Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tentamensuppgifter, Matematik 1 α"

Transkript

1 Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345, b) 4941 och 463 Mat 1 α, aug 01:1. a) Förkorta bråket så långt som möjligt. b) Hur vet man att ekvationen y = 161 saknar heltalslösningar (,y)? Mat 1 α, april 0:1 3. Avgör om följande diofantiska ekvationer har lösningar och ange i så fall samtliga lösningar. a) y = 1. b) 5 + 9y = Lös den diofantiska ekvationen 5. Lös den diofantiska ekvationen 6. Lös den diofantiska ekvationen y = y = y = 34. Mat 1 α, mars 00: Mat 1 α, dec 98:1 Mat 1 α, aug 99: Mat 1 α, nov 00:4 1

2 7. Lös den diofantiska ekvationen y = 47. Ange särskilt de lösningar (,y), för vilka > 0 och y > 0. Mat 1 α, okt 01: 8. Bestäm alla heltal och y som uppfyller y = Bestäm alla par (,y) av heltal sådana att 10. Finn alla heltalslösningar till systemet y = { + 17y 11z = 8 + 4y + z = Ange det minsta positiva heltal c, för vilket den diofantiska ekvationen y = 7 93c Alg 1, nov 95:7 Mat 1 α, nov 03:6 Alg 1, april 91:6 har en lösning (,y). Ange för detta värde på c samtliga lösningar (,y). Mat 1 α, aug 00:7 Induktion och kombinatorik 1. Visa att 1 + ( ) + ( + ) ( n 1 + (n 1) ) = ( n (n 1) ) för n =,3,... Mat 1 A, okt 97:3 13. Visa att n 3 n = (n 1) 3n för varje positivt heltal n. Mat 1 β, dec 99: 14. Visa att n n = + n n för varje positivt heltal n. Mat 1 β, jan 00: 15. Visa att n k=1 k(k + ) = 3 1 n n +, n = 1,,3,.... Mat 1 β, aug 03:1

3 16. Visa att n k=1 1 k(k + 1)(k + ) = n(n + 3) 4(n + 1)(n + ), n = 1,,3,.... Mat 1 β, jun 03:1 17. Visa att ( 3 3 ) + ( 4 3 ) ( ) ( n ) = ( n 4 ) för n = 4,5,6,.... Mat 1 A, mar 97:3 18. Bevisa att ( ) + ( 3 ) ( 4 + ) ( n ) > n3 6 för n = 1,,3,.... Mat 1 A, apr 97:4 19. Visa att n k=1 ( m + k 1 k k ) ( m + n = m n 1 för alla positiva heltal m och n. Mat 1 β, maj 01:6 0. Hur många tal mellan och finns det som, utskrivna på vanligt sätt, dvs. i tiosystemet, innehåller eakt fyra 4-or? Mat 1 A, mar 98: Komplea tal 1. a) Rita mängden av komplea tal z som uppfyller olikheten z + i z 1. b) Ange absolutbeloppet av det komplea talet ( 3 + i) 13 (1 i) 7. c) Ange argumentet av det komplea talet ( 3 + i) 13 (1 i) 7. ) Alg 1, jan 9:. Bestäm realdelen av ( 3 + i) 100. Mat 1 α, nov 00:1 3. Rita i det komplea talplanet mängden M av alla komplea tal z sådana att z och Re z. Ange alla värden arg z antar då z M. Mat 1 α, okt 98: 4. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z + i 1. Ange också det största värdet av z då z M. Mat 1 α, mars 00:1 3

4 5. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z + och Re z = 3. Ange också vilka värden arg z antar då z M. Mat 1 α, nov 99:3 6. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z i < och Im z = 1. Ange också vilka värden arg z antar då z M. Mat 1 α, nov 99:3 7. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z + 1 i 1. Ange också vilka värden argumentet av z antar då z M. Mat 1 α, okt 0:1 8. Rita mängden M av komplea tal z, sådana att z 1 + i 1. Ange också vilka värden z antar då z M. Mat 1 α, nov 0:1 9. Rita i det komplea talplanet mängden M av alla komplea tal z sådana att z 1 1 och z 1 i 1. Ange alla värden Im z antar då z M. Mat 1 α, dec 98:5 30. Ange vilka värden arg z antar då det komplea talet z är sådant att z = och Im z = 1. Ange också värdet av tan π 1. Mat 1 A, nov 98:6 31. Skriv det komplea talet 1 + i i på formen a + ib samt ange dess argument i grader. Använd detta för att visa att 3. Låt θ vara ett godtyckligt reellt tal. tan 15 = 3. Alg 1, aug 89:5 a) Visa att cos 5θ = 16cos 5 θ 0cos 3 θ + 5cos θ. b) Använd resultatet ovan för att bestämma cos π 10. Alg 1, apr 95:8 33. Låt z, w vara två komplea tal som uppfyller w = (z i)/(z +i). Visa att Im z > 0 om och endast om w < 1. Alg 1, jan 97:8 34. Visa att z 1+z < 1 om och endast om Re z > 1 4. Alg 1, nov 94:8 35. Visa att z + 4 z är reellt om z är ett komplet tal, sådant att z =. Mat 1 α, mar 99:6 4

5 36. För vilka komplea tal z är z + 1 z rent imaginärt? Alg 1, maj 9:3 37. Antag att Re z 4 z = 0, där z är ett komplet tal 0. Visa att då gäller z = eller Re z = 0. Alg 1, jan 95:5 38. Visa att mängden M = {z; z z (1 i)z (1 + i) z + = 0} är en cirkel i det komplea talplanet. Ange cirkelns medelpunkt och radie. Alg 1, apr 90:7 39. Vi identifierar de komplea talen med punkter i planet på vanligt sätt. Visa att de punkter, vilkas avstånd till i är dubbelt så stort som deras avstånd till i, är precis de punkter, vilkas avstånd till 3i är lika med. Alg 1, apr 9:7 Polynom och deras nollställen 40. Bestäm på formen a + ib lösningarna till ekvationen z (3 + i)z i = 0. Mat 1 α, aug 03: 41. Lös ekvationen ( + i)z + (8 11i)z 5 5i = 0. Alg 1, maj 91:4 4. Bestäm det komplea talet A så att ekvationen z 4z + A = 0 får roten 1 + i. Bestäm sedan också den andra roten till ekvationen. Mat 1 α, nov 99:1 43. Lös ekvationen z 3 = 1 i 1 + i. Alg 1, aug 90:4 44. För vilka komplea tal z och w är z + (4 4i)z 16i = 0 och w 8 + (4 4i)w 4 16i = 0? Svaren skall anges på polär form. Mat 1 α, okt 98:4 45. För vilka komplea tal z är z 4 8iz 5 = 0? Mat 1 A, nov 97:3 46. Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Mat 1 α, okt 04:1 5

6 47. Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Mat 1 α, aug 04:3 48. Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Bestäm en största gemensam delare till polynomen och Mat 1 α, mar 01:1 Mat 1 α, apr 01:1 50. Låt P() var ett polynom som vid division med ( 1) ger resten 5 och vid division med ( + 1) ger resten 3. Vilken rest ger P() vid division med ( 1)? Mat 1 A, apr 98:6 51. Polynomet P() ger vid division med ( 1) resten 1, vid division med ( ) resten och vid division med ( 3) resten 3. Vilken rest ger P() vid division med ( 1)( )( 3)? Mat 1 α, apr 03:6 5. Resten vid division av polynomet p() med z 3 + z + z + 1 är z z + 1. Vidare är p(1) =. Bestäm resten vid division av p(z) med z 4 1. Mat 1 α, apr 00:6 53. Polynomet p(z) ger resten z+3 vid division med z 1 och resten z 1 vid division med z + 1. Ange resten vid division av p(z) med z 4 1. Mat 1 α, nov 03:6 54. Bestäm resten vid polynomdivision av z z med a) z 1, b) z 4 1. Mat 1 α, mar 00:6 55. För vilka positiva heltal n är polynomet 3n n + n 1 delbart med polynomet 3 + 1? Mat 1 α, aug 0:6 56. Polynomen f(z) = z z och g(z) = z 5 z 4 + z 4z har ett gemensamt nolställe. Lös ekvationen g(z) = 0. Alg 1, apr 90:5 57. De två ekvationerna z 4 + z 3 + 5z + 4z + 4 = 0 och z 4 + z 3 + 3z + z + = 0 har minst en gemensam rot. Lös bägge ekvationerna fullständigt. Mat 1 α, nov 00:5 58. Visa att z = 1 är en rot till ekvationen z 3 + (1 4i)z (13 6i)z + 11 i = 0. Lös ekvationen fullständigt. Alg 1, nov 90:4 6

7 59. Visa att i är en rot till ekvationen z 3 + ( 3 + i)z + (3 i)z 1 + 3i = 0, samt bestäm de övriga rötterna på formen a + bi. Mat 1 α, mar 0:5 60. Verifiera att ekvationen z 4 (3 + i)z 3 + ( + 3i)z (3 + i)z i = 0 har rötterna ±i samt bestäm därefter de övriga rötterna på formen a + bi. Mat 1 α, apr 0:5 61. Visa att z = i är en dubbelrot till ekvationen z 4 ( + 4i)z 3 + ( i)z + ( + i)z 10i. Lös sedan ekvationen fullständigt. Alg 1, apr 93:5 6. Talet i är ett nollställe till polynomet p(z) = z 4 (6 + i)z 3 + (11 + 6i)z (6 + 11i)z + 6i. Lös ekvationen p(z) = 0. Alg 1, aug 95:1 63. Ekvationen z 4 z 14z 10 = 0 har roten z = 1 + i. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, mar 99:1 64. Ekvationen z 4 8z z 98z = 0 har roten z = 3 + 5i. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 A, mar 98:3 65. Ekvationen z 4 6z z 18z + 10 = 0 har roten z = 1 + i. Visa att detta är sant samt lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, aug 99:4 66. Ekvationen z 5 7z 4 + 9z 3 57z + 60z 6 = 0 har rötterna z = 1 och z = 1 + i. Bestäm övriga rötter. Mat 1 α, nov 03: 67. Ekvationen z 3 (5 3i)z 15iz i = 0 har en reell rot. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, okt 01:5 68. Ekvationen z 3 + (3 + 5i)z + 15iz i = 0 har en rent imaginär rot z = iy, där y är reellt. Lös ekvationen fullständigt. Mat 1 α, nov 01:5 69. Lös ekvationen z 4 z 3 8iz + 8i = 0. Mat 1 α, dec 98:3 7

8 70. Visa att om z 4 + 3z 3 z + 3z + 1 = 0 och w = z + 1 z så är w + 3w 4 = 0. Använd detta för att lösa den första ekvationen. Mat 1 α, okt 0:4 71. Lös z 4 3z 3 z 3z + 1 = 0 t e genom att först multiplicera ekvationen med z och sedan införa w = z + z 1. Mat 1 α, nov 0:4 7. Visa att om z 4 6z 3 + 6z + 6z + 1 = 0 och w = z z 1 så är w 6w + 8 = 0. Använd detta för att lösa den första ekvationen. Mat 1 α, aug 01:4 73. Lös ekvationen 74. Visa först att om z 10 + z 8 + z 6 + z 4 + z + = 0. p(z) = z 4 + 3z = (z az + b)(z + az + c) Alg 1 aug 89:7 så är a 6 + 8a 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0. Mat 1 A, mar 97:5 75. Visa först att om p(z) = z 4 + 4z + 3z + 4 = (z az + b)(z + az + c) så är a 6 + 8a 4 9 = 0. Lös sedan ekvationen p(z) = 0. Mat 1 A, apr 97:5 76. Visa att om t = ( 5 + ) 1/3 ( 5 ) 1/3 så är t 3 = 4 3t. Använd detta för att bestämma värdet av t. Mat 1 α, okt 04:6 77. Visa att om z = ( 1 + i 3 ) ( ) 1/3 + ( 1 i 3) (10 108) 1/3 så är z 3 = 0 6z. Använd detta för att bestämma värdet av z. Mat 1 α, nov 99:7 Enkla olikheter 78. För vilka reella tal är +1 > +1? Mat 1 A, okt 97:1 79. För vilka reella tal är +1 > +1? Mat 1 A, nov 97:1 80. För vilka reella är 81. För vilka reella är För vilka reella tal är För vilka reella tal är? Mat 1 α, okt 04:? Mat 1 α, nov 04: > 1? Mat 1 α, okt 98:1 1 1? Mat 1 α, nov 98: 8

9 84. Lös olikheten < Mat 1 α, nov 99: 85. Lös olikheten < Mat 1 α, nov 99: Enkla gränsvärden 86. Beräkna 87. Beräkna 88. Beräkna lim sin. lim 0 lim ln(1 + sin 3) Mat 1 A, mar 96: Mat 1 α, nov 00:3 Mat 1 A, apr 96: 89. Beräkna lim 0 e e. Mat 1 A, aug 96: 90. Beräkna gränsvärdet av ( + 1) både då och då 0. Mat 1 A, mar 97: 91. Beräkna gränsvärdet av ( + 1) både då och då 0. Mat 1 A, apr 97: 9. Sätt f() = ln 1 + då > 0. a) Hur skall f(0) definieras för att f() skall bli kontinuerlig då 0? b) Beräkna högerderivatan f + (0) av funktionen f. Mat 1 α, okt 0:6 93. Sätt f() = ( ln ) 1 + då > 0. 9

10 a) Hur skall f(0) definieras för att f() skall bli kontinuerlig då 0? b) Beräkna högerderivatan f +(0). c) Undersök om derivatan f () är kontinuerlig då 0 < 1. d) Är f() deriverbar då = 1? 94. Funktionen f defineras på R genom f(0) = 0 och Mat 1 α, nov 0:7 f() = 1 cos för 0. För 0 är f uppenbarligen deriverbar, såsom kvot av elementära funktioner. Visa att f är deriverbar även i origo, och att derivatan f är kontinuerlig där. Mat 1 A, apr 98:7 95. Bestäm den sneda asymptoten då ± till funktionen f() = Bestäm också de för vilka kurvan y = f() ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, mar 04: 96. Bestäm den sneda asymptoten då ± till funktionen f() = Bestäm också de för vilka kurvan y = f() ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, apr 04: 97. Bestäm den sneda asymptoten då ± till funktionen f() = Bestäm också de för vilka kurvan y = f() ligger ovanför asymptoten. Mat 1 α, aug 04: 98. Visa att kurvan y = har en asymptot då och ange en ekvation för den. Mat 1 α, mar 00:3 99. Visa att kurvan y = 3 + har en asymptot då och ange en ekvation för den. Mat 1 α, apr 00: Ange samtliga asymptoter till kurvan y = sin. Mat 1 α, aug 00:5 10

11 101. Visa att talföljden (a n ) n=1 är konvergent och beräkna dess gränsvärde, då a n = n k=n+1 n 4 + k 4n 5 + k. Mat 1 A, mar 98:6 10. En talföljd (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 och a n+1 = 3a n för n 0. Visa att följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde. Mat 1 A, apr 98: Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a b. Definiera talföljderna (a n ) 0 och (b n ) 0 genom a 0 = a, b 0 = b och Visa först att för n = 0,1,,... är a n+1 = a nb n och b n+1 = a n + b n. a n + b n 0 < a n b n, b n+1 b n, a n b n = ab och a n+1 a n och sedan att talföljderna båda konvergerar mot det gemensamma gränsvärdet ab. Mat 1α, okt 04: Låt a och b vara två reella tal sådana att 0 < a b. Definiera talföljderna (a n ) 0 och (b n ) 0 genom a 0 = a, b 0 = b och Visa att för n = 0,1,,... är a n+1 = a nb n och b n+1 = a n + b n. a n + b n a n = ab 1 qn 1 + q n och b n = ab 1 + qn 1 q n med 0 < q < b a b + a < 1, och därmed att talföljderna (a n ) 0 och (b n) 0 båda konvergerar mot ab. Visa sedan att ab = an + e n där 0 < e n < abq n. Anm. Speciellt ger detta med startvärdena a = 1/5, b = 1/4 att ab = 5/10 = an + e n där 0 < e n < 1 17 n < 1 10 n. Som eempel, för n = 5 innebär detta att a 5 underskattar 5/10 med ett fel e 5 < Alltså ger a 5 en approimation av 5/10 med minst 3 korrekta decimaler. Nästa värde a 6 ger minst 64 korrekta decimaler (så kallas kvadratisk konvergens!). Mat 1α, nov 04:6 Användning av derivator 105. Låt f() = arctan 1 arctan 1 1. a) Beräkna f (). b) Bestäm lim 1+ f() respektive lim 1 f() 11

12 c) Vad är f() då < 1, 1 < < 1 respektive > 1? Analys 1, dec 94: Visa att arctan 1 = arctan + C då > 0 där C är en konstant. Bestäm också konstantens värde. Analys 1, aug 89: Visa att den kontinuerliga funktionen f() = arctan( + 1) + arcsin 1 är konstant då 1 genom att beräkna derivatan f () då > 1. Bestäm sedan det konstanta värdet och ange slutligen det eakta värdet av arctan( + 3). Mat 1 α, mar 04: Visa att den kontinuerliga funktionen f() = arctan( 1) + arctan 1 är konstant då 1 genom att beräkna derivatan f () då > 1. Bestäm sedan det konstanta värdet och ange slutligen det eakta värdet av arctan( 3). Mat 1 α, apr 04: Bestäm först en ekvation för tangenten till kurvan y = i punkten (a,a ) och därefter en ekvation för tangenten till kurvan y = 1 i punkten (b, 1 b ), b 0. Bestäm sedan värden på a och b så att de betraktade tangenterna sammanfaller och ange en ekvation för den linje som tangerar de båda kurvorna. Mat 1 α, mar 03: Kurvorna y = 3 och y = 4 3 har förutom -aeln ytterligare en gemensam tangent. Bestäm dennas ekvation. Mat 1 A, aug 98: Det finns en linje som tangerar kurvan y = + 4 i två olika punkter. Bestäm en ekvation för denna linje. Mat 1 α, apr 03:7 11. Rita kurvan 113. Undersök funktionen y = 11arctan + 3ln 1 +. Analys 1, aug 96:4 f() = ln(1 + ), R med avseende på lokala etrempunkter samt skissera dess graf. Mat 1 A, apr 96: Rita grafen till funktionen f() = /3 på intervallet [ 1,]. Ange samtliga lokala etrempunkter, samt var funktionen är konve eller konkav på intervallet. Mat 1 α, dec 98:4 1

13 115. Rita kurvan y = 3 arctan. 1 + Ange eventuella asymptoter, lokala etremvärden och intervall där kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, okt 98: Rita kurvan y = 3arctan + ln(1 + ). Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala etremvärden samt var kurvan är konve och var den är konkav. Mat 1 α, mar 99: Rita kurvan y = Ange särskilt eventuella asymptoter, lokal etremvärden och infleionspunkter. Mat 1 α, nov 98: Rita kurvan y = e e +. Ange särskilt eventuella asymptoter och lokala etrempunkter. Mat 1 α, nov 03: Skissera grafen till funktionen f() = +. Ange särskilt lokala etrempunkter, ungefärliga skärningar med -aeln samt eventuella asymptoter. Analys 1, jan 96:7 10. Rita kurvan y = 1 ln( + 1) + arctan 1 1. Ange särskilt eventuella lokala etrempunkter och asymptoter. Analys 1, maj 95:5 11. Rita kurvan y = f() = = genom att i tur och ordning visa att = g(), a) y-aeln är lodrät asymptot, b) f() är strängt väande då < 0, c) g(), och därmed f(), har precis ett nollställe mellan och 1, d) f () = ( 1)h() 3, där h() = > 0 då > 0, e) f() har ett lokalt minimum lika med 0 då = Rita kurvan y = f() = = , genom att i tur och ordning visa att a) y-aeln är lodrät asymptot, b) y = är sned asymptot då ±, Mat 1 α, okt 0:5 13

14 c) f() är strängt väande då < 0, d) f() har ett lokalt minimum då =, e) f() är konve då < 0 och då > 0 Mat 1 α, nov 0:5 13. a) Rita kurvan y = f() = b) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a,f(a)) till kurvan. c) Bestäm alla skärningspunkter mellan tangenten och kurvan. d) För vilka a är tangenten också normal till kurvan? Mat 1 α, mar 01:6 14. a) Ange en ekvation för tangenten i punkten (a,f(a)) till kurvan y = f() = b) Visa att -koordinaten för eventuella skärningar, förutom = a, mellan denna tangent och kurvan ges av + a + 3a 8 = 0. c) Bestäm för alla reella a antalet skärningspunkter mellan tangenten i (a, f(a)) och kurvan y = f(). Mat 1 α, apr 01:7 15. a) Visa att y = är en sned asymptot till den udda funktionen f() = , 0 både då och då. b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = och kurvan y = f(). Mat 1 α, okt 04:4 16. a) Visa att den jämna funktionen g() = = ( 6 = 1 ) för 0 har derivatan g () = (4 1)( 4 + 3) 7. g() b) Rita kurvan y = g() med angivande av samtliga asymptoter. Mat 1 α, okt 04:5 17. a) Visa att y = + 1 är en sned asymptot till funktionen f() = , 0 både då och då. 14

15 b) Bestäm antalet skärningar mellan asymptoten y = + 1 och kurvan y = f(). Mat 1 α, nov 04:4 18. a) Visa att g() = = = för 0 har derivatan g () = (3 1)( + 1) 3. g() b) Rita kurvan y = g() med angivande av samtliga asymptoter. Mat 1 α, nov 04:5 19. En talföljd (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 och a n+1 = 3a n 1 + a n för n = 0,1,,.... Visa att följden är konvergent och bestäm lim n a n. Analys 1, dec 91: Talföljden (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 och a n+1 = 1 + a n n = 0,1,,.... Visa att följden är konvergent och bestäm lim n a n. Analys 1, jun 9: Låt funktionen f vara kontinuerlig i det kompakta intervallet [a,b] och sådan att Definiera talföljden (a n ) n=0 genom Visa att a < f() < då a < b. a 0 = b och a n+1 = f(a n ) för n = 0,1,, a n konvergerar mot a då n.. 0 < a n+1 a k(a n a) då a n a δ, om f dessutom är deriverbar och f () k då a a + δ för något δ > 0 med a + δ b. Analys 1, dec 93:8 13. Talföljden (a n ) n=0 definieras av a 0 = 0 och a n+1 = 7 + a n 1 för n = 0,1,,.... Visa att följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde. Analys 1,dec 9: a) Talföljden (a n ) 1 ges av a n+1 = + a n, a 1 = 1 9. Visa att följden konvergerar och bestäm gränsvärdet. 15

16 b) Vad händer om vi istället väljer a 1 = 9? Analys 1, dec 88: Definiera talföljden (a n ) n=0 genom a 0 = 1, och a n+1 = a n a n + b då n = 0,1,,..., där b är en konstant, b < 1. Visa att talföljden konvergerar och bestäm dess gränsvärde. Analys 1, jun 91: Visa att talföljden (a n ) 0, definierad genom a 0 = 1, och a n+1 = 1 + a n 4a n n = 0,1,,..., är konvergent och bestäm gränsvärdet. (Studera a n för udda och för jämna n.) Analys 1, aug 94: Visa att + 18ln + 11 > 1 då > 1. Analys 1, nov 96: För vilka värden på den reella konstanten a gäller att a för alla 0? Analys 1, nov 96: 138. Visa att > e 1 e + 1 då > 0. Analys 1, aug 94: Visa att ln då 1. Mat 1 α, apr 99: Visa att ln(1 + ) + (1 + ) då 0. Mat 1 α, aug 99: Visa att sin + tan > då 0 < < π. Mat 1 α, apr 0:6 14. Visa att arctan > 1 + /3 för > 0. Analys 1, maj 94: 16

17 143. Visa att sintan + ln cos > 0 då 0 < < π. Analys 1, dec 93: Visa att tan + ln(cos ) > 0 då 0 < < π Visa att e < e 1 för > 0. Analys 1, dec 90:4 Analys 1, dec 90: Visa att < arctan 1 < + 1 då > 0. Analys 1, jun 88: Visa att funktionen ( ln ) ( + 1 ) 1 är avtagande för > 0 och att e < ( ) + 1, då > 0. Analys 1, jan 85: Visa att funktionen ( ( + ) 1/ ln ) är strängt avtagande för > 0 och att ( ) + < e. Analys 1, dec 86: Visa att e < ( ) ++1/1 då > Visa att om > 0 så är ln( + 1) ln = 1 + θ där 0 < θ < 1. Analys 1, jan 87:8 Analys 1, jan 83: För vilka värden på den reella konstanten a gäller för något δ > 0 olikheten (1 + ) a > när 0 < < δ? Analys 1, jan 94:8 17

18 15. Bestäm värdemängden till funktionen f() = arctan ln(1 + ), R. Mat 1 A, aug 98: Bestäm värdemängden till funktionen f() = π 1 arctan, 0. Mat 1 A, mar 98: Bestäm värdemängden till funktionen f() = ( )e R Vilka värden antar 156. Vilka värden antar y = ( 3 + 3)e då 1? y = ( )e då 1? Mat 1 α, mar 01: Mat 1 α, apr 01: Mat 1 α, aug 01: 157. Vilka värden antar y = ( 3 + 3)e då 3? Mat 1 α, nov 04: Vilka värden antar y = + 81 då 0 < < 9? Mat 1 A, apr 97: Bestäm största och minsta värde av funktionen f() = 3 3 på intervallet [0,3] Mat 1 A, mar 98: En rektangel har ena sidan på -aeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Bestäm största möjliga värde på rektangelns area. Mat 1 A, nov 96: 161. En rektangel har ena sidan på -aeln och de två återstående hörnen på enhetscirkeln. Vilka värden kan rektangelns omkrets antaga? Mat 1 A, mar 97:4 16. Tangenten till kurvan y = e + 1, i en punkt P på kurvan, avgränsar tillsammans med -aeln och den lodräta linjen genom P ett triangulärt område. Bestäm P så att arean av detta område blir så liten som möjligt. Mat 1 α, apr 99:7 18

19 163. Normalen till kurvan y = 1 cosh i den punkt (,y) på kurvan där = a, linjen = a och -aeln avgränsar tillsammans ett triangulärt område. Ange a > 0 så att detta får största möjliga area. Vi påminner om att cosh = e + e, sinh = e e. Analys 1, maj 96: Låt a och b vara positiva tal. Bestäm längden av den kortaste sträcka som går genom origo och har sin ena ändpunkt på linjen = a och sin andra på linjen y = b. Mat 1 α, okt 01: Bestäm längden av den kortaste sträcka som går genom origo och har sin ena ändpunkt på linjen y = och sin andra på linjen = 3. Mat 1 α, nov 01: I ett koordinatsystem är A = (0,1) och B = (0,). Var på positiva -aeln ska punkten P ligga för att vinkeln APB ska bli maimal? Analys 1, maj 9: Bestäm antalet reella rötter till ekvationen 1 arctan + ( + 1) = 4. Analys 1, jun 91: Bestäm antalet reella rötter till ekvationen arctan = 1. Mat 1 α, okt 01: Ange antalet reella rötter till ekvationen arctan = 4 5. Mat 1 α, apr 00: Ange antalet reella rötter till ekvationen ln 1 = 0. Mat 1 A, aug 96: Hur många gemensamma punkter har kurvan y = med parabeln y =? Analys 1, dec 86:4 17. Bestäm antalet lösningar till ekvationen e 3 +4 = a både då a = 1 18 och då a = Mat 1 A, okt 97:4 19

20 173. För vilka värden på den reella konstanten a saknar ekvationen 3 4 ln = a reella lösningar? Mat 1 A, nov 97: Låt p() vara ett reellt polynom av grad n. Visa att ekvationerna p() = ln, > 0 och p() = ln, 0 har högst n + 1 respektive n + reella rötter. Analys 1, jan 96: Hur många lösningar har ekvationen e + e = k för olika val av den reella konstanten k? Analys 1, jan 83: 176. Bestäm antalet rella rötter till ekvationen e = + a för alla reella värden på konstanten a. Mat 1 α, nov 00: Bestäm för varje värde på det reella talet a antalet lösningar till ekvationen ln = a, > 0. Mat 1 α, apr 03: Hur många lösningar har ekvationen 4 k = 0 för olika k-värden? Analys 1, dec 89: Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet skärningspunkter mellan kurvan y = och parabeln y = a. Analys 1, maj 90: Rita kurvan y = f() = Ange också i vilka intervall kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, mar 04: För vilka reella a är funktionen y = f() = a. + 1 väande på hela reella aeln? Mat 1 α, mar 04:7 18. Rita kurvan y = f() = Ange också i vilka intervall kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, apr 04:5 0

21 183. För vilka reella a är funktionen y = f() = a. + 1 väande på hela reella aeln? Mat 1 α, apr 04: Rita kurvan y = f() = Ange också i vilka intervall kurvan är konve eller konkav. Mat 1 α, aug 04: För vilka positiva a är funktionen y = f() = a väande på hela reella aeln? Mat 1 α, aug 04: För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen f() = + a + 1 konve på hela reella aeln? Mat 1 A, mar 97: För vilka värden på den reella konstanten a är funktionen f() = + a + 1 konve på hela reella aeln? Mat 1 A, apr 97: Ange för varje värde på den positiva konstanten a antalet punkter på kurvan y = 4ln 3 som har avståndet a till origo i ett ortonormerat koordinatsystem. Analys 1, jun 93: Hur många lokala etrempunkter har funktionen f() = + a + 1, 0 för olika val av den reella konstanten a? Analys 1, jan 85: Bestäm för varje värde på konstanten a antalet lokala etremvärden till kurvan y = ( + 1)arctan + a a) Ange tangenten till kurvan y = i den punkt på kurvan där = a. Analys 1, maj 89:8 1

22 b) För vilka värden på b skär en tangent till kurvan y-aeln i den punkt där b = 0? Analys 1, aug 89:6 19. Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet tangenter till kurvan y = e som skär -aeln då = a. Analys 1, jun 90: Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet linjer som går genom punkten (0,a) och tangerar kurvan y = ln( + ) i någon punkt. Mat 1 α, nov 03: Genom vilka punkter på y-aeln går det precis en tangent till kurvan y = ln? Mat 1 α, aug 03: Genom vilka punkter på -aeln går det precis två tangenter till kurvan y = e? Mat 1 α, nov 98: a) Rita kurvan y = ln, > 0. b) Ange normalen till kurvan i punkten (a,aln a), a > 0. c) Bestäm för varje punkt (k,0) på -aeln antalet normaler som går genom denna punkt. Analys 1, maj 88: Genom vilken punkt på y-aeln går precis tre normaler till kurvan y = 4? Analys 1, aug 96: Låt f vara en konve funktion, definierad för 0, och antag att f(0) 0. Visa att om funktionen g definieras för > 0 genom g() = f() så är g väande för > 0.

23 Svar 1. a) 3, b) 3.. a) 53 74, b) 47 delar inte a) Lösning saknas. b) = 4 + 9n, y = 11 5n där n Z. 4. = 117 3n, y = n där n Z. 5. = n, y = n där n Z. 6. = n, y = n där n Z. 7. = n, y = n där n Z. Den enda positiva lösningen är (,y) = (3,1). 8. Lösningarna är (8, ), ( 8, ), (8, ), ( 8, ), (4, 5), ( 4, 5), (4, 5) och ( 4, 5). 9. Lösningarna är (9,11), ( 9,11), (9, 11), ( 9, 11), (1,8), ( 1,8), (1, 8) och ( 1, 8). 10. = n, y = 10 13n, z = 5 + 7n, n Z. 11. c = 14. Lösningarna är (,y) = ( n, 7n), n Z stycken. 1. a) Halvplanet ovanför och på linjen Re z + Im z = 0. b) 33. c) 5π Högra halvan av den slutna cirkelskivan med medelpunkt och radie. arg z varierar i intervallet [ π 4, π 4 ]. 4. Sluten cirkelskiva med medelpunkt i och radie 1. Största värdet av z är Sluten sträcka med ändpunkter 3 i 3 och 3 + i 3. 5π 6 arg z 7π Öppen sträcka med ändpunkter 3 + i och 3 + i. π 6 < arg z < 5π Sluten cirkelskiva med medelpunkt 1 + i och radie 1. π arg z π. 8. Sluten cirkelskiva med medelpunkt 1 i och radie 1. 1 z Im z arg z = π 1 eller 5π 1. tan π 1 = i 3 1. Argumentet är cos π 10 =

24 36. Uttrycket är rent imaginärt om och endast om Re z = Im z. 38. Medelpunkt 1 + i, radie Rötterna är + i och 1 + i. 41. Rötterna är + i och 1 + 5i. 4. A = 4 + i. Rötterna är 3 i och 1 + i 43. Rötterna är i och ± 3 i. 44. w = e i( π 8 +k π ) eller w = e i( π 4 +k π ), k = 0,1,,3. z = 4i eller z = 4 = 4e iπ. 45. ±( + i) och ±(1 + i) (z3 + 5z 3z + 5). 53. z + z a) 3. b) z ,3,4,5,7,8,9,11,1, 13,15,..., dvs för alla positiva heltal som inte är av formen 4k Rötterna är 0, och 3 e i (k+1)π 3, k = 0,1,. 57. Den första ekvationen har dubbelrötterna 1 ± 7 1 ± 7 i och ±i. 58. Rötterna är 1, + i och 4 + 3i. 59. z 1 = i, z = i, z 3 = 1 + i. 60. Övriga rötter är + i och 1 + i. 61. De två övriga rötterna är 1 + 3i och 3 i. 6. Rötterna är 1,, 3 och i. 63. Rötterna är 1 ± i och 1 ± Rötterna är 3 + 5i, 3 5i, 1 + i och 1 i 65. Rötterna är 1 ± i och ± i. 66. Rötterna är 1, 1 ± i och ± 3i. i, den andra har enkelrötterna 4

25 67. Rötterna är 4, i och 1 i. 68. Rötterna är 4i, 1 i och + i. 69. Rötterna är 1 och e ( π 6 +nπ 3 ), n = 0,1,. 70. z 1, = ± 3, z 3,4 = 1±i z 1, = ± 3, z 3,4 = 1±i z 1, = 1 ±, z 3,4 = ± Rötterna är ±i och 8 e i(±3π 16 +k π ), k = o,1,, Nollställena till p är 1±i 7 och 1± Nollställena till p är 1±i 15 och 1±i t = z har värdet 1 + 3i. 78. > 1 och < 1 eller > < eller 1 < eller < 0 eller < > 1 eller 1 < < < 1 eller > > 1 eller 1 < < > 1 eller < Gränsvärdet är då och 1 då Gränsvärdet är 1 då och då f(0) = 0, f +(0) = a) f(0) = 0 b) f + (0) = 0 c) f är kontinuerlig på [0,1). d) f är inte deriverbar i Asymptot y = + då ±. Grafen ligger ovanför asymptoten då > Asymptot y = + då ±. Grafen ligger ovanför asymptoten då > 1. 5

26 97. Asymptot y = då ±. Grafen ligger ovanför asymptoten då > y = y = y = + och = lim n a n = lim n a n = a) 0. b) π 4 resp. 3π 4. c) π 4, 3π 4 resp π C = π f() π, arctan( + 3) = 5π f() π, arctan( 3) = π a =, b = y = y = Lokal minimipunkt (1, 1 ln ), lokal maimipunkt (0,0) Lokala minimipunkter ( 1, ) och ( 8 7, 4 7 ). Lokala maimipunkter (0,0) och (, /3 ), funktionen är konve i [ 1,0] och i [0,] Lokal minimipunkt (1, π 1 π 1 ). Lokal maimipunkt ( 1, ). Asymptoter y = π då och y = + π då Lokalt minimum i ( 3 4, 3arctan ln 16 ). Funktionen är konkav i (, ] och i [ 1, ), konve i [, 1 ]. Asymptoter saknas y = 1 är asymptot då, y = 3 1 är asymptot då. Lokalt minimum (, ). Infleionspunkter saknas, kurvan är konve Asymptoter är linjerna y = 1 och y = 1. Maimum i (0,1) och lokalt minimum i (, e 4 e +4 ). 4 (e ln ) 119. Lokalt minimum 1 då = 0, lokalt maimum då = 4+(e ln ) ln. Tre skärningar med -aeln: 1 = 4, = och 3 mellan 1 och 0. Asymptoter y = 1 då och y = 1 då. 10. Lokalt minimivärde π 4 då = 1 asymptoter saknas. 13. b) y = a a + (3a 4 3 )( a). c) Skärningspunkterna är (a, f(a)) och ( a, f( a)). d) För a = ± a) y = f(a) + f (a)( a). c) En skärningspunkt då a >, två då a = eller a = 3, tre för övrigt. 6

27 15. b) Fyra skärningspunkter. 16. b) Asymptoter y = då och y = då. Minimipunkter (±1,1) Kurvan skär asymptoterna då = ±1 och då =. 17. b) Inga skärningspunkter. 18. b) Asymptoter y = + 1 då och y = 1. Vidare är = 0 lodrät asymptot. Kurvan skär inte någon av asymptoterna. Lokala minimipunkter är ( 1,1) och (1,3). 19. lim n a n = lim n a n =. 13. lim n a n = a) lim n a n = 4 (följden är väande). b) lim n a n = 4 (följden är avtagande) lim n a n = 1 b lim n a n = a a f() π ln f() < 0 eller f() > π f() > y 7 e. (Observera att 7 e < e, ty e > (,7) = 7,9 > 7.) < y < y 3 4 e3/. (Observera att 3 4 e3/ > 3 e 3/ > 4 e 3 > 16 vilket är sant eftersom e 3 > 7e > 7,5 = 17,5 > 16) < y resp < omkretsen P = (ln,) a = 1 ln (a /3 + b /3 ) 3/ =. 7

28 167. Två Två Tre En En. 17. Två då a = 1 18 och fyra då a = a < Två om 1 < k < k 1, en om 1 < k 1 eller k = k 1, ingen om k 1 eller k > k 1, där k 1 = e+1 e Inga om a < 1, en om a = 1 och två om a > Ingen lösning om a > 1 e, en lösning om a = 1 e 0 < a < 1 e. eller om a 0, två lösningar om 178. Två då k > k 1 eller k < k, tre då k = k 1 eller k och fyra då k < k < k 1. Här är k 1 = 14 3 och k = En om a > a 1 eller a 3 < a < a, två om a = a 1 eller a eller a 3, tre om a < a < a 1 eller a < a 3, där a 1 = 5, a = 19 4 och a 3 = Funktionen f är strängt väande på hela R med en terrasspunkt (1, 5), vidare är f konve för 1 och för Funktionen är konkav för 3 och för Dessutom ligger kurvan y = f() över sin asymptot y = + (jämför uppg. 95!) precis då > a Funktionen f är strängt väande på hela R med en terrasspunkt ( 1, 1), vidare är f konve för + 3 och för 1 3. Funktionen är konkav för 1 och för Dessutom ligger kurvan y = f() över sin asymptot y = + (jämför uppg. 96!) precis då > a = Funktionen f är strängt väande då 1 (terrasspunkt i (, 6)), strängt avtagande då 1 3 och strängt väande då 3. Det lokala maimivärdet i = 1 är och det lokala minimivärdet i 3 är 10. Vidare är f konkav för och för Funktionen är konve för och för Dessutom ligger kurvan y = f() ovanför sin asymptot y = (jämför uppg. 97!) precis då > 185. a a a

29 188. En då 0 < a < a 1 eller a > a, två då a = a 1 eller a = a, tre då a 1 < a < a. Här är a 1 = 3 e 1/4 och a = e 3/ Tre om a > 3, en om a Inget då a a 1, ett då a a och två då a 1 < a < a. Här är a 1 = π och a = π a) y = a (1+a ) ( a) a b) 0 < b Tre om a a 1, två om a = a 1 och en om a < a 1, där a 1 = Två då a > ln eller a = ln 4 1, tre då a = ln, fyra då ln 4 1 < a < ln och ingen då a < ln (0,e 3/ ) samt (0,y) för y = ± a) Lokalt minimum 1 e då = 1 e. b) a + (1 + ln a)(y aln a) = 0. c) Ingen då k 0, en då 0 < k < k 1 eller k > k, två då k = k 1 eller k = k och tre då k 1 < k < k där k 1 = 1 e och k = 3 e y =

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b

Läs mer

6. Samband mellan derivata och monotonitet

6. Samband mellan derivata och monotonitet 34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5) Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4

Läs mer

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde) GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion y f () undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med och y-aeln, gränsvärdena f ( ), f ( )

Läs mer

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.

Läs mer

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x. TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)

Läs mer

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Tentamensproblem i Matematik 1 β. Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström

Tentamensproblem i Matematik 1 β. Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström Tentamensproblem i Matematik β Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström 25 maj 24 . Derivator. För vilka värden på den reella konstanten a gäller att x 3 5x 2 +3x +3 a för alla x? jan

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.

Läs mer

III. Analys av rationella funktioner

III. Analys av rationella funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim Tentamen (TEN) i MATEMATIK, HF 7 dec 7 Tid :-7: KLASS: BP 7 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Denna lapp lämnar du in

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om

Läs mer

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================ H9, Introduktionskurs i matematik EXTREMPUNKTER ============================================================. EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition. (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys

Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys Måndagen den 4 maj, klockan 8:-3:. Bestäm gränsvärdena a) Ñ lnp 3 q b) Ñ8 lnp 3 q. Lösning..a) Gränsvärdet är på formen { så vi kan använda l Hospitals

Läs mer

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2. Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen 016-10-8 - Lösningsskiss 1. a) 1 1 1 0 0 1 0 + 1 0 Sedvanligt teckenschema visar att detta är uppfyllt [,0[. Svar: [,0[. b) Vi löser ekvationen 1 = genom att studera

Läs mer

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x). Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 000 kommer för Bi 00, L 00 och V 00 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L - 00 S 600 = 3 3 5 3850 = 5 7 847 = 7 största gemensamma delare till 600 och 3850: 5 minsta gemensamma multipel till 3850 och 847: 5 7 S a) +6+9 b)

Läs mer

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

Planering för Matematik kurs E

Planering för Matematik kurs E Planering för Matematik kurs E Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs E Antal timmar: 60 (0 + 0) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att E-kursen studeras på 60 klocktimmar.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic Tentamen i Matematik HF70 6 aug 0 Tid: 3. 7. Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Håkan L. (Skriv som en produkt. Gör uppdelningen i faktorer så långt det går.) 1. Faktorisera 25x Faktorisera 1. 3.

Håkan L. (Skriv som en produkt. Gör uppdelningen i faktorer så långt det går.) 1. Faktorisera 25x Faktorisera 1. 3. Övningsuppgifter för att stödja repetition av gymnasiets matematik Har sammanställt ett antal övningsuppgifter som hjälp att repetera några väsentliga delar av gymnasiets matematik På slutet finns uppgifter

Läs mer

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska

Läs mer

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2. Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic TENTAMEN 8 jan 0 Tid: 08.5-.5 Kurs: Matematik HF90 (6H90) 7.5p Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras

Läs mer

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Anteckningar för kursen Analys i en Variabel Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform. Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid: Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner. Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Om komplexa tal och funktioner

Om komplexa tal och funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 26..208 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Dugga 2 i Matematisk grundkurs

Dugga 2 i Matematisk grundkurs Linköpings tekniska högskola Matematiska institutionen Tillämpad matematik Kurskod: TATA68 Provkod: TEN Inga hjälpmedel är tillåtna. Dugga i Matematisk grundkurs 013 16 kl 8.00 1.00 Lösningarna skall vara

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y), Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer