Experimentversion av Endimensionell analys 1

Transkript

1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 000 kommer för Bi 00, L 00 och V 00 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker från den traditionella varianten främst i utformningen av tentamina. Sftet är att försöka öka genomströmningen genom en betoning av grundläggande färdigheter. En biprodukt kan förhoppningsvis också vara att det skapas en stabilare grund för de kommande analskurserna. Upplägget prövades första gången lp 999. Eamination. En skrivning kommer att vara uppdelad i en basdel och en fördjupningsdel. (Eempel på skrivning med lösningar finns på sidan 9 4.) Basdelen består av 5 uppgifter av grundläggande karaktär. Deras lösning kräver normalt inte många steg. För att bli godkänd på skrivningen krävs godkänd basdel. Inte bara svar utan även lösningar ska redovisas på basuppgifterna. En principiellt korrekt lösning men behäftad med räknefel behöver då inte dömas ut helt. Varje korrekt löst basproblem ger poäng. Avdrag görs i steg om poäng. Ett normalt avdrag för räknefel är poäng. Sammanlagt 4 poäng på basdelen är tillräckligt för betget.0 på kursen. För överbetg i intervallet. till 6.0 krävs dels godkänd basdel, dels att fördjupningsuppgifter också klaras av. På skrivningen finns tre fördjupningsuppgifter. Varje fördjupningsuppgift ger maimalt poäng och rättas på vanligt sätt. En person som är godkänd på basdelen och erhållit.9 poäng på fördjupningsdelen får alltså betget 4.9 på skrivningen. Poäng på fördjupningsdelen kan inte kompensera otillräckliga basfärdigheter. Studenter från årskurser tidigare än 999 kan följa kursen men tenterar på vanligt sätt. För att tentera enligt eperimentsättet krävs dispens. Undervisning. Ändring av eaminationsformerna påverkar också upplägget av undervisningen. Övningsprogrammet upptar vid varje övning både basproblem och fördjupningsproblem. Till övningssamlingen finns nedan en sammanställning av de uppgifter, som kan räknas som basproblem. Inför varje övning kommer också programmet att innehålla förslag på både basproblem och fördjupningsproblem. Den som har målet att enbart bli godkänd kan alltså öva enbart på basproblem. Utöver uppgifterna i övningssamlingen presenteras nedan en samling basproblem. Dessa är grupperade i 7 basområden. Även föreläsningar och seminarieövningar får en ökad dragning åt bashållet.

2 BASOMRÅDEN.. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot. 4. Enkla absolutbeloppsproblem. 5. Binomialsatsen. Beräkning av koefficienter. 6. Potens- och eponentiallagar. 7. Logaritmlagarna. 8. Invers funktion och sammansatt funktion. 9. Enkla trigonometriska samband. 0. De elementära funktionernas grafer.. Standardgränsvärden och smärre modifikationer av dem.. Enkla asmptotundersökningar.. Derivation av de elementära funktionerna inklusive summa, produkt, kvot och sammansättning. 4. Användning av derivata. 5. Beräkning av real realdel, imaginärdel, absolutbelopp och argument av komplea tal. Polär form. Konjugering. Geometrisk tolkning. Komplea andragradekvationer och binomiska ekvationer. 6. Polnomkunskap. 7. Grundläggande definitioner och satser inom ovanstående områden. En samling tpiska basproblem.. Algebraiska förenklingar. (Behandlar eempelvis konjugatregeln, kvadreringsregler, att göra liknämnigt, förlänga, förkorta, dubbelbråk, polnomdivision o.dl.) Innan några övningar presenteras ges här en kort repetition. I detta basområde använder du flitigt fem grundregler nämligen:

3 a b a b a b (Konjugatregeln) a b a ab b (Kvadreringsregel) a b a ab b (Kvadreringsregel) a c b c a (Förkortning med c) b a b a c (Förlängning med c) b c De tre första bör man känna igen även från höger till vänster. Låt a b c och d vara positiva heltal utan annan gemensam faktor än. För att bråken a 7 b 5 c 9 d och a b c 6 ska gå att addera eller subtrahera behöver vi förlänga varje bråk så att de får gemensam d7 nämnare. Det är då räknemässigt fördelaktigt att välja den minsta gemensamma nämnaren (mgn). I detta fall blir mgn a 7 b c 9 d 7 Bråket a 7 b 5 c 9 d ska alltså förlängas med b6 d 4 och det andra bråket med a 4 c. Alltså är a 7 b 5 c 9 d a b c 6 d 7 b 6 d 4 a 7 b c 9 d 7 a 4 c a 7 b c 9 d 7 b 6 d 4 a 4 c a 7 b c 9 d 7 Motsvarande gäller även för polnom. Eempelvis är mgn till 4 och 5 polnomet 4 5. Således är Nedan kommer du också att lösa ekvationer. Tänk på att den rot du får fram ska gå att sätta in i uttrcken i ekvationen i fråga. Övningar.. Lös ekvationen. Lös ekvationen Lös ekvationen 5 5

4 4. Faktorisera uttrcket Förenkla Förenkla 7. Förenkla Förenkla a b b c a b b c a b 9. Förenkla 0. Lös ekvationen. Lös ekvationen 4. Lös ekvationen med avseende på a a a a där a 0 a och a a.. Lös ekvationen med avseende på a a a a a a a där a 0 och a. 4

5 4. Lös ekvationen där a 0 a a a 9a 5. Dividera polnomet 4 6 med polnomet Dividera polnomet 5 a 5 med polnomet a.. Reella andragradsekvationer. (Ekvationerna kan lösas via kvadratkomplettering eller känd formel.) 7. Låt a b och c vara konstanter. Uttrck b och c i a så att a b c för all (Högerledet är en kvadratkomplettering av uttrcket i vänster led.) 8. Kvadratkomplettera uttrcket 5 9. Kvadratkomplettera uttrcket 4 9 dels med avseende på, dels med avseende på. 0. Lös ekvationen. Lös ekvationen Lös ekvationen 4 5. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot. (I många fall kan dessa uppgifter behandlas enligt receptet: Kvadrera, lös, pröva.) Lös ekvationerna i uppgifterna

6 Enkla absolutbeloppsproblem. 4. För vilka reella gäller att? 5. För vilka reella gäller att? 6. För vilka reella gäller att? 7. För vilka reella gäller att? (Tänk på att.) 8. För vilka reella gäller att 9. För vilka reella gäller att?? 40. För vilka reella gäller att? 4. För vilka reella gäller att För vilka reella gäller att 7 5 7? 5 7? 4. För vilka reella gäller att? 44. Rita kurvan. 45. Rita kurvan. 6

7 5. Binomialsatsen. Beräkning av koefficienter. 46. Beräkna Beräkna Utveckla Utveckla Utveckla Bestäm koefficienten för 9 i utvecklingen av 5. Vilken är högstagradspotensen (inklusive koefficienten) i ? 6. Potens- och eponentiallagar. 5. Förenkla a a a. 54. Förenkla a4 a 5 a Förenkla z 8 z. 56. Förenkla z 8 z. 57. Förenkla Lös ekvationen Förenkla a 4 a. a 60. Lös ekvationen Bestäm om 6 6. Lös ekvationen 7

8 6. Förenkla. 64. Förenkla. 65. Förenkla e 4 e. 66. Lös ekvationen Förenkla Logaritmlagar. 68. Förenkla ln6 ln. 69. Förenkla ln. 70. Förenkla ln a b ln a b. 7. Förenkla ln a b ln a b. 7. Förenkla ln ln ln Lös ekvationen Lös ekvationen Lös ekvationen (Sätt t.) 76. Lös ekvationen Lös ekvationen ln ln ln 6. (Glöm inte att pröva!) 78. Lös ekvationen ln ln. 79. Lös ekvationen ln ln Lös ekvationen ln ln. 8. Lös ekvationen ln ln ln. 8. Bestäm talet k i form av ett enda logaritmvärde så att k ln5 lg5. 8

9 8. Hur ska eponenten se ut för att e? 9

10 8. Invers funktion och sammansatt funktion. Bestäm inversen och dess definitionsmängd till funktionerna i uppgifterna f f f Beräkna f g om f och g e. 88. Beräkna och förenkla f g g f om f sin och g. 89. Betrakta funktionen f α. Bestäm α så att f f f för alla Betrakta funktionerna f och g a b. Bestäm de reella konstanterna a och b så att f g g f för alla reella 9. Ange funktioner f och g sådana att f g sin 5 Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9. Ange funktioner f och g sådana att f g e sin Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9. Ange funktioner f och g sådana att f g cos cos Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9. Enkla trigonometriska samband. (Eempel på samband kan vara dubbla och halva vinkeln, additions- och subtraktionsformler, hjälpvinkelteknik. Vidare krävs kännedom om de trigonometriska funktionernas värden för vinklar av tp 6 4 o.dl.) Finn i uppgifterna alla lösningar till respektive ekvation. 94. sin 95. cos.. 0

11 96. cos 97. sincos cos sin. 99. cos cos cos sin cos. 0. sin sin cos sin sin sin. 04. tan. 05. tan. 06. Skriv sin cos 7 cos sin 7 som ett enda sinusuttrck genom att använda lämplig additionssats. 07. Använd hjälpvinkelteknik för att bestämma A i omskrivningen sin 4 cos A sin δ. 08. Betstäm något värde på δ sådant att sin cos sin δ. 09. Bestäm något värde på δ sådant att sin cos sin δ. 0. Bestäm största och minsta värdet av sin cos då.. Bestäm största och minsta värdet av sin cos då De elementära funktionernas grafer.. Skissera grafen för α 0 dels då α, dels då α.. Skissera grafen för e. 4. Skissera grafen för e. 5. Skissera grafen för sin.

12 6. Skissera grafen för cos. 7. Skissera grafen för tan. Vissa är dock undantagna. Vilka? 8. Skissera grafen för ln Skissera grafen för ln Skissera grafen för arcsin. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arctan. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arcsin arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd. 4. Kombinera de fra graferna nedan med funktionerna arcsin arccos sin cos 0. a) b) c) d). Standardgränsvärden och smärre modifikationer av dem. Beräkna gränsvärdena i uppgifterna lim lim. 7. e lim e lim n 4 n n.

13 9. lim n 0. lim n. lim n. lim n n n n n. n! n. 4 n 4 n n. n. sin. lim 0. sin 4. lim. 5. lim 0 sin. 6. lim 0 e. e sin 7. lim 0 sin. 8. lim 0 e sin. ln 9. lim ln lim.. 4. lim 0 ln cos cos. 4. lim 0 4. lim lim 0 ln. lg. sin ln sin.

14 . Enkla asmptotundersökningar. (Notera att om f a b g, där g 0 då så är a b en sned asmptot till f då.) Bestäm i uppgifterna 45 5 samtliga asmptoter e. 49. sin ln Derivation av de elementära funktionerna inklusive summa, produkt, kvot och sammansättning. Derivera funktionerna i uppgifterna e. 56. sincos sin cos. e sin cos. 4

15 59. ln. 60. ln. 6. ln. 6. e sin cos. (Jfr uppgift 58.) 6. arcsin 64. arctan 65. arcsin 66. e sin 67. sin e 68. arcsin arccos cosh sinh Användning av derivata. (Tangent, samband mellan derivatans tecken och funktionens monotonitet, enkel kurvritning o.dl.) 7. Bestäm en ekvation för tangenten till 8 i den punkt där. 7. Markera i en teckentabell i vilka intervall som derivatan av funktionen f är negativ respektive positiv. Markera också var funktionen avtar respektive väer. 74. Bestäm största och minsta värdet av e då Bestäm största värdet av ln då Visa att funktionen f e är strängt väande. 5

16 77. Visa att funktionen f arcsin arccos, är konstant. Vad är konstanten? 78. Rita funktionen f arctan arctan Låt f t vara antalet mobiltelefonabonnemang vid tiden t. Vilket tecken har f t om ökningen av f t avtar? 80. En partikel (kanske en planet) rör sig längs ellipsen 9 4 (Se figuren till höger!) Hur nära kommer partikeln 0? (Kvadraten på avståndet från en punkt på ellipsen till 0 ges av uttrcket, där kan hämtas från ellipsens ekvation.) 0 8. En partikel rör sig längs ellipsen En partikel rör sig längs ellipsen 9 4 Hur nära kommer partikeln 0? Hur nära kommer partikeln 5 0? 8. En tank har en halvsfärisk form med radien 0 cm. Tanken är flld med vatten till djupet h cm. Då ges vattenvolmen av V h 60 h cm. Med vilken hastighet ökar volmen då djupet är 0 cm och ökar med 0.0 cm/s? 84. I en ideal gas, där temperaturen är konstant, gäller enligt Bole att pv konstant, där p är trcket och V volmen. Vid ett visst tillfälle är trcket 5 och ökar med 5 enheter per s. Vid samma tillfälle är volmen 60 enheter. Med vilken hastighet ändras den? 5. Beräkning av realdel, imaginärdel, absolutbelopp och argument av komplea tal. Polär form. Konjugering. Geometrisk tolkning. Komplea andragradekvationer och binomiska ekvationer. 85. Bestäm imaginärdelen av i 4i 86. Bestäm absolutbelopp och argument för det komplea talet i. 87. Skriv i i polär form. 88. Bestäm absolutbeloppet av e iθ då θ är reellt. 89. Vilket är det minsta absolutbelopp, som förekommer bland de komplea talen e i e i5 4e i och e iθ där θ är reellt? 6

17 90. Vilket av de komplea talen ligger längst från origo? i e i 0 i 9. Bestäm det komplea talet z så att i z iz i 9. Bestäm argumentet av i 0 i i 9. Bestäm absolutbeloppet av i 0 i i 94. Markera i det komplea talplanet de z för vilka z i 95. Lös ekvationen 96. Lös ekvationen 97. Lös ekvationen 98. Lös ekvationen z 0z 6 0 z 4i z 8 6i z iz 9 6i 99. Lös ekvationen z 9 6i z i 00. Lös ekvationen z i (Halvera högerledets argument och dra roten ur högerledets absolutbelopp och du har en rot.) 0. Lös ekvationen 0. Lös ekvationen z z i i 0. Lös ekvationen 04. Lös ekvationen z 0z 5 i z 4iz 4 i 7

18 05. Lös den binomiska ekvationen 06. Lös Svara i polär form. z 5 z 8 6. Polnomkunskap. (Konjugerade nollställen till polnom med reella koefficienter. Faktorsatsen.) 07. Tredjegradspolnomet p har reella koefficienter och bl.a. nollställena och i nollställen har p? Vilka andra 08. Skriv upp ett femtegradspolnom med reella koefficienter och med nollställena i i och. 09. Ekvationen z z 5z 9 0 har bl.a roten z 5i. Bestäm samtliga rötter. 0. Polnomet z 6z z 6 har nollställen, som alla har samma realdel. Bestäm samtliga nollställen. 8

19 7. Definitioner och satser o.dl. Definitioner och resultat Sidor Namn eller beskrivning Sats 5 Faktorsatsen Sats 5 0 Geometrisk summa Sats 6 5 Binomialsatsen Sats 8 48 Sats 0 54 Formlerna (57) (64) 7 74 Sats 79 Cosinussatsen Sats 79 Sinussatsen Sats 4 85 Sats 06 Gränsvärdesregler Sats 6 0 Talet e Definition Talet e Sats 7 Formlerna () (4) 5 6 Standardgränsvärden Definition 49 Derivata Sats 56 Derivationsregler Sats 58 kedjeregeln Sats 4 6 Inversens derivata Sats De elementära funktionernas derivator Definition 70 Lokal etrempunkt Sats 7 Sats 5 74 Sats 6 75 Sats 6 48 de Moivres formel Definition 8 40 Komple eponentialfunktion Sats 8 48 Algebrans fundamentalsats Sats 0 49 Konjugerade rötter (Bruksanvisning: Satserna och definitionerna ovan behöver du kunna dels som grund för problemlösningen, dels för att det kan förekomma rena teorifrågor på tentamen.) 9

20 Eempel på skrivning MATEMATIK LTH TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS Eperimentversion kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. BASDEL.. Förenkla Finn alla lösningar till ekvationen cos7 cos. Bestäm absolutbeloppet av 4. Lös ekvationen 5. För vilka reella gäller att 6. Lös ekvationen i 0 4i 4 i 5? ln ln e 7. Bestäm koefficienten för 7 i utvecklingen av 0. (Binomialkoefficienten ska räknas ut.) 8. Skissera grafen för arctan. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd. 9. Funktionen f är definierad i en omgivning av a. Vad menas definitionsmässigt med f a? ln 0. Beräkna lim 0.. Bestäm samtliga asmptoter till f cos. 0

21 . Derivera arcsin och arcsin.. Bestäm största och minsta värdet av f e 8 då Visa att funktionen f 5. Lös ekvationen z i ln är strängt väande då ln FÖRDJUPNINGSDEL. 6. I en enkel modell av trafikflödet på en väg ges bilflödet f v av f v v L vt där v 0 är hastigheten och a L och T är positiva konstanter. Skissera grafen till f om L 4 T och a 8. Ange särskilt eventuella lokala etrempunkter och eventuella största eller minsta värden till f. v a 7. Ur en clindrisk balk med diametern d ska tillverkas en balk med rektangulärt tvärsnitt och med så stor böjstvhet som möjligt. Böjstvheten är proportionell mot, där är rektangelns bredd och dess höjd. Se figuren! Bestäm förhållandet då böjstvheten är som störst. d 8. Låt p vara ett polnom sådant att följande fra villkor gäller: Bestäm p. p har reella koefficienter grad p 4 p 0 varje rot till ekvationen p z 0 är enkel och ligger på någon av linjerna Rez Imz 5 eller Rez Imz 7. Lcka till!

22 MATEMATIK LTH LÖSNING ENDIMENSIONELL ANALYS Eperimentversion Potenslagarna ger att cos7 cos 7 n n n eller 5 n heltal. i 0 4i 4 i 5 i 0 4i 4 i i 0 4i 4 i 5 4. Multiplicera alla termer med. Då fås Sätt. Den givna ekvationen kan då skrivas som, dvs. Vi har alltså de två ekvationerna eller 6. I ekvationen ln ln e krävs att e. Enlit logaritmlagarna kan vi skriva ekvationen som ln e e e e e e 0 eller e Men inledningsvis noterade vi kravet att e. Därför duger bara e. 7. Binomialsatsen ger att Då k får vi termen 0 Koefficientem för 7 är således k 0 0 k 0 k k

23 8. Definitionsmängden är och värdemängden :. Grafens utseende är arctan 9. f a h f a lim h 0 h f a ln 0. Eftersom vi känner standardgränsvärdet lim 0 får vi att ln lim 0 lim 0 ln. Eftersom cos är begränsad och lim 0 blir cos lim lim cos 0 Härav följer att är en sned asmptot då. Vidare är 0 en lodrät asmptot då 0, t. Eftersom ger kedjeregeln att Darcsin. Derivationsregeln för produkt ger att cos lim 0 Darcsin 4 f e 8 e e 8 e 4 Derivatan har alltså nollställen i 4 och. Av dessa är det bara som ligger i intervallet 0. Eftersom intervallet är slutet och begränsat och funktionen kontinuerlig så antas både ett största och ett minsta värde. Vi behöver bara välja bland f 0 8 f 4e f e Svar: Största värdet är e och det minsta 4e. 4. Derivationen underlättas av omskrivningarna ln ln ln och ln ln ln. Eftersom blir nämnaren aldrig 0. Derivationsregeln för kvot ger nu att Således är f strängt väande. f ln ln ln ln ln ln 0

24 5. Metod : Polär teknik leder till att z i e i k z e i 4 k k 0 z i Metod : Med z i övergår ekvationen z i i ekvationssstemet 0 (realdelarna lika) (absolutbeloppen lika) (imaginärdelarna lika) eller och har olika tecken Svar: z i. 6. För att få underlag för kurvritningen deriverar vi först funktionen Vi får f v 4 v f v v 6 v v 4 v v v 4 v v v v 6 v 4 v 6 8 v 8 v 4 v v 6 64 v 6 4 v Eftersom v 0 har f v bara ett nollställe, nämligen v 8. Vi sammanställer en teckentabell Då dessutom kan vi rita grafen. lim f v v v 0 8 f v 0 f v 0 lim v v 4 v v 6 0 v 6 f v 8 v Lokal minimipunkt är v 0 och lokal maimipunkt är v 8. Minsta värde är 0 och största. 4

25 7. Enligt Ptagoras sats gäller att d. Böjstvheten och böjstvheten i kvadrat blir störst samtidigt varför vi med fördel kan undersöka 6. Om vi kombinerar detta med resultatet från Ptagoras får vi funktionen f d 6 d d Vi ser att f 0 f d 0 och att f 0. Alltså måste f anta sitt största värde i en stationär punkt sådan att 0 d. Vi beräknar därför f 6d d 4 I intervallet 0 d har tdligen f ett enda nollställe, nämligen böjstvheten som störst då d. Enligt Ptagoras sats är då d. d. Således blir Svar: Då böjstvheten är som störst är. 8. Om z a ib är en rot till ekvationen p z 0 så är även a ib en rot. Om a ib ligger på linjen Rez Imz 5 och om b 0 så ligger a ib på linjen Rez Imz 7. Se figuren till höger! Alltså gäller a b 5 a b 7 Ekvationen p z 0 har alltså bara komplea rötter i z i. Eftersom rötterna är enkla och grad p 4 måste det finnas tterligare två enkla reella rötter till p z 0. Dessa hittar vi som linjernas skärningspunkter med reella aeln. Alltså är z 5 och z 7 rötter. Enligt faktorsatsen gäller då att p z c z i z i z 5 där c är en konstant. Men Alltså är c Svar: p z p 0 c i i z 4z z 5 z 7 z 7 7 a b i 5 5

26 Svar till basproblemen b 5 c. Lösning saknas.. a a a. a 4. 4a a a a a 4 7. b 8. 5 a och c a resp Lösning saknas Lösning saknas Lösning saknas. 4. och eller 4 7. och och 4 och 6

27 Inga a a e a a a z z ln ln 70. lna 4lnb 7. 5lna 0lnb 7. ln e ln0 ln0 lg0 7

28 80. 0 e 8. e 8. k lge 8. ln 84. f f 86. f n n heltal 0. n eller 0. 4 n 7 eller n n hel- tal n n heltal 7 0. n eller 04. n n heltal 4 n n heltal 87. e 05. n n heltal cos 89. α 0 eller α 06. sin A a b δ 4 9. f 5 och g sin 9. f e och g sin 9. f och g cos n eller 5 n n hel- 6 tal 09. δ 0. Största värde är och minsta. Största värde är och minsta n n heltal n n heltal 97. n eller 5 n n heltal 98. n n heltal n 7 n heltal 8

29 . 8. ln e e ln ln 5. sin cos arcsin 7. Definitionsmängd: Värdemängd: tan Undantagna är n n heltal. 9

30 . arccos e 4 9. e 4. Definitionsmängd: Värdemängd: 0 0. e 4.. arctan Definitionsmängd: Värdemängd: arcsin arccos Definitionsmängd: Värdemängd: 4. a) sin b) arccos c) cos d) arcsin ln är sned asmptot då. 46. är sned asmptot då. 0

31 47. 5 är sned asmptot då och 0 är lodrät asmptot är sned asmptot då men inte då. 49. är sned asmptot då. Notera att 0 inte är någon lodrät asmptot. 65. arcsin 66. e sin cos 67. e cos e 50. är sned asmptot då. Ingen lodrät asmptot är sned asmptot då och 0 är lodrät asmptot då Ingen sned asmptot men är lodrät asmptot e cos e cos tan 6. e sin cos sin cos 68. arccos arcsin 69. ln f 0 0 f 74. Största värde: e Minsta värde: e 75. e e 76. f 0 utom i en enda punkt, nämligen. Detta ger att f är strängt väande. 77. f 0 för alla i intervallet. Detta ger att f är konstant. Det konstanta värdet kan bestämmas i vilken punkt som helst. Eempelvis är f

32 78. Derivatan är 0 för 0. Alltså är f f för alla 0. För 0 gäller att f f f. Grafen får utseendet f z i i 79. Negativt 95. z 5 i 80. Kortaste avstånd är Kortaste avstånd är. 8. Kortaste avstånd är Volmen ökar med 9 cm /s. 84. Volmen minskar med volmsenheter/s Absolutbeloppet är och argumentet 4 n n heltal 87. e i i 9. z i 9. n n heltal 96. z i 97. z i 98. z z i 99. z z i 00. z i 0. z i 0. z i 0. z 4 i z 6 i 04. z i z i 05. z e ik 5 k z z i 07. i 08. z 5 5z 4 7z z 8z Samtliga rötter är z och z 5i.

33 0. Samtliga rötter är z och z i.

34 Basproblem i övningssamligen Kapitel Uppgifter,, 6 a - c, - 7, 9-0, 4-0, a,, 4, 9, 40, 4 a, 44, 45, 47 a, 49, 5-6 a, 64 a, b,c, e, 7-80, 88, 89, 97-0, 0, 06, 09, 4 a, 8 a, 9 a - e, 0 a - d - 6, 7 c, 9, 0, 6, 7, 4, 6, 7 a,, a - c, f - k, 7 a, 8 a, b, 9 a, b,, 4 b, c, 5-0, b, a, b, 5, 9,, 6, 8, 9, ( f ) 4 a, b, c, e,, 4 a - c, 7 a, 8, 9 a, 0,, 7,, 4, 9 Appendi A -, 8-5, 7 a, 8, 4 a, c, e, f, 44, 45, 49, 5, 56, 6, 65 JG