5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

Transkript

1 KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1). Rita upp triangeln ABC med A = (1, 3), B = (2, 4) och a) Bestäm cosinus för samtliga vinklar i triangeln. b) Avgör vilken av vinklarna som är störst. c) Låt C röra sig efter linjen x = 5 och bestäm ett villkor på C för att vinkeln B skall vara den största i triangeln. Övning 1.2 [5B1134:KS:1:23] Rita upp triangeln ABC med A = (1, 2), B = (3, 5) och C = (5, 1). a) Bestäm sinus för samtliga vinklar i triangeln genom att använda areasatsen.(ledning: För att bestämma sidlängderna och arean av triangeln kan man skriva in den i en rektangel med sidorna parallella med koordinataxlarna.) b) En av vinklarna är nästan precis 6. Vilken är det, och är den större eller mindre än 6? c) Nästa vecka kommer vi att studera subtraktionssatsen för cosinus, som säger att cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β. Använd denna för att härleda ett uttryck för cosinus av vinkeln mellan de två linjerna y = kx och y = lx, där k och l.

2 Övning 1.3 [5B1134:Tentamen:3113:1] a) I en triangel ABC är sidan c = AB = 5, 1 cm och sidan a = BC = 6, 7 cm. Vinkeln vid A är α = 68. Bestäm närmevärden med två gällande siffror till den tredje sidans längd och de båda andra vinklarna med hjälp av någon av triangelsatserna. b) Två cirklar skär varandra i två punkter som ligger på avstånd 2 från varandra. Cirklarnas radier är 1 respektive 2. Bestäm arean av det område som ligger innanför båda cirklarna. (5) Övning 1.4 [5B1134:Tentamen:3113:1] a) En triangel har sidlängderna 4 cm, 5 cm och 6 cm. Bestäm samtliga vinklar och arean av triangeln. (5) b) Vi får en rundad triangel från en liksidig triangel genom att sätta dit cirkelbågar med centrum i ett av hörnen och som går genom de andra två hörnen. Bestäm förhållandet mellan den rundade triangelns area och den ursprungliga triangelns area? Övning 1.5 [5B1134:Tentamen:419:1] a) Bestäm vinklarna i en triangel med sidlängderna 11 cm, 13 cm och 17 cm. b) Hur stor del av en cirkels yta utgörs av en regelbunden sexhörning som har sina hörn på cirkelns rand? c) Hur lång omkrets har en regelbunden n-hörning i förhållande till den cirkel dess hörn ligger på? Övning 1.6 [5B1134:Tentamen:4821:1] I triangeln ABC har sidan AB längd 7, sidan BC längd 5 och cos B = 1/7. a) Bestäm exakta värden för längden av den tredje sidan och cosinus för de båda övriga vinklarna. (5) b) Låt S vara centrum för en cirkel med som har alla triangelns hörn på periferin. Vi vet nu att vinkeln ASB är dubbelt så stor som vinkeln C enligt en känd sats. Enligt satsen för cosinus av dubbla vinkeln är cos 2C = 2 cos 2 C 1. Använd detta för att bestämma cirkelns radie. Övning 1.7 [5B1134:KS:1] En triangulär tomt har måtten 35 m, 48 m och 5 m. a) Beräkna närmevärden för vinklarna vid alla tre hörnen med två gällande siffror. b) Beräkna ett närmevärde med två gällande siffror för tomtens area. 2

3 c) En familj som köpt den obebyggda tomten vill söka bygglov för ett hus som är format som en reguljär pentagon, dvs en femhörning där alla sidor är lika långa och alla vinklar är lika stora. Man kan räkna med att få bygglov för ett hus med bottenarea som upptar högst 1 % av tomtarean. Hur långa kan husets väggar i så fall vara? Övning 1.8 [5B1134:Tentamen:4111:1] Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och 13 m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje sidans längd. b) Hur stor kan triangelns area maximalt vara? c) I en rätvinklig triangel delar en linje den räta vinkeln i två vinklar som är 3, respektive 6. Linjen delar hypotenusan i två längder som är 8 cm respektive 2 cm. Hur långa är kateterna i triangeln? Övning 1.9 [5B1134:Tentamen:413:1] I triangeln ABC är vinklarna A = 42, B = 63 och C = 75. a) Bestäm hur långa de övriga sidor är ifall den kortaste sidan har längd 15 m. Ange sidlängderna med två gällande siffors noggrannhet. b) Bestäm alla tre sidlängder med två gällande siffrors noggrannhet ifall arean av triangeln är 1 m 2. c) Härled cosinussatsen med hjälp av Pythagoras sats genom att dra en höjd mot en av sidorna. Övning 1.1 [5B1134:Tentamen:5112:1] a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdenheter och vinkeln mellan dessa sidor är 12. Bestäm den tredje sidans längd och triangelns area. b) Bestäm sidlängderna i en triangel där vinklarna är 34, 57 och 89 och triangelns area är 44 cm 2. Ange svaren med två värdesiffror. c) Två tangenter till en cirkel med radie r möts vid en vinkel av 45. Hur stor är arean av det område som ligger mellan tangenterna och cirkeln? Övning 1.11 [5B1134:Tentamen:5829:1] a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd ger upphov till en triangel med en area på minst 9 kvadratmeter. (5) b) Jämför arean av en regelbunden oktagon med sida 1/ 2 med en regelbunden hexagon med sida 1. Vilken är störst? 3

4 2 Trigonometriska funktioner, ekvationer och formler Övning 2.1 [5B1134:Modell:2] a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen tan(3πx + π 2 ) = 1 3. b) I en triangel är cosinus för två av vinklarna 1/4, respektive 1/2. Använd additionsformeln för cosinus för att bestämma cosinus av den tredje vinkeln. c) Om cos α = 1/4 och cos β = x, vad är det då för villkor på x för att triangeln har två vinklar som är lika? Övning 2.2 [5B1134:KS:2:23] a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen sin(ωt + π 2 ) = 1 2, där ω = 1π. b) Skriv om 5 sin ωt 12 cos ωt på formen A sin(ωt + φ). c) Bestäm det största och det minsta värdet av funktionen f(x) = a sin x + b cos x + c där a, b och c är reella konstanter. Övning 2.3 [5B1134:Tentamen:3113:2] a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen b) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen sin 4x = cos 5x. cos x sin x =

5 c) Använd formeln för cosinus av dubbla vinkeln för att finna ett exakt uttryck för sin π/12. Övning 2.4 [5B1134:Tentamen:3113:2] a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen tan 2x = 3. b) För att bestämma extremvärdena för funktionen f(x) = sin 2x cos x leds man till att finna nollställena till derivatan g(x) = f (x) = 2 cos 2x cos x sin 2x sin x. Förenkla uttrycket för g(x) och bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen g(x) =. c) Härled formeln cos π 12 = 2(1 + 3) 4 med hjälp av någon av additionsformlerna. Övning 2.5 [5B1134:Tentamen:419:2] a) Skriv om sin x 3 cos x på formen A sin(x + φ). b) Använd resultatet från a) för att bestämma samtliga lösningar till ekvationen sin x 3 cos x = 2. c) Härled, med hjälp av additionsformlerna och trigonometriska ettan, formeln för sin(x/2) uttryckt i cos x. Övning 2.6 [5B1134:Tentamen:4821:2] a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen ( cos 3x π ) = b) Använd additionsformlerna och trigonometriska ettan för att skriva om sin 3x som ett polynom i sin x och cos 3x som polynom i cos x. (5) Övning 2.7 [5B1134:KS:1] 5

6 a) Rita upp grafen för funktionen f(x) = 3, 5 cos(4, 4 x) i intervallet x 2π/3 och bestäm alla lösningar till ekvationen 3, 5 cos(4, 4 x) = 1, 2 i samma intervall. Ange lösningarna med två värdesiffror. b) Hur många lösningar har ekvationen sin(ωt + φ) =, 242 i intervallet ms t 94 ms, om ω = 3, radianer/s och φ = 2π/3? b) Man kan skriva om a sin(ωt) + b sin(ωt + 2π/3) på formen A sin(ωt + φ). Bestäm amplituden A uttryckt i a och b. Övning 2.8 [5B1134:Tentamen:4111:2] a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen ( ) 2x π 3 sin = 3 2. b) Bestäm den minsta positiva lösningen till ekvationen 1, 2 sin x + 1, 4 cos x =, 54 med två gällande siffrors noggrannhet. c) Använd sinussatsen för att härleda additionssatsen för sinus i det fall då alla inblandade vinklar ligger mellan och 18. Övning 2.9 [5B1134:Tentamen:413:2] a) Bestäm samtliga nollställen till funktionen b) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen ( f(x) = 2 sin 3x + π ) sin x + sin 2x =. 6

7 c) Vilket är det minsta positiva tal, x, där det inte spelar någon roll om man har miniräknaren inställd på radianer eller grader när man skall beräkna sin x? Övning 2.1 [5B1134:Tentamen:5112:2] a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen ( sin 5x 2π 3 ) 2 = 2. b) Bestäm ett närmevärde med två gällande siffror till den minsta positiva lösningen till ekvationen sin x + 2 cos x = 2 c) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen Övning 2.11 [5B1134:Tentamen:5829:2] a) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen sin x + sin 2x + sin 3x =. tan(2t + π/5) = 3 b) Bestäm med två värdesiffrors noggrannhet konstanterna A och φ sådana att A sin(x + φ) = 5 sin x 3 cos x. c) Skriv cos 4x som ett polynom i cos x. 7

8 3 Derivator med tillämpningar Övning 3.1 [5B1134:Modell:3] Låt f : R R vara den funktion som ges av f(x) = (2 cos x + 1) 4, för alla reella tal x. a) Formulera kedjeregeln och använd den för att derivera f. b) Bestäm maximum och minimum för funktionen f på intervallet π/2 x 3π/2. c) Beskriv hur vi i allmänhet finner extrempunkterna till h = g n då g : R R är en given funktion och n är ett positivt heltal. Övning 3.2 [5B1134:KS:3:23] Betrakta funktionen f(x) = sin x cos x e x. a) Formulera regeln för derivering av en kvot och använd den för att beräkna derivatan av f(x). Förenkla uttrycket så långt som möjligt. b) Skissera grafen för f(x) på intervallet x π och bestäm maximum och minimum av f(x) på samma intervall. c) Funktionen y = f(x) är lösningen till en differentialekvation y + ay + by =. Bestäm konstanterna a och b. Övning 3.3 [5B1134:Tentamen:3113:3] Betrakta funktionen f(x) = sin x + 2 cos 2 x. a) Formulera kedjeregeln och använd den för att beräkna derivatan av funktionen f(x). b) Bestäm närmevärden till maximum och minimum för f(x) på intervallet x 2π med två gällande siffror. c) Bestäm exakta värden för maximum och minimum för funktionen f(x). Övning 3.4 [5B1134:Tentamen:3113:3] Betrakta funktionen f(x) = x(3 x)e x/2. a) Beräkna derivatan av funktionen f(x). Ange noggrant vilka deriveringsregler som används. b) Bestäm maximum och minimum för f(x) på intervallet x 1 och skissera grafen för f(x) på samma intervall. (5) Övning 3.5 [5B1134:Tentamen:419:3] Betrakta funktionen f(x) = (x 2 x)e 2x. 8

9 a) Beräkna derivatan av funktionen f(x). Ange noggrant vilka deriveringsregler som används. b) Bestäm maximum och minimum för f(x) på intervallet 1 x 1 och skissera grafen för f(x) på samma intervall. (5) Övning 3.6 [5B1134:Tentamen:4821:3] a) Derivera funktionen f(x) = 8 cos 4 x 8 cos 2 x. (Var noggrann med att ange vilka deriveringsregler som används.) b) Derivera funktionen g(x) = cos 2x sin 3x. c) Bestäm ett värde på konstanten a så att funktionen h(x) = e ax sin 2 x får ett lokalt maximum i punkten x = π/3. (5) Övning 3.7 [5B1134:KS:3] a) Beräkna derivatan av funktionen f(x) = sin2 x x 2. Ange noggrant vilka deriveringsregler som används och hur de används. b) Bestäm det största och det minsta värdet för funktionen g(x) = 2x 3 3x + 2 på intervallet x 1 och skissera grafen för g(x) på samma intervall. Ange svaren exakt. c) Använd Newton-Raphsons metod med startvärde x = för att finna ett närmevärde till den enda reella lösningen till ekvationen x 3 + 3x + 1 =. Utför två iterationer och gör en uppskattning av felet. Övning 3.8 [5B1134:Tentamen:4111:3] a) Derivera funktionen f(x) = e2x e 2x e 2x + e 2x. Var noggrann med att ange vilka deriveringsregler som används och hur de används. b) Bestäm det största och det minsta värdet för funktionen g(x) = sin x 2 + cos x på intervallet x 2π. Skissera också grafen för funktionen på samma intervall. 9

10 c) Härled derivatan av tan x direkt från definitionen av derivata. (Ledning: Använd att (sin x)/x går mot 1 när x går mot noll.) Övning 3.9 [5B1134:Tentamen:413:3] a) Derivera funktionen f(x) = sin(x) cos(x) sin(x) + cos(x). Var noggrann med att ange vilka deriveringsregler som används och hur de används. b) Bestäm det största och det minsta värdet för funktionen g(x) = 2 + x 5 + x 2 på intervallet 5 x 5. Skissera också grafen för funktionen på samma intervall. c) Visa direkt från definitionen av derivata att en exponentialfunktion, h(x), uppfyller Övning 3.1 [5B1134:Tentamen:5112:3] a) Beräkna derivatan av funktionen h (x) = h(x) h () h(). f(x) = 1 e 2x cos(x) som är definierad för x. Var noggrann med att ange vilka deriveringsregler som används och hur de används. b) Använd Newton-Raphsons metod för att bestämma ett närmevärde till nollstället till funktionen f(x) = sin(x) + x 1. Utför två iterationer med startvärde x =. och ange nollstället med korrekt antal gällande siffror. c) Härled formeln för derivatan av en produkt av två deriverbara funktioner. Övning 3.11 [5B1134:Tentamen:5829:3] a) Beräkna derivatan av funktionen f(x) = ln x sin 2 x. Var noggrann med att ange vilka deriveringsregler som används och hur de används. 1

11 b) Beräkna maximum och minimum för funktionen g(x) = 2x x + 3 på intervallet x 3 och skissera grafen för funktionen på samma intervall. c) Om man behöver beräkna 57 med en miniräknare som saknar kvadratrotsfunktion kan man använda Newton-Raphsons metod. Använd den för att beräkna ett närmevärde med tre gällande siffrors noggrannhet utgående från startvärdet x = 7. 11

12 4 Integraler med tillämpningar Övning 4.1 [5B1134:Modell:4] a) Bestäm arean av det område som ligger mellan graferna för funktionerna f(x) = cos x och g(x) = 1/2 på intervallet [, 2π]. b) Bestäm ett uttryck för motsvarande area om vi byter ut funktionen g(x) = 1/2 mot g(x) = cos a, där a är en konstant med a π. c) Vilka värden på a ger den största, respektive minsta arean mellan graferna? Övning 4.2 [5B1134:KS:4:23] a) Bestäm arean av området mellan graferna för funktionerna f(x) = cos x och g(x) = sin 2x på intervallet x π/2. b) Kurvan y = x(1 x) på intervallet x 1 roterar kring x-axeln och begränsar på så vis en tredimensionell kropp. Bestäm med hjälp av en integral volymen av denna rotationskropp. c) När ett område ovanför x-axeln roteras kring x-axeln kan volymen för den uppkomna rotationskroppen beskrivas som 2πrA där A är arean under grafen som roteras och r är avståndet från områdets tyngdpunkt till x-axeln. Bestäm tyngdpunktens höjd över x-axeln för det område som roteras i b). Övning 4.3 [5B1134:Tentamen:3113:4] a) Bestäm volymen av den rotationskropp som uppkommer då kurvan y = 1 2x 2 roterar kring x-axeln på intervallet x 1/2. b) Använd partiell integration för att beräkna integralen π x 2 sin xdx. c) Beräkna integralen 2 x 2 x 2 dx med hjälp av variabelbytet t = 2 x 2. (Ledning: 2/3x x är en primitiv funktion till x.) Övning 4.4 [5B1134:Tentamen:3113:4] 12

13 a) Beräkna integralen π sin x cos 2x dx. b) Använd först variabelbytet t = ln x och sedan partiell integration för att beräkna integralen 2 (ln x) 2 dx. Övning 4.5 [5B1134:Tentamen:419:4] 1 a) Bestäm arean mellan graferna för funktionerna f(x) = e x och g(x) = e 2x på intervallet 1 x 1. (5) b) Beräkna integralen π x sin x dx med hjälp av partiell integration. c) Använd en trapetsmetoden med fyra delintervall för att få en numerisk approximation av samma integral som i föregående deluppgift. Övning 4.6 [5B1134:Tentamen:4821:4] a) Beräkna integralen 2 f(x) 2 dx där f(x) = e x 1 för alla reella x. b) Beräkna integralen 1 (1 x 2 )e x dx med hjälp av partiell integration. c) Låt g(t) vara en periodisk funktion med period T och låt a vara en reell konstant. Visa att (n+1)t nt e at f(t)dt = K T e at f(t)dt för någon konstant K och bestäm denna konstant. Övning 4.7 [5B1134:KS:4] 13

14 a) Polynomet p(x) = 1 2x 2 är en approximation av cos 2x som är bra för små värden på x. Beräkna integralerna π/4 cos 2x dx och π/4 p(x) dx och jämför resultaten. Hur stort blir det fel man får genom att använda approximationen? b) Bestäm hur stort felet blir när man använder trapetsmetoden med tre delintervall för att beräkna integralen π/4 cos 2x dx. c) Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas då området under grafen för f(x) = ln(x) + 1 roterar kring x-axeln på intervallet 1 x e. Övning 4.8 [5B1134:Tentamen:4111:4] a) Kurvorna y = e 2x och y = e 2x avgränsar tillsammans med linjen x = ln ett område i planet. Beräkna arean av detta område. b) Beräkna integralen π sin x 2 + cos x dx. med hjälp av variabelbyte. c) Bestäm det värde på konstanten a som minimerar π (ax sin x) 2 dx. Övning 4.9 [5B1134:Tentamen:413:4] a) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av parabeln y = 4 x 2 och linjen y = 1 + 2x. b) Använd variabelbytet x = tan t för att beräkna integralen x 2 dx. c) Beräkna arean mellan de två kurvorna y = sin(x + a) och y = sin(x + b) på ett intervall som ligger mellan två närstående skärningspunkter. 14

15 Övning 4.1 [5B1134:Tentamen:5112:4] a) Kurvan f(x) = sin(x) avgränsar tillsammans med dess tangenter i punkterna x = och x = π ett område i planet. Beräkna arean av detta område. b) Samma område roterar kring x-axeln. Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas. c) Beräkna integralen x dx med hjälp av ett variabelbyte. Övning 4.11 [5B1134:Tentamen:5829:4] a) Använd en integral för att beräkna arean av området mellan kurvan y = x 2 och linjen y = 2x + 3. b) Bestäm en primitiv funktion till f(x) = x 2 sin 2x genom att använda partiell integration. c) Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas när kurvan y = tan x roterar kring x-axeln på intervallet π/4 x π/4. 15

16 Facit Geometri med trigonometri [5B1134:Modell:1] a) cos α = 1/ 1, cos β = och cos γ = 3/ 1. b) Vinkeln vid B är störst. c) Vinkeln vid B är störst om C ligger ovanför x-axeln. [5B1134:KS:1:23] a) sin α = , sin β = och sin γ = b) Vinkeln β ligger nära 6, men är lite större än 6. c) Cosinus för vinkeln mellan linjerna ges av (1+kl)/( 1 + k l 2 ). [5B1134:Tentamen:3113:1] a) Den tredje sidan är 6, 7 cm och vinklarna är β 67 och γ 45. b) Arean av området som ligger i bägge cirklarna är 7π/12 ( 3 + 1)/2, 467cm 2. [5B1134:Tentamen:3113:1] a) Vinklarna är α = arccos(3/4) 41, β = arccos(9/16) 56, γ = arccos(1/8) 83 och triangelns area är 15 7/4 9, 9 kvadratcentimeter. b) Förhållandet mellan areorna är 2π/ 3 2 1, 63. b) Sidlängderna är 7, 7 cm, 11 cm och 14 cm. c) Arean av området är ( π/8)r 2. [5B1134:Tentamen:5829:1] a) Den tredje sidans längd kan variera mellan 13 och 19 för att arean skall vara minst 9 kvadratmeter. b) Hexagonens area är 3 3/2 2, 6 areaenheter medan oktagonens bara är , 4 areaenheter. Trigonometriska funktioner, ekvationer och formler [5B1134:Modell:2] a) x = 2/9 + n/3, där n är ett heltal. b) Cosinus för den tredje vinkeln är (3 5 1)/8. c) x = 1/4 eller x = 6/4. [5B1134:KS:2:23] a) Samtliga lösningar ges av t = ±1/15 + n/5, där n är ett godtyckligt heltal. b) 5 sin ωt 12 cos ωt = 13 sin(ωt+φ) där φ = arctan( 12/5) 1, 18. c) Det största värdet är c+ [5B1134:Tentamen:3113:2] a 2 + b 2 och det minsta är c a 2 + b 2. [5B1134:Tentamen:419:1] a) Vinklarna är α = arccos(337/442) 4, 3, β = arccos(241/374) 49, 9 och γ = arccos(1/286) 89, 8. b) Andelen av arean är 3 3/2π, 83. c) Kvoten mellan omkretsarna är (n/π) sin π/n. a) Lösningarna är x = π(1 4n)/18 och x = π(4n 1)/2 där n är ett godtyckligt heltal. b) Lösningarna är x = ( 3±4)π/12+2πn där n är ett godtyckligt heltal. c) Ett exakt värde är sin(π/12) = ( 2 3)/2. [5B1134:Tentamen:4821:1] [5B1134:KS:1] a) Den tredje sidans längd är b = 8 och cosinus för de övriga vinklarna är cos A = 11/14 och cos C = 1/2. b) Radien för cirkeln är R = 7/ 3. a) Vinklarna är A 42, B 66 och C 72. b) Tomtens area är 8 m 2. c) Husets väggar kan vara högst 6, 8 m. Alla svar är angivna med två gällande siffrors noggrannhet. [5B1134:Tentamen:4111:1] a) Den tredje sidan kan vara c = 15 m eller c = 129 m. b) Arean av triangeln kan maximalt vara 3 3 areaenheter. c) Kateternas längder är a = 4 3/7 cm och b = 1/7 cm. [5B1134:Tentamen:413:1] a) De övriga sidorna är 2 m respektive 22 m. b) Sidlängderna är 39 m, 53 m och 57 m. [5B1134:Tentamen:5112:1] a) Den tredje sidans längd är 13 och arean är [5B1134:Tentamen:3113:2] a) Lösningarna är x = π/6 + nπ/2, där n är ett godtyckligt heltal. b) Vi kan skriva g(x) = 2 cos x(cos 2 x 2 sin 2 x) och lösningarna är x = π/2 + nπ, och x = ± arctan( 2/2) + nπ ±, 62 + nπ där n är ett godtyckligt heltal. [5B1134:Tentamen:419:2] a) sin x 3 cos x = 2 sin(x π/3). b) Lösningarna är x = 7π/12 + 2πn och x = 13π/12 + 2πn, där n är ett godtyckligt heltal. c) sin(x/2) = ± (1 cos x)/2, med positivt tecken om 4πn x 4πn + 2π för något heltal n, annars negativt. [5B1134:Tentamen:4821:2] [5B1134:KS:1] a) Lösningarna är x = π/3 + 2πn/3 och x = π/2 + 2πn/3, där n är ett godtyckligt heltal. b) Vi får att sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x och cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x. a) Lösningarna är x =, 28, x = 1, 2 och x = 1, 7. b) Det finns nio lösningar till ekvationen i intervallet. c) Amplituden är A = a 2 ab + b 2. 16

17 [5B1134:Tentamen:4111:2] a) Lösningarna till ekvationen ges av x = 5π/2+3πn och x = 3πn, där n är ett godtyckligt heltal. (15 + n 54 och n 54.) b) Den minsta positiva lösningen ges av x 2,. [5B1134:Tentamen:413:2] a) Lösningarna är x = 11π/36 + 2πn/3 och x = 19π/36 + 2πn/3, där n är ett godtyckligt heltal. b) Lösningarna är x = nπ, x = 2π/3 + 2πn och x = 4π/3 + 2πn där n är ett godtyckligt heltal. (Lösningen kan också skrivas som x = 2πn/3 och (2n + 1)π, för godtyckligt n.) c) Det minsta positiva tal som uppfyller kravet är x = 18π/(18 + π). [5B1134:Tentamen:5112:2] a) Lösningarna är 23π/24 + 2πn/5 och 29π/24 + 2πn/5, där n är ett godtyckligt heltal. b) Den minsta positiva lösningen är x 1, 35. (77, 3 ) c) Lösningarna är nπ/2 och ±2π/3 + 2πn, där n är ett godtyckligt heltal. [5B1134:Tentamen:5829:2] a) Lösningarna ges av x = 4π/15 + nπ/2, där n är ett godtyckligt heltal. b) A = 34 5, 8. c) cos 4x = 8 cos 4 x 8 cos 2 x + 1. Derivator med tillämpningar [5B1134:Modell:3] a) f (x) = 4 sin x(cos x + 1) 3. b) Maximum är 1 och minimum är. c) Genom att se på nollställena till g (x) och g(x), samt ändpunkterna på intervallet. [5B1134:KS:3:23] a) f (x) = 2e x cos x. b) Maximum är f(π/2) = e π/2, 21 och minimum är f() = 1. c) Konstanterna ges av a = b = 2 och y = f(x) är en lösning till y + 2y + 2y =. [5B1134:Tentamen:3113:3] a) Derivatan av f(x) är f (x) = cos x 4 cos x sin x. b) Maximum av f(x) är 2, 1 och minimum 1,, på intervallet x 2π. c) De exakta värdena för maximum och minimum är 17/8, respektive 1. [5B1134:Tentamen:3113:3] a) Derivatan av f(x) är f (x) = (6 7x + x 2 )e x/2 /2. b) Maximum av f(x) är 2e 1/2 1, 2 och minimum är 18e 3, 9. [5B1134:Tentamen:419:3] a) Derivatan av f(x) är f (x) = (2x 2 1)e 2x. b) Maximum av f(x) är 1 2 (1 + 2)e 2, 29 och minimum är 1 2 (1 2)e 2, 85. [5B1134:Tentamen:4821:3] [5B1134:KS:3] a) Derivatan av f(x) är f (x) = 32 cos 3 x sin x+16 cos x sin x. b) Derivatan av g(x) är g (x) = 2 sin 2x sin 3x+3 cos 2x cos 3x. c) Funktionen har ett lokalt maximum i punkten x = π/3 om a = 2 3. a) Derivatan är f (x) = (sin 2x)/x 2 2(sin 2 x)/x 3. b) Funkionens största värdet är 2 och dess minsta värde är 2 2. c) Lösningen är x =, med ett fel av storlek [5B1134:Tentamen:4111:3] a) Derivatan är f (x) = 8/(e 2x + e 2x ) 2. b) Det största värdet är 3/3 och det minsta är 3/3. c) Dervatan av tan(x) är 1/ cos 2 (x). [5B1134:Tentamen:413:3] a) Derivatan är f (x) = 2/(1 + sin 2x). b) Det största värdet är 1/2 och det minsta värdet är 1/1. [5B1134:Tentamen:5112:3] a) Derivatan är f (x) = (2 cos x+sin x)/(2 1 e 2x cos x). b) Nollstället är x =, 51 med två gällande siffrors noggrannhet. [5B1134:Tentamen:5829:3] a) f (x) = (1/x) sin 2 x + 2 ln x sin x cos x. b) Maximum ges av g = 26/9 och minimum av g(1) = 2. c) x = 7, 55 är en approximation av 57 med tre gällande siffror. Integraler med tillämpningar [5B1134:Modell:4] a) Arean mellan graferna är π/ b) Uttrycket för arean är (2π 4a) cos a + 4 sin a. c) Maximum är 2π och minimum är 4. [5B1134:KS:4:23] a) Arean av området mellan graferna är 1/2. b) Rotationskroppens volym är π/3. c) Avståndet från områdets tyngdpunkt till x-axeln är 1/1. [5B1134:Tentamen:3113:4] a) Volymen är 23π/24. π b) x2 sin xdx = π c) x 2 x 2 dx = 2 2/3. [5B1134:Tentamen:3113:4] π a) sin x cos 2x dx = b) (ln 1 x)2 dx = 2(ln 2) 2 4(ln 2) + 2, 19.. [5B1134:Tentamen:419:4] 17

18 a) Arean mellan kurvorna ges av (e 2 + 1)(e 1) 2 /2e 2 1, 68. π b) x sin x dx = π. c) Trapetsmetoden ger π 2 ( 2 + 1)/8 2, 98. [5B1134:Tentamen:4821:4] 2 a) f(x)2 dx = (e 4 4e 2 + 7)/2. 1 b) (1 x2 )e x dx = 1. c) Konstanten är K = e ant. [5B1134:KS:4] a) Integralernas värden blir 1/2, respektive π(24 π 2 )/96 och felet man får genom att använda approximationen är (24π π 3 48)/96, 38. b) Felet man får genom att använda trapetsmetoden blir (π(2 + 3) 12)/24, 11. c) Rotationskroppens volym är V = π(2e 1) 13, 9 volymsenheter. [5B1134:Tentamen:4111:4] a) Arean av området är 9/8 areaenheter. π sin x b) dx = ln 2 + cos x c) Värdet på a som minimerar integralen är a = 3/π 2. [5B1134:Tentamen:413:4] a) Arean av området är 32/3 areaenheter. b) Integralens värde är π/4. c) Arean av området är 4 sin((a b)/2) (= cos(a b)). [5B1134:Tentamen:5112:4] a) Arean är (π 2 8)/4. b) Volymen är π 2 (π 2 6)/12. c) dx = 2 2 ln 2. x [5B1134:Tentamen:5829:4] a) Arean mellan kurvorna är 32/3 areaenheter. b) (1/4 x 2 /2) cos 2x + (x/2) sin 2x är en primitiv funktion till x 2 sin 2x. c) Rotationsvolymen är 2π π 2 /2( 1, 35) volymnsenheter. 18