Experimentversion av Endimensionell analys 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Experimentversion av Endimensionell analys 1"

Transkript

1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker från den traditionella varianten främst i utformningen av tentamina. Sftet är att försöka öka genomströmningen genom en betoning av grundläggande färdigheter. En biprodukt kan förhoppningsvis också vara att det skapas en stabilare grund för de kommande analskurserna. Eamination. En skrivning kommer att vara uppdelad i en basdel och en fördjupningsdel. (Eempel på skrivning finns på sidan 9.) Basdelen består av 5 uppgifter av grundläggande karaktär. Deras lösning kräver normalt inte många steg. För att bli godkänd på skrivningen krävs godkänd basdel. Inte bara svar utan även lösningar ska redovisas på basuppgifterna. En principiellt korrekt lösning men behäftad med räknefel behöver då inte dömas ut helt. Varje korrekt löst basproblem ger poäng. Avdrag görs i steg om poäng. Ett normalt avdrag för räknefel är poäng. Sammanlagt 6 poäng på basdelen är tillräckligt för betget.0 på kursen. För överbetg i intervallet. till 6.0 krävs dels godkänd basdel, dels att fördjupningsuppgifter också klaras av. På skrivningen finns tre fördjupningsuppgifter. Varje fördjupningsuppgift ger maimalt poäng och rättas på vanligt sätt. En person som är godkänd på basdelen och erhållit.9 poäng på fördjupningsdelen får alltså betget.9 på skrivningen. Poäng på fördjupningsdelen kan inte kompensera otillräckliga basfärdigheter. Studenter från tidigare årskurser kan följa kursen men tenterar på vanligt sätt. För att tentera enligt eperimentsättet krävs dispens. Undervisning. Ändring av eaminationsformerna påverkar också upplägget av undervisningen. Övningsprogrammet upptar vid varje övning både basproblem och fördjupningsproblem. Till övningssamlingen finns nedan en sammanställning av de uppgifter, som kan räknas som basproblem. Inför varje övning kommer också programmet att innehålla förslag på både basproblem och fördjupningsproblem. Den som har målet att enbart bli godkänd kan alltså öva enbart på basproblem. Utöver uppgifterna i övningssamlingen presenteras nedan en samling basproblem. Dessa är grupperade i 8 basområden. Även föreläsningar och seminarieövningar får en ökad dragning åt bashållet.

2 BASOMRÅDEN.. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem. 5. Binomialsatsen. Beräkning av koefficienter. 6. Potens- och eponentiallagar. 7. Logaritmlagarna. 8. Invers funktion och sammansatt funktion. 9. Enkla trigonometriska samband. 0. De elementära funktionernas grafer.. Standardgränsvärden och smärre modifikationer av dem.. Enkla asmptotundersökningar.. Derivation av de elementära funktionerna inklusive summa, produkt, kvot och sammansättning.. Användning av derivata. 5. Beräkning av realdel, imaginärdel, absolutbelopp och argument av komplea tal. Polär form. Konjugering. Geometrisk tolkning. Komplea andragradekvationer och binomiska ekvationer.. 6. Polnomkunskap. 7. Grundläggande definitioner och satser inom ovanstående områden. En samling tpiska basproblem.. Algebraiska förenklingar. (Behandlar eempelvis konjugatregeln, kvadreringsregler, att göra liknämnigt, förlänga, förkorta, dubbelbråk, polnomdivision o.dl.) Innan några övningar presenteras ges här en kort repetition. I detta basområde använder du flitigt tre grundregler nämligen:

3 a b a b a b (Konjugatregeln) a b a ab b (Kvadreringsregel) a b a ab b (Kvadreringsregel) a c b c a b a b a c b c De tre första bör man känna igen även från höger till vänster. Låt a b c och d vara positiva heltal utan annan gemensam faktor än. För att bråken (Förkortning med c) (Förlängning med c) a 7 b 5 c 9 d och a b c 6 ska gå att addera eller subtrahera behöver vi förlänga varje bråk så att de får gemensam d7 nämnare. Det är då räknemässigt fördelaktigt att välja den minsta gemensamma nämnaren (mgn). I detta fall blir mgn a 7 b c 9 d 7 Bråket a 7 b 5 c 9 d ska alltså förlängas med b6 d och det andra bråket med a c. Alltså är a 7 b 5 c 9 d a b c 6 d b 6 d 7 a 7 b c 9 d a c 7 a 7 b c 9 d 7 b 6 d a c a 7 b c 9 d 7 Motsvarande gäller även för polnom. Eempelvis är mgn till och 5 polnomet 5. Således är Nedan kommer du också att lösa ekvationer. Tänk på att den rot du får fram ska gå att sätta in i uttrcken i ekvationen i fråga. Övningar.. Lös ekvationen. Lös ekvationen 5 5 5

4 . Lös ekvationen 5 5. Faktorisera uttrcket Förenkla Förenkla 7. Förenkla Förenkla a b b c a b b c a b 9. Förenkla 0. Lös ekvationen. Lös ekvationen

5 . Lös ekvationen med avseende på a a a a där a.. Lös ekvationen med avseende på a a a a a a a. Lös ekvationen där a 0 a a a 9a 5. Dividera polnomet 6 med polnomet Dividera polnomet 5 a 5 med polnomet a.. Reella andragradsekvationer. (Ekvationerna kan lösas via kvadratkomplettering eller känd formel.) 7. Låt a b och c vara konstanter. Uttrck b och c i a så att a b c för all (Högerledet är en kvadratkomplettering av uttrcket i vänster led.) 8. Kvadratkomplettera uttrcket 9. Kvadratkomplettera uttrcket 5 9 dels med avseende på, dels med avseende på. 0. Lös ekvationen. Lös ekvationen

6 . Lös ekvationen 5. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot. (I många fall kan dessa uppgifter behandlas enligt receptet: Kvadrera, lös, pröva.) Lös ekvationerna i uppgifterna Enkla absolutbeloppsproblem.. För vilka reella gäller att? 5. För vilka reella gäller att? 6. För vilka reella gäller att? 7. För vilka reella gäller att 8. För vilka reella gäller att? (Tänk på att.)? 6

7 9. För vilka reella gäller att? 0. För vilka reella gäller att?. För vilka reella gäller att 5 7. För vilka reella gäller att 7 5 7? 5 7?. För vilka reella gäller att?. Rita kurvan. 5. Rita kurvan. 5. Binomialsatsen. Beräkning av koefficienter. 6. Beräkna Beräkna Utveckla Utveckla. 50. Utveckla. 5. Bestäm koefficienten för 9 i utvecklingen av 5. Vilken är högstagradspotensen (inklusive koefficienten) i 9 5? 6. Potens- och eponentiallagar. 5. Förenkla a a a. 5. Förenkla a a 5 a. 55. Förenkla 7 8 z 8 z. 7

8 56. Förenkla 57. Förenkla z z Lös ekvationen Förenkla a a. a 60. Lös ekvationen Bestäm om 6 6. Lös ekvationen 6. Förenkla. 6. Förenkla. 65. Förenkla e e. 66. Lös ekvationen Förenkla. 7. Logaritmlagar. 68. Förenkla ln6 ln. 69. Förenkla ln. 70. Förenkla ln a b ln a b. 7. Förenkla ln a b ln a b. 7. Förenkla ln ln ln. 7. Lös ekvationen

9 7. Lös ekvationen. 75. Lös ekvationen (Sätt t.) 76. Lös ekvationen Lös ekvationen ln ln ln6. (Glöm inte att pröva!) 78. Lös ekvationen ln ln. 79. Lös ekvationen ln ln Lös ekvationen ln ln. 8. Lös ekvationen ln ln ln. 8. Bestäm talet k i form av ett enda logaritmvärde så att k ln5 lg5. 8. Hur ska eponenten se ut för att e? 8. Invers funktion och sammansatt funktion. Bestäm inversen och dess definitionsmängd till funktionerna i uppgifterna f f f Beräkna f! g om f och g e. 88. Beräkna och förenkla f! g g! f om f sin och g ". 89. Betrakta funktionen f α. Bestäm α så att f! f f för alla Betrakta funktionerna f och g # a b. Bestäm de reella konstanterna a och b så att f! g " g! f för alla reella 9. Ange funktioner f och g sådana att f! g " sin 5 Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9

10 9. Ange funktioner f och g sådana att f! g " e sin Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9. Ange funktioner f och g sådana att f! g cos cos Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9. Enkla trigonometriska samband. (Eempel på samband kan vara dubbla och halva vinkeln, additions- och subtraktionsformler, hjälpvinkelteknik. Vidare krävs kännedom om de trigonometriska funktionernas värden för vinklar av tp 6 o.dl.) Finn i uppgifterna 9 05 alla lösningar till respektive ekvation. 9. sin 95. cos cos 97. sincos cos sin. 99. cos cos. 00. cos sin cos. 0. sin sin. 0. cos sin. 0. sin sin. 0. tan. 05. tan. 06. Skriv sin cos 7 cos sin 7 som ett enda sinusuttrck genom att använda lämplig additionssats. 0

11 07. $ Använd hjälpvinkelteknik för att bestämma A i omskrivningen sin cos Asin δ. 08. Betstäm något värde på δ sådant att sin cos sin δ. 09. Bestäm något värde på δ sådant att sin cos sin δ. 0. Bestäm största och minsta värdet av sin cos då %'&.. Bestäm största och minsta värdet av sin cos då 0 ( (. 0. De elementära funktionernas grafer.. Skissera grafen för α 0 dels då α, dels då α.. Skissera grafen för e %)&.. Skissera grafen för e %*&. 5. Skissera grafen för sin %)&. 6. Skissera grafen för cos %'&. 7. Skissera grafen för tan %'&. Vissa är dock undantagna. Vilka? 8. Skissera grafen för ln Skissera grafen för ln Skissera grafen för arcsin. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arctan. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arcsin arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Kombinera de fra graferna nedan med funktionerna arcsin arccos sin + ( ( cos 0 ( (. a) b) c) d)

12 . Standardgränsvärden och smärre modifikationer av dem. Beräkna gränsvärdena i uppgifterna lim, lim,.-. e 7. lim,.- e lim n,.- / n0 n. 9. lim n,.- / n0 n. 0. lim n,.- /. lim n,.-. lim n,.- n n n n. n! n. n0 n. sin. lim, 0. sin., lim. 5. lim, 0 sin. 6. lim, 0 e. e sin 7. lim, 0 sin. 8. lim, 0 e sin.

13 ln 9. lim, 0 ln 0. lim,.- ln cos. lim, 0 cos.... lim, 0. lim, 0. lim, 0 ln. lg. sin ln sin.. Enkla asmptotundersökningar. (Notera att om f a b g, där g # 0 då så är a b en sned asmptot till f då.) Bestäm i uppgifterna 5 5 samtliga asmptoter e. 9. sin ln

14 . Derivation av de elementära funktionerna inklusive summa, produkt, kvot och sammansättning. Derivera funktionerna i uppgifterna e. 56. sincos sin cos. e sin cos. 59. ln. 60. ln. 6. ln. 6. e sin cos. (Jfr uppgift 58.) 6. arcsin arccos cosh sinh Användning av derivata. (Tangent, samband mellan derivatans tecken och funktionens monotonitet, enkel kurvritning o.dl.) 67. Bestäm en ekvation för tangenten till 8 i den punkt där. 68. Markera i en teckentabell i vilka intervall som derivatan av funktionen f # är negativ respektive positiv. Markera också var funktionen avtar respektive väer.

15 69. Bestäm största och minsta värdet av e då 0 ( (. 70. Bestäm största värdet av ln då Visa att funktionen f e 5%)&6 är strängt väande. 7. Visa att funktionen f arcsin arccos 7 ( (, är konstant. Vad är konstanten? 7. Rita funktionen f arctan arctan Låt f t vara antalet mobiltelefonabonnemang vid tiden t. Vilket tecken har f 898 f t avtar? 75. En partikel (kanske en planet) rör sig längs ellipsen 9 (Se figuren till höger!) Hur nära kommer partikeln 0? (Kvadraten på avståndet från en punkt på ellipsen till 0 ges av uttrcket, där kan hämtas från ellipsens ekvation.) t om ökningen av En partikel rör sig längs ellipsen 9 Hur nära kommer partikeln 0? 77. En partikel rör sig längs ellipsen 9 Hur nära kommer partikeln 5 0? 78. En tank har en halvsfärisk form med diametern 0 cm. Tanken är flld med vatten till djupet h cm. Då ges vattenvolmen av V 0 cm och ökar med 0.0 cm/s? h 60 h cm. Med vilken hastighet ökar volmen då djupet är 79. I en ideal gas, där temperaturen är konstant, gäller enligt Bole att pv konstant, där p är trcket och V volmen. Vid ett visst tillfälle är trcket 5 och ökar med 5 enheter per s. Vid samma tillfälle är volmen 60 enheter. Med vilken hastighet ändras den? 5. Beräkning av realdel, imaginärdel, absolutbelopp och argument av komplea tal. Polär form. Konjugering. Geometrisk tolkning. Komplea andragradekvationer och binomiska ekvationer. 80. Bestäm imaginärdelen av i i 8. Bestäm absolutbelopp och argument för det komplea talet i. 5

16 8. : Skriv i i polär form. 8. Bestäm absolutbeloppet av e iθ då θ är reellt. 8. Vilket är det minsta absolutbelopp, som förekommer bland de komplea talen e i e i5 e i; och e iθ där θ är reellt? 85. Vilket av de komplea talen ligger längst från origo? i e - i 86. Bestäm det komplea talet z så att i z iz i 0 i 87. Bestäm argumentet av i 0 i i 88. Bestäm absolutbeloppet av i 0 i i 89. Markera i det komplea talplanet de z för vilka z i< 90. Lös ekvationen 9. Lös ekvationen 9. Lös ekvationen z 0z 6 0 z i z 8 6i 9. Lös ekvationen z iz 9 6i 9. Lös ekvationen z 9 6i z i 6

17 95. = Lös ekvationen z i (Halvera högerledets argument och dra roten ur högerledets absolutbelopp och du har en rot.) 96. Lös ekvationen z i 97. Lös ekvationen z i 98. Lös ekvationen 99. Lös ekvationen 00. Lös den binomiska ekvationen z 0z 5 i z iz i z 5 Svara i polär form. 0. Lös z 8 6. Polnomkunskap. (Konjugerade nollställen till polnom med reella koefficienter. Faktorsatsen.) 0. Tredjegradspolnomet p har reella koefficienter och bl.a. nollställena och i Vilka andra nollställen har p? 0. Skriv upp ett femtegradspolnom med reella koefficienter och med nollställena i i och. 0. Ekvationen z z 5z 9 0 har bl.a roten z 5i. Bestäm samtliga rötter. 05. Polnomet z 6z z 6 har nollställen, som alla har samma realdel. Bestäm samtliga nollställen. 7

18 7. > Definitioner och satser o.dl. Definitioner och resultat Sidor Namn eller beskrivning Sats 5 Faktorsatsen Sats 5 0 Geometrisk summa Sats 6 5 Binomialsatsen Sats 8 8 Sats 0 5 Formlerna (57) (6) 7 7 Sats 79 Cosinussatsen Sats 79 Sinussatsen Sats 85 Sats 06 Gränsvärdesregler Sats 6 0 Talet e Definition Talet e Sats 7 Formlerna () () 5 6 Standardgränsvärden Definition 9 Derivata Sats 56 Derivationsregler Sats 58 kedjeregeln Sats 6 Inversens derivata Sats De elementära funktionernas derivator Definition 70 Lokal etrempunkt Sats 7 Sats 5 7 Sats 6 75 Sats 6 8 de Moivres formel Definition 8 0 Komple eponentialfunktion Sats 8 8 Algebrans fundamentalsats Sats 0 9 Konjugerade rötter (Bruksanvisning: Satserna och definitionerna ovan behöver du kunna dels som grund för problemlösningen, dels för att det kan förekomma rena teorifrågor på tentamen.) 8

19 Eempel? på skrivning LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS EXPERIMENTVERSION kl +5 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. BASDEL.. Förenkla. Lös ekvationen ln ln ln. Finn alla lösningar till ekvationen cos sin. Bestäm absolutbeloppet av i 0 i i 5. Lös ekvationen 6. För vilka reella gäller att? 7. Bestäm koefficienten för 9 i utvecklingen av. 8. Skissera grafen för arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd. 9. Skriv upp definitionen av att funktionen f är deriverbar då a. 0. Beräkna lim, 0 e.. Bestäm samtliga asmptoter till sin. 9

20 . Derivera arcsin arccos.. Bestäm största och minsta värdet av e då 0 ( (.. Visa att funktionen f 5. Lös ekvationen z i e %)&6 är strängt väande. FÖRDJUPNINGSDEL. 6. Rita funktionskurvan arctan med angivande av asmptoter och lokala etrempunkter. 7. Gas får epandera isotermiskt genom ett hål i en behållare, i vilken trcket är p, till en ttre behållare där trcket är 0 ( p Under vissa idealiserade antaganden (friktion försummas, gravitation A ) kan man visa att massflödet per tidsenhet genom hålet är f A ln p 0 ( p Här är A en konstant som vi genom lämpligt val av enheter kan sätta lika med. Uppgift. Bestäm det värde på trcket för vilket massflödet f har störst värde, och ange detta maimum. Rita också kurvan f 8. Låt n beteckna ett heltal B. Finn alla komplea rötter till ekvationen z n z n z 0 Ledning: Vad är summan av en geometrisk talföljd? Svar till basproblemen b c Lösning saknas. 0

21 . a a a. a. a a a a a 7. b a och c a resp och C eller 7. och och Inga och Lösning saknas Lösning saknas Lösning saknas.

22 a a 55. z CD 6 a 5 5 z 7. ln e ln0 ln0 lg e 59. a a 5 8. e k lge 8. ln 8. f 7 %)& 85. f 86. f e e 88. cos ln ln 70. lna lnb 7. 5lna 0lnb 89. α 0 eller α 90. a b 0 9. f 5 och g sin 9. f e och g sin 9. f och g " cos

23 6 n eller 5 n n hel tal. 95. CD 8 n n heltal 96. CD 5 8 n n heltal 97. n eller 5 n n heltal 98. CD n n heltal n 7 n heltal 00. n n heltal 0. n eller n n heltal 7 e n 7 eller n n hel- 0. tal 0. n eller n n heltal n n heltal e 05. n n heltal 06. sin A 5 5. sin 08. δ 09. δ 6. cos 0. Största värde är och minsta. Största värde är och minsta

24 7. $ 0. tan arcsin Definitionsmängd: ( ( Värdemängd: ( ( Undantagna är n n heltal.. 8. ln arccos Definitionsmängd: ( ( Värdemängd: 0 ( ( 9.. ln ln arctan Definitionsmängd: & Värdemängd:

25 . E arcsin arccos Definitionsmängd: ( ( Värdemängd: F G. a) sin b) arccos c) cos d) arcsin e 9. e 0. e ln är sned asmptot då HD. 6. är sned asmptot då HD är sned asmptot då ID och 0 är lodrät asmptot är sned asmptot då I men inte då J. 9. är sned asmptot då HD. Notera att asmptot. 0 inte är någon lodrät 50. är sned asmptot då KD. Ingen lodrät asmptot är sned asmptot då I och 0 är lodrät asmptot då Ingen sned asmptot men är lodrät asmptot e cos 5

26 e cos 6. e 6. sin cos tan sin cos arccos arcsin 6. ln f f L M L 69. Största värde: e Minsta värde: e 70. e e 8 7. f # 0 utom i en enda punkt, nämligen. Detta ger att f är strängt väande. 7. f för alla i intervallet. Detta ger att f är konstant. Det konstanta värdet kan bestämmas i vilken punkt som helst. Eempelvis är f 0 ". 7. Derivatan är 0 för 0. Alltså är f N f O för alla 0. För 0 gäller att f P f 7Q f 7 7. Negativt. Grafen får utseendet f 75. Kortaste avstånd är Kortaste avstånd är. 77. Kortaste avstånd är. 78. Volmen ökar med 9 cm /s. 79. Volmen minskar med volmsenheter/s Absolutbeloppet är och argumentet n n heltal 8. e i; 8. 6

27 8. R 85. i 86. z i 87. n n heltal z i 9. z z i 9. z z i 95. z CD 96. z CD 97. z CDS i i i T 98. z i z 6 i 99. z i z i 00. z e ik; 5 k z 5 D i 9. z CD 9. z CD i i i 0. z z U D i 0. i 0. z 5 5z 7z z 8z 6 0. Samtliga rötter är z V och z D 5i. 05. Samtliga rötter är z och z D i. 7

28 Baspr W oblem i övningssamligen Kapitel Uppgifter,, 6 a-c, - 7, 9-0, - 0, a,,, 9, 0, a,, 5, 7 a, 9, 5-6 a, 6 a, b,c, e, 7-80, 88, 89, 97-0, 0, 06, 09, a, 8 a, 9 a - e, 0 a - d - 6, 7 c, 9, 0, 6, 7,, 6, 7 a,, a - c, f - k, 7 a, 8 a, b, 9 a, b,, b, c, 5-0, b, a, b, 5, 9,, 6, 8, 9, ( f ) a, b, c, e,, a -c, 7 a, 8, 9 a, 0,, 7,,, 9 Appendi A -, 8-5, 7 a, 8, a, c, e, f,, 5, 5, 5, 56, 6, 65 JG

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering Kursboken innehåller uppgifter på tre nivåer, a,b och c, i stigande svårighetsgrad. Efter varje kapitel finns en bra sammanfattning,

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x). Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIKPROV KORT LÄROKURS..0 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte

Läs mer

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform. Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Lösning av trigonometriska ekvationer

Lösning av trigonometriska ekvationer Lösning av trigonometriska ekvationer Uppsala universitet 06 Per Engström per.engtrom@math.uu.se Inledning För att lösa problem i som innehåller trigonometriska funktioner kan mab bahöva lösa trigonometriska

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic Tentamen i Matematik HF70 6 aug 0 Tid: 3. 7. Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Calmers tekniska ögskola Datum: 1015 kl. 0.0 12.0 Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 07 607040 LMA222a Matematik DAI1 oc EI1 Tentan rättas oc bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Lösa ekvationer på olika sätt

Lösa ekvationer på olika sätt Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.

Läs mer

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 5 november 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET

PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET 2012-04-25 PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET Fakultetsstyrelsen för tekniska fakulteten FSTdel 12/055 Dekanus Närvarande: Ulf Nilsson dekanus Ingela Wiklund föredragande Maria Boberg sekr 1 Kursplan för

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

Lösningsmanual Endimensionell analys

Lösningsmanual Endimensionell analys Lösningsmanual Endimensionell analys Erik Oscar A. Nilsson 06, December Lund Oscar Omnia mecum porto mea Tillägnas Mina vänner I Förord Detta är en inociell lösningsmanual för: Övningar - Endimensionell

Läs mer