k = En om a > a 1 eller a 3 < a < a, två om a = a 1 eller a eller a 3, tre om a < a < a 1 eller a < a 3, där a 1 = 5, a = 19 4 och a 3 = Funktionen f är strängt väande på hela R med en terrasspunkt (1, 5), vidare är f konve för 1 och för Funktionen är konkav för 3 och för Dessutom ligger kurvan y = f() över sin asymptot y = + (jämför uppg. 95!) precis då > a Funktionen f är strängt väande på hela R med en terrasspunkt ( 1, 1), vidare är f konve för + 3 och för 1 3. Funktionen är konkav för 1 och för Dessutom ligger kurvan y = f() över sin asymptot y = + (jämför uppg. 96!) precis då > a = Funktionen f är strängt väande då 1 (terrasspunkt i (, 6)), strängt avtagande då 1 3 och strängt väande då 3. Det lokala maimivärdet i = 1 är och det lokala minimivärdet i 3 är 10. Vidare är f konkav för och för Funktionen är konve för och för Dessutom ligger kurvan y = f() ovanför sin asymptot y = (jämför uppg. 97!) precis då > 185. a a a

29 188. En då 0 < a < a 1 eller a > a, två då a = a 1 eller a = a, tre då a 1 < a < a. Här är a 1 = 3 e 1/4 och a = e 3/ Tre om a > 3, en om a Inget då a a 1, ett då a a och två då a 1 < a < a. Här är a 1 = π och a = π a) y = a (1+a ) ( a) a b) 0 < b Tre om a a 1, två om a = a 1 och en om a < a 1, där a 1 = Två då a > ln eller a = ln 4 1, tre då a = ln, fyra då ln 4 1 < a < ln och ingen då a < ln (0,e 3/ ) samt (0,y) för y = ± a) Lokalt minimum 1 e då = 1 e. b) a + (1 + ln a)(y aln a) = 0. c) Ingen då k 0, en då 0 < k < k 1 eller k > k, två då k = k 1 eller k = k och tre då k 1 < k < k där k 1 = 1 e och k = 3 e y =

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde) GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion y f () undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med och y-aeln, gränsvärdena f ( ), f ( )

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x). Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform. Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Om komplexa tal och funktioner

Om komplexa tal och funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y), Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) 0 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna sidan AC p Bestäm f ( 0 ) då f ( ) ( ) p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ) 6. Ange även om det är

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt

Läs mer

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,... Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.:

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats.

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Funktioner: lösningar

Funktioner: lösningar Funktioner: lösningar 6. Sätt 1 = t 7. Också strängt väande: f (t) = 1 (1 t) = = 1 1+t t = = t t 8. Återigen strängt väande: T.e. a < b g (a) < g(b) f (g (a)) < f (g (b)) a < b g (a) > g(b) f (g (a))

Läs mer

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Arcusfunktioner ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER. Potenser och logaritmer

Arcusfunktioner ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER. Potenser och logaritmer ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER Ärligt talat, så tvivlar jag på att de här kommer att upplevas som mycket lättare än gårdagens, men jag tycker ändå att de är värda att ägna litet tid åt (när man

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer